Minimi quadrati: introduzione alla compensazione

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1 Minimi quadrati: introduzione alla compensazione Osservazioni ripetute di massima precisione della stessa quantità forniscono risultati differenti quindi esse non sono fenomeni deterministici ma stocastici: possono essere modellizzate mediante variabili casuali Un modello appropriato per la loro descrizione è la distribuzione gaussiana, completamente definita dalla media e dalla covarianza ( µ e C ) xx

2 f ( x)= 1 ( 2π ) n/2 ( detc ) xx n/2 e 1 2 x µ x ( ) T C 1 xx ( x µ x ) normalmente distribuite. Osservazioni topografiche e geodetiche sono acquisite per stimare posizioni di punti in un sistema di riferimento assegnato. Osservazioni topografiche e geodetiche sono sempre di alta precisione e possono essere descritte come variabili casuali

3 Assegnato X0Y (SR 2D), mediante misure di distanze e angoli, possono essere determinate le coordinate di punti. Da un punto di vista geometrico, il numero minimo necessario di osservazioni per determinare posizioni è univocamente definito.

4 Sorgono due problemi Le stime delle posizioni dipendono dagli errori di osservazione Gli errori non possono essere controllati Soluzione le posizioni dei punti sono modellate come variabili casuali (normalmente distribuite): le accuratezze devono essere determinate insieme alle posizioni Sono necessarie osservazioni ridondanti per effettuare le crossvalidazioni Osservazioni ridondanti permettono la valutazione degli errori e delle accuratezze

5 L'effetto di osservazioni ridondanti Data l'altezza H del punto 1, devono 1 essere determinate le altezze H, 2 H. 3 Da un punto di vista puramente geometrico, due osservazioni sono necessarie e sufficienti, per esempio ΔH 12, ΔH 0 23 : 0 H =H +ΔH H =H +ΔH + ΔH Il pedice o indica il valore dell'osservazione che, rispetto all'osservabile, contiene il relativo errore.

6 Ogni errore ε nelle osservazioni ΔH 12 e ΔH 0 23 si propaga 0 direttamente nelle stime H e 2 H : 3 Ĥ 2=H 1+ΔH 12+ε 12 Ĥ =H +ΔH + ε + ΔH + ε Introduciamo l'osservazione ridondante ΔH 31

7 Condizioni geometriche ΔH 12 + ΔH 23 + ΔH 31 = 0 Gli errori di osservazione ΔH + ΔH + ΔH = ε ε è l'errore di chiusura e fornisce una stima empirica dell'errore di misura ε= ε + ε + ε Nota che ε può essere calcolato, mentre gli errori individuali restano incogniti.

8 Secondo problema Le quote stimate dipendono dal percorso * ΔH 12 = ΔH 12 0, ** Δ H12 = ΔH31 Δ H , * ** ΔH ΔH Una possibile soluzione L'errore di chiusura ε viene distribuito fra tutte le osservazioni in modo che le loro stime a posteriori soddisfino le condizioni geometriche ΔĤ12 + ΔĤ23 + ΔĤ31 = 0 e che le stime delle quote siano univoche

9 Posizione algebrica del problema 2 incognite H, 2 H in 3 osservazioni 3 ΔH 12 0, ΔH 23 0, ΔH equazioni di osservazione H2 H 1 = ΔH12 s = H3 H 2 = ΔH23 H1 H 3 = ΔH31 che sono completamente equivalenti a un'equazione di condizione (la somma delle tre) ΔH + ΔH + ΔH = che non è soddisfatta dalle tre osservazioni Il sistema di 3 equazioni in 2 incognite è algebricamente impossibile quando vengono inserite le osservazioni

10 H H = ΔH s = H H = ΔH H H = ΔH Infatti ogni equazione dipende linearmente dalle altre due a sinistra, ma non a destra per la presenza degli errori

11 Quindi vengono introdotte 3 incognite, ε 12, ε 23, ε 31, che rappresentano le correzioni da applicare alle osservazioni per ottenere i loro valori calcolati a posteriori ΔH ˆ ˆ ˆ 12, ΔH23, Δ H31 che soddisfano il precedente sistema. Il nuovo sistema è algebricamente sottodeterminato H 2 H 1 = ΔH 12 ε 0 12 ŝ = H 3 H 2 = ΔH 230 ε 23 H 1 H 3 = ΔH 310 ε 31 5 incognite H, 2 H, 3 ε 12, ε 23, ε e solo 3 equazioni 31

