414 NUMERI IN BASE DIVERSA DA DIECI

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1 1 NUMERI IN BASE DIVERSA DA DIECI 1. MODI ALTERNATIVI DI CONTARE Se storicamente si è affermata la consuetudine di privilegiare il numero come base del calcolo, ciò è senza dubbio dovuto al fatto che - di norma - ogni persona nelle sue mani ha dita. Quando scriviamo, ad es., il numero 1971, noi ci serviamo di una notazione posizionale in base ( posizionale nel senso che il valore di ogni cifra dipende dalla posizione che essa occupa) L ultima cifra a destra rappresenta le unità, la penultima i gruppi di (), la terzultima le di (centinaia), la quartultima le di di (migliaia) e così via. di di o migliaia di o centinaia Una popolazione nella quale le persone avessero otto dita anziché, tenderebbe probabilmente ad elaborare un sistema di numerazione in base otto, nel quale le cifre andrebbero da 0 fino a 7, e la sequenza dei numeri naturali verrebbe scritta nel modo seguente: 0 zero I NUMERI 1 uno NATURALI SCRITTI IN BASE OTTO quattro cinque 6 sei 7 sette otto (1 ottina, 0 unità) 11 nove (1 ottina, 1 unità) 1 (1 ottina, unità) 1 undici (1 ottina, unità) 1 dodici (1 ottina, unità) 1 dici (1 ottina, unità) quattordici (1 ottina, 6 unità) 17 quindici (1 ottina, 7 unità) 0 sedici ( ottine, 0 unità) 1 diciassette ( ottine, 1 unità) diciotto ( ottine, unità) sessanta (sette ottine, sette unità) 0 sessantaquattro (una ottina di ottine o sessantaquattrina, zero ottine, zero unità) 1 sessantacinque (una sessantaquattrina, zero ottine, una unità) sessantasei (una sessantaquattrina, zero ottine, unità) Ad esempio, la scrittura 067, nel sistema in base otto, significherebbe quindi indicherebbe ottine ottine ottine unità (tornando per comodità alla nostra di di abituale notazione in base ) ottine ottine di o il numero ottine " sessanta- o quattrine " " cinquecento- 1 0 dodicine" Insomma, 067 otto unità

2 1 Come si rappresenteranno, allora, i numeri in BASE TRE? Le cifre saranno esclusivamente 0, 1 e (NOTA); l ultima cifra a destra rappresenterà le unità, la penultima i gruppi di (terne), la terzultima le terne di terne (gruppi di nove), la quartultima le terne di terne di terne (gruppi di ventisette) e così via; la scrittura 111 (tanto per fare un esempio) significherà NOTA: la cifra più alta sarà, cioè 1 in meno della base! Pensa: nella abituale base, la cifra più alta è 9, perché, quando si arriva a oggetti, li si pensa come 1 decina più 0 unità! ( 111) ( 1 ) 1 0 e la sequenza dei numeri naturali, in base, sarà 0 zero 0 sei 0 nove 1 dodici quindici 00 diciotto ventuno 0 ventiquattro 00 ventisette 1 uno 11 quattro 1 sette dici 11 sedici 01 diciannove 11 venti 1 venticinque 01 ventotto 1 cinque otto undici 11 quattordici 1 diciassette 0 venti 1 venti ventisei ATTIVITA DIVERTENTE. Quattro compagni/e si mettono fianco a fianco, dando la schiena alla lavagna. Chi sta ultimo a destra - rispetto alla classe che guarda - conterà le unità, il penultimo le terne, chi lo precede le terne di terne, ecc. Ciascuno usa una mano sola, e di questa soltanto dita. Si fanno entrare le pecore (immaginarie ): una, un altra, poi un altra ancora E questi pastori con dita le contano via via, alzando (o abbassando) le dita opportune. Quando una persona dovrebbe alzare tutte e le dita, in realtà le chiude, incaricando chi lo precede di alzare un dito in più. Ad esempio, dopo che sarà entrata l undicesima pecora, il primo