Complementi di Campi Elettromagnetici FORMULARIO

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1 Complementi di Campi Elettromagnetici FORMULARIO Davide Negri 7/8

2 Indice 1 Grafici Utili 7 Integrali Utili 1 3 Formule Utili 13 4 Formule di dispersività nei mezzi Metalli ad alta conducibilità Plasma freddo senza collisioni Dielettrici Polarizzazioni del Campo Polarizzazione Lineare Polarizzazione Circolare Levogira Polarizzazione Circolare Destrogira Polarizzazione Ellittica Formalismi per le lunghezze d onda 18 7 Fase dei modi guida rettangolare, circolare, coassiale ecc.) 19 8 Guida d onda Rettangolare 8.1 Propagazione dei modi conoscendo a priori la forma del campo elettrico o magnetico) in z= Lunghezze d onda dei vari modi Modi TE E Z =, campo elettrico longitudinale nullo) Lunghezze d onda caratteristiche λ c dei modi TE Vettori modali e, h dei modi TE Modi TM H Z =, campo magnetico longitudinale nullo) Lunghezze d onda caratteristiche λ c dei modi TM 8... Vettori modali e, h dei modi TM 8.3 Tensione nei modi Esempi di conto

3 Indice Esempio Esempio Impedenza caratteristica Modi TM Modi TE Campo dei modi TE Campo elettrico dei modi TE Campo magneticodei modi TE Campo dei modi TM Campo elettrico dei modi TM Campo magnetico dei modi TM Attenuazione Attenuazione dovuta al conduttore Attenuazione dovuta al dielettrico in caso di propagazione del modo) Attenuazione dovuta al dielettrico se il modo non si propaga) Potenze nella guida rettangolare Potenza al carico adattato con conduttore non ideale Densità di potenza per unità di lunghezza Potenza al carico se tutto il circuito è adattato con conduttore ideale in aria Potenza con carico disadattato Guida d onda Circolare Modi T E np E Z =, campo elettrico longitudinale nullo) Lunghezze d onda caratteristiche λ c dei modi TE Vettori modali e, h dei modi TE Vettori modali e principali: Modi T M np p, H Z =, campo magnetico longitudinale nullo) Lunghezze d onda caratteristiche λ c dei modi TM Vettori modali e, h dei modi TM Impedenza caratteristica Modi TM Modi TE Campo dei modi TE Campo elettrico dei modi TE Campo magnetico dei modi TE Campo dei modi TM Campo elettrico dei modi TM Campo magnetico dei modi TM Attenuazione 36 3

4 Indice Attenuazione dovuta al conduttore Attenuazione dovuta al dielettrico in caso di propagazione del modo) Attenuazione se il modo non si propaga) Potenze nella guida circolare Potenza al carico adattato con conduttore non ideale Densità di potenza per unità di lunghezza Potenza al carico adattato con conduttore ideale Potenza con carico disadattato Cavo coassiale Impedenza Campo nel cavo coassiale Vettori modali Potenza Potenza massima Densità di potenza Densità superficiale di potenza sul conduttore interno o esterno Potenza dovuta a perdite Attenuazione Capacità e induttanza per unità di lunghezza del cavo Linee come elementi circuitali Impedenza d ingresso, fattore di riflessione Linea adattata Tensione e Corrente Potenza Linea in cortocircuito Coefficiente di riflessione Impedenza Corrente e tensione Linea a vuoto Impedenza Coefficiente di riflessione Γ L Tensione e corrente Linea λ/ senza perdite Linea λ/4 senza perdite Insertion Loss Perdite d inserzione) Induttore e condensatore, breve ripasso

5 Indice 1 Strutture periodiche Matrice di trasmissione α e β nei vari mezzi Propagazione nel vuoto Propagazione nei dielettrici a bassa perdita Propagazione nel plasma isotropo Coefficienti di trasmissione e di riflessione Interfaccia tra tre o più mezzi Interfaccia tra due soli mezzi Interfaccia tra due dielettrici a bassa perdita Interfaccia fra dielettrico e plasma Interfaccia fra dielettrico e conduttore metallico Elementi di linea Relazione di dispersione Esempio di conto con tronco senza perdite: Esempio di conto con una induttanza L Cavo coassiale con gap periodici Cavità Risonante Modi T M npq, q=, 1,, Modi T E npq, q Modi T EM q, q Energia immagazzinata da una cavità Fattore di merito Cavità a guida d onda circolare Cavità a cavo coassiale Modi TEM) Esempio di conto del fattore di merito Cavità rettangolare Simmetria dei modi della cavità coassiale chiusa alle estremità Modellizzazione di una cavità coassiale non omogenea Altra modellizzazione cavità coassiale Guide dielettriche lastra dielettrica Modi TE a simmetria pari Caso I - < β < k n Caso II - k n < β < k n Modi T E e evanescenti Esempio di esercizio Campo Elettrico Campo magnetico Potenza

6 Indice 14. Guida dielettrica a sezione circolare Caso II - k n < β < k n Fibre Ottiche Potenza Fasci gaussiani Intensità di radiazione Guadagno d antenna Potenza

7 1 Grafici Utili Figura 1.1: Grafico della Tangente di x Tgx)) Figura 1.: Grafico della cotangente di x cotgx)) 7

8 1 Grafici Utili Figura 1.3: Grafico della coshx) Figura 1.4: Cos e Arccos a confronto y = cos x) x = ± arccos y) + nπ 8

9 1 Grafici Utili Figura 1.5: Grafico del sinhx) Figura 1.6: Sen e Arcsin a confronto y = sin x) x = ± arcsin y) + nπ 9

10 1 Grafici Utili Figura 1.7: Intersezione tra due tangenti Devo trovare la frequenza più bassa per cui: π fghz 1 9 ), 7 π fghz 1 9 ), 3 tan = tan traccio il grafico del primo, per tracciarlo pongo e trovo π f GHz1 1 9, = π f GHz1 =, 14 l altro grafico della prima funzione sarà f GHz1 = 4, 8. Ora traccio il primo grafico, per tracciarlo pongo e trovo π f GHz 1 9, = π f GHz = 5 questo parte da f GHz / =, 5 dai grafici tracciati vedo che la prima intersezione è compresa tra,14 e 4,4. Ora compongo una semplice tabella iterativa 1

11 f GHz 1 Grafici Utili ) ) π fghz1 1 tan, 7 π fghz tan, Dalla tabella si vede che il valore per cui le due tangenti sono più simili è per f GHz = 3.4 e quindi per f = 3, 4 GHz. Figura 1.8: R s dei buoni conduttori 11

12 Integrali Utili Integrale utile nel calcolo del campo in guida rettangolare x x 1 sin Ax sin Bx dx = = sin [A B) x ] sin [A B) x 1 ] A B) x x 1 sin [Ax ] sin [Ax 1 ] 4A sin [A + B) x ] sin [A + B) x 1 ] A + B) se A B se A = B.1) x x 1 cos Ax cos Bx dx = = sin [A B) x ] sin [A B) x 1 ] A B) x x 1 + sin [Ax ] sin [Ax 1 ] 4A + sin [A + B) x ] sin [A + B) x 1 ] A + B) se A B se A = B.) x x 1 cos Ax sin Bx dx = = cos [A B) x ] cos [A B) x 1 ] A B) cos [Ax 1 ] cos [Ax ] 4A cos [A + B) x 1] cos [A + B) x ] A + B) se A B se A = B.3) 1

13 3 Formule Utili Permeabilità magnetica nel vuoto µ = 4π 1 7 [ H m ] Permeabilità elettrica nel vuoto Impedenza caratteristica nel vuoto ε = 1 36π 1 9 [ ] F m η = Impedenza caratteristica nel dielettrico µ ε = 377 Ω 3.1) nel dielettrico: tangenti seni e coseni: η = µ ε ε r = η εr = η n 3.) f diel = c λ ε r 3.3) sinh x) = ex e x 3.4) cosh x) = ex + e x 3.5) e jx = cos x + j sin x 3.6) e x = cosh x + sinh x 3.7) cosh jx) = cos x) cosh x) = cos jx) 3.8) sinh jx) = j sin x) sinh x) = j sin jx) 3.9) 13

14 3 Formule Utili tanh jx) = j tan x) tanh x) = j tan jx) 3.1) Limite utile per il calcolo del vettore modale e della guida circolare: Attenuazione in db J 1 x 11 lim R/a) = x 11 R R a 3.11) α db = 8, 68 α 3.1) Moltiplicazione tra matrici ) ) A B E F AE + BG AF + BH. = C D G H CE + DG CF + DH Velocità di fase di un modo che si propaga c v f = ) 1 λλc ) 3.13) 14