12 Quindi si devono aggiungere 2 ulteriori equazioni per costruire un sistema con soluzione algebrica univoca. Le 2 equazioni sono ottenute imponendo una condizione (arbitraria) sulle incognite la condizione fornisce un criterio per distribuire l'errore di chiusura e pone un principio di stima

13 Un esempio di principio di stima Ripartizione uguale dell'errore di chiusura ε ε 12 =ε 23 =ε 31 = 3 Osservazioni ricalcolate: stime delle osservabili Δ Ĥ =ΔH ε Δ Ĥ =ΔH ε Δ Ĥ =ΔH ε Quote calcolate: stime dei parametri H ˆ 2=H ˆ 1+ΔH 12 H ˆ =H +ΔH ˆ

14 Note Lo scopo della compensazione di rete: la stima dei parametri (posizioni) a partire da osservazioni ridondanti mediante applicazione di un principio di stima Inoltre, stima dell'accuratezza dei parametri Minimi quadrati: principio di stima usualmente adottato nella compensazione di reti.

15 Principio dei minimi quadrati Proprietà generali Non dipende dalla distribuzione di probabilità delle osservazioni Stime di minima varianza nella classe degli stimatori lineari e corretti I parametri e le loro accuratezze vengono calcolati in forma chiusa Mediante simulazione, possono essere predette le accuratezze finali dei parametri a partire dalle precisioni delle osservazioni I minimi quadrati non forniscono stime robuste

16 Minimi quadrati: dati y : vettore delle osservazioni (dimensione m), estratto dalla 0 variabile casuale y(osservabili), definito nello spazio m R n y deve appartenere a un sottospazio lineare V ( y V m dimensione n m in R (modello funzionale lineare) n ) con la covarianza di y è nota a meno di un fattore di proporzionalità 2 σ (chiamata anche varianza a priori) 2 C = σ Q (modello stocastico) yy

17 Minimi quadrati: obiettivi La stima ŷ di y tale che y V n La stima Cyy = σˆ 2 Q C yy ˆˆ di Principio di stima 2 C yy, ovvero la stima di σ dato Q ( y y) Q ( y y ) = min T 1 0 0

18 Interpretazione geometrica: il triangolo di livellazione y ΔH = ΔH Δ H Modello funzionale (lineare) n ΔH 12 + ΔH 23 + ΔH 31 = 0 y V (equazione di un piano nello spazio tridimensionale)

19 Modello stocastico 2 Q= I Cyy = σ I Stimatore ai minimi quadrati T 1 ( y0 y) Q ( y0 y) = min n y V ŷ è il punto y n V a minima distanza da 0

20 Interpretazione geometrica delle equazioni di condizione e di osservazione Equazione di condizione: ΔH 12 + ΔH 23 + ΔH 31 = 0 Equazioni di osservazione: ΔH 12 = H2 H1 ΔH 23 = H3 H1 ΔH = H H Entrambe rappresentano un piano in R3

21 Applicazione dei MQ nella compensazione di rete Quale modello (condizione o osservazioni)? Tipicamente, si è interessati alla stima di parametri che sono incogniti ma sono legati alle osservazioni da equazioni di osservazione Nella livellazione osservazioni: differenze di quota parametri: quote equazioni di osservazione: H j H i= ΔHij

22 Generalmente, l'implementazione delle equazioni di condizione è più complessa. Al contrario, le equazioni di osservazione possono facilmente essere implementate: una equazione per ogni osservazione Nel seguito, si adotterà e discuterà quest'ultimo modello

23 I Minimi Quadrati: formalizzazione mediante equazioni sulle osservazioni Siano date m osservazioni y o y1 o y 2o =... ym o per ogni osservazione i-esima valga y y ε i i i o = +, ε E[ ε ] i 0; = 0 i

24 Si ha y y, [ y ] 0 = + ε E = o y y: vettore delle osservabili, incognite; y : vettore delle osservazioni, note; o ε : vettore degli errori di osservazione, incogniti. Sia noto il modello stocastico delle osservazioni, ovvero la loro matrice di covarianza: C = C = Q 2 yy εε σ 0 2 σ 0 è la varianza a priori, Q è la matrice dei cofattori:

25 Sia x il vettore contenente n (n m ) parametri incogniti: x x x 1 2 =... x n Sia noto il modello deterministico del problema, ovvero la relazione funzionale fra parametri x e osservabiliy y = Ax + b A è la matrice disegno, b è un vettore m-dimensionale noto.

