TEORIA DELLE RETI ELETTRICHE

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1 TEORIA DELLE RETI ELETTRICHE - Santomauro Mauro - [email protected] Bibliografia: Chua Leon O., Kuh Ernest S., Desoer Charles A., Fondamenti di Teoria dei Circuiti, McGraw-Hill, 1987 Modalità d Esame: Due Prove in itinere contenenti anche domande di teoria Prova scritta seguita da un colloquio Redattore: Marone Alessandro Aiuto alla redazione: Balbo Elisa CIRCUITI DINAMICI CIRCUITI LINEARI CIRCUITI RESISTIVI BIPOLI DOPPI BIPOLI CIRCUITI NON LINEARI 1

2 Introduzione ai Bipoli Lineari Leggi di Kirchhoff e Ohm I principali metodi di analisi si basano sulle Leggi di Kirchhoff e Ohm. Legge di Kirchhoff per le Correnti (KCL) Vi sono due formulazioni equivalenti: 1. Per ogni superficie gaussiana S di un circuito concentrato qualsiasi, in un istante arbitrario t, la somma algebrica di tutte le correnti che fuoriescono dalla superficie gaussiana S nell istante t è uguale a 0 0 Dove S è perciò una superficie chiusa che contiene al proprio interno un numero determinato di nodi del circuito. 2. Per qualsiasi circuito concentrato, la somma algebrica delle correnti uscenti da un nodo è nulla in ogni istante Quest ultima formulazione prende il nome di Legge di Kirchhoff per le Correnti in un nodo. Risulta quindi conveniente rappresentare il circuito con un grafo: 7 A B 2 4 C ,,, sono i Nodi del grafo D 1,2,,7 sono i Lati del grafo, che corrispondono ai bipoli 2

3 Grafo: 7 A 2 B 4 C S D S È necessario indicare per ogni lato il verso della corrente (da stabilire in modo arbitrario). Quando si parla di superfici chiuse si intende delle superfici che racchiudono uno o più nodi separandoli dal resto del grafo. Ad esempio, S è una superficie chiusa che contiene solo D dentro, mentre contiene A, B e C fuori. S contiene invece A e B. Si introduce la nozione di insieme di taglio per rappresentare una superficie chiusa S nei grafi come un insieme di lati tolti i quali il grafo risulta suddiviso in due grafi separati. Esempio: S S A B C A B C La Legge di Kirchhoff per le correnti è quindi: D Dove C è il cut set (insieme di taglio). Esempio: 0 D M N Si scrive la KCL per il nodo M e per il nodo N; si ottiene che la legge di Kirchhoff relativa ad una superficie chiusa che ha all interno un certo numero di nodi (ad esempio M e N) è la somma delle Leggi di Kirchhoff dei singoli nodi. 3

4 Tornando al caso in esame, per ottenere una formulazione compatta delle Leggi di Kirchhoff per ogni nodo, si può descrivere il grafo come una matrice con tante colonne quanti i lati e tante righe quanti i nodi: A B C D Nota: è stata usata la convenzione +1 per le correnti uscenti dal nodo, -1 per le correnti entranti e 0 per indicare che il nodo non ha correnti entranti o uscenti provenienti dal ramo corrispondente. Questa convenzione è stata scelta a priori. Si osserva che, scrivendo la KCL per A, B e C, la KCL al nodo D è linearmente dipendente dalle altre; infatti, la Legge di Kirchhoff al nodo D è la somma di quelle precedenti cambiata di segno. Si possono quindi scrivere N-1 relazioni indipendenti e la matrice risulta ridondante, in quanto una riga può essere cancellata e ottenuta dalla combinazione delle tre righe precedenti: A B C D La matrice che si ottiene prende il nome di matrice di incidenza e, nel caso in esame, risulta formata da sette colonne e tre righe. Si può quindi esprimere la KCL in forma matriciale nel seguente modo: 0 Dove con I si intende il vettore delle correnti dato da: Questa è la formulazione implicita per la KCL, ovvero è nella forma del tipo F(x,y) = 0, con matrici e vettori delle seguenti dimensioni: 1,,, 1 0 1,1 Un esempio di una funzione in forma implicita è: 10 La formulazione esplicita è invece del tipo y = f(x), in cui y è la variabile dipendente e x è la variabile indipendente. 4

5 Legge di Kirchhoff per le Tensioni (KVL) Essa afferma che: La somma delle tensioni lungo una maglia è uguale a 0. 7 A 2 B 4 C D Una maglia è un percorso chiuso che inizia da un nodo qualsiasi, passa attraverso elementi a due terminali e termina al nodo di partenza. Di solito si utilizza la stessa convenzione per tensioni e correnti per non scrivere più grafi per lo stesso circuito. Convenzione degli Utilizzatori Convenzione dei Generatori L importante è che tutti i bipoli abbiano la stessa convenzione. 5

6 Si vuole ora scrivere un numero di equazioni alle maglie che sia linearmente indipendente, e ciò si fa attraverso la definizione di albero che è legata al grafo. Un albero è un insieme di lati che godono delle seguenti proprietà: 1. Il grafo albero è connesso (cioè da un nodo vi è sempre un cammino verso ogni altro nodo) 2. Il grafo albero NON ha maglie Esempio: A B C D In nero si ha l esempio di un albero. Il lato tratteggiato in rosso NON fa parte dell albero e forma una maglia, poiché sta tra due nodi tra i quali, per definizione, c è già un cammino. Vale la regola generale che se si prende un qualsiasi lato non facente parte dell albero considerato si ottiene sempre una maglia. Si può scrivere la KVL per ogni maglia così ottenuta. 7 A 2 B 4 C D Si costruisce una matrice mettendo nelle colonne, vicini tra loro, i lati che formano l albero e poi gli altri lati in posizioni arbitrarie. Nelle righe si posizionano le maglie, che si formano con l aggiunta di un lato specifico, nello stesso ordine di come sono stati posizionati i lati nelle colonne. Le maglie sono tante quante i lati che non sono di albero. 6

7 Maglie Lati di Albero Lati di Coalbero M M M M Matrice Unitaria Ogni maglia si indica con M x, dove x è il lato di coalbero (unico) che forma la maglia stessa. Il verso di percorrenza è quello fissato dal lato di coalbero che forma la maglia (+1). La matrice formata dalle prime 3 colonne e dalle 4 righe è relativa all albero, la matrice quadrata formata dalle restanti colonne con le righe corrispondenti è relativa al coalbero e si può osservare che questa matrice è di rango massimo e risulta unitaria per costruzione. Indicando con, matrice delle maglie fondamentali, la matrice formata dall unione di albero e coalbero, si ottiene: 0 che risulta essere la formulazione implicita della KVL. La dimensione è data dal numero di lati del coalbero, che sono tutti i lati (L) meno quelli che formano l albero stesso, i quali sono pari al numero di nodi (N) meno uno: Numero di lati dell albero = 1 Numero di lati del coalbero = 1 La somma da L come ci si aspettava. Perciò per trovare tutte le soluzioni di un insieme di L bipoli si hanno 2*L incognite. La metà delle relazioni cercate (L) si ottengono, come finora ricavato, con le Leggi di Kirchhoff per Tensioni e Correnti. 0 0 L altra metà delle relazioni (L) è data dalle Leggi di Ohm. 7

8 Si può osservare che: Una matrice con rango massimo ha le righe linearmente indipendenti. Il rango di una matrice rettangolare, al più è pari al più piccolo tra il numero di righe e colonne. Poiché il coalbero è una matrice unitaria 4x4 (che per definizione ha rango massimo), la matrice B formata da 4x7 ha rango massimo ( rango = 4 ). Per scrivere le KVL occorre prendere un albero e fra tutti gli alberi che si possono ottenere vi è l albero Lagrangiano, la cui particolarità è di avere la forma a stella, cioè da un nodo che fa da centro si raggiungono tutti gli altri. Questo nodo prende il nome di nodo di riferimento (terra, massa, ground). Mettendo il - del voltmetro sul nodo di riferimento si possono ricavare N-1 tensioni, che possono essere assegnate al nodo e prendono il nome di potenziali o tensioni di nodo. e 1 + e 2 e e 4 Nodo di riferimento 0 - Proprietà: e1, e2, e3 e e4 sono tensioni indipendenti in quanto si trovano sull albero. Si può osservare che una tensione è la differenza di due potenziali ed è definita sul lato in funzione dei potenziali che stanno ai nodi estremi di quel lato. Tutte le tensioni di lato possono essere espresse mediante le tensioni indipendenti:,,, 0 è la forma implicita. Dove g è un vettore (g1, g2) : 0 0 La forma esplicita si ottiene risolvendo il sistema: da un sistema lineare a 4 incognite e 2 equazioni, si può ottenere una soluzione dipendente da 2 variabili indipendenti:, e,. I potenziali sono un particolare insieme di tensioni indipendenti (a qualsiasi albero si consideri corrisponde un insieme di tensioni indipendenti). Si può scrivere perciò 0 come:, dove sono i potenziali (le tensioni indipendenti). 8

9 Dimensionalmente, poiché, 1 e 1,1, la matrice deve avere dimensioni pari a, 1. La matrice lega i potenziali alle tensioni di lato; è la matrice di incidenza nodo-lato. Questa è solo una delle possibili soluzioni, che dipendono dall albero scelto. La KVL in forma esplicita è quindi data da: Si ottiene quindi: 0 Il vantaggio di questa formulazione è che la topologia del circuito è data dalla sola matrice che è molto facile da ricavare. Confronto con la teoria dei campi elettromagnetici: 0 corrisponde a 0, indica cioè che non vi sono pozzi o sorgenti di corrente. corrisponde a, indica cioè che la tensione tra due punti è indipendente dal cammino e dipende solo dagli estremi. Nota: Si ricorda che la divergenza e il gradiente sono l uno l operatore aggiunto dell altro. Leggi di Ohm Per arrivare a un metodo di analisi bisogna descrivere la struttura dei bipoli tramite le Leggi di Ohm. Con bipoli lineari si intendono quei bipoli la cui caratteristica o rappresentazione geometrica è data da una retta. In forma implicita: 0 I Formulazioni esplicite: V Chiamando:,, e 9

10 Si ottiene: Analisi dei casi particolari: Se 0: resistore (R) R Se 0: generatore ideale di tensione Se 0 e 0: 0, corto circuito Se 0: conduttanza (G) G Se 0: generatore ideale di corrente Se 0 e 0: 0, circuito aperto Si può vedere che mentre il resistore ideale ammette sia la formulazione serie che parallelo, i generatori ideali ammettono o la sola formulazione serie o la sola formulazione parallelo. La formulazione implicita è ammessa da tutti. In notazione matriciale: La matrice di è diagonale Osservazione importante: Non è detto che le due matrici siano invertibili, ciò è possibile solo se:, 0 Formulazione matriciale implicita: 0 10

11 Metodi di Risoluzione Metodo di Analisi tramite Tabella Sparsa (STA) E un approccio di risoluzione delle reti a tabella sparsa. Consiste semplicemente nell utilizzare: KCL implicita, KVL esplicita e Ohm implicita Le incognite sono: le correnti I, le tensioni V e i potenziali e. Vettore delle incognite Termini noti N L I 1 I L 0 N-1 L 0 1 L V 1 V L 0 L L 0 N-1 e 1 e N-1 L L L N-1 Nota: L è il numero di lati mentre N è il numero dei nodi. 1 è la matrice identità di dimensioni L 0 0 Questa tabella prende il nome di Tabella Sparsa (Sparse Tableau) in quanto contiene pochi numeri diversi da 0. 11

12 Esempio: 0 0 x 0 x 0 x x 0 x 0 x 0 I 1 I L V 1 V L e 1 e N Perciò con L = 10 e N = 6 la tabella contiene 625 elementi in totale, di cui al massimo 70 ( ) elementi possono essere diversi da zero. Vantaggio: non è necessaria alcuna pre-elaborazione per ottenere la matrice. Metodo di Analisi Nodale (NA) A differenza del metodo della tabella sparsa che usa la formulazione implicita per la legge di Ohm, il metodo dell analisi nodale richiede che tutti i bipoli devono essere in formulazione parallelo. L equazione definitiva dell analisi nodale si ottiene dalle Leggi di Kirchhoff e dalla Legge di Ohm in formulazione parallelo: 0 Sostituendo la ricavata dalla KVL esplicita nella Legge di Ohm e poi sostituendo la ricavata dalla Legge di Ohm nella KCL implicita si sono così unificate le tre equazioni in una sola: La matrice deve essere quadrata e coerente con le dimensioni di : dove è il vettore dei termini noti 1,,, 1 1,1 Vi è il vincolo che non possono esserci generatori ideali di tensione (è necessaria la formulazione parallelo). Tutto è descritto da generatori ideali di corrente e resistori. 12

13 Se un generatore ideale di tensione ha una resistenza in serie, si può fare l equivalente Norton, altrimenti non può essere usato questo metodo. Nei bipoli è quasi sempre ottenibile, nei doppi bipoli è più complesso, e non è detto che esista la formulazione parallelo. Esempio: 5 A 2 B 4 C è una matrice 3x3: A B C A 0 B C 0 È una matrice simmetrica nel caso dei bipoli. Il metodo di Analisi Nodale è adottato nei simulatori circuitali, in quanto la matrice è direttamente ottenibile dai dati in ingresso che descrivono il circuito (vedi P-Spice). Esempio: Nome N + N - Valore R 1 A 0 R 1 [Ω] R 2 A B R 2 [Ω] Il programma legge ogni riga e scrive informazioni sulla matrice fino a completarla. 13

14 Questo metodo prende il nome di Stamp Method: A B C A B C Si individuano le 4 caselle di intersezione tra i due nodi e si mettono le transconduttanze in ognuna di esse: se gli indici sono uguali si mette il +, altrimenti si mette il. Se ci sono altri elementi già presenti si sommano. Se uno dei due nodi è il nodo di riferimento (indicato con zero), l unica casella interessata è quella con indici uguali (di volta in volta AA, BB, CC ) Il vettore è dato dai generatori di corrente che entrano od escono dai nodi. Considerando con il + il nodo da cui esce (si è scelta una convenzione): 0 A B C Nome N + N - Valore I 5 A C I 5 [A] I 6 0 C I 6 [A] In P-Spice si ha perciò una matrice: facilmente risolvibile dal programma Proprietà: utilizzando l analisi nodale, si può dimostrare che un circuito che abbia resistori e generatori di corrente e tensione accompagnati (cioè con resistori rispettivamente in parallelo e serie) comunque lo si costruisca, con valori di R e G > 0, ammette sempre una e una sola soluzione. R, G > 0 R R Bisogna dimostrare che la matrice è non singolare per qualsiasi valore. Ma poiché è diagonale e definita positiva, moltiplicata per e rimane definita positiva e ha determinante diverso da 0. 14

15 Per avere più soluzioni o nessuna soluzione bisogna avere generatori di tensione o corrente non accompagnati. Esempio: Circuito che ha una e una sola soluzione: R R R R R R Circuito che ha zero o infinite soluzioni: V 1 V 2 V 3 Se, nel secondo caso, i generatori hanno valori non coerenti ( ), allora il circuito è mal posto e non si hanno soluzioni. Se la maglia funziona ( ), allora vi sono infinite soluzioni. Un altra possibilità per avere nessuna o infinite soluzioni è avere solo generatori di corrente entranti o uscenti da un nodo. In conclusione, condizione necessaria e sufficiente che un circuito di questo tipo ammetta una ed una sola soluzione è che i generatori siano accompagnati. 15

16 Teorema di Tellegen Se si considerano due circuiti aventi come unico vincolo di avere la stessa topologia, si ha: 0 Cioè i vettori di tensioni e correnti tra i due circuiti sono ortogonali tra loro: 0 Sostituendo : Si osserva che si è portata la matrice del circuito 1 al circuito 2 e in quanto i due circuiti hanno la stessa topologia: Concludendo: 0 0 Nota: e sono chiamate potenze virtuali. Se i due circuiti hanno anche gli stessi bipoli allora sono potenze e da ciò deriva la legge che la sommatoria delle potenze in un circuito è pari a 0. Esempio di due circuiti con la stessa topologia: 16