15 4 Formule di dispersività nei mezzi ε = ε ε jε ) µ = µ µ jµ ) 4.1 Metalli ad alta conducibilità ε 4. Plasma freddo senza collisioni N dipende dal tipo di plasma. σ jπf ε ε σ πf ε 4.1) ε 1 ω p ω ε 4.) f p = 8.97 N 4.3 Dielettrici Angolo di perdita elettrico nei dielettrici a bassa perdita si può approssimare quindi: coefficiente di riflessione θ e = arctan ε ε 4.3) θ m = arctan µ µ 4.4) θ e ε ε 4.5) θ m 4.6) ε ε ε 1 jθ e ) 4.7) 15

16 4 Formule di dispersività nei mezzi n = ε 16

17 5 Polarizzazioni del Campo e jβz si mette a seconda dell evenienza, fornisce informazioni di quanto varia il campo lungo l asse di propagazione. 5.1 Polarizzazione Lineare 5. Polarizzazione Circolare Levogira E = E u x + u y ) e jβz 5.1) E = E u x ju y ) e jβz 5.) 5.3 Polarizzazione Circolare Destrogira E = E u x + ju y ) e jβz 5.3) 5.4 Polarizzazione Ellittica E = E u x ± ju y ) e jβz 5.4) 17

18 6 Formalismi per le lunghezze d onda La lunghezza d onda nel vuoto si indica con λ è λ = c f La lunghezza d onda nel dielettrico si indica con λ ed è λ = λ εr = c f ε r La lunghezza d onda del modo che si propaga si indica con λ g ed è: λ g = λ ) = 1 λλc λ / ε r λ / ) 6.1) ε 1 r λ c 18

19 7 Fase dei modi guida rettangolare, circolare, coassiale ecc.) e jx = cos x + j sin x 7.1) 1. Due modi sono in fase tra loro se la differenza tra le costanti di fase β) è nulla. Due modi sono in quadratura tra loro se la differenza tra le loro costanti di fase β) è π + nπ β = π ) λ 1 [rad/m] 7.) λ λ c β 1 β ) z = π + nπ 3. Il campo si ripete uguale in modulo, a parte la fase se si propagano modi) per una distanza calcolabile in questa maniera: e jβ 1z = e jβ z 7.3) β 1 β ) z = + nπ 19

20 8 Guida d onda Rettangolare 8.1 Propagazione dei modi conoscendo a priori la forma del campo elettrico o magnetico) in z= Il modo dominante è il T E 1 Il campo elettrico in figura, in posizione z=, è a simmetria pari rispetto all asse centrale della guida se il campo elettrico ha simmetria pari non si possono propagare i modi con indice n pari perché hanno simmetria dispari Se inoltre mi è stata fornita anche l espressione algebrica del campo fatta ad esempio in questo modo: E x, y, ) = u y E sin πx a 1 ) 4πx sin 8.1) 4 a se il campo, come si vede dall espressione 8.1, non varia al variare di y, allora non si propagano i modi che dipendono da y, i solo modi che si propagheranno saranno quelli con indice p nullo cioè i T M n e viceversa, se il campo dipende da y e non da x si propagheranno i modi T M p 8. Lunghezze d onda dei vari modi 8..1 Modi TE E Z =, campo elettrico longitudinale nullo) Lunghezze d onda caratteristiche λ c dei modi TE λ c = λ np = na ) ) n, p =, 1,...esclusa la coppia, ) 8.) p + b

21 8 Guida d onda Rettangolare λ 1 = a λ = a λ 1 = b λ = b λ 3 = 3 a λ 3 = 3 b λ 11 = λ = λ 33 = 1a ) + 1 b a ) + b 3a ) + 3 b ) ) ) Un modo si propaga se λ np > λ si ricorda che λ = λ εr = f c ) se la guida non ε r contiene alcun dielettrico ε r = Vettori modali e, h dei modi TE e χ np ab p nπx np = nb) + pa) u x cos b a sin pπy n nπx u y sin b a a h np = χ np ab n nπx nb) + pa) u x sin a a cos pπy p nπx + u y cos b b a χ np = { se n = o p = 4 se n e p Ecco di seguito alcuni vettori modali e e h cos pπy b sin pπy b ) 8.3) ) 8.4) πx ) 1 = u y ab sin a e ) πx e = u y ab sin a ) 3πx e 3 = u y ab sin a πy ) 1 = u x ab sin b e ) πy e = u x ab sin b ) 3πy e 3 = u x ab sin b 1

22 8 Guida d onda Rettangolare πx ) 1 = u x ab sin a h ) πx h = u x ab sin a ) 3πx h 3 = u x ab sin a πy ) 1 = u y ab sin b h ) πy h = u y ab sin b ) 3πy h 3 = u y ab sin b 8.. Modi TM H Z =, campo magnetico longitudinale nullo) Lunghezze d onda caratteristiche λ c dei modi TM λ c = λ np = na ) ) n, p 8.5) p + b λ 11 = λ = λ 33 = 1a ) ) + 1 b a ) ) + b 3a ) ) + 3 b Un modo si propaga se λ np > λ si ricorda che λ = λ εr = f c ) se la guida non ε r contiene alcun dielettrico ε r = Vettori modali e, h dei modi TM e ab n nπx np = nb) + pa) u x cos a a sin pπy p nπx u y sin b b a cos pπy ) b h ab p nπx np = nb) + pa) u x sin b a cos pπy n nπx + u y cos b a a sin pπy ) b n, p 8.6) n, p 8.7)

23 8.3 Tensione nei modi Esempi di conto Esempio 1 8 Guida d onda Rettangolare V c = x y E e c dxdy 8.8) Se conosco il campo E localizzato in due punti E 1y in x 1, ) e E y in x, ) della guida, sapendo che si propagano il modo fondamentale e quello superiore T E 1 e T E per calcolare le tensioni modali si farà: risolvo il sistema E = u y [ V 1 e 1 + V e ] e trovo V 1 e V Esempio { E1y = V 1 e 1 x 1, ) + V e x 1, ) E y = V 1 e 1 x, ) + V e x, ) Si supponga un campo definito come E sin πx a E y = E sin πx a quindi applicando la formula 8.8 trovo ) sin 4πx a ) sin 4πx a per x < a/ per x > a/ V 1 = a b e 1 E y = = b ab E a/ sin a/ b πx ) ab sin E sin πx a a 1 ) 4πx sin dxdy = 4 a πx ) sin πx a a 1 ) 4πx sin dx = ae 4 a 15π N.B. Per risolvere l ultimo integrale applico la formula Impedenza caratteristica Quando il modo si propaga l impedenza caratteristica è reale, quando si ha a che fare con il dielettrico si devono usare al posto delle lunghezze d onda le frequenze, in modo da mettere i valori della frequenza nel dielettrico. 3

24 8 Guida d onda Rettangolare Modi TM Z c = Z = λ / ) ε η 1 r per λ λ / ε r < λ c Il modo si propaga C λ / ) ε jη r 1 per λ λ / ε r > λ c Il modo non si propaga C 8.4. Modi TE η λ / ) per λ / ε r < λ c Il modo si propaga ε 1 r λ C Z c = Z = jη λ / ) per λ / ε r > λ c Il modo non si propaga ε r 1 λ C 8.5 Campo dei modi TE V si trova usando l equazione ) 8.1) V z) = V e jβ z V z) Iz) = 8.11) Z C La Z c è l impedenza caratteristica della guida, vedere equazione Campo elettrico dei modi TE Ex, y, z) = V z) e [ V m ] 8.1) Ad esempio facendo riferimento ai modi T E 1 e T E 1 si avrà: Se si calcola nella sezione z= Ex, y, z) = V 1e Jβ 1 z e 1 + V 1e Jβ 1 z e Campo magneticodei modi TE Ex, y, z) = V 1 e 1 + V 1 e 1 H x, y, z) = Iz) h + j κ np ηk V z)ϕ npu Z 8.13) ϕ np = χnp ab cos nπx a { pπy se n = o p = cos b χ np = 4 se n e p 8.14) 4