26 Minimi quadrati: principio e stimatori Si cercano ˆx e ŷ tali che yˆ = Axˆ+ b T 1 ( yo y) Q ( yo y ) = min Nel seguito vengono riportate senza dimostrazione le stime fornite dai MQ.

27 Dalle equazioni di condizione si ricava il cosiddetto sistema normale T 1 ˆ = ( o ) Nx A Q y b, ove N = T 1 A Q A è detta matrice normale Si hanno due casi: A è di rango pieno, ovvero le sue colonne sono linearmente indipendenti: Ax = 0 x = 0 il problema non presenta deficienza di rango.

28 A non è di rango pieno, ovvero alcune sue colonne sono linearmente dipendenti dalle altre: Ax = 0 per qualche x 0 in questo caso il problema presenta deficienza di rango. Le reti geodetiche, semplicemente poste, presentano deficienza di rango: si osservano differenze di posizione, si vogliono stimare posizioni.

29 Esempio di analisi di deficienza di rango Siano A, B e C tre punti di livellazione Siano stati misurati i dislivelli da A a B ( DH ), ABo da B a C ( DH ) BCo e da C a A ( DH ). CAo Siamo in presenza di tre osservazioni: sono sufficienti per stimare le quote dei tre punti A, B, C?

30 Pensando al problema dal punto di vista fisico, è evidente che i valori delle osservazioni di dislivello del triangolo non vengono modificati aggiungendo un valore H comune alle 3 quote supposte incognite: DH = H H = ( H + H ) ( H + H ) AB B A B A DH = H H = ( H + H ) ( H + H ) BC C B C B DH = H H = ( H + H ) ( H + H ) CA A C A C ovvero le quote dei punti (parametri incogniti), presentano 1 grado di libertà, rispetto ai dislivelli (osservabili); la situazione non cambia aggiungendo una o più osservazioni di dislivello.

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32 Verifica algebrica In forma matriciale, scriviamo il sistema deterministico H H = DH H H = DH H H = DH B A AB A C CA C B BC DH AB O H A DH BC H O = B + ε DHCA H O C y O = y + ε = Ax + ε

33 Nel presente esempio si considerano le misure di uguale 2 2 precisione (che indichiamo con σ ) e scorrelate: C = σ I yy A non è di rango pieno: infatti = 0 Si provi a calcolare N: avrà la stessa deficienza di rango e risulterà quindi non invertibile A titolo di esercizio lo si verifichi anche aggiungendo una nuova osservazione di dislivello, ad esempio DH AC

34 Importante su deficienza di rango e ridondanza La ridondanza e la deficienza di rango riguardano aspetti completamente disgiunti in un sistema di equazioni sulle osservazioni La ridondanza è collegata al controllo reciproco delle osservazioni La deficienza di rango è collegata alla stimabilità di un certo insieme di parametri rispetto a un certo insieme di osservazioni

35 La deficienza di rango e i sistemi di riferimento Per rimuovere la deficienza di rango si devono identificare e fissare preventivamente i parametri non stimabili minimali (gradi di libertà intrinseci) del problema: Nel caso di reti topografiche e geodetiche, questo significa fissare un sistema di riferimento Ad esempio, nella rete di livellazione, sono stimabili le quote di tutti i punti della rete meno uno (un grado di libertà). La deficienza di rango può essere eliminata includendo nella rete un punto di quota nota e fissando tale quota.

36 Verifica Supponiamo la quota di A nota. Il nuovo sistema diviene DH ABO DH BCO DH CAO = H B H C + H A 0 H A ε y O = y + ε = Ax + b + ε Ponendo nuovamente C yy = σ 2 I, è immediato verificare che la nuova matrice disegno ha rango pieno e che il seguente sistema normale è risolvibile.

