Rappresentazione Binaria di Numeri Interi e in Virgola. Giuseppe Vizzari

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1 Rappresentazione Binaria di Numeri Interi e in Virgola Giuseppe Vizzari

2 Codifica numeri naturali I numeri interi senza segno, ossia i numeri Naturali incluso lo 0, vengono rappresenta= a>raverso la loro conversione in binario su N bit L algoritmo di conversione è il seguente: Si divide il numero da conver=re per 2 Si riporta il risultato della divisione ed il resto della divisione Si ripete il procedimento fino a quando il risultato diviene 0 Il numero binario è cos=tuito da tug i res= presi da quello o>enuto per ul=mo a quello o>enuto per primo

3 Conversione naturale à binario (1) Esempio: si converta in binario il numero 8 8:2= 4 resto 0 4:2= 2 resto 0 2:2= 1 resto 0 1:2= 0 resto 1 Bit meno significa=vo (LSB) Bit più significa=vo (MSB) Il numero binario corrispondente a 8 è:

4 Conversione naturale à binario (2) Esempio: si converta in binario il numero 71 71:2= 35 resto 1 Bit meno significa=vo (LSB) 35:2= 17 resto 1 17:2= 8 resto 1 8:2= 4 resto 0 4:2= 2 resto 0 2:2 = 1 resto 0 1:2 = 0 resto 1 Bit più significa=vo (MSB) Il numero binario corrispondente a 71 è:

5 Conversione binario à naturale La conversione da binario a naturale, si effe>ua partendo dal bit meno significa=vo a quello più significa=vo, mol=plicando ogni bit per la 2 elevato alla posizione del bit: d N-1 x2 N-1 + d N-2 x2 N-2 + d N-3 x2 N d 1 x2 1 + d 0 x2 0 Esempio: b à 1x x x2 9 +1x2 7 +1x2 6 +1x2 4 +1x2 2 +0x2 0 =

6 Limi= codifica naturale in binario Il più piccolo numero codificabile è banalmente 0 Il più grande numero codificabile dipende dal numero di bit N, ovvero 2 N - 1 Se N=8 à 255 Se N=16 à Se N=32 à

7 Codifica esadecimale Decimale Binario Esadecimale A B C D E F La codifica esadecimale viene a volte usata al posto della binaria per maggior compa>ezza di scri>ura Il numero binario viene suddiviso in blocchi di 4 bit a par=re dal meno significa=vo Ad ogni gruppo viene sos=tuito il simbolo esadecimale corrispondete

8 Codifica esadecimale Ad esempio: à à D 1010à A 1000à 8 Diventa: 8AD5

9 Codifica numeri interi rela=vi I numeri interi rela=vi possono essere rappresenta= in due modi: Modulo e segno Complemento a 2 Differiscono sia nell approccio che nelle cara>eris=che prestazionali La più u=lizzata è il complemento a 2

10 Codifica modulo e segno I numeri interi rela=vi sono rappresenta= in modo analogo a quanto fa>o per i numeri senza segno, riservando 1 bit per rappresentare il segno Si sceglie il bit più significa=vo per il segno Se il bit vale 1 allora il segno rappresentato è il Se il bit vale 0 allora il segno è il + Il numero di bit u=li per rappresentare il valore assoluto del numero intero rela=vo è quindi: N- 1

11 Codifica modulo e segno Esempio: si voglia conver=re il numero - 5 con 8 bit Il primo bit (quello più significa=vo) viene posto a 1 perchè il numero è nega=vo gli altri 7 bit si calcolano con il metodo visto prima applicato al numero 5, o>enendo Dunque il numero binario che rappresenta - 5 è:

12 Codifica complemento a 2 La rappresentazione in complemento a 2 di un numero intero rela=vo su N bit, si effe>ua nella seguente maniera: i numeri interi posi=vi (incluso lo zero) sono rappresenta= in modulo e segno u=lizzando gli N bit: 1 bit di segno (il MSB, pari a 0) e N- 1 bit per la codifica i numeri interi nega=vi sono rappresenta= realizzando il complemento a 2 della codifica binaria su N bit del valore assoluto

13 Codifica complemento a 2 Cosa è il complemento a 2 di un numero binario? Dato un numero binario di N bit, il complemento a 2 di tale numero si ogene tramite il seguente algoritmo: si procede dal bit meno significa=vo verso quello più significa=vo finchè si incontrano bit di valore 0 ques= vengono lascia= inaltera= il primo bit di valore 1 viene lasciato inalterato tug i bit successivi ad esso vengono nega=