17 Doppi Bipoli Si considerino doppi bipoli lineari caratterizzati dalla convenzione degli utilizzatori a entrambe le porte: I 1 I 2 V 1 V 2 Se si considera la linearità si può scrivere:,,, 0,,, I termini c 1 e c 2 tengono conto di eventuali generatori indipendenti contenuti all interno del doppio bipolo, ma questi possono essere tirati fuori e quindi si ottiene la formulazione implicita stretta (con 0): In maniera compatta: Formulazione esplicita serie (anche detta formulazione controllata in corrente): Affinché sia possibile scriverla, deve essere una matrice non singolare: Si possono ottenere quattro formulazioni: serie, parallelo, prima ibrida e seconda ibrida, che prendono il nome di formulazioni cardinali. Queste hanno le due variabili indipendenti una per porta. 17

18 Vi sono inoltre le due formulazioni con le matrici di trasmissione: I 1 I 2 V 1 V 2 Bisogna porre attenzione al fatto che è stata utilizzata la configurazione dei generatori a destra, degli utilizzatori a sinistra. Si può infine osservare che, per le formulazioni cardinali, le variabili dipendenti sono gli strumenti che misurano, le variabili indipendenti sono i generatori che forzano. Proprietà: Le quattro formulazioni cardinali hanno la proprietà di avere una variabile indipendente e una dipendente per porta. Le variabili indipendenti (cause) si rappresentano con generatori equivalenti, le variabili dipendenti con misuratori (voltmetri e amperometri). Esempi: + + I 1 R I I 1 H V 2 18

19 Generatori Pilotati Generatore di tensione controllato in corrente CCVS I 1 V Generatore di corrente controllato in tensione VCCS V 1 I Generatore di corrente controllato in corrente CCCS I 1 I Generatore di tensione controllato in tensione VCVS V 1 V Ogni formulazione cardinale ha perciò un generatore pilotato caratteristico. 19

20 Proprietà dei Doppi Bipoli 1. Direzionalità 2. Reciprocità 3. Simmetria 4. Passività 1. Direzionalità La direzionalità può essere dalle porte 1 alle 2 o viceversa: i doppi bipoli possono essere sia unidirezionali che bi-direzionali. Un bipolo unidirezionale è tale da non presentare variazioni sulla porta 1 a fronte di variazioni sulla porta 2 mentre presenta variazioni sulla porta 2 a fronte di variazioni sulla porta 1. Di conseguenza la unidirezionalità si può vedere dall elemento della I a matrice. riga II a colonna della Zero direzionali sono due bipoli completamente separati. Si considerino le matrici di trasmissione: I 1 I 2 V 1 V 2 I parametri si ottengono facendo il rapporto tra la grandezza che si misura e, al denominatore, il generatore forzante (la grandezza impressa). In quanto non si può fare il rapporto tra due generatori si può ricorrere ad artifici e ricavare 1, vi è tuttavia un metodo migliore per il quale bisogna prima introdurre il bipolo nullore. Nel piano I/V si consideri il bipolo che si trova nell origine degli assi ed ha contemporaneamente I = 0 (circuito aperto) e V = 0 (cortocircuito). Tale bipolo degenere prende il nome di nullatore. 0 20

21 Il circuito che contiene un nullatore risulta avere troppi vincoli e non è perciò risolvibile: R V V dd 0 I Nel piano I/V si consideri il bipolo che comprende tutto il piano e ha V = qualsiasi e I = qualsiasi. Tale bipolo si chiama noratore. Il circuito che contiene un noratore risulta avere infinite soluzioni in quanto ha troppi pochi vincoli: R V V dd I Si è pensato di creare un doppio bipolo comprendente sia un noratore sia un nullatore, quest ultimo prende il nome di nullore:

22 Il nullore è caratterizzato da una matrice 0 0 ed è l unica formulazione esistente. 0 0 Il nullore è il doppio bipolo caratteristico della matrice di trasmissione. Esempio: Si consideri un generatore pilotato in tensione: V 1 V Perciò, oltre alla formulazione cardinale unica ammessa, permette anche la matrice di trasmissione. Il termine diverso da zero si trova in posizione diversa per ognuno dei generatori pilotati e si può infine osservare che il nullore può essere visto come il limite per un generatore pilotato quando il suo parametro caratteristico tende a. Esempio di utilizzo del nullore per ricavare la matrice : 1A 1 1 1V 2V 1 1V 1V V 2 0 Permette di calcolare: 2 e 1 S 2A 1 1 2V 3V 1 1V 0 1A I 2 Permette di calcolare: 3 e 2 In questo caso si ottiene perciò:

23 Il nullore viene anche utilizzato come modello per l amplificatore ideale: I 1 I 2 V 1 V 2 Nota: Di solito si rappresenta con un VCVS con guadagno elevato, ma in realtà può essere rappresentato da uno qualunque dei generatori pilotati con il valore del suo parametro. 2. Reciprocità Un doppio bipolo si può schematizzare nel seguente modo: Cause Doppio Bipolo Effetti Con una causa C1 applicata al doppio bipolo si ottiene l effetto E1; applicando una causa C2, compatibile con la misura dell effetto E1, dove prima si era ottenuto l effetto E1 si ottiene un effetto E2. Se C1= C2 e E1= E2, allora il doppio bipolo è reciproco. Se la causa C1 è un generatore di corrente e l effetto E1 è un segnale di tensione, allora la causa C2 deve essere un generatore che quando è spento funziona come un generatore di tensione (effetto E1). Lo stesso ragionamento è valido per E2. Esempio: I 1 I 2 V 1 V 2 C 1 E 1 E 1 C 2 23

24 Utilizzando la convenzione degli utilizzatori per entrambi i bipoli, cioè: I 1 V 1 I 2 V 2 I 1 V 1 I 2 V 2 Definendo quindi la potenza come: E le potenze virtuali (o incrociate) come: e Si ha che un doppio bipolo si definisce reciproco se. Si può ricavare la relazione di reciprocità nel modo seguente: si inseriscono due bipoli uno a sinistra e uno a destra di ognuno dei due doppi bipoli (α, β e α, β ). Si fa ciò per poter utilizzare il teorema di Tellegen che si può applicare solo a circuiti chiusi. V α I α I 1 I 2 I β α V 1 V 2 β V β V α I α I 1 I 2 I β α V 1 V 2 β V β Per il teorema di Tellegen è necessario utilizzare la stessa convenzione: Per la condizione di reciprocità e perciò: 0 0 Si possono quindi ottenere le condizioni di reciprocità per le matrici cardinali. 24

25 Esempio: Si ricavano le condizioni di reciprocità per la matrice : I α = I 1 I β = I 2 = 0 I α = I 1 = 0 I β = I 2 V α = V 1 V β = V 2 V α = V 1 V β = V 2 Si ottiene: Con lo stesso procedimento si ottiene: Invece, applicando lo stesso procedimento alle matrici ibride si ottiene:, Perciò per le matrici G e R la matrice deve essere simmetrica, per H e K gli elementi dell antidiagonale devono essere uguali in valore ma opposti in segno. Si può osservare che il bipolo lineare (resistore) è reciproco per definizione e anche un doppio bipolo contenente solo resistori è perciò reciproco. Nota: Un doppio bipolo può essere reciproco anche se non contiene solo resistori. Per le matrici di trasmissione si deve avere determinante unitario affinché siano reciproche: 1 Esempio: Il bipolo caratterizzato dalla matrice 2 3, ricavata in un esempio precedente, è reciproco (il 1 2 determinante di è uguale a 1). 25

26 3. Simmetria La simmetria ha come requisito la reciprocità (tranne che in un unico caso). Un doppio bipolo si definisce simmetrico quando sostituendo alla porta 2 la porta 1 e viceversa non cambia niente: Si invertono gli indici a V e I: Si ottiene perciò: Il primo e il terzo sistema sono uguali quando: e Nota: Vi è contenuta la relazione di reciprocità. Per la matrice parallelo, la relazione è sempre: e Per le matrici ibride si ricava che deve valere: 1 e Per le matrici di trasmissione: e 1 Esempio: Il bipolo caratterizzato dalla matrice 2 3, ricavata in un esempio precedente, è simmetrico 1 2 (il determinante di è uguale a 1 e ). Vi è un caso in cui un doppio bipolo può essere simmetrico ma non reciproco:

27 Riscrivendolo come: Si ha che 0 1 e si può osservare che non è reciproco (gli elementi sulla diagonale sono 1 0 uguali ma non opposti in segno, mentre la condizione è ) e quindi non si può applicare la definizione di simmetria vista precedentemente per la prima matrice ibrida ( 1) in quanto presuppone la reciprocità. Infatti: La condizione 1 si otteneva dalle precedenti supponendo. Invece nel caso in esame si ha e quindi affinché la matrice sia simmetrica deve valere 1 come effettivamente è. 4. Passività ,,, 0 Tutti i generatori pilotati fanno parte della quarta categoria. Per i doppi bipoli passivi si può scrivere: 0,0 Perciò se è definita positiva allora il doppio bipolo è strettamente passivo. Per determinare se è definita positiva si può separare nella sua parte simmetrica ed emisimmetrica: 2 2 Esempio: La parte emisimmetrica di una matrice non contribuisce alla forma quadratica associata. 27

28 Teorema di Sylvester (per matrici 2x2): Una matrice simmetrica (per questo è necessario prima simmetrizzarla) è definita positiva se 0 e il determinante è maggiore di 0. Esempi: ok; , non è positiva e perciò il bipolo non è passivo ok; , è positiva e perciò il bipolo è strettamente passivo Nota importante: Per determinare la passività della matrice se non si hanno le matrici cardinali non si può applicare la regola vista precedentemente. Tuttavia l unica formulazione che ammette solo la matrice è il nullore 0 0 ed esso non è passivo. 0 0 Nota: Per gli induttori mutuamente accoppiati Dividendo per : Si ottiene: 0 si deve avere 0 e 0. 1 Quando 1 gli induttori sono fortemente accoppiati. Al diminuire di, l accoppiamento diventa lasco. Per 0 gli induttori sono disaccoppiati. 28

29 Collegamento di Doppi Bipoli Si possono collegare le porte 1 e 2 tra di loro in serie o in parallelo. Ci sono 4 possibili configurazioni: A A B B Serie/Serie Parallelo/Parallelo A A B B Serie/Parallelo Parallelo/Serie Le porte collegate in serie sono percorse dalla stessa corrente mentre le porte collegate in parallelo possiedono la medesima differenza di potenziale. Vi è inoltre il collegamento in cascata: A B Nota: Nel collegamento in cascata si può collegare anche prima B e poi A. In totale vi sono perciò 6 possibili combinazioni (erano solo 2 per i bipoli). 29

30 Proprietà dei bipoli: Nel collegamento in serie dei bipoli si sommano i parametri serie, nel collegamento in parallelo si sommano i parametri parallelo. Si suppone inizialmente che questa proprietà sia valida anche per i doppi bipoli e si dimostra come in realtà essa sia sottoposta ad un vincolo. Esempio: 1 1 A Serie 1 1 Serie B Si ottiene tuttavia: 3,5, che non è la somma di. Nota: le resistenze sono state prese di valore unitario per facilità di calcolo. Se invece si considerasse: A Serie Serie B 30

31 Si ottiene: , che è la somma di. Esiste un test che permette di capire se vale la sommabilità dei parametri o no, prende il nome di test di Brűne: a) Si fa il collegamento della porta 1. b) Si mette il generatore opportuno alla porta 1 (se sono collegate in serie ci vuole un generatore di corrente, di tensione se sono collegate in parallelo). c) Le porte 2 si devono porre aperte o in corto circuito a seconda della configurazione esaminata (aperte per serie, chiuse per parallelo) d) Si calcola la tensione V. e) Se la tensione è V = 0, allora vale la sommabilità dei parametri. Esempi: S/S P/P A A V V B B f) Il test va completato mettendo il generatore alla porta 2 e la tensione V alla porta 1. Esempio: P/P 31

32 Un altro esempio di doppi bipoli (stelle) collegati in parallelo: In questi due casi è sempre soddisfatto il test di Brűne grazie alla topologia del circuito. Osservazione: Il test di Brűne serve a verificare che è conservata l identità dei doppi bipoli. Si vuole ora ottenere 4 2 partendo dalle due stelle viste precedentemente senza modificarne la 2 4 posizione. Si consideri il trasformatore ideale con 1: 1:1 Il doppio bipolo rimane invariato e collegando un altro doppio bipolo in qualunque configurazione si mantiene comunque l identità del doppio bipolo e pertanto la sommabilità dei parametri. 32

33 Si consideri ora la cascata di due doppi bipoli: I 1A I 2A I 1B I 2B V 1A V 2A V 1B V 2B La matrice di trasmissione si ottiene dal prodotto delle matrici dei singoli doppi bipoli e si può osservare che in questo caso non serve il test di Brűne in quanto i doppi bipoli mantengono la loro identità. Nota importante: V 1 V 2 V 3 Si ha che, mentre la matrice di trasmissione è sempre il prodotto delle due, tale proprietà non si può tuttavia sempre applicare alle singole funzioni di trasferimento. Esempio: I 1 R I 2 R V 1 R V 2 R V 3 Le funzioni di trasferimento singolo tra V 1 e V 2 e tra V 2 e V 3 sono: e Tuttavia si ha: e perciò è necessario che o siano zero affinché: 33

34 Si può provare che per il seguente circuito, disaccoppiando i bipoli, si ha sempre: V 2 Esempio: R R V 2 V 1 R V 2 R V 3 C La matrice di trasmissione di C è: Perciò se si disaccoppiano i due bipoli impedendo che il secondo circuito carichi il primo si può fare Se si inserisce un nullore in cascata, il prodotto delle matrici è sempre zero. 34

35 Analisi Nodale Modificata Questa tecnica è usata soprattutto nei simulatori circuitali e l idea che sta alla base è la seguente: l analisi nodale esamina tutte le correnti che entrano in un nodo e poi le tensioni espresse con i potenziali Si consideri che i lati tratteggiati in rosso non permettano formulazioni parallelo: vengono chiamati bad-branches e ai potenziali bisogna aggiungere le correnti passanti in quei rami: I I I I 0 I I 0 Le correnti I 4 e I 6 si aggiungono al vettore delle incognite. In quanto vi sono due incognite in più, vi devono anche essere due equazioni in più affinché il problema sia risolvibile: termine incognite noto e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 I 4 I G N I 4 I 6 Leggi di Ohm e 1 e 2 e 3 e 4 X = e 5 I 4 I 6 Dove la matrice G N si costruisce normalmente applicando il processo Stamp come la matrice nodale pura e le colonne I 4 e I 6 si ricavano considerando solo il grafo ridotto alle linee rosse e indicando con -1 una corrente entrante e con +1 una corrente uscente da un nodo (indicati sulla sinistra con i numeri che vanno da 1 a 5). Infine, la parte sottostante della tabella si ricava applicando le Leggi di Ohm ai rami considerati. 35

36 Si effettua ora un analisi dei vari generatori di corrente e tensione pilotati e non e si stabilisce caso per caso quali introducono una o più variabili e quali non introducono nuove variabili. 1. GENERATORE IDEALE DI CORRENTE Non introduce nuove variabili. Il suo contributo deve essere posizionato nella colonna del termine noto. 2. GENERATORE IDEALE DI TENSIONE Introduce una variabile I K. Il suo contributo deve essere inserito nella colonna del termine noto corrispondentemente alla riga introdotta da I K. N + I K V S N - Si dovranno fornire i dati al simulatore circuitale nel seguente modo: VS N + N - V S Dove VS è l etichetta con cui viene indicato il generatore, mentre V S è il valore numerico del generatore stesso. Il simulatore leggendo V S aggiunge una colonna I K alla matrice nodale pura. N + N - I K 0 N + -1 G N 0 N I K e 1 X = e N-1 I K V S Leggendo N + e N - il programma posiziona eventuali 1 nell intersezione tra le righe corrispondente ai nodi e la colonna di I K. In quanto si posizionano nella riga, aggiunta sotto la matrice, ±1 nelle rispettive posizioni e il valore di nella colonna dei termini noti. 36

37 3. GENERATORE DI TENSIONE PILOTATO IN TENSIONE Il lato di comando essendo un circuito aperto ammette formulazione parallelo e perciò non introduce nuove variabili. Il lato comandato necessita invece dell introduzione della variabile I K. N C + I K N + V J V K N C - N - Si dovranno fornire i dati al simulatore circuitale nel seguente modo: F XX N + N - N C + N C - β Dove N + e N - sono i nodi pilotati, N C + e N C - sono i nodi pilotanti e β è il fattore di pilotaggio. Si ha: 0 N + + N C - N C N - I K N N C G N 0 - N C 0 N - -1 I K β +β e 1 X = e N-1 I K 0 4. GENERATORE DI CORRENTE PILOTATO IN TENSIONE Questo generatore ammette formulazione in parallelo e perciò non introduce nuove variabili N C + N + V J I K N C - N - Si ha: 37