37 Ultime note Per eliminare la deficienza di rango si può fissare il numero minimo di gradi di libertà non stimabili In tal caso la soluzione è detta a minimi vincoli Nella compensazione di reti topografiche e geodetiche locali, anche per considerazioni di opportunità statistica, si introducono più punti noti, ovvero precedentemente misurati, appartenenti a reti di ordine superiore. In tal caso la soluzione è sovravincolata e si parla di inquadramento della rete locale nella rete di ordine superiore.

38 Soluzione del problema normale e stima delle incognite Siano risolti i problemi di deficienza di rango: si hanno le seguenti stime. Stima dei parametri incogniti: ˆx = N 1 A T Q 1 (y o b); stima delle osservabili e degli scarti: ŷ = Aˆx + b ˆε = ŷ o ŷ

39 La ridondanza e le stime di covarianza Ridondanza: differenza fra numero di osservazioni e numero di parametri incogniti, detta anche numero di gradi di libertà: R= m n stima della varianza a posteriori: ˆ σ 2 = ˆε T Q 1 ˆε m n

40 stima della matrice di covarianza dei parametri: C ˆxˆx = ˆ σ 2 N 1 ; stima della matrice di covarianza delle osservabili: T C = ˆ σ AN A ; 2 1 yy ˆˆ 0 stima della matrice di covarianza degli scarti T C = ˆ σ ( Q AN A ) 2 1 εε ˆˆ 0

41 La linearizzazione di un problema non lineare Non esiste una formulazione dei MQ applicabile al problema non lineare y = f( x ) ove fx ( ) = f ( x, x,..., x ) f ( x, x,..., x ) f ( x, x,..., x ) m 1 2 n n n

42 Per risolvere un sistema non lineare è prima necessario linearizzarlo Si devono conoscere valori approssimati per i parametri incogniti:!x =!x 1,...,!x n T :!x 1 x 1,...,!x n x n ;

43 E' allora possibile linearizzare la relazione y= f( x ) mediante uno sviluppo di Taylor arrestato al primo ordine nell intorno di!x y 1 f 1 (!x) + f 1 x 1 (!x) (x 1!x 1 ) f 1 x n (!x) (x n!x n ) y 2 f 2 (!x) + f 2 x 1 (!x) (x 1!x 1 ) f 2 x n (!x) (x n!x n ) y m f m (!x) + f m x 1 (!x) (x 1!x 1 ) f m x n (!x) (x n!x n ) ovvero

44 y = f(!x) + J(!x)(x!x) o anche η = Aξ ove η 1 = y 1 f 1 (!x),...,η 1 = y m f m (!x) ξ = x!x A ij = f i x j Si ottiene dunque il problema lineare η O = η + ε, E η O = η = Aξ

45 Mediante MQ si risolve il problema lineare rispetto al vettore dei parametri incogniti ξ; si calcolano i parametri finali mediante la ˆx =!x + ˆξ ŷ =!y + ˆη Nota il metodo da adottarsi per ricavare i valori approssimati dipende da caso a caso

46 Un esempio di linearizzazione Sia P un punto di posizione incognita in R 3 : P P P X P Y Z = siano invece P 1, P 2, P 3 e P 4 quattro punti di posizione nota: = Z Y X P X P Y Z = X P Y Z =

47 Da P sono state misurate le distanze ai quattro punti, ottenendo i valori ρp ; ρp ; ρp ; ρ O O O P ; si indichi con O ρ O il vettore delle osservazioni di distanza. E noto un valore approssimato della posizione di P!P =!X P!Y P!Z P si vuole stimare la posizione di P.

48 Procedimento La generica equazione di osservazione da P a P i è ρ = ( X X ) + ( Y Y ) + ( Z Z ) i i 2 i 2 i 2 P P P P ρ = ρ + ε i i i PO P la relazione che lega le distanze (osservate a meno degli errori) alle incognite (la posizione di P) è non lineare; il sistema è ridondante: 4 osservazioni per 3 incognite; è possibile risolverlo mediante MQ ma deve prima essere linearizzato.