14 Esempi di complemento a 2 Esempio: si determini il complemento a 2 del numero TuG i bit 0 a par=re dal bit meno significa=vo sono lascia= inaltera= e così anche il primo bit 1. TuG gli altri bit vengono inver==, o>enendo: Esempio: si determini il complemento a 2 del numero In questo caso non esistono bit 0 a par=re dal bit meno significa=vo. Solo il primo bit 1 viene lasciato inalterato. Gli altri vengono inver==, o>enendo:

15 Esempi di codifica complemento a 2 Esempio: si voglia conver=re il numero 1 con 8 bit Essendo il numero posi=vo: segno 0 Codifica binaria su 7 bit di 1: Codifica complessiva: Esempio: si voglia conver=re il numero - 1 con 8 bit Essendo il numero nega=vo: Codifica binaria del valore assoluto (1) su 8 bits complemento a 2 è Codifica complessiva:

16 Codifica complemento a 2 su 4 bit Base 10 Codifica su 4 bit del valore assoluto Codifica su 3 bit del valore Codifica complemento a Si no= che, anche se non è nella regola, il primo bit dei numeri nega=vi è comunque a 1

17 Limi= codifica complemento a 2 Dato un numero in complemento a 2, la sua conversione in decimale deve avvenire tramite la formula: -d N-1 2 N-1 + d N-2 2 N-2 + d N-3 2 N d d Da questa formula si vede che il numero più piccolo che può essere rappresentato con N bit è: -2 N-1 mentre il numero più grande è: 2 N N = 2 N 1 1

18 Limi= codifica complemento a 2 Data una codifica complemento a 2 di N bit sarà possibile rappresentare i numeri nell intervallo [- 2 N- 1, 2 N- 1-1] N=8 à [- 128, 127] N=16 à [ , 32767] N=32 à [ , ]

19 Somma algebrica in codifica modulo e segno Da= due numeri binari in rappresentazione modulo e segno, le operazioni di somma algebrica dipende dai segni dei numeri Se i segni sono gli stessi: Si considerano tug i bit meno quello del segno Si sommano tali sequenze Il numero binario risultante sarà o>enuto aggiungendo il bit di segno ai bit o>enu= dalla somma Se i segni dei due numeri sono diversi: Si considerano tug i bit meno quello del segno Si so>rae il numero più piccolo in valore assoluto dal numero più grande Il numero binario risultante sarà o>enuto aggiungendo ai bit o>enu= dalla so>razione il bit di segno del numero in valore assoluto più grande.

20 Somma tra numeri binari Le regole per realizzare la somma di singoli numeri binari sono: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 con riporto di 1 Esempio: si vogliano sommare i numeri 0001 (1) e 1010(10) = 1011 (11) Esempio: si vogliano sommare i numeri 0011 (3) e 1010(10) = 1101 (13)

21 Somma algebrica in complemento a 2 Da= due numeri binari in complemento a due, si applicano le regole dell'addizione a tug i bit compreso il bit di segno Esempio: si sommino i numeri a 4 bit 0010 (+2) e 1010 (- 6) = 1100 (- 4) Il numero binario risultante è già il risultato con il segno giusto

22 Somma algebrica in complemento a 2 Esempio: Si sommino i numeri in complemento a (+12) e (- 32) = (- 20) Il numero binario risultante è già il risultato con il segno giusto.

23 Overflow problema=co Si supponga di lavorare sempre con codifica complemento a 2 su 4 bit (- 8,,+7) Si vuole effe>uare la somma algebrica in complemento a due tra 1001 (- 7) e 1110 (- 2) La somma è - 9, non codificabile con 4 bit. Eseguendo la somma, il calcolatore ogene: = Si ha il coside>o overflow: l'1 a sinistra, o>enuto come resto, eccede la normale capacità dei registri Il numero 0111 in complemento a 2 significa +7, che rappresenta però un risultato errato!

24 Overflow innocuo Si supponga di lavorare con codifica complemento a 2 su 4 bit (- 8,,+7) Si vuole effe>uare la somma algebrica in complemento a due tra 1001 (- 7) e 1111 (- 1) La somma è - 8 che è il limite inferiore codificabile con 4 bit Eseguendo la somma, il calcolatore ogene: = Si ha overflow ma il numero 1000 in complemento a 2 significa 8, che rappresenta il risultato corre>o

25 Overflow non evidente Esempio: Siano da= i numeri a 8 bit (+126) e (+3) = Apparentemente non c è overflow... ma c è un cambiamento di segno anomalo A tu>o gli effeg un overflow della componente di pura rappresentazione della parte numerica avviene effegvamente Un bit della parte della rappresentazione legata al valore assoluto interferisce con il segno!