25 8 Guida d onda Rettangolare nπ ) pπ κ np = + a b ) 8.15) k = πf c = π λ 8.16) Ad esempio facendo riferimento al solo modo fondamentale T E 1 si avrà: πx π Hx, y, z) = Iz) sin ab a u x + jv z) a η π ab λ = V z) πx sin Z c ab a u x + jv z) λ ηa 8.6 Campo dei modi TM V si trova usando l equazione 8.8 V z) = V e jβ z cos πx a u z = πx cos ab a u z Iz) = V z) Z C 8.17) La Z c è l impedenza caratteristica della guida, vedere equazione Campo elettrico dei modi TM Ex, y, z) = V z) e + j ηκ np k Iz)Ψ npu z [ ] V 8.18) m Ψ np = sin nπx pπy sin ab a b 8.19) nπ ) pπ κ np = + a b ) 8.) k = πf c = π λ 8.1) 8.6. Campo magnetico dei modi TM H x, y, z) = Iz) h 8.) 5

26 8.7 Attenuazione Materiale 8 Guida d onda Rettangolare Conducibilità σ [ S m] R s [Ω] rame , f argento , f alluminio , f bronzo , f δ = 1 πf µ σ [m] 8.3) R S = 1 [Ω] δσ guardando il grafico all inizio figura 1.) di questa dispensa è più immediato stabilire il valore di R s senza fare inutili conti Attenuazione dovuta al conduttore ) α c = R S εr 1 + λλc b a η b ) = R S 1 λλc η b εr ) fc 1 + b f a fc 1 f ) [ nep m ε r tiene conto che all interno della guida possa non esserci semplicemente aria Attenuazione dovuta al dielettrico in caso di propagazione del modo) In questo caso l attenuazione è dovuta solo al dielettrico reale, se si parla di dielettrico ideale queste perdite si annullano Dielettrico ε θ e [rad] Allumina 9, 6 1, 4, Quarzo fuso 3, Ossido di Berillio 6, RT-duroid T M 588, 16, RT-duroid T M 61 1, 1, Polietilene puro, ] α d = θ e / ) β 1 λλc dove λ non è da confondersi con la λ ma è λ = c f εr = λ εr 6

27 8 Guida d onda Rettangolare quindi α d = θ e / ) β 1 λ λ c εr il coefficiente di riflessione è β = π λ ) λ 1 λ c è noto che la lunghezza d onda del modo che si propaga è λ g = λ ) 1 λλc nel dielettrico λ g = λ / ε r λ / ) ε 1 r λ c quindi consegue che ) 1 λλc β = π λ = π λ g α d = θ e /! π 1 λ λg λ c εr Se la guida rettangolare è tridimensionale e contiene qualche dielettrico, qualche tratto in aria, vuoto ecc. devo passare per le matrici di trasmissione calcolando dapprima il γd e mettendo tutto nella formula 1.1 della matrice di trasmissione. Se a questo punto voglio calcolare la potenza che si trasmette e o quella che si riflette a questo punto devo usare le formule 1.5 e 1.6 dei coefficienti di trasmissione di riflessione. 7

28 8 Guida d onda Rettangolare Attenuazione dovuta al dielettrico se il modo non si propaga) α d = π ) λc [nep ] 1 λ c λ m β = θ e / λλc ) 1 α d per la formula di θ e si veda l equazione Potenze nella guida rettangolare Attenzione queste potenze fanno riferimento ad un guida rettangolare senza discontinuità al suo interno. Se ce ne fossero si faccia riferimento al capitolo sulle strutture periodiche Potenza al carico adattato con conduttore non ideale P z) = Σ V c e αc)z = P max e αc)z Z c nel caso in cui ci fosse attenuazione anche da dielettrico P z) = Σ V c e α C+α d )z = P max e α C+α d )z Z c Densità di potenza per unità di lunghezza W cond = α c P [W/m] W diel = α d P [W/m] 8.8. Potenza al carico se tutto il circuito è adattato con conduttore ideale in aria P = Σ V c = Σ Z c I Z c Ad esempio se si propagano i modi T E 1 e T E 1 se tutto il circuito è adattato la potenza al carico è uguale a quella in z=): P = ) V 1 Z 1 + ) V 1 Z 1 8

29 8 Guida d onda Rettangolare Potenza con carico disadattato P L = P inc 1 Γ ) ROS = 1 + Γ 1 Γ = Z L Z Γ L = Z L Z Z L + Z 9

30 9 Guida d onda Circolare Il modo dominante della guida circolare è il modo T E 11 che è costituito da una coppia degenere. Il primo modo superiore è il T M Modi T E np E Z =, campo elettrico longitudinale nullo) Lunghezze d onda caratteristiche λ c dei modi TE κ np = x np p, n =, 1,... a λ np = πa x np con a=raggio della guida, x np si trova invece con la seguente tabella: p \ n ,83 1,841 3,54 4,1 5,317 6,416 7,16 5,331 6,76 8,15 9,8 1,5 3 1,173 8,536 9,969 11,346 1,68 13, ,34 11,76 13,17 / / / Tabella 9.1: Tabella di x np λ np si trova con la seguente tabella: p \ n , 64 a 3, 413 a, 57 a 1, 496 a 1, 18 a, 979 a, 985 a 1, 179 a, 937 a, 784 a, 677 a, 597 a 3, 618 a, 736 a, 63 a, 554 a, 495 a, 449 a 4, 47 a, 537 a, 477 a / / / Tabella 9.: Tabella di λ np 3

31 9 Guida d onda Circolare Un modo si propaga se λ np > λ λ = λ εr = f c se la guida non contiene alcun ε r dielettrico ε r = Vettori modali e, h dei modi TE e 1 np = ) ξ n n J n x [ J n x x ) ] np R/a np π u ) r np n R { sin nφ cos nφ + u x np J n x np R/a ) { cos nφ φ a sin nφ ) h np = 1 ) ξ n x np J n x [ J n x x ) ] np R/a ) np π u r np n a { cos nφ sin nφ + u n J n x np R/a ) { sin nφ φ R cos nφ ) ξ n = { 1 se n = se n R è il punto della guida in cui si vuole fare il calcolo del vettore modale, ad esempio se stiamo facendo una valutazione al centro della guida R=. Si vede che posso scegliere se moltiplicare per cos o per sen, di solito si sceglie di moltiplicare ambo i membri per la prima linea, ma la scelta va comunque fatta a seconda delle esigenze in modo da tenere il termine più utile ai fini dei conti. Come si calcola il termine: si fa: J n x np R/a ) J n = J n+1 Ad esempio J x np R/a ) = J 1 x np R/a ) per trovare questo valore devo vedere il massimo assunto dalla funzione J 1 per il calcolo del vettore modale massimo), guardo nella tabella 9.3 e vedo che il valore è:,5819. J n x np ) si trova con la seguente tabella: 31

32 9 Guida d onda Circolare X J J 1 J J 3 J 4 J 5 x n x n x n x n / / / Tabella 9.3: Tabella di J n x np ) Vettori modali e principali: e 1 max = 1 ) ξ n x np J n x [ J n x x ) ] np R/a ) ) np π u φ = np n a 1 1 x = ) J n x np π ) u np J 1 x np R/a ) ) φ x a np 1 = u φ a J 1 x np R/a ) ) π J n x np si ricorda che il valore di J 1 x np R/a ) equivale al valore massimo assunto dalla funzione J 1 di Bessel, tale valore si può leggere nella tabella 9.3 e 1 max = u 1 φ a, 5819 π, 48 Per il calcolo di e 11 si fa e 1 11 max = lim R J 1 x 11 ) π x 11 ) 1 n J n x ) np R/a [u ) x npj n x np R/a ) ] R + u φ R a la parte di u φ si annulla perché viene /a che viene zero, la parte di u R è una forma indeterminata in quanto è / e quindi si deve usare il seguente limite J 1 α x) lim = α x x J 1 x 11 lim R/a) = x 11 R R a Questo è l unico limite delle funzioni di Bessel che si comporta così, da J x p R/a ) in avanti tutti i limiti tendono tutti a zero provato con mathematica)!!!!! 1 lim R J 1 x 11 ) π x 11 ) 1 )u R n J n x np R/a ) R 3

33 9 Guida d onda Circolare e 11 max = 1 J 1 x 11 ) ) x 11 π x a 11 ) 1 9. Modi T M np p, H Z =, campo magnetico longitudinale nullo) 9..1 Lunghezze d onda caratteristiche λ c dei modi TM κ np = x np a λ np = πa x np p, n =, 1,... p \ n ,45 3,83 5,136 6,38 7,588 8,771 5,5 7,16 8,417 9,761 11,65 1, ,645 1,173 11,6 13,15 14,37 / 4 11,79 13,34 14,796 / / / Tabella 9.4: Tabella di x np p \ n , 613 a 1, 64 a 1, 3 a, 985 a, 88 a, 716 a 1, 138 a, 896 a, 746 a, 644 a, 568 a, 59 a 3, 77 a, 618 a, 541 a, 483 a, 437 a / 4, 533 a, 47 a, 45 a / / / Tabella 9.5: Tabella di λ np Un modo si propaga se λ np > λ λ = c f ε r se la guida non contiene alcun dielettrico ε r = 1. 33