49 Linearizzazione della generica distanza da P a P i : ρ P i = ( X P X i ) 2 + (Y P Y i ) 2 + (Z P Z i ) 2 (! X P X i ) 2 + (! Y P Y i ) 2 + (!Z P Z i ) (!X P X i ) (! X P X i ) 2 + (! Y P Y i ) 2 + (! Z P Z i ) 2 ( X P!X P ) + (! Y P Y i ) (!X P X i ) 2 + (!Y P Y i ) 2 + (!Z P Z i ) 2 (Y P!Y P ) + (! Z P Z i ) (!X P X i ) 2 + (!Y P Y i ) 2 + (!Z P Z i ) 2 (Z P!Z P )

50 ρ i P!ρ P i +!e P i ξ ove!ρ P i = (!X P X i ) 2 + (!Y P Y i ) 2 + (!Z P Z i ) 2 (distanza calcolata nei valori approssimati)!x i!e P = 1 P X i!y i!ρ P Y i P!Z P Z i (versore approssimato da P i a P)

51 X P!X P ξ = Y P!Y P Z P Z! P (correzioni da apportare alle coordinate approssimate) Il problema assume dunque la forma 1 ρ PO 2 ρ PO 3 ρ PO 4 ρ PO =!ρ P 1!ρ P 2!ρ P 3!ρ P 4 +!e X 1!e X 2!e X 3!e X 4!e Y 1!e Y 2!e Y 3!e Y 4!e Z 1!e Z 2!e Z 3!e Z 4 ξ X ξ Y ξ Z

52 Ovvero η O = y O!y = y!y + ε = η + ε η = Aξ ora risolvibile mediante MQ.

53 Gli errori di modello (outliers) Possono essere su tutto il modello ma tipicamente sono su singole osservazioni: comportano stime errate dei parametri incogniti. Esistono algoritmi per: verificare a posteriori la correttezza globale dei modelli adottati (test del modello globale); identificare eventuali errori di modello su singole osservazioni (identificazione degli outlier e data snooping); identificare l affidabilità dei risultati di una compensazione.

54 La verifica di ipotesi per i dati e le reti geodetiche Nell elaborazione dei dati grezzi (ad esempio le osservazioni GPS) e nella compensazione di reti geodetiche tipicamente vi sono outlier dovuti: 1. all approssimata conoscenza del modello stocastico delle osservazioni (vengono ipotizzate più accurate e meno correlate di quanto non siano in realtà); 2. alla presenza di isolati e grossolani errori di modello deterministico (termini di disturbo di entità significativa e non modellizzabili multipath per il GPS, errori grossolani di stazionamento, ).

55 La verifica statistica di ipotesi E' un operazione che consente di stabilire se, statisticamente, ovvero con una certa probabilità di errore, valga una certa ipotesi H. 0 Si costruisce una statistica campionaria ( F exp ) che, sotto l ipotesi H 0, debba seguire una distribuzione nota; che viceversa, qualora H 0 sia sbagliata, vada ad assumere valori grandi, ovvero non accettabili statisticamente; si confronta quindi la statistica campionaria con i valori limite ammessi dalla sua distribuzione teorica.

56 Esecuzione di un test su una statistica F Scelgo la significatività α del test; fisso F lim tale che, se vale H 0 P{ F exp > F lim H } 0 < α Se F exp > F lim rigetto H 0 La significatività del test è la probabilità di sbagliare rigettando H0.

57 Prima si verifica la correttezza del modello globale, poi si individuano eventuali outlier, infine si corregge il modello stocastico.

58 Il test del χ 2 o test globale sul modello Ipotesi fondamentale: il modello adottato è corretto H y= Ax. 0 : Ipotesi alternativa: il modello adottato è sbagliato x H a : y = [ A δ A] δ x m R { A δ A } = R con [ ] Se H 0 è vera ε T Q 1 ε σ 2 0 (m n) ~ χ (m n) m n 2

59 Statistica di test: 2 ˆ σ 0 2 ( m n) = χ 2 sp σ 0 sia α il livello di significatività del test; 2 2 sia χlim = χm n( α) il valore teorico tale che P(0 χ χ ) = 1 α 2 2 m n lim se se χ χ χ H 0 viene accettata; 2 2 sp lim > χ H 0 viene rigettata: sono presenti errori di modello. 2 2 sp lim