38 5. GENERATORE DI TENSIONE PILOTATO IN CORRENTE Sia il lato di comando che il lato comandato non ammettono formulazione parallelo e perciò bisogna aggiungere due variabili. N C + N C - I N V N I J V k I k N + N - Si dovranno fornire i dati al simulatore circuitale nel seguente modo: H xxx N + N - V N R m V N N C + N C - (0) La seconda riga di comando è dovuta al fatto che è necessario mettere un nodo aggiuntivo con un generatore di tensione nullo V N =0 per distinguere il ramo di comando da eventuali altri rami posti in parallelo. In Spice è necessario inoltre che la corrente si consideri uscente dal generatore nullo di tensione V N, ma ciò non modifica in alcun modo l analisi del circuito. Si ha: 0 e 0 N + + N C N C - N - I K I J 0 0 N G N 0 +1 N C + N C N I K R m I J e 1 X = e N- 1 I K I J

39 6. GENERATORE DI CORRENTE PILOTATO IN CORRENTE Sia il lato di comando che il lato comandato non ammettono formulazione parallelo e perciò bisogna aggiungere due variabili. N C + N C - I N V N I J I K N + N - Si dovranno fornire i dati al simulatore circuitale nel seguente modo: G xxx N + N - V N α V N N C + N C - (0) Si ha: 0 e 0 N + + N C N C - N - I K I J 0 0 N N C G N N C 0-1 N I K α I J e 1 X = e N-1 I K I J 0 0 Nota importante: Il circuito seguente è lineare in quanto quando i generatori forzanti sono spenti, tutti gli elementi al suo interno sono lineari. A V INPUT OUTPUT CIRCUITO LINEARE 39

40 Esempio (numerico): V3 0 4 Nei lati che non ammettono formulazione parallelo sono presenti dei generatori cerchiati in rosso. Bisogna inserire il generatore nullo tra i nodi 1 e 5 (e il più si pone verso il nodo 5) per rappresentare l amperometro e misurare che pilota il generatore di corrente (nota: deve uscire dal nodo + del generatore fittizio di tensione) bipolo * bipolo 6 bipolo 7 bipolo

41 I vettori delle incognite e dei termini noti sono dati da: Vettore delle incognite Vettore dei Termini Noti = Generatori Indipendenti Il generatore pilotato β V è pari a: e β e e 0 Il generatore di corrente pilotato in corrente è pari a: 0 La matrice segnata con i contorni in verde è data da: La matrice è quella che si ottiene dalle Leggi di Ohm per i membri che non ammettono formulazione parallelo. Non ha le proprietà di simmetria dell analisi nodale, tuttavia la diagonale continua ad essere dominante e la matrice è sparsa (in questo caso solo 25 elementi su 81 sono diversi da 0). 41

42 Metodi di risoluzione Vi sono metodi diretti e indiretti per risolvere. I metodi diretti ottengono la soluzione esatta in un numero finito di passi (considerando eventuali approssimazioni). I metodi indiretti hanno un numero di passi variabile a seconda della forma della matrice e portano a verificare se la soluzione e convergente tramite iterazione. I metodi diretti sono quelli più utilizzati nei programmi; uno di questi metodi è quello a eliminazione gaussiana: da un sistema di partenza si tende a risolvere una variabile in funzione delle altre fino ad ottenere un unica equazione. Risolta quest ultima si procede con sostituzione inversa a determinare le rimanenti variabili. Scomposizione: è inferiormente triangolare, è superiormente triangolare A = L U Scrivendo e chiamando si ottiene: Ma questo sistema è direttamente risolvibile con il metodo di eliminazione gaussiana. Il processo di costruzione di e avviene su : U U L A L A Sulla diagonale non c è conflitto in quanto si può dimostrare che esistono N gradi di libertà pari al grado N della matrice (quindi la diagonale di U può essere riempita di 1 ad esempio) Il tempo impiegato si può dimostrare essere pari a: e perciò si indica che il costo è dell ordine di : Il tempo impiegato risulterebbe essere enorme. Analizzando matrici si evidenzia come esse siano piene di 0. Ciò implica inutili moltiplicazioni per zero e somme con zero come addendi. Se si tiene conto della sparsità della matrice si ricava sperimentalmente che in realtà il costo è compreso tra,,. È un risultato sperimentale. 42

43 Tecniche ad hoc vengono utilizzate per l immagazzinamento dei dati, utilizzando strutture dati lineari (liste) anziché matrici. Un possibile inconveniente è il seguente: x x x x x x 2 x x x 0 x x 0 0 x x x 0 6 x x Se la matrice è sparsa in questa configurazione, dopo la prima sostituzione diventa piena. Se si cambiasse invece l ordine dei nodi: x x 5 0 x x x 0 0 x x 0 x x x 1 x x x x x x La matrice rimane sparsa anche dopo la prima sostituzione. È necessario quindi utilizzare un algoritmo aggiuntivo che preservi la sparsità. Nota: Cambiando il termine noto non è necessario ricavare nuovamente la scomposizione LU di e perciò la risoluzione è più veloce. Tutto quello che è stato fatto può essere riutilizzato per i circuiti non lineari risolvendo N circuiti lineari. Un circuito non lineare dinamico potrà essere risolto tramite la risoluzione di K circuiti non lineari (resistivi). 43

44 Riassunto ed Esempi delle Proprietà Reciprocità Simmetria Passività Matrice R Reciprocità + Matrice G Reciprocità + Reciprocità + 1 oppure Anti-reciprocità + 1 Matrice reciproca: Matrice H Per le 4 cardinali: -Strettamente passivo 0 -Passivo 0 -Inerte 0 Eccezione: doppio bipolo simmetrico ma non reciproco Matrice T 1 Nullore Non passivo Esempio di bipolo passivo: V I Esempio di doppio bipolo strettamente passivo: R R 0 R 2 2 È strettamente passivo, reciproco e simmetrico. 44

45 Esempio di doppio bipolo non passivo: R R 0 0 Non è passivo, ma è reciproco e simmetrico. Esempio di doppio bipolo passivo ma non strettamente passivo: I 1 R I 1 Se si mette un generatore di corrente qualsiasi da un lato e lo stesso dall altro lato invertito di segno, risulta che in R non scorre corrente. Calcolando la forma quadratica associata: Se allora 0. 45

46 Doppi bipoli particolari A. Trasformatore ideale Ammette solo quattro formulazioni (con le matrici ibride, e con le matrici di trasmissione, ) H V K V 0 I K I 0 V K V T I 1 K I Dalla matrice si ricava che è reciproco, ma non è simmetrico in quanto 1. È bidirezionale e poiché: P V I V K K I 0 è inerte. Se si posiziona una resistenza tra i morsetti 2: R La resistenza viene perciò vista in ingresso moltiplicata per. Prende il nome di Convertitore positivo di impedenza (PIC). Nota: Per 1 è come una prolunga che effettua tuttavia anche un disaccoppiamento elettrico tra le due porte; è reciproca ed anche simmetrica. Se la matrice H ha la seguente forma: H V K V 0 I K I 0 Per 1 è simmetrico, non è mai reciproco, non è passivo. Se si posiziona una resistenza tra i morsetti 2 si ottiene: Prende il nome di Convertitore negativo di impedenza (NIC). 46

47 B. Giratore Ammette formulazione tramite matrice R: 0 0 Non è reciproco né simmetrico, è anti-reciproco. È bidirezionale e poiché P = 0 è inerte. Si rappresenta nel seguente modo: Se si posiziona una resistenza tra i morsetti 2: R La resistenza risulta invertita e moltiplicata per Un giratore può essere costruito tramite amplificatori operazionali e resistori. Prende il nome di Invertitore positivo di impedenza (PII). Nota importante: Un induttanza può essere creata utilizzando un giratore dove al posto di R si posiziona un condensatore C. C L 47

48 Analizzando una stella con la resistenza centrale negativa si osserva che: R R 0 0 È reciproco e simmetrico. Non è passivo. Se si posiziona una resistenza tra i morsetti 2: R Prende il nome di Invertitore negativo di impedenza (NII). Riassumendo: PIC (Convertitore Positivo di Impedenza): 0 0 NIC (Convertitore Negativo di Impedenza): 0 0 PII (Invertitore Positivo di Impedenza): NII (Invertitore Negativo di Impedenza):

49 Dispositivi Non Lineari Diodo: 1 I D I D V D V D I S Se si utilizza il modello Sparse Tableau, 0 e 0 rimangono invariate, mentre le leggi di Ohm variano e sono quelle dei componenti non lineari. Se si utilizza l analisi nodale e l elemento non lineare ammette la formulazione parallelo, la formulazione è la stessa vista precedentemente, se non l ammette si deve utilizzare l analisi nodale modificata. Ciò che cambia è che non si ha più un sistema di equazioni lineari da risolvere, ma sono equazioni non lineari e varia perciò il metodo risolutivo. 0 scalare, non lineare. I D I D R S V D V S I S V S V D 1 Sostituendo : La soluzione si può o ricavare graficamente dall intersezione tra le due curve oppure risolvendo la funzione 0. 49

50 Si osserva tuttavia che la funzione risultante non può essere risolta analiticamente. F(V D ) soluzione V D Si adoperano perciò delle tecniche numeriche: si cerca di trovare una serie di valori per l incognita che tende a convergere alla soluzione. Si determinano iterativamente dove e la soluzione asintotica. Il metodo utilizzato è il Metodo di Newton: si sostituisce all elemento non lineare la sua linearizzazione (cioè la tangente alla curva nel punto considerato). I D g m 0 g m 1 P 2 P 1 x 2 x 1 x 0 V D I S 1 Dove m è la derivata calcolata in x 0: 1 V D I V S ev T V 50

51 Dal punto di vista circuitale si risolve il seguente circuito lineare: I D R S I S 0 g m 0 V D V S Dove g m 0 e I S 0 cambiano ad ogni iterazione mentre la struttura circuitale rimane la stessa. Considerando 0: x 2 x 1 x 0 Lo sviluppo in serie di Taylor di è: Vale perciò la regola: Si ottiene:

52 Nota importante: Il procedimento non funziona in alcuni casi, ad esempio nel caso seguente: I D x 0 x 1 V D Teorema: Il metodo di Newton converge se si considera x 0 sufficientemente vicino alla soluzione. Nella simulazione circuitale questa richiesta non è fortunatamente molto limitante. Inoltre si può osservare che un altro problema è la presenza di esponenziali che possono causare un over-flow dei dati. Anche per risolvere questo problema è necessario far partire l iterazione da soluzioni vicine a quella cercata. Esempio: I D x 0 x 1 V D In realtà la formulazione utilizzata dal calcolatore è: In questo modo non si deve invertire la matrice formata da. L iterazione è stabilito che debba proseguire fino a che la funzione non assuma un valore scelto dall utente: ; oppure che la variabile valga un certo valore: stabilito dall utente a seconda del processo in esame. È infine stabilito un numero massimo di iterazioni superato il quale il programma deve segnalare la presenza di un problema. Nota: viene anche chiamato residuo, quando è zero, si è arrivati alla soluzione. 52

53 Interpretazione vettoriale considerando 0: Dove è lo Jacobiano e consiste nella derivata di rispetto ad ogni variabile, è una matrice di numeri. In realtà non si prende il circuito non lineare e gli si applica il procedimento, che è una linearizzazione; ma, a partire da un certo punto di lavoro si costruisce non il circuito linearizzato, ma il circuito formato con gli elementi linearizzati: Circuito base: L NL NL L L L Companion Network: L L L L Il circuito che sostituisce gli elementi non lineari con gli equivalenti linearizzati è il Companion Network ed è costituito da Companion Models. Non è dunque necessario calcolare le derivate parziali dello Jacobiano; ma, bastano le derivate scalari dei singoli elementi calcolate nel punto di lavoro. 53

54 Per evitare errori dovuti a scorrette approssimazioni è meglio avere un idea di dove dovrebbe collocarsi il punto di lavoro e partire con il processo iterativo da un punto il più prossimo possibile ad esso. Esame del caso in presenza di Doppi Bipoli: e 1 R 1 Doppio Bipolo R 2 e 2 Questo è un circuito elementare di un doppio bipolo con sia alla porta uno che alla porta due, due bipoli rappresentati da un equivalente o Thevenin o Norton. Equazioni implicite di un doppio bipolo non lineare:,,, 0,,, 0 Nota: Esistono Doppi Bipoli non lineari che permettono tutte e sei le rappresentazioni. Si può scrivere: E quindi ottenere:,,, 0 e risolverlo numericamente con il metodo di Newton. 54

55 Metodo Risolutivo Grafico per Doppi Bipoli Non Lineari BJT B I 1 = I B I 2 = I C C V 1 = V BE V 2 = V CE E, E, e R I 1 0 0,1 0,2 0,3 V CE = V 2 e V 1 I 2 e R I B = I 1 0,4 0,3 0,2 0,1 e V 2 Osservazione: Normalmente la variabile dipendente V 1 dovrebbe essere messa sull asse delle ordinate, ma per similitudine con la caratteristica del diodo si rappresenta in questo modo. Le rette che passano per R ed e e per R ed e sono determinate dal vincolo sui resistori. 55

56 Le intersezioni sono a prima vista numerose: prendendo un punto a caso nel grafico si determinano specifici, e ; tuttavia il corrispondente punto nel grafico può non trovarsi sulla retta corrispondente al carico sui morsetti 2 e non essere quindi una soluzione accettabile: I 1 e R M A B C N P O e V 1 I 2 e R A O N P M B C e V 2 Si costruisce l immagine della retta filtrata dal doppio bipolo nel secondo grafico ottenendo una curva (non una retta in quanto il doppio bipolo è non lineare). Il punto P è la soluzione cercata:,,, Si può fare anche l inverso portando la retta di carico dei morsetti 2 nel piano ; in questo caso si ottiene che il punto P è il trasposto del punto P. Bisogna inoltre porre attenzione al fatto che talvolta i doppi bipoli sono unidirezionali e perciò non è la stessa cosa partire dal piano o dal piano. Per un BJT ad emettitore comune si può trascurare la dipendenza da V 2 e perciò si possono risolvere due problemi scalari di primo ordine al posto di un problema vettoriale di secondo ordine: 56

57 I 1 I V 1 Si riporta I sul grafico V I e si ottiene la soluzione cercata. In alcuni casi possono esserci più soluzioni possibili o nessuna soluzione. Esempio di più soluzioni possibili: I 1 V 1 Il metodo di Newton nel caso di più soluzioni possibili trova la soluzione più vicina al punto di partenza. Esempio di nessuna soluzione: I 1 V 1 57

58 MOSFET G I 1 I 2 D V 1 V 2 S S I 1 =I G V 1 = V GS I D = I 2 e R V GS = V e V DS = V 2 Si può osservare che è inutile porre una resistenza in serie al generatore del morsetto 1 in quanto I 0. Il punto di lavoro è dato dall intersezione tra la retta e il grafico del MOS. Inserendo una resistenza non lineare in uscita al secondo morsetto questo funziona da inverter. I D = I 2 V GS = V V DS = V 2 0 Nota: è un doppio bipolo in formulazione parallelo. 58

59 Caso di Doppio Bipolo Lineare R 1 R 2 e 1 e 2 V 1 e I 2 I 2 R 11 I 2 e R I 1 V 2 I 1 I 1 I 1 e R 22 e I 2 R Essendo il doppio bipolo lineare, la retta di carico rossa del grafico rimane una retta (blu nel disegno) nel grafico (viceversa per il passaggio inverso) e l intersezione è la soluzione cercata. Nota: Se i termini R 12 e R 21 sono nulli significa che il bipolo non è bidirezionale. 59