34 9 Guida d onda Circolare 9.. Vettori modali e, h dei modi TM X J 1 x p ) J x 1p ) J 3 x p ) J 4 x 3p ) J 5 x 4p ) J 6 x 5p ) p=1,5191,47,3396,983,684,455 p= -, ,714 -,494 -,318 -,174 p=3,717,497,34,183,64 / p=4 -,34 -,183 -,65 / / / Tabella 9.6: Tabella di J n+1 x np ) e np = ξn /π J { n x np R/a) cos nφ u R J n+1 x np ) a sin nφ { + u n J n x np R/a) sin nφ φ x np R cos nφ ) h np = { ξn /π n J n x np R/a) sin nφ u R J n+1 x np ) x np R cos nφ + u φ J n x np R/a) a { cos nφ sin nφ ) ξ n = { = 1 se n = = se n 9.3 Impedenza caratteristica Quando il modo si propaga l impedenza caratteristica è reale, quando si ha a che fare con il dielettrico si devono usare al posto delle lunghezze d onda le frequenze, in modo da mettere i valori della frequenza nel dielettrico Modi TM Z c = Z = λ / ) ε η 1 r per λ λ / ε r < λ c Il modo si propaga C λ / ) ε jη r 1 per λ λ / ε r > λ c Il modo non si propaga C 9.1) 34

35 9 Guida d onda Circolare 9.3. Modi TE η λ / ) per λ / ε r < λ c Il modo si propaga ε 1 r λ C Z c = Z = jη λ / ) per λ / ε r > λ c Il modo non si propaga ε r 1 λ C 9.4 Campo dei modi TE Per la Z c vedere equazione ) V z) = V e jβ z Iz) = V z) Z C Campo elettrico dei modi TE Ex, y, z) = V z) e [ V m ] 9.4. Campo magnetico dei modi TE H x, y, z) = Iz) h + j κ np ηk V z)ϕ npu Z k = πf c = π λ κ np = x np a ξ n ϕ np = x ) ) x npj n x np R/a ) ) π np n a J n x np ξ n = 9.5 Campo dei modi TM Per la Z c vedere equazione 9. { = 1 se n = = se n { cos nφ sin nφ p V z) = V e jβ z Iz) = V z) Z C 35

36 9 Guida d onda Circolare Campo elettrico dei modi TM Ex, y, z) = V z) e + j ηκ np k Iz)Ψ npu z k = πf c = π λ [ ] V m Ψ np = { ξn /π J n+1 x np ) Jn x np R/a) cos nφ a sin nφ p κ np = x np a 9.5. Campo magnetico dei modi TM 9.6 Attenuazione H x, y, z) = Iz) h Attenuazione dovuta al conduttore η = η / ε r α c = R S 1 + eπz/η Z 4πa [ nep ] m 9.6. Attenuazione dovuta al dielettrico in caso di propagazione del modo) In questo caso l attenuazione è dovuta solo al dielettrico reale, se si parla di dielettrico ideale queste perdite si annullano. ATTENZIONE, se non si parla in maniera esplicita di θ e non guardare neanche la tabella seguenta Dielettrico ε θ e [rad] Allumina 9, 6 1, 4, Quarzo fuso 3, Ossido di Berillio 6, RT-duroid T M 588, 16, RT-duroid T M 61 1, 1, Polietilene puro, α d = θ e /! β 1 λ λ c εr 36

37 9 Guida d onda Circolare λ g = λ / ε r λ / ) ε 1 r λ c ) 1 λλc β = π λ = π λ g Attenuazione se il modo non si propaga) α d = π ) λc [nep ] 1 λ c λ m β = θ e / λλc ) 1 α d per la formula di θ e si veda l equazione Potenze nella guida circolare Attenzione queste potenze fanno riferimento ad un guida circolare senza superfici di discontinuità al suo interno. Se ce ne fossero si faccia riferimento al capitolo sulle strutture periodiche Potenza al carico adattato con conduttore non ideale P z) = Σ V e αc)z = P max e αc)z Z c nel caso in cui ci fosse attenuazione anche da dielettrico P z) = Σ V Z c e α C+α d )z = P max e α C+α d )z Densità di potenza per unità di lunghezza W c = α c P 9.7. Potenza al carico adattato con conduttore ideale Questa potenza è uguale alla potenza in z=. P = Σ V c = Σ Z c I Z c 37

38 9 Guida d onda Circolare Potenza con carico disadattato P L = P inc 1 Γ ) ROS = 1 + Γ 1 Γ = Z L Z 9.3) Γ L = Z L Z Z L + Z 38

39 1 Cavo coassiale 1.1 Impedenza Z = 6 εr ln R e R i 1. Campo nel cavo coassiale Quando si propaga solo il modo TEM il modo TEM ha frequenza di taglio=, passa sempre) E = E max = V z) R ln R e /R i ) u R V max R i ln R e /R i ) R non è una resistenza ma una unità di lunghezza che sta ad indicare il punto di massimo del campo, questo si trova nel punto R=R i. H = Iz) πr u φ Iz) = V z) Z C Il primo modo superiore è il modo T E 11 la cui lunghezza d onda caratteristica è: λ 11 π R e + R i ) Il primo modo TM è il T M 1 la cui lunghezza d onda caratteristica è: λ 1 R e R i ) 1.3 Vettori modali e = 1 R ln R e /R i ) u R h = 1 πr u φ 39

40 1 Cavo coassiale 1.4 Potenza Potenza massima P max = V max = I max Z Z 1.4. Densità di potenza W = αp Densità superficiale di potenza sul conduttore interno o esterno per il conduttore interno J s vale W sup = R s J s per il conduttore esterno J s = I max πr i Potenza dovuta a perdite J s = I max πr e P = P max e αc+α d)z 1.5 Attenuazione δ = 1 πf µ σ [m] Nella propagazione: R S = 1 δσ = πf µ σ [Ω] α c = R s Z 1 + eπz/η 4πR e α d = πθ e λ 4

41 1 Cavo coassiale 1.6 Capacità e induttanza per unità di lunghezza del cavo C = πε ε r ln R e /R i ) L = µ π ln R e/r i ) 41

42 11 Linee come elementi circuitali 11.1 Impedenza d ingresso, fattore di riflessione Il coefficiente di riflessione Γ è un valore che varia da -1 a +1 quindi il massimo dell onda stazionaria si avrà per Γ I = 1 e il minimo per Γ I = 1. Γ L = Z L Z Z L + Z per calcolare il coefficiente di riflessione d ingresso, se la lunghezza della linea è d si fa: dove: Γ I = Γ L e γd = Γ L e αd e j4πd/λ γ = α + j π λ Z I = Z Z L + Z tanh γd Z + Z L tanh γd P = P inc 1 Γ ) La potenza trasportata dall onda incidente è: Se la linea senza perdite α = P inc = V inc Z e αz 4

43 11 Linee come elementi circuitali Figura 11.1: Grafici dell onda stazionaria ROS = V max V min = I max I min = R max R min = 1 + Γ 1 Γ R max = Z ROS R min = Z /ROS V max = V inc 1 + Γ ) V min = V inc 1 Γ ) I max = V max Z P max = V max Z ROS Qeste formule sono utili per valutare, la massima potenza trasmissibile per un dato valore di ROS prodotto al carico per una data linea la potenza è massima quando il ROS è minimo ROS=1, linea adattata) 43

44 11. Linea adattata La condizione di adattamento è: 11 Linee come elementi circuitali Z L = Z Se la linea è senza perdite il rapporto di onda stazionaria sarà: ROS = 1 Γ L = corrente e tensione hanno ovunque la stessa ampiezza. L impedenza vista in una qualsiasi sezione del circuito è sempre uguale all impedenza caratteristica. Z I = Z Tensione e Corrente V = V inc e αz e jπz/λ I = V inc Z e αz e jπz/λ 11.. Potenza P inc = V inc z a αz le potenze in ingresso e in uscita sono legate da P L = P I e αd 11.3 Linea in cortocircuito In questo caso Z L = 44