60 Esempio Sia stata effettuata una compensazione di 10 osservazioni in 2 incognite; a fronte di un σ = dichiarato a priori si sia ottenuto un ˆ σ = 2.375cm cm Sia fissato α = 5% : 1 α = 95% = 0.95; dai dati precedenti si ricava ( m n) = 8; il χ = χ (0.05) = lim 8 ˆ χ sp = ( m n) σ = 8 = 19> σ 0

61 Il test non è superato: quindi vi è, a un livello di probabilità del 95%, un errore di modello. Se si fosse fissato α = 1%, si sarebbe ottenuto χlim = χ8 (0.01) = 20.1 > χsp ovvero vi sono errori di modello a livello di significatività 5%, ma non a livello di significatività 1%.

62 Il test locale sulla singola osservazione Serve per identificare errori di modello deterministico su una singola osservazione y : i O Ipotesi fondamentale H : y= 0 Ax. Ipotesi alternativa: H a : y = A e i x δ i, e = i T ovvero un singolo errore sulla singola osservazione i-esima. Se vale H0 (con alcune semplificazioni) la statistica di test è semplicemente

63 ˆε i = z sp ~ N(0,1) = Z σ εi Test sui residui normalizzati: si confronta z sp con i valori limite della normale standardizzata; definito z lim il valore teorico tale che P(0 z z ) 1 α lim =, lim P( z > z ) = α se z zlim H0 viene accettata; se z zlim > H 0 viene rigettata.

64 In effetti, per la non robustezza dei MQ, un outlier modifica anche gli scarti delle altre osservazioni, fatto che spesso complica la sua identificazione mediante il test rigoroso. E tipicamente adottato un procedimento iterativo (data snooping). 1. Innanzitutto si verifica l esistenza di osservazioni isolate cui corrispondano scarti inaccettabili rispetto all accuratezza strumentale. 2. Se ve ne sono, vengono eliminate una per una, partendo dalla più grande, ricompensando ogni volta i dati e verificando la convergenza del test sul modello globale. 3. Se la precedente analisi non evidenzia casi di evidenti outlier

65 si costruiscono i residui (pseudo) normalizzati ˆε i σ εi 4. Anziché confrontare i residui normalizzati con un valore limite, si effettua un confronto relativo fra residui (pseudo) normalizzati; se ve ne è uno significativamente più grande degli altri, si elimina l osservazione corrispondente, ricompensando i dati. 5. Si procede iterativamente; verificando la convergenza del test sul modello globale. 6. Si devono poi controllare le osservazioni eliminate (calcolando i loro scarti) per eliminarle definitivamente o reintrodurle.

66 Ultime note Qualora il test sul modello globale non venga superato ma non vi siano sospetti outlier (ovvero una situazione con scarti normalizzati omogenei) vi è tipicamente un problema di sottostima generale degli elementi della matrice di covarianza delle osservazioni (sovrastima delle precisioni). Questo può essere ovviato mediante la Correzione del modello stocastico, qui non discussa.

67 Accuratezza dei parametri stimati Sono stati eseguiti il test globale sul modello e il data snooping con esiti positivi. Si considera ora la stima dei parametri, ˆx e della relativa matrice di 2 1 covarianza C = N. xx ˆˆ σˆ 0 Ci si chiede quale sia la regione di confidenza per il valore vero dei parametri incogniti, ovvero la regione dello spazio n-dimensionale alla quale il vettore x appartiene con livello di probabilità assegnata.

68 La regione di confidenza per il vettore dei parametri incogniti ad un certo livello di probabilità 1-α è data dalla T ( x xˆ) C ( x x ˆ) F ( α) 1 xx ˆˆ n,( m n) ove Fn,( m n)( α) è il valore della distribuzione di Fisher a n,( m n) gradi di libertà, corrispondente alla probabilità 1 α ; α : in genere si scelgono i valori 0.01, 0.05, 0.10, ovvero ( 1 α : 0.99, 0.95, 0.90.