26 Come riconoscere errori di overflow? Tenere conto del bit di riporto a sinistra non è di per sè sufficiente a iden=ficare problemi dovu= all overflow Sicuramente, in caso di numeri con segni discordi eventuali overflow non sono di natura problema=ca Nei casi veramente problema=ci l overflow è anche accompagnato da un segno discordante tra quello degli operandi (che deve essere lo stesso) e quello del risultato Si ricorda che il bit più significa=vo anche in modalità complemento a 2 è associato al segno del numero

27 Codifica dei Numeri Frazionari I numeri frazionari possono essere rappresenta= in due modalità: virgola fissa virgola mobile Essendo finita la rappresentazione interna all elaboratore ne consegue che la rappresentazione di numeri reali implica degli errori La rappresentazione in virgola mobile è la più flessibile tra le due, quindi anche quella maggiormente diffusa

28 Codifica in virgola fissa Degli n bit a disposizione: uno rappresenta il segno un certo numero rappresenta la parte intera ciò che resta rappresenta la parte frazionaria Problemi scarsamente flessibile: fissare la ripar=zione dei bit significa determinare limi= stringen= di cosa sia rappresentabile esempio mol= decimali, pochi interi à impossibile rappresentare numeri grandi con adeguata precisione

29 Notazione scien=fica Qualsiasi numero in base 10 è rappresentabile in forma N = ±m 10 e In altri termini bastano 3 informazioni il segno la man=ssa l esponente Esempi = x = x 10-4 Forma normale: valore della prima cifra della man=ssa maggiore di 0 e minore di 10

30 Notazione scien=fica normalizzata in binario In formato binario, analogamente N = ±m 2 e La normalizzazione è più facile e stringente: il valore della prima cifra della man=ssa dev essere 1

31 Codifica dei Numeri Reali Virgola Mobile In un numero rappresentato in virgola mobile vengono stabili= un certo numero di bit assegna= per codificare il segno (s), la man=ssa (m) ed un certo numero di bit per codificare l'esponente (e). s (1 bit) e m É possibile in teoria avere un numero eleva=ssimo di codifiche in virgola mobile, cambiando: Numero bit Tipo di codifica binaria per man=ssa ed esponente Formula di conversione decimale/binario e viceversa

32 Codifica dei Numeri Reali Virgola Mobile IEEE 754 Nell'anno 1985 l'ieee (Ins=tute of Electrical and Electronics Engineers) ha definito uno standard per la codifica dei numeri reali in virgola mobile: IEEE 754 Lo standard prevedeva inizialmente due codifiche a 32 (float) e a 64 bit (double). Esistono poi delle estensioni, ad esempio a 80 bit La rappresentazione IEEE 754 prevede due diverse forme: Normalizzata (default) Denormalizzata (risultato di calcoli che producono numeri piccoli)

33 Codifica dei Numeri Reali Virgola Mobile IEEE 754 Nella codifica float a 32 bit, vengono assegna=: 1 bit per il segno (il bit più significa=vo), s 8 bit per l'esponente, e 23 bit per la man=ssa, m Nella codifica double a 64 bit, vengono assegna=: 1 bit per il segno (il bit più significa=vo), s 11 bit per l'esponente, e 52 bit per la man=ssa, m

34 Codifica dei Numeri Reali Virgola Mobile IEEE 754 Normalizzata 1 e max max=254 (float) max=2046 (double) m = codifica decimale della sequenza di bit della man=ssa s e p 10 = ( 1) 1,m 2 p=127 (float) p=1023 (double) N Denormalizzata e=0 m = codifica decimale della sequenza di bit della man=ssa s min 10 = ( 1) 0,m 2 min= (float) min= 1022 (double) N Zero e=0 m=0 N 10 = 0 Infinito e=( ) 2 =255 e=( ) 2 =2047 m=0 N 10 =

35 Codifica dei Numeri Reali Virgola Mobile IEEE 754 N s = ( 1) 0,m 2 N s e = ( 1) 1,m 2 float denormalizzata normalizzata 1x x denormalizzata N s e = ( 1) 1,m 2 double normalizzata N 1x x s = ( 1) 0,m 2