45 11 Linee come elementi circuitali Coefficiente di riflessione Γ L = Impedenza Z I = Z tanh γd = Z sinh αd + j sin 4πd/λ cosh αd + cos 4πd/λ Se la linea è senza perdite α =, l impedenza è puramente reattiva: Z I = Z tanh γd = Z tanh j πd λ g = jz tan πd λ g = jz tan πfd c dove λ g è la lunghezza d onda del modo che si propaga, in aria vale λ g = λ ) 1 λλc si noti che se il modo si propaga in un dielettrico si deve usare questa formula λ g = λ / ε r λ / ) ε 1 r λ c il λ c è la lunghezza d onda caratteristica della guida tipo λ Corrente e tensione V = jv inc sin πz λ I = V inc Z cos πz λ 11.4 Linea a vuoto 45

46 11 Linee come elementi circuitali Impedenza jz Z I = tan πfd c ) Coefficiente di riflessione Γ L Γ L = Tensione e corrente V = V inc cosh γz se la linea è senza perdite si avrà: V = V inc cos πz λ I = V inc Z I = jv inc Z sinh γz sin πz λ 11.5 Linea λ/ senza perdite Si usa nel caso in cui si voglia che ad un carico adattato arrivi la massima potenza, perchè come si nota non mi cambia l impedenza di carico al suo ingresso. Z I = Z L Γ I = Γ L 11.6 Linea λ/4 senza perdite Γ I = Γ L Z I = Z Z L 11.7 Insertion Loss Perdite d inserzione) Le perdite di inserzione sono definite come: Instertion Loss = 1 Γ ) 46

47 11 Linee come elementi circuitali 11.8 Induttore e condensatore, breve ripasso Induttanza Capacità Impedenza Z L = jωl Ammettenza Y L = j ωl Impedenza Z C = 1 jωc Ammettenza Y C = jωc 47

48 1 Strutture periodiche 1.1 Matrice di trasmissione Una struttura periodica è una struttura formata da celle elementari che si ripetono. La matrice di trasmissione di un tronco di linea è: [ cosh γd Z sinh γd [a] = cosh γd sinh γd Z γ = α + jβ ] 1.1) α e β dipendono dall elemento di linea presente guida circolare, rettangolare, semplice dielettrico, plasma, ecc.., in questo caso bisogna guardare le formule di α e β proprie del mezzo di propagazione). γ = α + j πf c = α + j π λ N.B. se siamo nel dielettrico come al solito λ = λ / ε r. γd = α + j πf ) d = α + j π ) d c λ Se il tronco di linea è senza perdite α = [a] = [ cos πfd c j 1 Z sin πfd c jz sin πfd c cos πfd c ] dove si può mettere per semplificare i conti θ = βd = πfd c. Se ci sono N quadripoli in cascata: [a tot ] = [a 1 ] [a ] [a 3 ]... [a N ] 48

49 1. α e β nei vari mezzi 1 Strutture periodiche 1..1 Propagazione nel vuoto α = β = πf c = π λ η = 377 Ω 1.. Propagazione nei dielettrici a bassa perdita θ e ε ε 1.) θ m 1.3) n = ε β = π λ = π λ ε α = β θ e = πθ e λ ε η = η ε 1..3 Propagazione nel plasma isotropo ε 1 ω p ω ε 1.4) N dipende dal tipo di plasma. f p = 8.97 N α = πf c fp ) 1 β = η = f fp jη ) 1 f se f < f p α = β = se f = f p α = β = πf ) fp c 1 η = f ) fp 1 η f se f > f p 49

50 1 Strutture periodiche sotto la frequenza di plasma non si ha trasporto di energia. Il coefficiente di riflessione si calcola come: n = 1 ) fp f 1.3 Coefficienti di trasmissione e di riflessione Interfaccia tra tre o più mezzi Figura 1.1: Linea di trasmissione a più strati [ a11 a [a] = 1 a 1 a ] il coefficiente di riflessione sarà: il coefficiente di trasmissione sarà: Γ 1 = a 11η N + a 1 η 1 η N a 1 + a ) a 11 η N + a 1 + η 1 η N a 1 + a ) 1.5) T 1 = per le potenze si può quindi fare: η N a 11 η N + a 1 + η 1 η N a 1 + a ) 1.6) P 1) rifl = P 1) inc Γ 1 5

51 1 Strutture periodiche P N) trasm = P 1) inc T 1 Figura 1.: figura con due mezzi che riflettono una porzione d onda W 1) i è la potenza che incide nel primo mezzo, ed è il termine noto W 1) r = W 1) i Γ 1 W 1) t = W 1) i W r 1) = W 1) i W 1) i Γ 1 = W 1) i 1 Γ 1 ) W r ) = W 1) t Γ 3 ) = W 1) i 1 Γ 1 ) Γ 3 ) W ) t = W 1) t W r ) = W 1) t W 1) t Γ 3 ) = = W 1) i 1 Γ 1 ) W 1) i 1 Γ 1 ) 1.3. Interfaccia tra due soli mezzi Γ 3 ) = W 1) i 1 Γ 1 ) 1 Γ 3 ) Questi esempi mostrano, nel caso di interfaccia tra due soli mezzi, alcuni fattori di trasmissione e riflessione calcolati a partire dall indice di rifrazione, sapendo che: Γ 1 = η η 1 η + η 1 T 1 = 1 + Γ 1 = η η 1 + η η = η ε = η n 51

52 1 Strutture periodiche Interfaccia tra due dielettrici a bassa perdita I due dielettrici hanno rispettivamente n 1 ed n come coefficienti di riflessione, e si ottengono Γ 1 = n 1 n n 1 + n T 1 = n 1 n 1 + n Interfaccia fra dielettrico e plasma Il plasma non permette la propagazione se si è al di sotto della f p pertanto in questo caso T 1 sarà immaginario 1 e Γ 1 = Interfaccia fra dielettrico e conduttore metallico Γ 1 = j) n 1R s /η j) n 1 R s /η T 1 = 1 + j) n 1R s /η j) n 1 R s /η siccome il rapporto R s /η è sempre molto piccolo posso scrivere Γ j) n 1R s η T j) n 1R s η Nel caso di metalli ad alta conducibilità, quasi tutta la potenza viene logicamente riflessa per esempio per rame, argento e alluminio fino ad un centinaio di GHz, la potenza trasmessa è 1/1 della potenza incidente. Per non avere trasmissione basta che lo spessore del conduttore sia maggiore dello spessore della pelle es >5δ). 1.4 Elementi di linea Elemento di linea con perdite α [ cosh γd Z sinh γd [a] = cosh γd sinh γd Z ] 1 Per approfondimenti pagina 84 libro vecchio 5

53 1 Strutture periodiche Elemento di linea senza perdite α = [a] = [ cos πfd c j 1 Z sin πfd c jz sin πfd c cos πfd c ] Impedenza in serie [a] = [ 1 Z 1 ] Impedenza in parallelo [a] = [ 1 Y 1 ] Mutua induttanza [a] = [ n 1 n ] Stub cortocircuitato, in parallelo [a] = [ jz tan πfd c ] Per uno Stub in parallelo si prende l elemento di linea con l impedenza in parallelo, quindi [a] = [ 1 Y 1 al posto di Y si mette la conduttanza dello stub che altro non è che [1/l impedenza] di una linea cortocircuitata quindi: ] Z = jz tan πfd c 53

54 1 Strutture periodiche [a] = [ jz tan πfd c ] 1.5 Relazione di dispersione La relazione di dispersione serve per vedere la larghezza di banda in cui, in una struttura periodica, si ha trasmissione di potenza. si ricorda che cosh γd = a 11 + a γd = α + jβ) d β = π λ dove α è l attenuazione e β è la costante di fase. Casi Caso I ) a11 + a > 1 Caso II Propagazione 1 a ) 11 + a +1 Caso III ) a11 + a < 1 γd = ±αd = ±arccosh a 11 + a γd = ±jβd = ±j arccos a 11 + a A centro banda γd = ± αd + jπ) = ±arccosh a 11 + a α = d 1arccosh a 11 + a β = d 1 arccos a 11 + a α = d 1arccosh a 11 + a L impedenza caratteristica delle strutture periodiche Z c è Z c = a 1 ) a11 a 1 + sinh γd ATTENZIONE il γd argomento del sinh si deve ricavare dalla tabella! Il caso di riferimento è il Caso I per calcolare le frequenze estreme della prima banda di propagazione impongo cosh γd = a 11 + a = 1 = cos qualsiasi cosa 1 ) + sin qualsiasi cosa 1 ) 54