69 Per analizzare la regione di confidenza di ξ: si estrae dal vettore ˆx il sottovettore ˆξ corrispondente ai parametri ξ di interesse; quindi si estrae dalla matrice di covarianza totale C xx ˆˆ la matrice di covarianza del vettore ˆξ, C ˆˆ; ξξ sia 2 x1 σ1 σ12... σ 1n 2 x 2 σ21 σ2... σ2n x=, C xx ˆˆ = xn σn1 σn2... σn se ad esempio xi ξ = x si ha j C σ σ = 2 i ij ˆˆ ξξ 2 σ ji σ j

70 la regione di confidenza con probabilità 1 α per il vettore ξ è data dalla ˆ T ( ξ ξ) ( C ) ( ξ ξ ˆ) F ( α) 1 ξξ ˆˆ r,( m n) Ellissi di errore in planimetria In genere, nell analisi dei risultati di compensazione di reti geodetiche e topografiche, per ogni punto si scinde il problema in analisi planimetrica e analisi altimetrica: ellissi di errore in planimetria (x i ˆx i ) T C ˆxi ˆx i 1 (x i ˆx i ) F 2,( M N ) (α )

71 Ellissi di errore standard Si sceglie F 2,( M N ) (α ) = 1 corrispondente a α 0.61 per ( M N ) > 10 Data la matrice di covarianza delle coordinate planimetriche (X, Y) del punto C xx ˆˆ = σˆ σˆ 2 X XY σˆ XY 2 Y σˆ si vogliono calcolare i parametri (semiasse maggiore e minore, angolo fra semiasse maggiore e asse X) dell ellissi di errore standard.

72 Il calcolo dei semiassi I valori σ max,min sono le radici degli autovalori λ della matrice C ˆxˆx, ovvero le soluzioni del sistema det(c ˆxˆx λi) = det ˆ σ X 2 λ ˆ σ XY ˆ σ XY ˆ σ Y 2 λ = 0 si ha dunque λ 2 ( σˆ 2 X + σˆ 2 Y )λ + σˆ X2 σˆ 2 2 Y σˆ XY = 0 ovvero

73 λ = σ ˆ 2 2 X + σˆ Y max,min 2 ± 1 2 ( σˆ 2 X σˆ 2 Y ) σˆ XY corrispondenti a σ STD max,σ STDmin = σˆ 2 2 X + σˆ Y 2 ± 1 2 ( σˆ 2 X σˆ 2 Y ) σˆ XY Il calcolo di θ Indichiamo con θ l angolo antiorario fra X e il semiasse maggiore dell ellissi d errore; il versore nel sistema [X,Y] v = cosθ sinθ

74 coincide con l autovettore v max corrispondente a λ max, ovvero con il vettore soluzione del sistema C ˆxˆx v max = λ max v max ; (C ˆxˆx λ max I)v max = 0 ovvero ( ˆ σ X 2 λ max )v 1max + ˆ σ XY v 2max = 0 σˆ XY v 1max + ( σˆ 2 Y λ max )v 2max = 0 Si ha dunque

75 σ X 2 tanθ = v 2 = λ ˆ max v 1 ˆ σ XY e, dalla relazione trigonometrica tan2θ = 2tanθ / (1 tan 2 θ), si ha σ tan2θ = ˆ 2 2 X σˆ Y 2σˆ XY ovvero θ = 1 2 arctg ˆ σ X 2 ˆ σ Y 2 2 ˆ σ XY

76 I parametri di qualunque altra ellissi, con F 2,(m n) (α ) 1, sono dati dalla σ max = σ min = F 2,(m n) (α ) σ STDmax F 2,(m n) (α ) σ STDmin

77 Regione di confidenza 3D La regione tridimensionale di confidenza delle coordinate [X P,Y P,Z P ] di un punto stimato in 3D è data da un ellissoide centrato in [ ˆX,ŶP,ẐP P ], i cui parametri (semiassi e relative direzioni) dipendono dalla matrice di covarianza delle stime delle coordinate del punto. Le regole di calcolo (qui non riportate) sono più complesse di quelle del caso 2D.

78 Anche in questo caso si può definire Ellissoide di errore standard Si sceglie F 3,( M N ) (α ) = 1 corrispondente a α 0.81 per ( M N ) > 10 In questo caso l'ellissoide è caratterizzato da 3 semiassi: minimo, medio e massimo i loro 3 angoli di orientamento rispetto agli assi del SR