a sinistra non avrà alcun dito alzato, chi gli sta a fianco uno solo, il successivo nessuno, l ultimo a destra. La classe vedrà in quel momento il numero ( 0), che corrisponde appunto all undici. E come si rappresenteranno i numeri in BASE DUE (sistema BINARIO, fondamentale per i computer)? Le cifre saranno esclusivamente 0 e 1; l ultima cifra a destra rappresenterà le unità, la penultima i gruppi di (coppie), la terzultima le coppie di coppie (gruppi di quattro), la quartultima le coppie di coppie di coppie (gruppi di otto) e così via; la scrittura 110 significherà Un orologio binario ( 110) ( 1 ) e la sequenza dei ESERCIZI (risultati a pag. 19) numeri naturali sarà: a) Trasforma in base : 0 zero 1) ( 01) 1 uno ) ( 01) cinque 11 0 quattro ) ( 7) otto 1 cinque b) Provaci, procedendo come credi: 1 sei 111 sette 7) ( ) cinque 00 otto ) ( 6) 01 nove otto 9) ( 6) 11 undici ) ( 1) 10 dodici 11 dici 11) ( 1) otto 11 quattordici 1111 quindici c) Utilizza come base intermedia: 000 sedici 17) ( 1) 001 diciassette 1) ( 1) cinque ) ( 1) quattro ) ( 100) 6) ( ) 1) ( 0) 1) ( 6) quattro 1) ( 6) 1) ( 1) quattro ) ( 1) 19) ( 1111) otto 0) ( 1) cinque

3 . TRASFORMAZIONE DALLA BASE DIECI A UN ALTRA BASE Come hai svolto, nella pagina precedente, l esercizio ( ) cinque? Suppongo che tu ti sia preparato uno specchietto delle potenze successive della base di arrivo, per poi ragionare pressappoco così: c è da esprimere il come somma dei numeri 1,,, 1, ciascuno moltiplicato per una delle cifre 0, 1,, o, quindi che è già più grande di! Bene! Giustissimo! Quante volte il 1 sta nel? Risposta: volte; dunque 1 + Ma anche il andrà ora espresso utilizzando come mattoni le potenze di. Nel, il ci sta 1 volta; dunque Poi, nell 1, il ci sta volte; dunque Perciò, in definitiva, C è tuttavia un secondo metodo per effettuare queste trasformazioni dalla base a un altra base. Per descriverlo, prendiamo sempre spunto dall esempio di cui sopra: ( ) cinque Il metodo è il seguente: calcolo quoziente e resto della divisione : 7 col resto di calcolo quoziente e resto della divisione 7 : 1 col resto di calcolo quoziente e resto della divisione 1: col resto di 1 calcolo quoziente e resto della divisione : 0 col resto di Avendo ottenuto un quoziente 0, mi fermo e trascrivo A RITROSO i resti via via ottenuti; ottengo 1 che è, appunto, la codifica in base del numero assegnato. Per qual motivo il metodo funziona? Riflettiamo. Il può essere suddiviso in tanti gruppetti di, con eventualmente un resto (di 0, 1,, o unità). Se andiamo a calcolare quoziente e resto della divisione :, il resto costituirà l ultima cifra a destra, quella delle unità, del numero trasformato! : 7 col resto di Quindi, a parte quel resto di unità, nel sono contenute 7 cinquine. Ora, queste 7 cinquine potranno essere riunite a loro volta in gruppi di ; in questo modo si otterranno le venticinquine ; dunque facciamo il calcolo 7 : 1 col resto di e stabiliamo così che le EFFETTIVE cinquine in gioco sono (penultima cifra), perché le al verranno invece utilizzate per comporre 1 venticinquine. Queste a loro volta Ormai le considerazioni fatte dovrebbero essere sufficienti a giustificare ciò che si diceva: i resti via via ottenuti, se trascritti a ritroso, costituiranno le cifre del numero trasformato. ESERCIZI - Puoi a questo punto riprendere gli esercizi 0 della pagina precedente e svolgerli con questo efficace metodo delle divisioni successive e dei resti.