60 Proprietà dei Bipoli Non Lineari Proprietà della Passività: Un bipolo è strettamente passivo solo se 0 e 0 se e solo se, 0, con la convenzione degli utilizzatori; è passivo se 0 (ad esempio il circuito aperto e il corto circuito). Esempio di grafico di un circuito strettamente passivo: I V La caratteristica, è interamente contenuta nel primo e nel terzo quadrante e passa per l origine degli assi. Due esempi di grafici di circuiti passivi: V I Tipo diodo I V Si può osservare come i grafici siano nulli anche per valori di, 0. Ha senso di introdurre la proprietà di passività solo se vale la Proprietà di Chiusura, in quanto grazie ad essa si può affermare che un bipolo che abbia al proprio interno, collegati in qualunque maniera, solo bipoli strettamente passivi è strettamente passivo. Proprietà di Non-Amplificazione: Se un circuito è alimentato con una tensione E ed è formato da bipoli lineari e non lineari ma tutti strettamente passivi, allora il modulo di qualunque tensione interna è inferiore a E: E Di conseguenza, se si pone il nodo del generatore a massa, si ha che: 0, cioè lo zero è il potenziale più basso, mentre E è il potenziale più alto. 60

61 Dimostrazione per assurdo della proprietà di non-amplificazione: Tesi: Esistono uno o più potenziali maggiori di E (è il contrario di quanto si vuole dimostrare) Ipotesi: Si considera il nodo del circuito con potenziale e Tutte le tensioni dei bipoli che finiscono nel nodo M devono avere il verso segnato in figura, ma perciò, essendo tutti i bipoli strettamente passivi, allora tutte le correnti sono uscenti. Per rispettare la Legge di Kirchhoff delle Correnti, la somma delle correnti entranti e uscenti dal nodo deve essere nulla: 0, ed essendo le correnti nel caso in esame tutte positive devono perciò essere nulle. Di conseguenza tutti i nodi adiacenti devono avere potenziale e iterando il procedimento si arriva ad affermare che ; ma questo nega la tesi di partenza ed è ciò che si voleva dimostrare. Uno stesso identico ragionamento può essere effettuato per determinare che il potenziale nullo è il limite inferiore. Questo teorema vale con qualunque componente purché sia strettamente passivo, quindi devono essere tutti bipoli la cui caratteristica passi per l origine e stia nel 1 e 3 quadrante. 61

62 Un altra categoria (o classe) di bipoli non lineari che gode della proprietà di chiusura sono i bipoli monotoni (crescenti o decrescenti): I. II. V V V I I I I I. Strettamente Monotono (Crescente): 0 II. Monotono: 0 Un bipolo monotono ha una caratteristica che cresce sempre o decresce sempre. Un bipolo costituito da soli bipoli strettamente monotoni da luogo a un bipolo strettamente monotono, cioè una classe chiusa. Sono interessanti solo i bipoli strettamente monotoni crescenti: 0 (i bipoli strettamente monotoni decrescenti hanno 0 ) Proprietà: Se il bipolo è strettamente monotono crescente, allora vi è unicità della soluzione (che può tuttavia non esistere, ma se esiste è unica). Esempio di unicità della soluzione in bipoli strettamente crescenti: Diodo: 1 I D I S 4 V D Mentre per la retta 4 non vi è nessuna intersezione e quindi la soluzione non esiste, per le rette vi è un unica intersezione e quindi la soluzione esiste ed è unica. 62

63 Se si vuole che la soluzione esista, oltre che sia unica, bisogna imporre che quando una delle due grandezze tende in modulo all infinito anche l altra grandezza tenda all infinito: se, allora si deve anche avere che. Strettamente monotono e strettamente passivi non sono la stessa cosa. Esempi: 1. Bipolo Strettamente Passivo e Strettamente Monotono I V 2. Bipolo NON Strettamente Passivo, ma Strettamente Monotono I V 3. Bipolo Strettamente Passivo, ma NON Strettamente Monotono I V 4. Bipolo NON Strettamente Passivo e NON Strettamente Monotono I V 63

64 Analisi di Piccolo Segnale R S v S (t) E NL I Strettamente passivo NL v(t) V t E è la polarizzazione (costante) che porta il dispositivo non lineare a lavorare nella zona di interesse. Tramite questo circuito si può ottenere un amplificazione di v s (t) (tensione di segnale variabile). Nota: Rimane sempre valida la proprietà per cui essendo il dispositivo non lineare strettamente passivo, allora. Si può osservare che si può avere un dispositivo localmente non passivo: un bipolo può essere localmente strettamente passivo se la proprietà vale in un intorno del punto di lavoro considerato. Esempio: A B Il punto A è localmente strettamente passivo, mentre il punto B non lo è. Per determinare se un bipolo è localmente strettamente passivo in un punto bisogna perciò calcolare la sua resistenza (conduttanza) differenziale in quel punto: 0 0 Si può infine osservare che un bipolo strettamente monotono crescente è anche localmente strettamente passivo in ogni punto della sua caratteristica. 64

65 Tornando al circuito in esame, si consideri il caso in cui 0: I I 0 V 0 E V Quando 0 la retta si sposta mantenendo tuttavia la sua pendenza che è data da R S : I I 0 V 0 E V La tensione vt e la corrente si leggono sul grafico al variare di. Se si suppone che abbia una piccola escursione (vari di poco), si può sostituire alla curva non lineare la sua tangente in quel punto, come già visto nello studio del metodo di Newton. I I D I 0 V 0 E V 65

66 Circuitalmente equivale ad avere: R S v S (t) E I D G D Il punto di lavoro si muove lungo la linea blu e non più lungo la traiettoria originaria in linea spessa. Se ci si sposta di poco la linearizzazione e la vera traiettoria non lineare sono pressoché uguali. Se si considera il circuito lineare equivalente si può applicare la sovrapposizione degli effetti: spegnendo e mantenendo I D ed E accesi si ottengono i I 0 e V 0 precedenti. Spegnendo i generatori I D ed E si ottiene: R S v S (t) G D (R D ) Questo è il circuito per piccoli segnali nell intorno di I 0 e V 0 e fornisce vt. Tale circuito è un circuito lineare in quanto costituito da soli elementi lineari. La sovrapposizione degli effetti è permessa solo per v S (t) molto piccoli in modo da non allontanarsi troppo dal punto di lavoro I 0, V 0. prende il nome di coefficiente di amplificazione. Nota: Se il valore di è negativo, il coefficiente di amplificazione può diventare in modulo maggiore di 1 (è necessaria cioè una pendenza negativa della curva). Più il valore di (negativo) si avvicina al valore in modulo di, minore è il segnale che si può amplificare, in quanto il punto di lavoro esce dalla zona in cui la curva non lineare e la sua linearizzazione differiscono di poco. 66

67 Esempio: I 2 1 V Vi sono tre linearizzazioni possibili (indicate con le linee tratteggiate rosse). Se la retta di carico (in blu) è quasi coincidente con l andamento della curva caratteristica (retta 1): Ci si può perciò spostare di pochissimo senza uscire dall amplificazione ( deve essere piccolo), mentre se la retta è molto diversa (retta 2) ci si può spostare molto di più (sono ammessi cioè segnali maggiori). Nota: Essendo il dispositivo strettamente passivo il valore massimo raggiungibile dalle tensioni al suo interno è, si ha pertanto: v(t) t 67

68 È un dispositivo globalmente passivo. Amplificatore Operazionale E + IN + IN - OUT E - Vi sono cinque morsetti principali. Per funzionare, E + deve essere collegato ad una sorgente di tensione positiva, mentre E - a una sorgente di tensione negativa. Di solito i generatori di tensione collegati ad E + e ad E - si inseriscono all interno dell operatore che diventa così un dispositivo attivo. IN + IN - E + E - OUT V d IN + IN - V OUT OUT Il morsetto di ground nel secondo disegno dell amplificatore operazionale si può anche sottintendere. Graficamente il trasferimento V d, V OUT è il seguente: V OUT V d 68

69 Dove la zona cerchiata in blu prende il nome di zona di saturazione ed il legame è non lineare, mentre la zona cerchiata in rosso prende il nome di zona lineare ed è a pendenza elevata. Si può interpretare come fosse un doppio bipolo. 0 Quando V d è molto piccola, l amplificazione è elevata (la retta è molto pendente), quando V d è grande l amplificazione è minima. Se il guadagno µ dell amplificatore operazionale tende a, allora: V OUT V d Se V 0 (corto circuito virtuale) la tensione è compresa tra E SAT e E SAT Se E SAT l operazionale non satura mai (è ideale) e si ottiene che 0, 0 e che, (si è cioè ottenuto il nullore). Nota: Il morsetto di terra si inserisce nel disegno per ricordarsi che la corrente di uscita è prodotta dalle alimentazioni interne all operatore amplificazionale ed è quindi soddisfatta la legge di Kirchhoff delle correnti. Se si considera l operazionale ideale (senza saturazione) la posizione dei segni + e sui morsetti può essere invertita senza alcun problema (la caratteristica cambia invece se è presente il fenomeno della saturazione). 69

70 Esempio di Giratore realizzato con amplificatori operazionali e resistenze: I 2 V 2 R 3 I 1 R 1 R 2 R 4 V 1 Il simbolo indica che l amplificatore operazionale è ideale, senza saturazione; mentre se il guadagno fosse stato finito si sarebbe indicato con il simbolo µ. Considerando tutti gli operazionali ideali, su tutti i morsetti di ingresso si ha V 1. Considerando inoltre tutte le resistenze uguali R R R R R, il secondo amplificatore operazionale ha una corrente pari a V R nel ramo di reazione e in uscita un potenziale perciò pari a 2 V. Di conseguenza nella resistenza R 2 scorre una corrente pari a V R Si può osservare che V R I è la prima relazione del giratore. e dunque: V R La seconda relazione del giratore si ricava facilmente osservando che la corrente I 1 entra tutta in R 1 e si ottiene: V R I Se si inserisce tra i morsetti 2 un condensatore si ottiene un induttore integrato. Questi circuiti prendono il nome di filtri RC attivi o RC + op.amp. (attivi poiché contengono l amplificatore operazionale che a sua volta contiene i generatori di tensione delle alimentazioni). V 1 I 1 R R I I 2 V 2 V 1 V 1 R V 1 V1 R 2V R V1 R V 1 V 1 V1 R R 70

71 Esercizio: Calcolare il valore massimo di in modo che l OP-AMP funzioni in zona lineare R 2 R 1 V IN V IN V OUT R 2 non può essere tuttavia troppo grande in quanto vi è il vincolo: Il vincolo può essere trasferito sulla tensione di ingresso dividendolo per il guadagno dell operazionale: Supponendo, si ha la relazione di congruenza: Vi è perciò il limite dato dalla tensione di saturazione dell amplificatore operazionale. 71

72 Circuiti Dinamici I circuiti dinamici contengono condensatori e/o induttori. Un condensatore è caratterizzato da, 0, dove q è la carica accumulata e V è la tensione. Sono possibili la formulazione serie: e la formulazione parallelo Se lineare corrispondono rispettivamente a: e In forma differenziale: Un induttore è caratterizzato da, 0, dove è il flusso e i la corrente. Sono possibili due formulazioni: e Se lineare corrispondono rispettivamente a: e Se si considera il metodo STA bisogna aggiungere ai termini già presenti: i v e q φ KCL (implicite) KVL: 0 Leggi di Ohm (R) Leggi di Ohm (dinamiche) Sono state inserite le due nuove variabili q e φ. i v X = e q φ T e r m i n i n o t i La dimensione della matrice è pari a: 2 1 Il tipo di equazioni contenute è misto: algebriche (lineari e non lineari) e differenziali. 72

73 Se si considera l analisi nodale (NA) si vuole che vi siano le espressioni parallelo equivalenti: Per il condensatore: Per l induttore: Il tipo di equazioni contenute è misto: algebriche, differenziali ed integrali. Se si considera l analisi nodale modificata (MNA) si ottiene: Per il condensatore: Per l induttore: In quanto l induttore non ammette formulazione parallelo, si aggiunge la variabile. Il tipo di equazioni contenute è misto: algebriche e differenziali. La dimensione della matrice è pari a: 1, dove x è il numero di induttori indipendenti presenti nel circuito. 73

74 Metodo delle Equazioni di Stato Questo metodo ha come variabili solo delle grandezze legate agli elementi dinamici, vi è perciò un insieme di N equazioni differenziali di primo ordine in forma normale, che prende il nome di equazione di stato: Nota: La forma non normale è la seguente: Se x fosse un vettore si avrebbe:,,, 0,,, Ci sono situazioni in cui non tutte le grandezze legate ad elementi dinamici possono essere variabili di stato, si parla perciò di candidate. Per il condensatore le variabili possibili sono: v o q Per l induttore le variabili possibili sono: i o φ Se il condensatore o l induttore sono lineari allora una variabile vale l altra. Se il condensatore o l induttore non sono lineari allora la scelta tra le due variabili dipende caso per caso. Considerando condensatori e induttori lineari si considerano per comodità i e v come candidate variabili di stato. Affinché siano effettivamente variabili di stato devono valere due proprietà: 1. Indipendenza Dinamica: tra le variabili di stato non vi deve essere alcun legame algebrico, deve cioè essere possibile assegnare arbitrariamente le condizioni iniziali 2. Completezza Dinamica: ogni altra variabile si deve poter ottenere dalle variabili di stato (e dagli ingressi) con legami algebrici Accanto all equazione di stato vi è perciò la seguente equazione che prende il nome di equazione di uscita:, Dove sono le variabili di stato, mentre sono gli ingressi. 74

75 Nel caso di elementi lineari si ha: e hanno dimensione, 1, ha dimensione,. Se gli ingressi sono R, ha dimensione, 1 e ha dimensione,. Se le uscite sono S, deve aver dimensione, e deve essere,. Nel caso 1 il sistema è SISO (Single Input, Single Output). Il sistema a volte si può trovare anche scritto nel seguente modo: In questo caso le uscite non hanno la dipendenza diretta dagli ingressi. Il motivo per cui nella teoria dei circuiti compare è dovuto al fatto che si utilizzano strumenti già modellati (condensatori ed induttori). Il secondo sistema agisce come filtro passa-basso e rispetta di più alcuni fenomeni fisici. Tuttavia nell analisi delle reti i condensatori e gli induttori sono modellati in maniera non fisica ed inoltre vi è una risposta istantanea fisicamente impossibile. Per questo è necessaria la presenza di che considera la presenza di elementi non dinamici. A volte è anche presente il termine della derivata dell ingresso. 75

76 Degenerazioni Topologiche e Parametriche I tipi di legame possono essere topologici o parametrici. I primi dipendono dalla struttura del collegamento, mentre i secondi dai valori assunti dagli elementi. Il fenomeno di degenerazione, che consiste nel passaggio dal legame differenziale ad uno algebrico, può essere puro se coinvolge solo elementi dinamici, ibrido se coinvolge anche generatori indipendenti. Si esaminano i casi principali di degenerazione: Maglie di soli condensatori È un esempio di degenerazione topologica pura. V 2 V 1 C C C V 3 0 Vi è un legame algebrico tra le tre tensioni e perciò al massimo due di esse possono essere variabili di stato per la proprietà di indipendenza dinamica. Maglie di condensatori e generatori di tensione È un esempio di degenerazione topologica ibrida. V 2 V 1 C C C V 3 V S 0 Vi è un legame algebrico tra le quattro tensioni e perciò al massimo due tra le tre tensioni dei condensatori possono essere variabili di stato per la proprietà di indipendenza dinamica. 76

77 Insieme di taglio di superfici chiuse di induttori È un esempio di degenerazione topologica pura. I1 L L I 2 I 3 L 0 Vi è un legame algebrico tra le tre correnti entranti nel nodo centrale e perciò al massimo due di esse possono essere variabili di stato per la proprietà di indipendenza dinamica. Insieme di taglio di superfici chiuse di induttori e generatori di corrente È un esempio di degenerazione topologica ibrida. I1 L L I 2 I S I 3 L 0 Vi è un legame algebrico tra le quattro correnti e perciò al massimo due tra le tre correnti degli induttori possono essere variabili di stato per la proprietà di indipendenza dinamica. Il numero di equazioni di stato è perciò pari a:.. Questo vale se vi sono solo,, e generatori non pilotati. 77

78 Esempi di degenerazioni parametriche 1. C C C Se vi è di nuovo la maglia di condensatori. 2. C V 1 V 2 L È un giratore, ma perciò l induttore L è visto come un condensatore e si ha una maglia. Le degenerazioni parametriche non sono immediatamente visibili, ma compaiono solo quando si fanno i conti con le variabili candidate. 78