55 1 Strutture periodiche cosh γd = a 11 + a = 1 = cos qualsiasi cosa 1 ) sin qualsiasi cosa 1 ) 1.7) da queste uguaglianze ricavo le frequenze estreme della banda in cui si ha trasmissione di energia Esempio di conto con tronco senza perdite: Se θ 1 = θ Trovo [a] = [ [a] = [ trovo che a 11+a è θ = πfd c ] [ cos θ 1 jz 1 sin θ 1 j 1 Z 1 sin θ 1 cos θ 1 ] cos θ jz sin θ j 1 Z sin θ cos θ cos θ 1 Z 1 Z sin θ 1 jz 1 cos θ 1 sin θ 1 + jz cos θ 1 sin θ 1 j cos θ 1 sin θ 1 Z 1 + j cos θ 1 sin θ 1 Z cos θ 1 Z 1 Z sin θ 1 a 11 + a = 1 cos θ 1 Z 1 sin θ 1 Z ) sin θ 1 + cos θ 1 Z Z 1 Ora per calcolare le frequenze estreme di θ 1 devo imporre che tale espressione sia uguale a ±1 δ = o δ = π) 1 cos θ 1 Z 1 sin θ 1 Z ) sin θ 1 + cos θ 1 = Z Z 1 1 cos θ 1 Z 1 sin θ 1 Z ) sin θ 1 + cos θ 1 = 1... Z Z 1 e trovo le due frequenze. La frequenza di taglio della prima banda è il più piccolo valore di frequenza che soddisfa la relazione 1.7. Al centro della banda si ha la frequenza di taglio/ Esempio di conto con una induttanza L pongo ] dopo aver fatto il conto di a 11 + a A = πd c pongo questo prima a -1 e poi a +1, e trovo 55

56 1 Strutture periodiche cos Af sin Af + Z cos Af sin Af = 1 πfl quindi sapendo che cos Af + sin Af = 1 cos Af sin Af + Z πfl cos Af sin Af = cos Af sin Af cos Af + Z cos Af sin Af = πfl cos Af = Z cos Af sin Af πfl cos Af = Z sin Af πfl cos Af sin Af = Z πfl tan Af = 4πfL Z tan 4, f ) = 5, f ora semplifico il 1 9 ponendo che la frequenza sarà in GHz tan 4, 18f) = 5, 4f e ora disegno un grafico approssimato dell andamento di questi due grafici la tangente e la retta) Per il disegno del primo pongo di volta in volta y = tan 4, 18f) 4, 18f = π + nπ 4, 18f = π + nπ per vedere quando la funzione va ad infinito e a zero, e ottengo la seguente figura per n=1, n=) con sovrapposta la retta del secondo grafico y = 5.4f 56

57 1 Strutture periodiche e vedo che la prima volta in cui i due grafici coincidono è poco dopo.37, vado per tentativi.38,.39,.4, ecc.) e trovo che il valore migliore è f =.47 GHz faccio così anche per a 11 + a equazione = 1, faccio tutti i conti e devo verificare la seguente tan 1 4, 18f) = 5, 4f disegno il grafico della cotangente e della retta 57

58 1 Strutture periodiche e vedo che i due grafici si toccano per la prima volta in un punto minore di.37 e quindi procedo con le prove e ottengo come migliore delle soluzioni f =.191GHz Questi due, lo ricordo, sono i valori estremi della prima banda in cui vi è trasmissione di energia!! 1.6 Cavo coassiale con gap periodici Figura 1.3: Cavo coassiale con gap periodici la tratta lunga d di questo cavo è riconducibile a questa linea 58

59 1 Strutture periodiche Figura 1.4: Cella elementare del cavo coassiale con gap La matrice di dispersione di tale cella sarà se l attenuazione è nulla, quindi cavo coassiale in aria) [ a11 a 1 a 1 a ] cos βd = βd sin j Z jz sin βd cos βd [ j 1 ωc 1 ] cos βd βd sin j Z jz sin βd cos βd 59

60 13 Cavità Risonante 13.1 Modi T M npq, q=, 1,,... λ npq = c = π f ris k npq = π κ ) Modi T M npq qπ np) + d per il valore di κ np devo guardare il valore della guida corrispondente circolare rettangolare...). dove E = A i e jϕ E npq A c = f ris = u ε ε r dove u è l energia immagazzinata dal modo. c λ ris,modi A una costante reale) [ ] V m A i = A c e πf ris/q)t E npq = ξq /d e qπ qπz np sin d d k npq u zκ npψ np cos qπz ) d ξ q = { 1 se q = se q κ k c = k npq ) = qπ np + d ) Dove d è la lunghezza della cavità risonannte, per i valori di e np, κ np, Ψ np bisogna guardare le tabelle delle guide rettangolari o cilindriche a seconda della forma della cavità risonante. H = j A ie jϕ H η npq A una costante reale) 6

61 13 Cavità Risonante A c = u ε ε r A i = A c e πf ris/q)t H i = H npq = ξ q d h np cos qπz d ξ q = { 1 se q = se q per h np bisogna guardare le tabelle delle guide rettangolari o cilindriche a seconda della forma della cavità risonante. Quando l indice q= i modi sono indipendenti da z, il campo elettrico è assiale e il campo magnetico è trasversale e inoltre k npq = κ np, le frequenze di risonanza dei T M np coincidono con le frequenze di taglio dei modi T M np e non dipendono da d. 13. Modi T E npq, q λ npq = c = π f ris k npq = π κ ) Modi T E npq qπ np) + d per il valore di κ np devo guardare il valore della guida corrispondente circolare rettangolare...). f ris = c λ ris,modi k c = k npq = κ ) qπ np) + d Dove d è la lunghezza della cavità risonannte, per κ np bisogna guardare le tabelle delle guide rettangolari o cilindriche a seconda della forma della cavità risonante. Dove E = A i e jϕ E npq A una costante reale) A c = u ε ε r 61

62 13 Cavità Risonante dove u è l energia immagazzinata dal modo. A i = A c e πf ris/q)t E npq = d e np sin qπz d per e np bisogna guardare le tabelle delle guide rettangolari o cilindriche a seconda della forma della cavità risonante. H = j Aejϕ η H npq A una costante reale) H i = H npq = d 1 k npq h qπ qπz np cos d d u zκ npϕ np sin qπz ) d per κ np, h np, ϕ np bisogna guardare le tabelle delle guide rettangolari o cilindriche a seconda della forma della cavità risonante Modi T EM q, q λ q = c = π f ris kq = d q Modi T EM qq ) f ris = c λ ris,modi k c = k q = qπ d q dove E = A i e jϕ E q A una costante reale) A c = dove u è l energia immagazzinata dal modo. u ε ε r A i = A c e πf ris/q)t E q = Z ηd e sin qπz d 6

63 13 Cavità Risonante per e si guardi il vettore modale della guida coassiale. e = 1 R ln R e /R i ) u R H = j A ie jϕ H η q A una costante reale) H i = H q = η Z d h cos qπz d per h si guardi il vettore modale della guida coassiale. h = 1 πr u φ 13.4 Energia immagazzinata da una cavità u = Q w π f ris dove il w rappresenta o la potenza erogata dalla sorgente o la somma della potenza dissipata dalle pareti w c e dal dielettrico w d della cavità, Q è il fattore di merito. w = w c + w d w c = R sa c η S H i ds w d = πf risε ε r θ e A c 13.5 Fattore di merito In generale Q = R s ηk c S 1 H i ds + θ e ξ q = { 1 se q = se q H i e k c dipendono dal tipo di cavità risonante, nei modi TM: 63

64 13 Cavità Risonante κ k c = k npq ) = qπ np + d dove k np dipende dalla forma della guida rettangolare, cilindrica...) Cavità a guida d onda circolare ) si ricorda che κ k c = k npq ) = qπ np + d ) ho q= e quindi k c = κ np = x np a per i modi TM di una cavità risonante si ha H i = H npq = ξ q = ξq d h np cos qπz d { 1 se q = se q H 1 = nella guida circolare il vettore modale h è: h 1 = il fattore modale del T M 1 si trova facendo: 1 d h 1 1 J 1 x 1 R/a) 1 π aj 1 x 1 ) u 1 φ = π a S V H 1 ds v = 1 d P arete rotonda1 h 1 ds+ 1 d P arete rotonda h 1 ds+ 1 d parete laterale h 1 ds = sviluppando viene 64