4 17. RICAPITOLAZIONE TEORICA, APPROFONDIMENTI Quando si vuole rappresentare un numero intero N in una certa base b (essendo b un numero naturale maggiore o uguale a ) si utilizzano come cifre i numeri da 0 fino a b 1 e la rappresentazione è N ( c k k 1 k c k 1...c c 1 c 0) b c k b + c k 1 b c b + c 1 b + c 0 Che differenza c è, a proposito, fra numero e cifra? Diciamo che cifra è un singolo segno grafico, indicante un numero intero (le sequenze di più cifre, opportunamente interpretate, indicano poi altri numeri). Nello studio dei numeri in base diversa da, si scrivono catene come 1 0 cinque Bene: è importante osservare che in queste catene i passaggi intermedi sono codificati nella consueta base (la base, cioè, viene impiegata come base ausiliaria con cui condurre il discorso ; si dice che funge da meta-base ). Anzi, si suole scrivere, per brevità, ( 11 ) con la medesima convenzione: i numeri a destra in basso delle parentesi, indicanti la base di numerazione, sono sempre codificati in base.. IL SISTEMA ESADECIMALE, OSSIA: IN BASE SEDICI Le cifre sono: 0, 1,,,,, 6, 7,, 9, A, B, C, D, E, F ; undici dodici dici quattordici quindici la scrittura AB, ad esempio, significa ( AB) 1 0 A + + B ( 619 ) La sequenza dei numeri naturali in esadecimale è la seguente: A B C D E F zero uno quattro cinque sei sette otto nove undici dodici dici quattordici quindici sedici diciassette diciotto... DA BINARIO A ESADECIMALE E VICEVERSA: UNA SCORCIATOIA I sistemi di numerazione BINARIO ed anche ESADECIMALE occupano un ruolo IMPORTANTISSIMO nel mondo dei computer. Esiste la possibilità di trasformare rapidissimamente un numero binario in esadecimale, o viceversa: illustriamola mediante un esempio. Sia dato il numero binario ( ). Se vogliamo trasformarlo in esadecimale, ci basta separarne le cifre in blocchetti di quattro, a partire da destra: (lo 0 iniziale è stato aggiunto affinché tutti i blocchetti avessero esattamente cifre). A questo punto ciascun blocchetto potrà essere interpretato come un numero binario di quattro cifre, e un binario a quattro cifre può valere da un minimo di zero (0000) fino a un massimo di quindici (1111), perciò corrisponde ad una cifra esadecimale, da 0 a F. Se dunque trasformiamo i blocchetti ottenuti ciascuno nella corrispondente cifra esadecimale, avremo: F dopodiché pomo constatare che è proprio ( 01111) ( F (verificalo trasformando ambo i membri in decimale!) ) Si può dimostrare che il procedimento ha una validità del tutto generale. Quindi, tanto per fare qualche altro esempio, si avrà pure ( 0000) ( 0) in quanto ( ) ( 1E ) in quanto E ( A) ( 01) in A A ; ( A) ( 1) in quanto quanto A A 01 01

5 1. CENNI ALLE OPERAZIONI COI NUMERI IN BASE DIVERSA DA DIECI ADDIZIONE Base cinque Base Inizio dall ultima colonna a destra, quella delle unità, e sommo +; ottengo sette, ma in base cinque la cifra corrispondente non esiste, e il sette è visto come la somma di 1 cinquina + unità, quindi nel risultato scrivo e riporto 1 cinquina. Poi sulla colonna delle cinquine effettuo il calcolo 1++1, il cui risultato è cinque, sennonché, di nuovo, in base cinque il cinque come cifra non esiste e bisogna pensare