79 Teorema di Sostituzione Supponendo non vi siano degenerazioni, le variabili di stato sono x, dove si hanno le tensioni per i condensatori e le correnti per gli induttori. All interno del rettangolo sono presenti solo elementi resistivi e generatori. Si utilizza la convenzione degli utilizzatori: Vettore delle variabili di stato: Leggi di Ohm: Si può usare il Teorema di Sostituzione: se un circuito ha una e una sola soluzione si può sostituire ogni elemento con una tensione ai suoi capi V con un generatore di tensione pari a V. Se alla fine vi è sempre una e una sola soluzione, allora i due circuiti sono equivalenti. Esempio: R R C R L R C L R 79

80 Si sostituiscono perciò a induttori e condensatori i rispettivi generatori di tensione e corrente: Le variabili di stato sono perciò i nuovi generatori inseriti, mentre gli ingressi sono i generatori preesistenti. Esempi di applicazione del Teorema di Sostituzione su circuiti non degeneri 1. L R R C 1 1 Per il Teorema di Sostituzione: R R R

81 Si ottiene perciò la seguente equazione di stato: 0 0 Se si considera come uscita la corrente nel resistore: Si ottiene la seguente equazione di uscita: Si consideri un circuito dove gli elementi dinamici sono stati messi in evidenza nel seguente modo (due condensatori e un induttore): Resistori e Generatori Si applichi il Teorema di Sostituzione, mettendo un generatore di tensione al posto di ogni condensatore e un generatore di corrente al posto dell induttore: V C Resistori e Generatori I V C Se si suppone che non vi siano degenerazioni strutturali topologiche o parametriche, il circuito che ne risulta è puramente passivo e ammette una ed una sola soluzione. 81

82 Se si scrive il legame costitutivo degli elementi dinamici usando la convenzione degli utilizzatori sui bipoli si ottiene: C VC I C f V C,V C,I L,u C VC I C f V C,V C,I L,u L IL V L f V C,V C,I L,u Le variabili complementari (che non sono variabili di stato per l elemento dinamico) possono essere espresse in funzione di tutti i generatori che ci sono nel circuito e si ha perciò la dipendenza di f( ) oltre che dalle variabili di stato anche dai generatori eventualmente presenti (u). Esempi di applicazione del Teorema di Sostituzione su circuiti degeneri 1. Teorema di Sostituzione applicato ad una maglia di condensatori: C C C 2. Considerando ora lo stesso tipo di degenerazione strutturale topologica inserita all interno di un circuito: I S R 3 V C C R V C C C V C R 1 Si esamina prima il caso in cui non vi siano generatori di tensione nella maglia, ovvero, il caso in cui la degenerazione sia pura (o omogenea). Essendovi una evidente degenerazione topologica non si possono usare contemporaneamente V C, V C e V C come variabili di stato, in quanto non è rispettata la proprietà di indipendenza dinamica (non si possono assegnare arbitrariamente le condizioni iniziali). Bisogna perciò togliere una delle tre tensioni dalle candidate variabili di stato. 82

83 Se si elimina V C dalle candidate variabili di stato, cioè non si sostituisce al condensatore C 3 un altro generatore di tensione evitando così di formare una maglia di soli generatori di tensione e avere di conseguenza infinite soluzioni, si applica il teorema di sostituzione inserendo un generatore di corrente: I S R 3 I C I C R V C V C R 1 I C C VC I C f V C,V C,I C,I S C VC I C f Dove V C e V C sono le variabili di stato, I C e I C sono due variabili in un circuito puramente resistivo e l equazione della degenerazione permette di trovare I C : Si deriva rispetto al tempo e si moltiplica per C 3 : V C V C V C C VC VC VC C I C f V C,V C,VC,VC,I S Si è ottenuto un sistema di due equazioni in due incognite del primo ordine differenziale lineare a coefficienti costanti. Infine, affinché sia in forma normale, bisogna spostare tutte le variabili con la derivata a sinistra della funzione, cioè bisogna passare alla seguente formulazione: V C VC Per far ciò bisogna considerarlo come se fosse un sistema in forma implicita ed esplicitarlo in funzione di V C e V C Il risultato finora ottenuto è valido quando ci sono degenerazioni strutturali topologiche omogenee pure, cioè maglie di condensatori o insiemi di taglio di induttori senza generatori indipendenti. 83

84 Si considera ora il caso in cui la degenerazione topologica sia ibrida (non pura / non omogenea), cioè quando vi siano maglie di condensatori che contengano anche generatori indipendenti di tensione: I S R 3 V C3 C R V C1 C C V C R 1 Scrivendo sempre l equazione della degenerazione: V C V C V C V S Effettuando quindi la sostituzione immaginando di far uscire dall insieme delle variabili di stato V C, si scrivono le due equazioni dinamiche: C VC I C f V C,V C,I C,I S,V S C VC I C f V C,V C,I C,I S,V S Si deriva rispetto al tempo e si moltiplica per C 3 l equazione della degenerazione: C V C VC VC VS C I C Si può osservare, che facendo il generatore parte del legame algebrico nell equazione della degenerazione, quando si deriva quest ultima per eliminare una delle candidate variabili di stato si deriva anche il termine noto. Sostituendo quindi I C : C VC I C f V C,V C,V C,VC,I S,V S,VS C VC I C f V C,V C,VC,VC,I S,V S,VS È necessaria un elaborazione per scriverlo in forma normale. Una volta scritto in forma normale: xt A xt B ut B u t 84

85 Vi è perciò la dipendenza dallo stato tramite la matrice A, dal termine noto tramite la matrice B e dalla derivata dal termine noto tramite la matrice B. Quest ultimo contributo è causato dal fatto che si utilizzano modelli pre-costruiti per rappresentare condensatori ed induttanze. Per l uscita si ha: yt C xt D ut In conclusione si può osservare che, nelle equazioni di stato nel caso di degenerazioni strutturali non omogenee (o ibride) che contengono anche generatori, viene fuori la derivata dell ingresso. Commento: La derivata dell ingresso in termini di funzione di trasferimento significa moltiplicare per s, dove s è l operatore derivata. Considerando ad esempio il legame tensione/corrente in un induttore, viene fuori un termine legato alla derivata dell ingresso: Vt L dit dt Vs s L Is Zs s L Il sistema descritto da equazioni di stato in cui siano presenti le matrici A B C D con D 0 si chiama improprio, mentre con D 0 si chiama proprio (questo è dovuto al fatto che il denominatore della funzione di trasferimento risulta di grado maggiore del numeratore). 85

86 Soluzioni delle Equazioni di Stato A xt B ut È un problema di Cauchy e la soluzione ha la seguente forma: A A Dove A prende il nome di Matrice di Transizione, il cui calcolo può essere effettuato in vari modi, ad esempio con lo sviluppo in serie dell esponenziale: 1 2! 3! Il primo termine, A, dipende solo dalle condizioni iniziali e prende il nome di risposta ad ingressi nulli. Il secondo termine, A, è l integrale di convoluzione tra la matrice di transizione e gli ingressi, dipende solo dagli ingressi e prende il nome di risposta con condizioni iniziali nulle. xt prende il nome di movimento e sono necessari 1 assi per rappresentarlo dove è l ordine della funzione. Esempio: 1 x 2 x 1 t t x 2 Si chiama traiettoria la proiezione del movimento nello spazio di stato, cioè nello spazio a dimensioni. 86

87 Nel caso a 3 dimensioni la traiettoria viene proiettata sul piano x 1 /x 2 che prende il nome di spazio di stato o di fase: x 1 x 01 x 02 x 2 Un circuito si definisce autonomo se 0 o è costante, sono perciò ammessi generatori di corrente e tensione costanti. L insieme di traiettorie per diverse condizioni iniziali prende il nome di ritratto di fase: x 1 x 2 Si definisce Punto di Equilibrio ogni punto del piano di stato per cui valga 0 In un circuito autonomo: A xt B U Se U 0 : A xt e i punti di equilibrio soddisfano la relazione A xt 0 Se 0 : xt 0 è punto di equilibrio unico Se U costante0 : i punti di equilibrio soddisfano la relazione B U Se 0 : vi è sempre un unico punto di equilibrio che è tuttavia localizzato fuori dall origine degli assi e che vi può essere riportato tramite un cambiamento di variabile. Esempio: x 2 x 20 x 10 x 1 87

88 Considerando le variabili: Si ottiene: Se 0 : ha infinite soluzioni e il numero di infinità è dato dalla differenza tra il rango massimo e il rango di. Esempio: Se 2 e il rango di è uguale a 1 esistono soluzioni. Se 2 e il rango di è uguale a 0 esistono soluzioni. Esempio di rango 0: V 1 C 1 C 2 V Il circuito è del secondo ordine 2, il rango di è uguale a 0 e perciò tutti i punti sono punti di equilibrio. 88

89 Esempio di rango 1: R I 1 I 2 V 1 C 1 C 2 V 2 Si suppongono: In quanto si ha che: Si ottengono: La matrice risulta essere singolare ed ha rango 1. I punti di equilibrio sono dati da una retta: V 1 V 2 La bisettrice del primo/terzo quadrante è, in questo caso, l insieme dei punti di equilibrio. A partire da una qualunque condizione iniziale i punti tenderanno ad andare sulla retta. Si può infine osservare che se il circuito è lineare si possono avere uno, nessuno o infiniti punti di equilibrio, mentre in un circuito dinamico non lineare i punti di equilibrio possono essere un numero qualsiasi. 89

90 Circuiti Lineari del I o Ordine I circuiti del primo ordine sono quelli con un solo elemento reattivo o con più elementi che sono tuttavia degenerati a una sola equazione. Si può osservare che, mentre la forma dell equazione del primo ordine è equivalente alla forma dell equazione di stato, per il secondo ordine questo non è più vero: Primo ordine: equazione del primo ordine forma dell equazione di stato Secondo ordine: 2 equazione del secondo ordine forma dell equazioni di stato Per un circuito del primo ordine si può sempre fare un equivalente Thevenin o Norton: R C Chiamando e, si ottiene la forma: R L Chiamando e, si ottiene la forma: Bisogna quindi considerare la condizione iniziale: (si pone uguale a 0 per semplicità). 90

91 La soluzione si ottiene scrivendo il polinomio caratteristico: Dove si determina dalle condizioni iniziali, è la costante di tempo, è la frequenza naturale ed è un integrale particolare che soddisfa l equazione e dipende dal termine noto, cioè dal generatore indipendente (molte volte ha la stessa forma del termine noto, ma non, ad esempio, se si ha un onda quadra). È interessante studiare i circuiti autonomi, nei quali il termine noto è costante: se è nullo, il punto di equilibrio è l origine, altrimenti vi è una semplice traslazione d assi nel piano di stato. Per semplicità si pone il termine noto uguale a 0 e perciò 0 (risposta libera del sistema): Il punto di equilibrio è 0, infatti: Se 0 0: x t traiettorie Punto di Equilibrio Asintoticamente Stabile Ritratto di Fase Un punto di equilibrio si definisce stabile se allontanandosi di poco le traiettorie non divergono. Un punto di equilibrio si definisce asintoticamente stabile se per un qualsiasi spostamento le traiettorie tendono a tornare nel punto di equilibrio. Se 0 0: x t traiettorie Punto di Equilibrio Instabile Ritratto di Fase 91

92 Esempio: Si consideri un condensatore con entrambi i morsetti aperti, esso ha 0 ed è stabile, ma non è asintoticamente stabile in quanto il suo punto di equilibrio è indifferente. Esempio: Asintoticamente Stabile Indifferente Instabile Quando il termine noto non è zero ma è costante, xt si scrive: 0 Dove è il valore del punto di equilibrio a cui tende la soluzione e dipende dal generatore : R V Se 0 C t Si può osservare che vi è solo una traslazione d assi. Se 0, prende il nome di punto di equilibrio virtuale e consiste nel punto a cui si arriva percorrendo l asse dei tempi all indietro. È, di conseguenza, il punto da cui provengono tutte le traiettorie. Un altra osservazione è che le curve per 0 (stabile) e per 0 (instabile) sono le stesse ma ribaltate rispetto all asse delle ordinate. Se si vuole trovare a partire da è immediato: 0 x x 0 xt x t t 92

93 Se si vuole invece trovare a partire da : 0 0 Si ottiene: 0 Questo è applicabile anche a circuiti non lineari la cui componente resistiva è esprimibile con una curva lineare a tratti (spezzata) e la componente dinamica è lineare. Esempio: Diodo Tunnel I V 93

94 Circuiti Lineari del II o Ordine I circuiti lineari del secondo ordine possono essere descritti in modo equivalente da una delle due seguenti forme: A xt B U Nota: Le condizioni iniziali nella seconda espressione devono arrivare fino alla derivata di ordine pari all ordine N della funzione meno 1. Esempio: Studio del comportamento del circuito risonante RLC I S (t) I R I C I L R C L Si scrive la Legge di Kirchhoff per le correnti: Si ottiene: Ponendo 2 e si ottiene: 2 Si possono scrivere in alternativa le due equazioni di stato: 94

95 In forma matriciale: La traccia della matrice è pari a: 2 e prende il nome di smorzamento. Il determinante della matrice è pari a: risonanza. Si può quindi riscrivere la funzione come: e prende il nome di pulsazione di Si consideri ora il comportamento libero: 0 0 R C L V Si scrive il polinomio caratteristico: 2 0 Le soluzioni λ 1 e λ 2 si chiamano frequenze naturali, naturali poiché descrivono il comportamento in assenza di generatori, libero. La soluzione per è: In generale, se le frequenze naturali sono distinte, la soluzione si può sempre scrivere come sommatoria di esponenziali: se l ordine è N si hanno N esponenziali. 95

96 Le soluzioni e possono essere reali, complesse coniugate e immaginarie pure:, 1. Se e sono due radici reali distinte 2. Se e sono due radici reali coincidenti 3. Se e sono due radici complesse coniugate 4. Se 0 e sono due radici immaginarie pure Nel caso 2 si scrive: Nel caso 3 si scrive: cos Se 0, cioè se 0: 1 Sovra-smorzato 2 Smorzamento Critico 3 Sotto-smorzato 4 Senza Perdite Dal punto di vista elettrico, mantenendo costante si può cambiare modificando il valore della resistenza: per aver grande è necessario avere piccola. Per, 0 e perciò il circuito si riduce a un semplice CL. 96

97 Considerando il piano complesso: 3 Im 4 ω Re 3 4 In rosso è indicato il luogo delle radici al variare di. Per diventa una semicirconferenza di raggio. Quando vi è la parte immaginaria vale la relazione: Quando le singolarità sono nel semipiano sinistro il circuito è asintoticamente stabile, se sono sull asse delle ordinate con molteplicità 1, allora il circuito è stabile: 0 0 Si vuole ora ricavare la soluzione tramite le equazioni di stato: questo metodo risolutivo fornisce due variabili e permette di tracciare il ritratto di fase. 0 Gli autovalori di sono le soluzioni del polinomio: 0 Dove è la matrice identità. Gli autovalori di prendono il nome di frequenze naturali, in quanto il polinomio che si ottiene è lo stesso che per la funzione del secondo ordine: La soluzione si esprime attraverso una combinazione lineare di auto vettori. 97

98 Se si moltiplica un generico vettore per la matrice si ottiene un vettore qualunque: x 2 x 1 Quando un vettore rimane allineato con il vettore di partenza, quello prende il nome di autovettore, cioè la moltiplicazione per la matrice è uguale alla moltiplicazione per uno scalare: x 2 x 1 Si può applicare a spazi di qualunque dimensione. Esempio: Nello spazio funzionale, rispetto all operatore derivata gli esponenziali sono autovettori dello spazio Se gli autovalori sono distinti, cioè, la soluzione si può perciò scrivere nel seguente modo: Dove e sono gli autovettori relativi a e Per controllare se la soluzione è corretta, si può inserire nell equazione di partenza e vedere se essa è verificata: Le due espressioni sono uguali in quanto: per definizione di autovettore. 98

99 Si può osservare che l autovettore non è altro che una direzione e quindi nel piano è una retta. x 2 x 1 Questa affermazione vale se gli autovettori sono reali. Scrivere la funzione in questo modo rappresenta lo stato secondo una base formata da e e non più x 1 e x 2 :, dove il segno sopra e indica che sono considerati ad un determinato istante di tempo t. È semplicemente un cambiamento di base. Se si considera come condizione iniziale un punto che si trova sull autovettore: all istante 0 vi è solo una delle componenti. Se si trova su un autovettore, la sua traiettoria non può uscire dall autovettore. Gli autovettori sono perciò particolari traiettorie che passano per l origine che è punto di equilibrio. Si considerino 0 e 0 reali: x 2 Im x 1 Re Dove il punto indica la condizione iniziale, le frecce blu la sua proiezione su e e le linee tratteggiate in rosso sono le parallele rispettivamente a e (nel caso in esame) indica una costante di tempo grande e dà origine a un autovettore lento. (nel caso in esame) indica una costante di tempo piccola e dà origine a un autovettore veloce. Perciò esse hanno peso diverso in istanti di tempo diversi: Per il contributo dell autovettore veloce è praticamente nullo e perciò le traiettorie tendono ad adagiarsi su 99