65 13 Cavità Risonante = 1 d + 1 d π a π d = 1 π 1 d π a h R, φ, ) R drdφ + 1 d h a, φ, z) a drdz = a R dr + 1 π d π = da a + da a + 1 d π π π a 1 a a R dr + 1 π d π 1 a ad = d + a Il fattore di merito si calcola con questa formula e quindi Q = R s ηk c S H i ds + θ e h R, φ, d) R drdφ + 1 d a a 1 dz = Q 1 = εr R s 1 + a/d) η x 1 + θ e ) 1 Se voglio trovare H S V 11 ds v devo fare: h 1 J 1 x 1 R/a) 1 = π aj 1 x 1 ) u φ = H i = H npq = 1 1 π a ξq d h np cos qπz d { 1 se q = ξ q = se q H i = H 11 = d h 1 cos πz d = 1 πz cos dπ a d ora come al solito per la guida circolare S V H 11 ds v = 1 d P arete rotonda1 h 1 ds+ 1 d P arete rotonda h 1 ds+ 1 d parete laterale h 1 ds = 65

66 13 Cavità Risonante sviluppando viene = d + d π a π d = π 1 d π a h R, φ, ) R drdφ + d h a, φ, z) a drdz = a R dr + π d π = 4 da a + 4 da a + d π π π a 1 a a R dr + π d π 1 a a d = 4 d + 4 a Cavità a cavo coassiale Modi TEM) h R, φ, d) R drdφ + 1 d a a cos πz d dz = Ad esempio per il modo T EM 1 H 1 = η Z d h cos πz d h = 1 πr u φ per il calcolo del fattore di merito ho bisogno di fare l integrale di H: si noti che: H ds V = S V π R e S V η Z d h cos πz d 1 πr ds V h R drdφ = Z η R i per tutti i TEM vale lo stesso identico integrale di H: 66

67 13 Cavità Risonante S V H i ds V = d Ri + log R e /R i ) R 1 ) e Poi il Q cambia a seconda di k c e quindi dell indice q questo è il fattore di merito del T EM 1 : Q = R s ηk c S H i ds + θ e 1 k q = qπ d q Q = Rs d πη S V H ds V ) 1 = Rs d πη 4 d ))) 1 log R e /R i ) R i R e Questa è la formula generica del fattore di merito nel caso di cavità coassiale Q = Rs 4 ηk c d + 1 1Ri + log R e /R i ) R 1 ) ) ) 1 + θ e e Esempio di conto del fattore di merito Con questa formula calcolo il campo magnetico nelle due facce del cilindro: S V H ds V = π R e H R, φ, ) ds + R i π R e H R, φ, d) ds R i ora manca le due superfici laterale una del cilindro di raggio R e e l altra del cilindro di raggio R i ) 67

68 13 Cavità Risonante H ds V = S V mettendo tutto insieme π d H R i, φ, z) ds + π d H R e, φ, z) ds S V H ds V = η Z d π R e = 4 d + η ) πz R i R e 13.6 Cavità rettangolare h R i, φ, ) R drdφ+ η Z d R i = 4 d + 1 log R e /R i ) R i + 1 R e ) d πr i πr e = 4 d + π ) = π 6 log R e /R i )) R i R e ) 1 cos πz d dz = k c = π λ c Ad esempio per il modo T M 11 4ab h 1 πx πx 11 = a + b u x sin cos b a b u y cos πx ) πx sin a b si noti che a b h 11 dxdy = 1 per i modi TM H i = H npq = ξ q = ξq d h np cos qπz d { 1 se q = se q 68

69 13 Cavità Risonante quindi per cui S v H 11 ds v = 1 d d a H 11 = 1 d h 11 h 11 x, ) dzdy + 1 d a h 11 x, b) dzdy+ d + 1 d d b h 11, y) dzdy+ 1 d b d Q = h 11 a, y) dzdy+ 1 1 d d = 4 a 3 + b 3) ab a + b ) + d R s ηk c k c = π λ c S H i ds + θ e 1 a b h 11 x, y) dxdy = 13.7 Simmetria dei modi della cavità coassiale chiusa alle estremità 69

70 13 Cavità Risonante Nel primo caso si vede che la linea può essere spezzata in due e, per i conti, si può considerare solo la prima metà con l estremità aperta, circuito aperto, la lunghezza della linea sarà un quarto d onda). Nel secondo caso si può sempre spezzare il cavo in due sulla mezzeria e considerare la prima metà con l estremità chiusa Modellizzazione di una cavità coassiale non omogenea si modellizza nel seguente modo Y + Y = L impedenza d ingresso di una linea in cortocircuito è: quindi: Z I = jz tan πf risd c Y 1 = jz tan πf ris D d) c Y 1 = jz tan πf ris d) c jz tan πf ris D d) c Z = 6 εr ln R e R i jz tan πf ris d) c = 7

71 13 Cavità Risonante Z = 6 ln R e R i Z = 6 εr ln R e R i 13.9 Altra modellizzazione cavità coassiale Y + Y = Y = jωc In totale Y = j Z tan πf ris d) c 1 tan πf = Z ris d) πf ris C c vedo le intersezioni dei due grafici e posso così trovare le varie frequenze di risonanza. 71

72 14 Guide dielettriche 14.1 lastra dielettrica Figura 14.1: Lastra dielettrica di spessore d Come si vede dalla figura c è una simmetria rispetto al piano x= quindi esistono soluzioni in cui il campo ha simmetria pari even) o simmetria dispari odd): T E o, T E e, T M o, T M e. in generale k = ω c k i i> = n i k ) β con β reale. β è la costante di fase, quindi k 1 = n 1 k ) β k = n k ) β si divide ora in tre casi Caso I < β < k n k 1 e k reali Caso II k n < β < k n 1 k 1 reale e k immaginario 7

73 14 Guide dielettriche Caso III k n 1 < β < k 1 e k immaginario Il caso 3 è un caso di propagazione impossibile!!!! u = k 1 = ν = k = Modi TE a simmetria pari Caso I - < β < k n { k n 1 β nel caso I e II) β k n 1 nel caso III) { k n β nel caso I) β k n nel caso II e III) Questi modi vengono detti modi radianti, i campi si estendo all infinito Caso II - k n < β < k n 1 Questi sono detti modi guidati, modi che hanno frequenza maggiore di quella di taglio. k = ω c [rad/m] β = k n 1 u = ν = L equazione caratteristica della lastra è: u d tan u d ) ω n1 ) u c ) k n 1 n u d = k ) n 1 ) n u d ) La frequenza di taglio del modo T E 1 è data da ω n = n ω 1 ω 1 = πc d n 1 n f 1 = c d n 1 f requenza di taglio n Il Modo T E1 e si propaga solo se la sua frequenza è maggiore di quella di taglio, il modo T E e si propaga per qualsiasi frequenza 73

74 14 Guide dielettriche alla frequenza di taglio il campo all esterno della lastra è costante e costituisce un onda piana uniforme che si propaga nel verso positivo di z. al di sopra della frequenza di taglio l onda rimane completamente confinata nella guida. le frequenze di taglio sono tanto più alte quanto minore è lo spessore della lastra tranne il modo T E e che non dipende dallo spessore della lastra Modi T E e evanescenti Si ha β = jα con k 1 e k reali. k i = n i k ) + α Esempio di esercizio faccio il conto della frequenza di taglio per vedere quali modi si propagano c f 1 = d n 1 n ora trovo la u tramite l equazione caratteristica, il calcolo non è banale si devono fare delle prove, OCCHIO ALLO SPESSORE DELLA LASTRA, il conto deve essere fatto per tentativi. u d tan u d ) d = k ) n 1 ) n u d ) Calcolo quindi β e ν che serviranno nella determinazione del campo e della potenza Campo Elettrico { M un cos u n x) e jβz all interno della lastra E y n = ) M u n cos u d n e ν x d/) e jβz fuori dalla lastra Ecco il calcolo del campo: nel caso II modo che si propaga) E 1) y = Φ1) x Φ 1) = Mφ 1) x) e jβz φ 1) x) = sin ux 74

75 14 Guide dielettriche E 1) y = Φ1) x = x M sin uxe jβz = Mu cos uxe jβz Campo magnetico β M u H x n = k η n cos u n x) e jβz all interno della lastra β ) M u k η n cos u d n e ν x d/) e jβz fuori dalla lastra Potenza Per calcolare la potenza nel dielettrico e al di fuori della lastra devo calcolare il flusso del vettore di poynting P diel = lim y y y dy d/ d/ E H ẑ dx = lim y y d/ E yhx dx = = lim y β um) y k η d/ cos u n x) dx = lim y β um) y k η d ) sin ud) 4u P diel = lim y y β um) k η d u sin ud) ) P fuori = lim y y d/ E yhx dx = lim y β um) 1 y k η ν P fuori = lim y y β um) k η 1 ν 14. Guida dielettrica a sezione circolare I modi TE e TM esistono soltanto se nell equazione caratteristica della guida di indice m= altrimenti esistono dei modi ibridi in cui prevale, in un campo elettrico o magnetico, piuttosto che nell altro, la componente longitudinale. Il modo dominante di questa guida è il modo HE 11 qui la componente longitudinale è più rilevante nel campo magnetico) che esiste anche a frequenza nulla pertanto non ha frequenza di taglio. 75