a 0 col riporto di 1, nel senso di 0 cinquine col riporto di 1 cinquina di cinquine (venticinquina). Mi sposto sulla colonna delle venticinquine per il calcolo 1++1, che dà analogamente, sulla colonna delle centoventicinquine, ottengo Base sedici A A B B 0 A 1 C MOLTIPLICAZIONE Base Base Ed ecco, qui a sinistra, un altro esempio, questa volta con numeri binari. Controlla l esattezza del calcolo trasformando in base addendi e risultato. Per terminare, esempi in esadecimale. Ne approfitto per segnalarti che se trovi, al posto della base, la sigla hex, significa che la base è sedici ( hex sta per hexadecimal esadecimale). Es. ( 9) hex + ( 61) hex ( B0A) hex In base, abbiamo quattro 11 (1unità col riporto di 1 terna). La tabellina della moltiplicazione in base è: base La tabellina in base è la seguente: base Base sedici A B 7 7 E Controlla la correttezza del calcolo qui a sinistra. La tabellina in base sedici è riportata alla successiva pagina 19. ESERCIZI (altri ne trovi alla pagina successiva): non ti dico quali sono i risultati controlla tu trasformando tutto, alla fine, in base! ( 01) + ( 11 ) ) ( 01) ( 11 ( 1) + ( 1) ( 11) + ( 11) ( 11) ( 11) ( 1D) + ( 9) ( 1D) ( 9) ( 60) + ( ) ( 60) ( ) + ( 7) + ( 6) ( 7) ( 6) Un programma freeware per fulminee CONVERSIONI DI BASE (Numbers, di David Dirkse) CALCOLATRICE IN BINARIO, OTTALE, ESADECIMALE (Bitcalc, di Curt van den Heuvel) APPROFONDIMENTO: NUMERI CON LA VIRGOLA IN BASE DIVERSA DA DIECI Ad esempio, è ( 0,1)

6 6. ESERCIZI 19 RISULTATI degli esercizi iniziali (pag. 1) sulla conversione di base 1) ) ) ( 7) ( 01) ( 9) ) ( ) ) 6) 7) ( 1) cinque ) ( 0) otto 9) ( 1) ) 11) 1) 1) 0 11 ( 7) otto ( 00) ( 00) quattro 1) ( 00000) 1) ) ( 11111) 17) ALTRI ESERCIZI (risposte in fondo alla pagina) 111 1) ( 0) 19) ( 67) otto 0) 1 quattro cinque 1) ( 1 ) ) ( 1 ) ) ( 1 ) ) ( 1 ) ) ( 1 ) 6) ( 1 ) 7) ( ) ) ( ) 9) ( ) 0) ( ) 1) 6 ( AB ) ) ( ) 9 ) ( 1) + ( 11) ) ( 11) + ( 1) ) ( 67) + ( ) 6) ( 11 ) + (111) 7) ( 6) + ( 6) ) ( ) + 1 9) ( 1A) + ( B) 0) ( F7) + ( AD) 1) ( 1) + ( 1 ) + ( 11) ) ) ( 1) ( 1) ) ( 1) ) ( 1) ( 1) 6) ( 111) ( 111) 7) ) ( ) ( 7) 9) ( 1A) 0) Compila la tabellina della moltiplicazione in base quattro: ) Criteri di divisibilità Guardando un intero scritto in base, si riconosce che è divisibile a) per quando b) per nove quando c) per quando RISPOSTE A B C D E F A B C D E F 0 6 A C E A 1C 1E C F B 1E 1 7 A D 0 0 C 1 1 1C 0 C 0 C 0 0 A F E D 7 C 1 6 B C 1 1 1E A 0 6 C E A E 1 1C A 1 F 6 D B B D 6 F 1 A 6 6C 7 7E 7 90 A 0 A 1 1E C 6 0 A 6 6E 7 C 96 A0 B 0 B 1 C 7 D 6 6E 79 F 9A A B0 C 0 C 1 0 C 60 6C C A B C0 D E F 0 D 1A 7 1 E B 6 7 F 9C A9 B6 C D0 0 E 1C A E C 9A A B6 C D E0 0 F 1E D C B A A B C D E1 F A0 B0 C0 D0 E0 F0 0 ) Ecco qui sopra la tabellina per la moltiplicazione esadecimale. a) Osservala bene: quali regolarità puoi cogliere in essa? b) Copri una linea (riga o colonna) a tua scelta e poi ricostruiscila. 1) ( 11110) ) ( 1111 ) ) ) ( ) ) ( 17 ) 6) ( 7C ) 7) ( ) ) ( 77 ) 9) ( FF ) 0) ( 11 ) 6 1) ( 11) ) ( ) 9 ) ( 01) ) ( 0) ) ( 11) 6) ( 001) 7) ( 11) ) ( 000) 9) ( ) 0) ( 1 ) 1) ( 1 ) ) ( 1) ) ( 111) ) ( 00) ) ( 00) 6) ( 1001) 7) ( 01) ) ( ) 9) ( ) 0) )