100 Per 0 (o per gli istanti di tempo che provengono da ) le traiettorie tendono ad adagiarsi su, l autovettore lento è trascurabile x 2 veloce lento x 1 Esempio: ,1 x 2 P x 1 Nel punto P: 1 aumenta, mentre 2 diminuisce La traiettoria si può ottenere prendendo numerosi punti. Tra i punti che si prendono si considerano quelli che hanno direzione parallela agli assi: Si sono ottenute due rette con traiettorie parallele agli assi e che si incontrano nell origine. Nel caso lineare sono delle rette e si chiamano null-cline (nel caso non lineare sono curve). Quando le due frequenze naturali sono reali e negative, l origine prende il nome di nodo stabile e corrisponde al caso sovra-smorzato. 100

101 Nota Importante: Cambiando il segno a e a gli autovettori veloce e lento si scambiano di ruolo e le frecce cambiano direzione. Il punto si dice di equilibrio instabile e per crearlo con un RLC bisogna implementare una resistenza negativa. 101

102 Analisi Grafica al variare delle Autosoluzioni La conoscenza della matrice permette di costruire il ritratto di fase. Si procede con la determinazione degli autovalori di : 0, Da λ e λ si possono determinare i rispettivi autovettori η e η e si può scrivere: 1. Se λ e λ sono reali negativi, l origine è un punto di equilibrio e prende il nome di nodo stabile. Im Re L autovalore vicino all asse immaginario λ prende il nome di autovalore lento, mentre l autovalore lontano dall asse immaginario λ prende il nome di autovalore veloce. Esempio: Si ricavano i punti di equilibrio: Si ottiene che l origine è l unico punto di equilibrio Si ottengono perciò i due autovalori 1 e 3 Si può osservare che:

103 Parentesi storica: Il polinomio si chiama secolare perché questa tecnica è stata utilizzata nella meccanica celeste per calcolare la parte principale delle orbite dei pianeti, è il movimento lento dei pianeti che si sviluppa nel corso dei secoli. Tornando all esempio: Im 3 1 Re L autovettore associato all autovalore λ prende il nome di autovettore lento, mentre l autovettore associato all autovalore λ prende il nome di autovettore veloce. Calcolo degli autovettori: λ λ Per ogni autovettore è sufficiente risolvere solo una delle due equazioni, in quanto forniscono la stessa informazione sulla direzione, perciò: L autovettore è perciò la bisettrice del 1-3 quadrante, mentre l autovettore è la bisettrice del 2-4 quadrante: x 2 lento x 1 veloce Se la condizione iniziale è su un autovettore, la traiettoria rimane sull autovettore stesso, se è su un qualunque punto del piano, le componenti sono date dalla regola del parallelogramma. Per le traiettorie tendono ad adagiarsi sull autovettore lento. Si può infine osservare che le traiettorie non possono intersecare gli autovettori. 103

104 Si consideri ad esempio il punto di coordinate ;1; per sapere l andamento delle traiettorie bisogna calcolare la derivata nel punto: Poiché 0, la traiettoria deve essere tangente all asse 0 e decrescente 3 2 Può essere utile trovare il luogo dei punti dove 0 : Tutti i punti della retta sono punti in cui la traiettoria è tangente a e si può osservare che la retta passa per l origine degli assi. x 2 lento x 1 veloce Metodo di Jordan: Se la matrice è 2x2 si può moltiplicare a destra e a sinistra con due matrici create con gli autovettori e si ottiene la matrice diagonalizzata: 1 0 che presenta gli autovettori sulla 0 3 diagonale. Nel nuovo sistema di coordinate i due nuovi assi sono gli autovettori. 2. Se λ e λ sono reali positivi gli autovettori si scambiano (l autovettore veloce diventa quello lento e viceversa), l origine è sempre un punto di equilibrio e prende il nome di nodo instabile e le frecce sono direzionate verso l esterno. 3. Se λ e λ sono reali di segno opposto, ad esempio λ 0 e λ 0, allora si ha che: 104

105 Le condizioni iniziali che si trovano sull autovettore stabile tendono ad andare nell origine per in quanto non vi è il contributo dell autovettore instabile, viceversa per le condizioni iniziali che si trovano sull autovettore instabile. Per che va da a inizialmente domina l autovettore stabile e poi quello instabile: le traiettorie risultano essere delle iperboli. x 2 instabile stabile x 1 Si può osservare che nei casi lineari vi è simmetria centrale. L origine in questo caso è un punto di sella: La pallina è stabile se e solo se si trova esattamente sull autovettore stabile. Numericamente non è possibile ricavare direttamente la traiettoria stabile con un risolutore, poiché basta una piccola perturbazione affinché diventi instabile. Bisogna partire dal punto di sella (l origine) e proseguire all indietro nel tempo (verso ) per ottenere l autovettore stabile. 4. Se λ e λ sono complessi coniugati, λ, αj β, allora si ha che: Gli autovettori e risultano a loro volta complessi coniugati: 105

106 Con passaggi matematici si possono ottenere sinusoidi smorzate, dove α è lo smorzamento e β è il periodo di oscillazione. Se 0 il punto di equilibrio 0,0 prende il nome di fuoco stabile: x 2 x 1 Le spirali sono del tipo logaritmico. Se 0 il punto di equilibrio 0,0 prende il nome di fuoco instabile: x 2 x 1 Si ricorda sempre che le traiettorie non si intersecano mai. 5. Se λ e λ sono immaginari puri, λ, j β, allora si ha che: Gli autovettori e risultano a loro volta immaginari puri e si possono ricavare seni e coseni. 106

107 Graficamente si ottengono delle ellissi che sarebbero delle circonferenze nel caso in cui fossero con la stessa fase e la stessa ampiezza. Il verso di percorrenza delle elissi stesse dipende dalla convenzione utilizzata nella definizione dei parametri del circuito. Si possono sempre determinare i punti a tangente orizzontale e quelli a tangente verticale: x 2 x 1 Vi è perciò una soluzione periodica che dipende dal punto iniziale. Esempio: Circuito LC C L L oscillatore lineare è caratterizzato dal fatto che l ampiezza dell oscillazione dipende dalle condizioni iniziali, mentre il periodo dell oscillazione dipende dal valore di LC. L origine è un punto di equilibrio e prende il nome di centro, è stabile ma non asintoticamente stabile, in quanto basta una piccola perturbazione per finire su una delle ellissi. 107

108 6. Se λ e λ sono coincidenti allora si ha che: Vi sono due autovettori coincidenti, deve inoltre valere che non vi sia interazione tra le due variabili. Esempio: Se 0 0 : La soluzione è: λ, Si può osservare che il punto di equilibrio è sempre l origine. Da e bisogna ricavare da una e sostituirlo nell altra, dividendo la prima equazione per la seconda si ottiene: Ne consegue che tutte le rette del piano passanti nell origine sono traiettorie e il verso di percorrenza dipende se è maggiore o minore di zero. x 2 x 1 Se 0 è la forma canonica di Jordan che ha sicuramente come autovalori due valori identici. I due autovettori tendono a coincidere ed è perciò sufficiente determinarne uno solo. I due sistemi non sono disaccoppiati, bensì sono unidirezionali. 108

109 Si riscrive quindi la seconda equazione come: Si può osservare che, scritta in tal modo, è un equazione differenziale non omogenea. La soluzione è quella dell omogenea associata più un integrale particolare. Perciò, in questo caso, si ottiene: E la dipendenza del tempo da si ricava dalla soluzione della prima equazione differenziale: Se λ 0 e λ 0 la matrice risulta singolare e i punti di equilibrio sono infiniti e pari a:, dove N è il rango massimo della matrice e r è il rango effettivo. 0 Quando 0 si ha: 0, è della forma, cioè una riga è proporzionale all altra. I punti di equilibrio sono dati da: 0 0 x 2 È una retta di punti di equilibrio x 1 109

110 Il primo autovettore è dato da: 0 La retta dei punti di equilibrio è anche l autovettore legato all autovalore nullo 0 Il secondo autovettore è dato da: Si ottiene perciò: Le traiettorie risultano quindi parallele all autovettore : x 2 0 x 1 Esempio Circuitale: V C 1 2 C 1 R 1 t Se inizialmente vi è una diversità di carica sui due condensatori vi è una corrente in R che li porta ad avere la stessa carica a regime. Il punto di equilibrio dipende dalla carica accumulata sui condensatori all istante iniziale: in quanto la carica non può uscire dal circuito è sempre vero che vi è un punto di equilibrio diverso da zero (uguale a zero se e solo se i due condensatori sono precaricati esattamente con carica opposta). 110

111 Nota Importante: La presenza di insiemi di Taglio (superfici chiuse) di soli condensatori rivelano la presenza di una frequenza naturale nulla. C 1 C 2 R Si scrivono le equazioni di stato: In questo caso si hanno: 2, 2 e e di conseguenza: x 2 0 x 1 3 La soluzione è data da:

112 Dividendo la seconda equazione per la prima si ottiene: Si è ottenuto un insieme di rette con coefficiente angolare 1 2 come si era affermato precedentemente. Infine, se è negativo tutte le traiettorie convergono, se è positivo divergono. x 0 x 0 x x Se λ, 0, cioè entrambi gli autovalori sono nulli, tutti i punti del piano sono punti di equilibrio. Esempio: Vi sono due insiemi di taglio di condensatori e quindi λ, 0, le traiettorie sono tutti i punti del piano e ha rango 0. Se invece fosse: λ, 0 Tuttavia il rango della matrice non è 0, ma è 1. Si ha che:

113 Prendendo un qualsiasi punto iniziale, rimane costante, mentre cresce e decresce sempre a seconda del segno di e di. Punti di x 2 equilibrio x 1 Esempio Circuitale: Es. di condizione iniziale V 1 hv 1 Vi è un ulteriore caso da esaminare, quando : λ, 0 Si determinano i punti di equilibrio: 0 È un caso di due autovettori coincidenti ed uguali a zero.. Le traiettorie risultano perciò come quelle del caso 0 0, ma ruotate: 0 x 2 x 1 113

114 Grafico riassuntivo: Im,,.. 0,.. 0, 0, 0 Re, 0,.. 0,.. 0, Il termine esponenziale legato ad un autovettore prende il nome di modo naturale del sistema. Quando ci si posiziona su un autovettore come condizione iniziale, vuol dire che si eccita solo quel particolare modo del sistema, mentre se il punto iniziale è fuori dagli autovettori allora si eccitano tutti i modi. La forma d onda legata ad un modo naturale del sistema è un esponenziale puro. 114

115 Circuiti Dinamici Non Lineari del I o Ordine Si consideri il caso quando si ha un elemento dinamico e qualcosa di resistivo dove risiede la non linearità. I V NL La non linearità deve essere espressa come essendoci collegato un condensatore; si utilizza di solito la convenzione degli utilizzatori per il bipolo non lineare. 0 I Caratteristica resistore non lineare V 2 V 1 V 0 V Il movimento del punto iniziale può avvenire solo sulla curva del resistore e prende il nome di percorso dinamico. Per sapere il verso delle frecce bisogna esaminare la derivata di V: finché la corrente è positiva la tensione decresce (a causa del segno meno), viceversa quando la corrente è negativa. Proiettando sul piano di stato (che al primo ordine è una retta): V=0 V I punti di equilibrio sono dati da: 0 0 Si può quindi osservare che il punto 0 è un punto di equilibrio stabile. 115

116 La corrente varia a seconda dell andamento di V: V V 1 V 2 t 1 t 2 t I t 1 t 2 t Esempio di un altra caratteristica non lineare: I V 0 V P 3 P 2 P 1 V Vi sono più punti di equilibrio, sia stabili che instabili:, 116

117 Tornando al caso di partenza, si può linearizzare a tratti la curva non lineare: I V 2 V 1 V 0 V Si possono così ricavare le soluzioni analitiche del seguente circuito: I V I S G M Dopo l istante nel quale si è raggiunto si considera non più la soluzione precedentemente ottenuta, ma si deve ricavare la soluzione analitica del nuovo circuito con la nuova retta e quindi diversi e. Esempi: 1. I M O N V Per rappresentare una curva di questo tipo è necessario avere non solo resistenze ma anche generatori; infatti essendo la caratteristica presente nel secondo/quarto quadrante vi è generazione di potenza e non solo dissipazione. È necessario utilizzare operazionali con la rete di polarizzazione. 117

118 I V NL Equazione dinamica del condensatore:, dove il meno è dovuto alla convenzione scelta. Se 0 decresce, se 0 cresce. Si determinano i punti di equilibrio: sono i punti in cui: 0 0 Perciò: 0, 0 è punto di equilibrio instabile. M ed N non sono punti di equilibrio, ma quindi non si può rimanere in loro. Servirebbe un modello che introduca effetti che sono stati trascurati. Con il modello correntemente utilizzato si può sfruttare la proprietà di un condensatore per cui la sua tensione è una grandezza continua nel tempo (purché la corrente sia limitata). Il percorso dinamico, mantenendo la continuità nella tensione, può passare da M a M, con tuttavia un salto della corrente. La stessa situazione si ripropone nel passaggio da N a N. I N G M I S V V O N V M I punti M ed N prendono il nome di punti di vicolo cieco o empasse. Si consideri di trovarsi nel punto N, nel primo tratto il suo andamento è schematizzabile come: V C G M I S 118

119 V N V t t V M V V Dopo che è arrivato a V M passa in V M V M e così via. L andamento totale è perciò il seguente: V V N = V N t t t t V M = V M È un oscillatore e prende il nome di multivibratore astabile. Può essere fatto con due BJT collegati in maniera opportuna ed è un circuito autonomo che necessita anche di alimentazioni. L andamento della corrente si ricava dalla curva precedente considerando la presenza del condensatore: I t t t t Si è costruito un oscillatore con un circuito del I o ordine, purché la caratteristica resistiva sia non lineare e siano presenti generatori. Si suppone che il passaggio da V M a V M sia istantaneo, cosa fisicamente impossibile ma che rende accettabile il circuito. 119

120 Si sono trascurati gli effetti induttivi: se si inserisce un induttanza il circuito diventa del II o ordine ed il passaggio tra V M e V M non è più istantaneo: più è piccolo l induttore, maggiore è la velocità del passaggio da V M a V M. 2. V I V L NL I È un circuito equivalente al precedente. Si sono cambiati sia gli assi che l elemento dinamico. 3. I V I L NL M P O N V Q Si è presa la stessa caratteristica iniziale, ma si è cambiato l elemento dinamico. Si scrive quindi l equazione di stato per l induttore: Se 0 decresce, se 0 cresce. Si determinano i punti di equilibrio: sono i punti in cui: 0 0 Perciò i punti P, O e Q sono punti di equilibrio: P e Q sono punti di equilibrio stabile,mentre O è un punto di equilibrio instabile. 120

121 Questo circuito, avendo due punti di equilibrio stabile, prende il nome di bistabile. Se si è in uno dei due punti di equilibrio stabile, per passare nell altro è necessario agire dall esterno con un generatore di tensione: E da P a Q V I L NL ΔT ΔT t da Q a P Il segnale (l onda quadra) per passare da P a Q e viceversa prende il nome di segnale di Trigger. L induttore vede sia il dispositivo non lineare, sia il generatore di tensione. Corrisponde a spostare a destra di un ampiezza pari a la caratteristica. Si vuole che, in questo modo si ottiene un punto di equilibrio che non è Q, ma poi spegnendo il Trigger il punto si sposta in Q, essendo un punto di equilibrio stabile. Il Trigger deve avere E S V M e durata ΔT sufficiente a far attraversare l asse delle ascisse. I P E S V Q 121