76 14 Guide dielettriche = n 1 n n 1 Viene studiato il solo caso II Figura 14.: Guida dielettrica circolare di raggio a con n < n 1 Sia per il modo T E n che per il modo T M n il valore di k corrispondente alla frequenza di taglio è x n k n) = a n 1 n per x n si vedano le tabelle nel capitolo sulla guida circolare Caso II - k n < β < k n 1 Questo è il caso dei modi guidati, modi che hanno frequenza maggiore di quella di taglio. k 1 = u = k n 1 β k = jν = β k n 76

77 15 Fibre Ottiche Valgono tutte le considerazioni fatte per la guida dielettrica a sezione circolare. Il modo dominante è sempre il modo HE 11, gli indici di rifrazione sono molto vicini come valore, per cui = n 1 n n 1 1 attenzione nella formula seguente è un w non ha nulla a che fare con la pulsazione inoltre è adimensionale w = k a n 1 n [adimensionale] dove k come nelle lastre è k = ω c = π λ u = k n 1 β v = β k n con 1 si può approssimare β = ua = w 1 b va = w b k n v k n 1 + b ) [rad/m] 15.1) Pertanto considerata una certa frequenza e calcolato il corrispondente valore di w, si legge sul diagramma il valore di b corrispondente al modo che interessa tale valore, introdotto nella equazione 15.1 permette di ricavare la costante di fase del modo alla frequenza desiderata. 77

78 15 Fibre Ottiche La velocità di fase di una fibra è pag. 55 libro vecchio) la velocità di gruppo è v f = ω β = πc λβ v g = dω dβ = ω ω β β 15.1 Potenza Risolvendo gli integrali P nucleo = n 1 η E J m ua) P mantello = n 1 η E K m va) π π cos mϕdϕ cos mϕdϕ a a r J m ur) dr r K m vr) dr 78

79 15 Fibre Ottiche P = P nucleo + P mantello = n 1 E η κ m π 1 b) δ m ) b P mantello P = 1 κ m ) b { 1 se m = δ m = se m Km w ) b κ m = w ) b w ) b K m 1 K m+1 Figura 15.1: Grafico delle funzioni K di Bessel Ma come funziona? Se voglio trovare una funzione a caso tipo K 1) vado a vedere la funzione di K, guardo sul grafico delle ordinate x il valore 1 e vedo a che valore corrisponde su y, e trovo quindi oppure K 1) =.41 K 1 1.5) =

80 16 Fasci gaussiani Un fascio di raggi paralleli che determina un illuminazione gaussiana sul piano z= ha campo E x x, y, z) = Ae x +y wz) E y x, y, z) = dove A è una costante e si suppone il campo polarizzato linearmente secondo x. L ampiezza del campo è simmetrica rispetto all origine e scende a valori a valori trascurabili a distanza w. Il fascio prodotto nella regione z> tende a divergere. In un qualsiasi punto prossimo all asse il campo sarà E x x, y, z) = A w x+y e wz) wz) e jϕ x, y, z) da questo si trova che il campo in una qualsiasi ascissa z con ϕ = sarà E,, z) = A w wz) w è la larghezza della cintura, dopo il quale l ampiezza della gaussiana è trascurabile. si noti che z è una distanza z = πw λ ) z w z) = w 1 + z con wz) trovo la larghezza del fascio in z. ϕ = π λ ) z + x + y z + z /) arctan z z 16.1 Intensità di radiazione E,, z) K = z η 8

81 16. Guadagno d antenna 16.3 Potenza 16 Fasci gaussiani g = 4πK P irradiata Per la potenza si usa il classico vettore di poynting W x, y, z) = E E x, y, z) H = η H x, y, z) η ) w [ W,, z) = W,, ) W/m ] w z) P irradiata = E x, y, z) η dxdy = A 4η πw 81

82 Indice analitico Alpha e beta nei dielettrici a bassa perdita, 49 alpha e beta nei vari mezzi, 49 Alpha e beta nel plasma isotropo, 49 Alpha e beta nel vuoto, 49 Angolo di perdita elettrico, 15 Attenuazione dovuta al dielettrico in caso di propagazione del modo), 6 Attenuazione dovuta al dielettrico se il modo non si propaga), 8, 37 Attenuazione in db, 14 Attenuazione nella guida rettangolare, 6 Campo dei modi TE nella guida rettangolare, 4 Campo dei modi TM nella guida rettangolare, 5 Campo Elettrico nella lastra dielettrica, 74 Campo magnetico nella lastra dielettrica, 75 Cavità risonante, 6 Cavo coassiale, 39 cavo coassiale con gap periodici, 58 coefficiente di riflessione, 15, 5 coefficiente di trasmissione, 5 Corrente e tensione nella linea in cortocircuito, 45 Corrente massima in una linea, 4 Dielettrici a bassa perdita, 49 Dispersività nei 3.1 metalli ad alta conducibilità, 15 Dispersività nei dielettrici, 15 Dispersività nei dielettrici a bassa perdita, 15 Dispersività nel plasma freddo senza collisioni, 15 Energia immagazzinata da una cavità, 63 Fasci gaussiani, 8 Fase dei modi guida rettangolare, circolare, coassiale ecc.), 19 Fattore di merito, 63 Fattore di merito cavità circolare, 64 Fattore di merito cavità coassiale, 66 Fattore di merito cavità rettangolare, 68 frequenze estreme di propagazione, 54 Guida Circolare, 3 Guida d onda Rettangolare, Guida dielettrica a sezione circolare, 75 Guide dielettriche, 7 Impedenza caratteristica delle strutture periodiche, 54 Impedenza caratteristica nel dielettrico, 13 Impedenza caratteristica nel vuoto, 13 Impedenza caratteristica nella guida rettangolare, 3 Impedenza del cavo coassiale, 39 Impedenza in serie, 53 Impedenza nella linea a vuoto, 46 Impedenza nella linea in cortocircuito, 45 Induttanza in parallelo, 53 Induttore e condensatore, breve ripasso, 47 Insertion Loss, 46 Interfaccia fra dielettrico e conduttore metallico, 5 8

83 Indice analitico Interfaccia fra dielettrico e plasma, 5 Interfaccia tra due dielettrici a bassa perdita, 5 Interfaccia tra due soli mezzi, 51 larghezza di banda, 54 Lastra dielettrica, 7 Linea a mezz onda senza perdite, 46 Linea a vuoto, 45 Linea adattata, 44 Linea in cortocircuito, 44 Linea quarto d onda senza perdite, 46 Linee come elementi circuitali, 4 lugnhezza d onda del modo, 18 lunchezza d onda nel vuoto, 18 lunghezza d onda nel dielettrico, 18 massima potenza trasmissibile per un dato ROS, 43 Matrice di trasmissione, 48 Modellizzazione di una cavità coassiale non omogenea, 7 Modi TE nella lastra dielettrica, 73 modo dominante guida rettangolare, Moltiplicazione tra matrici, 14 Mutua induttanza, 53 Potenza con carico disadattato nella guida rettangolare, 9 Potenza in z= nella guida rettangolare, 8 Potenza nella fibra ottica, 78 Potenza nella lastra dielettrica, 75 Potenza nella linea adattata, 44 Relazione di dispersione, 54 ROS, 9, 38, 4 Strutture periodiche e matrici di trasmissione, 48 Stub, 53 Tensione e corrente nella linea a vuoto, 46 Tensione e corrente nella linea adattata, 44 Tensione massima in una linea, 4 Tensione minima in una linea, 4 valori estremi di banda, 58 velocità di fase, 78 Velocità di fase di un modo che si propaga, 14 velocità di gruppo, 78 Perdite d inserzione, 46 Permeabilità elettrica nel vuoto, 13 Permeabilità magnetica nel vuoto, 13 plasma, 49, 5 Polarizzazione Circolare Destrogira del campo, 17 Polarizzazione Circolare Levogira del campo, 17 Polarizzazione Ellittica del campo, 17 Polarizzazione Lineare del campo, 17 Potenza al carico adattato con conduttore non ideale nella guida rettangolare, 8 Potenza al carico se tutto il circuito è adattato con conduttore ideale in aria nella guida rettangolare, 8 83