122 Circuiti Dinamici Non Lineari del II o Ordine,, Uguagliando a zero e si ottengono tutti i punti di equilibrio. x 2 x 1 Si considera ogni punto di equilibrio e si studia il suo contorno scrivendo lo Jacobiano e il circuito linearizzato corrispondente. Si ottiene così: Si verifica quindi l intorno di ciascuno dei punti di equilibrio risolvendo i circuiti del secondo ordine equivalenti. Si tentano poi di collegare le traiettorie ottenute nell intorno di ogni punto di equilibrio tra loro. 122

123 Circuiti Dinamici Lineari nel Dominio delle Trasformate Lo studio dei circuiti dinamici lineari avviene applicando la trasformata di Laplace a tutto il circuito oppure applicandola al singolo elemento considerando la legge di Ohm e la condizione iniziale del componente stesso. Esempio: Per un induttanza: 0 Trasformata di Laplace: Si ricorda che l operatore di Laplace è un operatore lineare. L operazione di derivata nel dominio delle trasformate di Laplace avviene moltiplicando per la variabile e tenendo conto della condizione iniziale. Esempi: Per un induttanza: 0 Per un condensatore: 0 Per un resistore: Tutte le leggi valide nel dominio del tempo sono applicate nel dominio della trasformata di Laplace. Esempio: Analisi Nodale Per il condensatore: 123

124 Per l induttore nell analisi nodale bisogna esprimere I s in funzione di V s. 1.. Scrivere l analisi nodale in trasformata di Laplace corrisponde perciò a: Dove: è la matrice dell analisi nodale è il vettore che contiene la trasformata di Laplace delle incognite è il vettore che contiene la trasformata di Laplace del termine noto è il vettore che contiene le condizioni iniziali degli elementi dinamici, è un numero costante Vi sono sia i termini forzanti dovuti a sia le condizioni iniziali contenute in Si può scrivere: Dove: è la risposta del circuito con condizioni iniziali nulle e può servire per ricavare la funzione di trasferimento è la risposta del circuito con forzanti nulle e serve per ricavare le frequenze naturali della rete Quando vale 0 si parla di comportamento autonomo del circuito. Perciò, nel dominio delle trasformate di Laplace, forzanti e condizioni iniziali compaiono nella stessa equazione e si può considerare il circuito equivalente con condizioni iniziali nulle inserendo un generatore costante nel dominio della trasformata; equivalente ad un generatore impulsivo nel dominio del tempo. 124

125 Esempio: Si consideri una rete RC con il condensatore inizialmente carico: C R Nel dominio del tempo: Nel dominio della trasformata di Laplace: In questo caso si ha come un impulso di corrente che fornisce istantaneamente la carica al condensatore: C 0 R Se si vuole fare l equivalente Thevenin, si spegne il generatore e si valuta la resistenza e quindi la tensione di uscita a vuoto: C Si ottiene quindi: Nel tempo è perciò un gradino di ampiezza. 125

126 Calcolo delle Frequenze Naturali Vi sono diversi metodi per esprimere l equazioni risolutive di un circuito: Sparce Tableau: Dove: è una matrice di operatori lineari contenente l operatore di derivata è il vettore delle incognite è il vettore dei termini noti Analisi Nodale: Dove: è una matrice di operatori lineari contenente l operatore di derivata. è il vettore delle incognite è il vettore dei termini noti Equazioni di Stato: Dove: Se e hanno dimensione, 1, ha dimensione,. Se gli ingressi sono R, ha dimensione, 1 e ha dimensione,. 126

127 Si vogliono calcolare le frequenze naturali della rete, quelle per cui sono nulli i termini noti. Si cerca se sono ammesse come soluzioni particolari degli esponenziali puri, cioè delle soluzioni che si trovano su un autovettore. Se ciò è verificato, vale la proprietà che la sua derivata corrisponde all esponenziale puro moltiplicato per il suo esponente (senza la variabile): Perciò: 0, dove è un esponenziale puro. La soluzione è diversa da zero se e solo se: 0 Questo vale per ogni metodo e lo si ritrova nelle equazioni di stato: 0 Si determinano in questo modo gli autovalori di e si può osservare che tutti i metodi hanno lo stesso polinomio caratteristico a meno di una costante. Esempio: H Ω 0 Si vogliono trovare le frequenze naturali del circuito. Si applica il metodo della Equazioni di Stato. Le variabili di stato sono e : , Questo circuito ha perciò due frequenze naturali reali e negative. 127

128 Se si applicasse invece il metodo MNA: Nodo 1: 0 Nodo 2: 0 Legge di Ohm per L: 0 0 Sostituendo la derivata rispetto al tempo con si ottiene: Le frequenze naturali sono date da: Si ottiene: ; 8 È il risultato precedente moltiplicato per una costante 80. Nota importante: Per calcolare il determinante si è utilizzato il metodo seguente: Se si ha una matrice data da: Il suo determinante è dato da: 128

129 Un altro metodo consiste nel considerare direttamente l unica maglia delle tensioni fornita dal circuito. Derivando e sostituendo l unica corrente incognita si ottiene: Sostituendo alla derivata: Da cui si ottengono nuovamente le frequenze naturali. Si può osservare che vi è la frequenza naturale nulla se nel circuito vi è un insieme di taglio di condensatori (o una maglia di induttori). L C N C C L L Fisicamente: le cariche si possono spostare ma non scaricare e perciò per si hanno delle tensioni finite e 0 Matematicamente: Applicando la KCL al nodo N vi è una riga dove comparare in ogni elemento diverso da zero. Quindi il calcolo del determinante si può fare calcolando lo sviluppo lungo quella riga Dove si sono presi i singoli elementi della riga e si sono moltiplicati per il determinante della matrice ottenuta eliminando la riga e la colonna corrispondente a quell elemento e poi si sono sommati insieme tutti i risultati così ottenuti e il risultato è stato posto uguale a

130 Applicazione della Trasformata di Laplace Si consideri il circuito seguente: Con le condizioni iniziali date da: Si rappresentano i generatori di tensione e corrente come e : Dove: sono dei numeri che tengono conto delle condizioni iniziali (trasformata della funzione impulso nel dominio del tempo) è il vettore dei termini noti Si ottiene: Il risultato è, naturalmente, in trasformata di Laplace. Sia al denominatore che al numeratore vi è un polinomio nella variabile. Ma quindi ogni variabile è rappresentata da un rapporto tra due polinomi nella variabile : Questa non è la soluzione del circuito ma la sua trasformata e per tornare nel dominio del tempo bisogna anti-trasformare. 130

131 Il metodo usato è scrivere la funzione come moltiplicazione di trasformate note: Del rapporto di polinomi bisogna perciò scrivere lo sviluppo in frazioni parziali nel seguente modo: 1. Se è di grado superiore o uguale a bisogna effettuare la divisione. Esempio: Si consideri di un grado maggiore di : Una frazione con di grado superiore a prende il nome di propria. 2. Bisogna fattorizzare il denominatore: 1 Si può osservare che si sta considerando il caso in cui le radici siano semplici. Si scrive quindi lo sviluppo di Hermite o in frazioni parziali:,, prendono il nome di residui e si possono calcolare in due diversi modi: a. Con il principio di identità dei polinomi b. Con il metodo dei residui lim Ottenuti i residui si ottiene la soluzione come somma di esponenziali che possono essere sia reali che immaginari: 131

132 Funzione di Rete Si definisce matrice di funzioni di rete il rapporto tra la trasformata di Laplace delle uscite e la trasformata di Laplace degli ingressi con le condizioni iniziali nulle. In generale con R uscite e M ingressi si ha: Si può scrivere: Le dimensioni sono:, 1,, 1,, 1,, Si vuole ricavare la funzione di rete, cioè in funzione di solo : Si definisce quindi una matrice di dimensioni, : Si osserva che se 1, allora è uno scalare. ingresso generatore G S uscita lettore Quando generatore e lettore sono sullo stesso ramo si parla di impedenze e ammettenze, su due rami diversi di trans-impedenze e trans-ammettenze. 132

133 Si chiamano zeri di le radici del numeratore e poli di le radici del denominatore. Per le frequenze naturali le soluzioni sono dove è l ordine dinamico del sistema, mentre in questo caso vi può essere il fenomeno di cancellazione tra numeratore e denominatore. Ma quindi i poli o sono coincidenti con le frequenze naturali o ne sono un sottoinsieme. Esempio: Considerando il circuito precedente, se la funzione di rete è presa in modo corretto, allora vi sono due poli: 2 e H Ω 0 Prendere in maniera corretta la funzione di rete corrisponde a non avere modifiche nel circuito a generatori spenti: CORRETTO CORRETTO NON CORRETTO L ultimo circuito non è corretto in quanto il generatore di tensione spento è un corto circuito e il circuito risultante non è più corretto. Nota importante: Il generatore di corrente e il voltmetro devono essere posizionati in parallelo, il generatore di tensione e l amperometro devono essere posizionati in serie. 133

134 Esempi di casi in cui i poli siano un sottoinsieme: 1. 1 frequenze naturali: V g m V Il circuito ha sicuramente due frequenze naturali non essendoci degenerazioni. Se si eccitasse con un generatore di corrente e si leggesse con un voltmetro si avrebbero due poli: V g m V Se si invertono generatore e lettore si elimina la funzione di trasferimento 0: V g m V Se si mettono sullo stesso ramo vi è un solo polo: V g m V Si può quindi osservare che il problema della cancellazione è legato ai fenomeni di osservabilità e controllabilità. 134

135 Ritornando a considerare la funzione di trasferimento e considerando per semplicità il caso in cui è uno scalare: Se non ci sono degenerazioni ibride (cioè non compare la derivata dell ingresso): a. Se 0 il grado del numeratore è strettamente minore del grado del denominatore: b. Se 0 il grado del numeratore è minore o uguale al grado del denominatore, in quanto vi è un legame diretto tra uscita ed ingresso: Se ci sono degenerazioni ibride, il grado del numeratore può essere superiore di un unità al grado del denominatore, in quanto la derivata nel tempo dell uscita è esprimibile nella trasformata di Laplace come l operatore : 1 Esempio: I(s) L V(s) Se la funzione di rete è un impedenza o un ammettenza propria (cioè è quella di un bipolo) vale la condizione necessaria per cui il grado del numeratore e quello del denominatore possono differire al massimo di un unità: Esempio: Non può essere un impedenza o un ammettenza in quanto 2 135

136 Considerando ora due bipoli con la stessa struttura e stessi valori dei componenti: 1Ω 1Ω 1Ω 1Ω I 1F 1F V 1F 1F I bipoli si definiscono equivalenti se vale la relazione Questi due circuiti hanno tuttavia frequenze naturali diverse, infatti, considerando la rete spenta, (generatori posti a zero) si ottengono due reti diverse: 1Ω 1Ω 1Ω 1Ω 1F 1F 1F 1F Pertanto i poli di sono diversi dai poli di. Ciò è ovvio se si osserva che i poli di risultano essere uguali agli zeri di Y e viceversa. Se si considerano invece i due seguenti bipoli (ai nodi A e B): A 1Ω 1Ω I 1Ω 1Ω I 1Ω V 1F 1F 1Ω V A 1F 1F B B I due circuiti spenti sono uguali e perciò le frequenze naturali del primo sono le stesse del secondo. Se del primo si considera e del secondo si ha che i poli di sono gli stessi di (se non ci sono cancellazioni). Di conseguenza e i due bipoli non sono equivalenti. Si può osservare che qualsiasi sia la funzione di trasferimento i poli sono sempre pescati tra le frequenze naturali del circuito. 136

137 Legame tra la Funzione di Rete e la Risposta in Frequenza R V IN C V OUT La funzione di rete è data da: Si supponga che sia un generatore sinusoidale: Si può dimostrare che la conoscenza della funzione di rete valutata in permette di trovare il valore di a regime. Dimostrazione: Si supponga di voler trovare a regime quando l ingresso è di tipo sinusoidale. I passaggi da svolgere sono i seguenti: Si trasforma in con la trasformata di Laplace Si moltiplica per e si ottiene in questo modo Si antitrasforma e si fa il suo limite per 137

138 Si scrive come somma di esponenziali complessi: Dove: è un numero complesso e è un numero complesso coniugato. Poiché il sistema è lineare, si applica la sovrapposizione degli effetti valutando prima separatamente e e poi sommando i risultati ottenuti. Si effettua quindi la trasformata di Laplace di : Si ricava utilizzando la funzione di trasferimento del circuito : Si sviluppa il prodotto 1 2 nei suoi poli: Si osserva che non serve calcolare i, in quanto, nel dominio del tempo, risultano moltiplicati per e, in quanto il circuito è asintoticamente stabile per per costruzione, il loro contributo a regime è nullo. L unico termine di interesse è dunque, che si può calcolare con il metodo dei residui: lim 1 lim è perciò il residuo della funzione calcolata in. Ma quindi: Antitrasformando:

139 Per, con conti analoghi, si ottiene: Ricordando che vale la proprietà per cui: Si ottiene: 1 2 Quindi l ampiezza risulta moltiplicata per il modulo di mentre vi è uno sfasamento pari alla sua fase, infatti indicando con: e, si ottiene: 139

140 Procedimento grafico per l analisi di H(jω) è un vettore che parte dagli zeri e si congiunge all asse immaginario nel punto è un vettore che parte dai poli e si congiunge all asse immaginario nel punto Se si avessero tre poli ed uno zero: Im d 2 jω d 1 l 1 Re d 3 # # Il massimo si ottiene dove il denominatore è minimo. 140

141 Se vi fossero poli e/o zeri sull asse immaginario: Im Re zero poli c.c. Esempio: Im Im d 1 l Re d 1 l Re z 1 z 1 p 1 p 1 Si ha che:, ma anche che: Si può inoltre osservare che è sempre maggiore di essendo il suo supplementare ed essendo 90. Nota: 1 e è uguale a due volte la fase introdotta dallo zero. ha sempre perciò fase maggiore di che pertanto prende il nome di funzione di rete a sfasamento minimo. aggiunge solo uno sfasamento e prende perciò il nome di sfasatore puro. Ma quindi se una funzione ha uno zero nel semipiano destro si può sempre scrivere come una funzione con lo zero nel semipiano sinistro moltiplicata per lo sfasatore puro. Nota importante: Condizione necessaria per ammettenze ed impedenze e che sia i poli che gli zeri si devono trovare nel semipiano sinistro. In quanto i poli degli uni sono gli zeri degli altri. 141

142 Esempio di calcolo delle frequenze naturali di un circuito: Si considerino tutte le resistenze e le capacità di valore unitario per facilità di calcolo. Per risolvere il circuito, bisogna scegliere un metodo di analisi, ricavare la matrice relativa e porre il suo determinante uguale a zero. Metodo delle Equazioni di Stato: Si scrivono le equazioni di stato: 1 Per ricavare si impone il bilancio di correnti al nodo 0: Considerando tutte le resistenze uguali e di valore unitario come per ipotesi si ottiene: 2 3 Considerando anche le capacità uguali e di valore unitario, come per ipotesi, si ricava la matrice e si calcolano i suoi autovalori:

143 Si ottiene in conclusione che gli autovalori sono dati da:, Si può osservare che gli autovalori sono coincidenti per: In questo caso gli autovalori valgono entrambi: , 1 2 Metodo dell Analisi Nodale: Si ottiene una matrice 3x3: Si calcola quindi il suo determinante: È lo stesso risultato calcolato con il metodo delle Equazioni di Stato a meno della costante moltiplicativa

144 Metodo delle correnti di maglia: Il circuito da esaminare equivale al seguente: I 0 Nota importante: Se in un bipolo è presente un generatore pilotato si può scrivere l equivalente Thevenin a meno che il comando del generatore pilotato non risulti interno al bipolo stesso. Considerando le correnti di maglia e : Le frequenze naturali si ottengono calcolando il determinante: È lo stesso risultato calcolato con il metodo dell Analisi Nodale ed è lo stesso risultato calcolato con il metodo delle Equazioni di Stato a meno della costante moltiplicativa

145 Sintesi Passiva RLC Si consideri, si vuole determinare quando è possibile realizzare con solo componenti passivi RLC (e al massimo trasformatori M), cioè senza generatori pilotati né operazionali, una impedenza o una ammettenza con tali poli e zeri. Si possono individuare alcune condizioni necessarie e sufficienti ricavate per la prima volta da Otto Brűne. Teorema 1: Sia una funzione complessa in variabile complessa. Condizione necessaria e sufficiente affinchè sia fisicamente realizzabile è che sia positiva reale (PR). Una funzione si definisce positiva reale (PR) se e solo se valgono le seguenti due condizioni: I. reale per s reale Vuol dire che tutti i coefficienti che compaiono in devono essere numeri reali. Im Im Re Re II. 0 per 0 Cioè un punto del primo semipiano destro finisce sempre nel secondo semipiano destro. Im Im Re Re Di conseguenza se un bipolo è composto solo da RLC consegue che è un PR e se è un PR allora un bipolo è composto solo da RLC. 145

146 Dimostrazione RLC è un PR: Si ricorda che il teorema di Tellegen afferma che: Se si considera un bipolo: 0 convenzione dei generatori convenzione degli utilizzatori Si ha che: Dove si sono evidenziati i contributi delle resistenze, degli induttori e dei condensatori contenuti all interno del bipolo. In quanto si può anche scrivere: Allora si ha: Dove: 1 è reale e maggiore di zero è reale e maggiore di zero è reale e maggiore di zero, dove è la parte reale e è la parte immaginaria Valutando la parte reale: 1 Ma quindi si è ottenuto che: 0 se 0 come volevasi dimostrare. 146

147 Nella definizione di una funzione PR sono nascoste le proprietà di passività e stabilità del circuito. La seconda condizione necessaria affinchè sia PR può quindi essere sostituita da condizioni sulla passività e stabilità del circuito. Teorema 2: 1. reale per s reale 2. 0 condizione sulla passività 2. Poli e zeri, cioè le singolarità, devono trovarsi nel semipiano sinistro aperto; se si trovano sull asse immaginario devono essere semplici e con il residuo maggiore di zero (condizione sulla stabilità) Si definiscono polinomi di Hurwitz quei polinomi con parte reale delle radici negativa. Si dice che sono strettamente di Hurwiz se le singolarità sono nel semipiano sinistro aperto. Metodo per determinare quando : Si scompongono dapprima numeratore e denominatore nelle parti pari e dispari: Si osserva che: 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; Di conseguenza è formato da soli termini pari che vengono poi elevati al quadrato e è anch esso reale e maggiore di zero; è reale, mentre è immaginario. Si ottiene infine la formula cercata: 0 147

148 Esempio: Applicando la formula ricavata: In quanto si verifica essere maggiore di zero per ogni, allora la condizione sulla passività espressa dal test 2 : 0 è verificata. Per la condizione sulla stabilità si sfruttano i polinomi di Hurwitz. 0 la radice è negativa se: 0 0 condizione necessaria e sufficiente affinchè le radici siano negative è che: 0 e 0 Determinare se le radici sono negative è più complicato quando l ordine del polinomio è maggiore o uguale al terzo. Ad esempio: 0 Infatti la condizione che i coefficienti siano tutti maggiori di zero è sempre necessaria ma non più sufficiente. Esempio: Ha le radici (in prima approssimazione): Im Re La condizione che i coefficienti siano tutti positivi è perciò necessaria ma non sufficiente. 148

149 Infatti si può osservare che: Im Dove N è l ordine della funzione. Zona Proibita Re Zona Proibita Di conseguenza la condizione che i coefficienti siano positivi e sufficiente per 1 e per 2: 1 Im 2 Im Re Re Una volta fattorizzati, i polinomi di Hurwitz hanno i seguenti contributi: ; ; ; Affinchè un polinomio sia di Hurwitz, condizione necessaria ma non sufficiente è che deve essere completo, cioè contenere tutte le potenze di fino all ordine considerato. Vi sono due possibili casi di incompletezza in cui comunque il polinomio è di Hurwitz: I. Non vi è il termine di grado zero. II. Mancano tutti i termini pari o tutti i termini dispari Esempio: 1 0 non è un polinomio di Hurwitz poiché manca 0 può essere un polinomio di Hurwitz 149

150 L ultimo test consiste dunque nel sommare numeratore e denominatore e verificare che il polinomio ottenuto sia strettamente di Hurwitz. Questa condizione è automaticamente verificata se numeratore e denominatore hanno grado massimo 2. 1Ω 1 Riassumendo, le tre condizioni affinchè sia fisicamente realizzabile sono: 1. reale per s reale 2. 0, con 3. è un polinomio di Hurwitz 150

151 Come realizzare un fisicamente realizzabile Vi sono delle tecniche che possono permettere di arrivare al risultato finale: Espansione in Frazioni Parziali (Sviluppo di Hermite o nei poli) Dove: 2 corrisponde a un induttore e vi è solo quando il grado del numeratore è: 1 corrisponde a un resistore e vi è solo quando: ha corrisponde al parallelo di un condensatore e di un resistore corrisponde al parallelo di un condensatore e di un induttore Si osserva che non si può avere il grado del numeratore più di due volte maggiore di quello del denominatore ( 2), in quanto si stanno trattando impedenze. La presenza dello zero corrispondente ai poli complessi coniugati è dovuta alla scrittura adottata: 2 Dove nell ultima eguaglianza si è posto: Se,, e sono tutti positivi allora la funzione è fisicamente realizzabile in quanto si ha una sua realizzazione. Questo è dovuto al fatto che ai vari termini corrispondono R, L e C. Tuttavia se vengono dei numeri negativi può essere realizzabile ma non si hanno sufficienti informazioni. 151

152 Espansione in Funzione Continua (Lunga Divisione) Dato si può effettuare la divisione se il grado del numeratore è maggiore o uguale al grado del denominatore: : 1 In quanto per definizione si può ripetere la divisione, ottenendo: 1 Il processo può essere continuato iterativamente: Si ottiene perciò una rete a scala: Se gli scatolotti così ottenuti hanno coefficienti positivi, allora la funzione è fisicamente realizzabile, tuttavia non vale l inverso. 152

153 Esempi: 1. Realizzare, se possibile, con un bipolo la seguente funzione: Im 3 1 Re Si può osservare che la condizione che sia un polinomio di Hurwitz è automaticamente soddisfatta. Si verifica quindi se è valida la condizione 0 : Si può osservare che non è maggiore o uguale a zero e quindi non è fisicamente realizzabile. 2. Realizzare, se possibile, con un bipolo la seguente funzione: 2 1 Im 2 1 Re In questo caso si ottiene 2 ed è sempre maggiore o uguale a zero, quindi è fisicamente realizzabile:

154 Si ottiene quindi: La cui realizzazione circuitale e diagramma di Bode sono i seguenti: 1F 1H 2Ω 1 2 ω 3. Realizzare, se possibile, con un bipolo la seguente funzione: Im Re 2 3 I poli sono: 2 2 ; mentre gli zeri sono: Si può osservare che il metodo di sviluppo in frazioni parziali è pratico quando si possono individuare facilmente i poli. In questo caso si ottiene quindi:

155 Essendo e positivi, è realizzabile con due bipoli in serie, ognuno formato da due bipoli in parallelo: Realizzazione circuitale: Ω 1F 1F 1 4 H Questa può non essere l unica soluzione possibile. 155

156 Impedenze con solo LC Di tutte le realizzabili si studia ora un sottoinsieme che consiste nella realizzazione usando solo coppie LC, RC o RL e ci si concentrerà in particolare sullo studio di LC. RL RC LC Le funzioni che sono realizzabili solo con induttori e condensatori (LC) prendono il nome di funzioni reattanza Ψ. Si può dimostrare che i poli e gli zeri si trovano sull asse immaginario. Dimostrazione: Si ricorda che il teorema di Tellegen afferma che: 0 Se si considera un bipolo: convenzione dei generatori convenzione degli utilizzatori Si ha che: 1 Dove si sono evidenziati i contributi degli induttori e dei condensatori contenuti all interno del bipolo. 156

157 In quanto si può anche scrivere: Allora si ha: Dove sia che sono maggiori di zero. Si ottiene che si annulla per: Quindi gli zeri si trovano sull asse immaginario come si voleva dimostrare. Lo stesso ragionamento si può fare per gli zeri della, ma essendo questi i poli di, allora anche quest ultimi si trovano sull asse immaginario. Concludendo, le funzioni reattanza Ψ LC hanno tutte le singolarità sull asse immaginario. Ricordando che: rappresenta la parte reale di, che è nulla in quanto non vi è una resistenza, il termine in parentesi deve essere uguale a zero. Se 0, allora 0, altrimenti il numeratore sarebbe nullo. Di conseguenza 0 e allora 0, altrimenti sarebbe nullo il denominatore. Si ottiene che: Ψ LC Con lo stesso ragionamento, se: Si ottiene che: Ψ LC Perciò si ha sempre un rapporto tra funzioni di diversa parità e i termini contenuti possono essere solo o. Sia un polinomio di grado, si hanno perciò quattro casi possibili: A B C D 157

158 Esempi: A 4 1 B 1 4 C D Nel caso A, per la funzione va all infinito, perciò è un polo, mentre 0 è uno zero. Nel caso B, per la funzione va a zero, perciò è uno zero, mentre 0 è un polo. Nel caso C, per la funzione va all infinito, perciò è un polo, ed anche per 0 la funzione va all infinito, perciò anch esso è un polo. Nel caso D, per la funzione va a zero, perciò è uno zero, ed anche per 0 la funzione va a zero, perciò anch esso è uno zero. In conclusione si può affermare che lo zero e l infinito sono sempre delle singolarità (o zeri o poli). Per le funzioni Ψ LC si può ricavare un ultima proprietà: poli e zeri sono semplici e sono alternati sull asse immaginario. Im Im B A Re Re Sviluppo in Funzioni Parziali Dove: 2 indica la presenza di un polo in indica la presenza di un polo in 0 è la somma dei contributi dei poli al finito 158

159 , e sono i residui calcolati nel polo e devono essere positivi affinché si possa dire che è fisicamente realizzabile utilizzando questo metodo. Dove: è un modo equivalente per scrivere 2 Per disegnare il grafico dell impedenza si studia il segno della derivata di rispetto a : 2 Si può osservare che è sempre positiva e quindi risulta monotona crescente. Esempio: A Si può osservare che poli e zeri sono necessariamente alternati. NON Possibile NON Possibile L insieme di queste condizioni è necessario e sufficiente affinché sia fisicamente realizzabile come reattanza. 159

160 Teorema: Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio sia strettamente di Hurwitz è che sia verificato che: Ψs Si può osservare che una funzione del secondo ordine: 0 È sempre una funzione reattanza Ψs. Si consideri il caso in cui: 0 Possono essere rappresentati come degli elementi in serie tra loro: 1 1 Questa forma prende il nome di I a Forma Canonica di Foster. Si chiama canonica poiché non è possibile realizzare con un numero minore di elementi. La stessa può essere sintetizzata come ammettenza: Possono essere rappresentati come degli elementi in parallelo tra loro: 1 1 Questa forma prende il nome di II a Forma Canonica di Foster. 160

161 Esempio: Si vuole realizzare. Poiché il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore, si divide il numeratore per il denominatore: Si ottiene: Realizzazione circuitale: F 1H 4 9 F H Poiché vi è un insieme di taglio di induttori e generatori di corrente (1) vi è una degenerazione e il sistema risulta essere del terzo ordine. Poiché vi è un insieme di taglio di condensatori e generatori di corrente (2) vi è la frequenza naturale nulla. 161

162 Se si scrive la, questa ha due coppie di poli, quattro frequenze naturali, al finito: Questi due bipoli sono equivalenti; non hanno le stesse frequenze naturali. Se si considerasse: si sintetizzerebbe un circuito diverso: 1 2 Poiché vi è una maglia di condensatori e generatori di tensione (1) vi è una degenerazione e il sistema risulta essere del terzo ordine. Poiché vi è una maglia di induttori e generatori di tensione (2) vi è la frequenza naturale nulla. Questo circuito ha un polo e uno zero all infinito ed è equivalente al seguente circuito: e si definiscono duali se hanno la stessa F. In tal caso dove in un circuito vi è un condensatore nell altro vi è un induttore e viceversa, dove vi è una serie in uno vi è un parallelo nell altro e viceversa. 162

163 Sviluppo di Funzioni Continue È più semplice il metodo tramite Foster se vi è la fattorizzazione del denominatore, altrimenti si procede con la lunga divisione: Devono sempre risultare numeri positivi Si procede nuovamente con la lunga divisione: I coefficienti nei riquadri devono risultare positivi affinchè il metodo sia applicabile. 163

164 Realizzazione circuitale: 1H 12 5 H 1 6 F 5 18 F Questa forma prende il nome di I a Forma Canonica di Cauer. ha un polo all infinito: non ha un polo all infinito, ma ha uno zero all infinito essendo il grado del suo denominatore maggiore del grado del suo numeratore per costruzione. La lunga divisione ha quindi estratto il polo all infinito da. Se ha uno zero all infinito, ha un polo all infinito. Si procede quindi all estrazione del polo tramite lunga divisione: l estrazione di un polo all infinito da forma un induttore, da un condensatore. La I a Forma Canonica di Cauer procede quindi estraendo di volta in volta i poli all infinito da e alternativamente. Si può infine osservare che la configurazione è quella naturale, cioè i condensatori si trovano sul lato parallelo (verticale) mentre gli induttori si trovano sul lato serie (orizzontale). Se la funzione che si vuole sintetizzare ha un polo nello zero si può estrarre, se avesse uno zero in zero bisognerebbe invertire la funzione ( Estrazione del polo nello zero: Si applica il cambiamento di variabile : 1 )

165 Si può osservare che i poli sono diventati zeri e viceversa. Ma quindi estrarre un polo in zero in equivale ad estrarre un polo in infinito in : Tornando alla variabile si ottiene: Realizzazione circuitale: 4 9 F F H H Questa forma prende il nome di II a Forma Canonica di Cauer. Si può osservare che la configurazione è quella non naturale, cioè i condensatori si trovano sul lato serie (orizzontale) mentre gli induttori si trovano sul lato parallelo (verticale). 165

166 Avendo sintetizzato tramite una impedenza bisogna inserire tra i morsetti un generatore di corrente per poterla valutare Si osserva che nelle forme di Cauer vi è un insieme di taglio di generatori di corrente ed induttori (1) e quindi vi è una degenerazione. Vi è anche un insieme di taglio di condensatori e generatori di corrente (2) e quindi vi è la frequenza naturale nulla. Si può osservare che dalle funzioni si ricava che per è un polo ed infatti per i condensatori sono dei cortocircuiti e gli induttori sono dei circuiti aperti e dalla rappresentazione del circuito si ottiene la stessa soluzione. In conclusione, per: Vi sono quattro realizzazioni possibili: La I a Forma Canonica di Foster espressa come 2. La II a Forma Canonica di Foster espressa come 3. La I a Forma Canonica di Cauer espressa come 4. La II a Forma Canonica di Cauer espressa come Sono tutte le forme canoniche possibili. Le forme di Foster coincidono con quelle di Cauer per un numero di elementi pari o inferiore a tre. 166

167 Si consideri: 0 3 Im Re In una nelle frequenze pari agli zeri, il bipolo equivalente è un corto circuito, per le frequenze pari ai poli è un circuito aperto. L inverso avviene per la. Poiché non c è la parte reale, il modulo della risposta in frequenza è pari a: approssimata 167

168 Se si considerano le reti RC e RL si può osservare che hanno tutte le singolarità sull asse reale. Si possono associare tutte le singolarità sull asse reale a coppie di singolarità sull asse immaginario e da qui si ottiene che tutte le proprietà ricavate per i circuiti LC si possono riportare ai circuiti RC e RL. Im Re 168

169 Processo di Normalizzazione o Scaling Si supponga di voler calcolare l impedenza di un circuito del seguente tipo: 75Ω 3H 200F 200F 75Ω Si può applicare un processo di normalizzazione o scaling per poter trattare con grandezze più facili da comparare: Dove è il valore normalizzato dell impedenza secondo il fattore di scala Si può osservare che le quantità normalizzate si scrivono in minuscolo se le quantità non normalizzate si scrivono in maiuscolo e viceversa. Ω Le normalizzazioni non possono essere però scritte indiscriminatamente, ma devono valere le stesse regole che valevano per le quantità non normalizzate: 1 1 Ω c Ω 1 1 Perciò: 1 1 Ω c ω C Si deve avere: ω C 1 169

170 Imponendo lo stesso vincolo sull induttore si ottiene: Si ottiene il vincolo: ω L 1 C 1 Concludendo, si possono scegliere solo due fattori di normalizzazione. Scegliendo: 75Ω e 200 : 1, H 3H 1,125 H 8 3 H Si ottiene quindi: Si controlla se è realizzabile: In quanto è maggiore o uguale a zero allora la verifica ha dato risultato positivo, come era evidente. 170