Incertezza o errore delle misurazioni

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1 Incertezza o errore delle misurazioni In generale, ripetendo più volte la stessa misurazione si hanno valori diversi. Si misuri ad es. la lunghezza di un tavolo o di una stanza con un'asta metrica più corta della lunghezza da misurare. Si dovrà successivamente trasportare l'asta metrica in modo da trovare quante volte è contenuta l'intera asta e quale è la lunghezza residua. In questo procedimento si presentano varie cause di errore e quindi le misure possono essere abbastanza discordi. Ma questo fatto si può presentare anche nelle misurazioni eseguite senza il trasporto dell'asta metrica. In generale: le misure fisiche hanno sempre una incertezza o errore; non esistono misure fisiche esatte. Ciò è dovuto sia a svariate cause accidentali (apprezzamento di coincidenza, ecc.), e pertanto gli errori di lettura sono detti accidentali, sia alla inevitabile imperfezione degli strumenti di misurazione, e gli errori che ne derivano si dicono sistematici. In alcuni casi c'è un errore provocato dall'inserimento dello stesso apparecchio di misura (errore di disturbo). Per esempio, quando si adopera il calibro a corsoio si è costretti a stringere, sia pure lievemente, il pezzo da misurare tra le ganasce dello strumento, e questo provoca una lieve deformazione del pezzo. Ecco come si procede praticamente nel caso di più letture affette da scarti. Ad esempio, nella misurazione della lunghezza di un tavolo si è avuto: 1,215 m 1,217 m 1,216 m 1,213 m 1,216 m Si ritiene che il valore più attendibile sia la media aritmetica delle letture; cioè, nel nostro esempio: 1, , , , ,216 1,2154m Ciò non significa che le cifre siano tutte sicure; basta pensare che la sensibilità, di ogni lettura è il millimetro, cioè la misura si arresta alla terza cifra decimale, mentre la media ne ha quattro.

2 Conviene assumere quale incertezza o errore presumibile della misura, la semidifferenza fra il massimo ed il minimo valore. Cioè, nel nostro caso l'incertezza è data da: 1,217 1, ,002m Però non si può dire se l'errore sia in più o in meno. Inoltre, se si ritiene che vi possa essere un errore di 0,002, è illusoria la quarta cifra decimale della media per cui si scriverà: l (1,215 ± 0,002) m; cioè la lunghezza potrebbe essere, con la stessa attendibilità, tanto 1,213 che 1,217, o qualunque altro valore compreso in detto intervallo. Ciò significa che nella nostra misurazione si può garantire fino alla seconda cifra decimale e non oltre. Si tenga presente che, essendo già la terza cifra decimale affetta da errore, è del tutto illusorio scrivere le cifre successive alla terza; dalla quarta cifra in poi si ignora completamente il valore e pertanto bisogna arrestare la scrittura alla terza. Concludendo: il risultato della nostra misurazione deve essere scritto come indicato sopra, cioè: l (1,215 ± 0,002) m Alcuni autori preferiscono fermarsi addirittura all'ultima cifra sicura, e scrivono la misura di cui sopra semplicemente: 1,21 m ARROTONDAMENTO Quando si vuole limitare una misura ad un numero di cifre inferiore a quelle sicure, e commettere un errore il più piccolo possibile, si ricorre all'arrotondamento; ossia se la cifra seguente a quella che si conserva è uguale o maggiore di cinque, la cifra conservata si aumenta di un'unità; in caso contrario si lascia inalterata. Per esempio, del valore 8,623 si vuole conservare solo la seconda cifra decimale, la terza è 3, quindi scriveremo 8,62 Invece nel caso di 8,628 scriveremo 8,63. Si noti che in questo arrotondamento abbiamo commesso l'errore di 0,002, mentre, se avessimo lasciato il 2 al secondo posto dopo la virgola, l'errore sarebbe stato di 0,008. Ecco altri esempi di arrotondamento (il trattino indica la cifra che si vuole arrotondare):

3 3,14159 si scrive 3,1416 1,297 si scrive 1,30 3,1415 si scrive 3,142 2,098 si scrive 2,10 3,141 si scrive 3,14 2,004 si scrive 2,00 Si noti che gli zeri dopo la virgola non si devono cancellare perché servono a stabilire l'approssimazione. Ad esempio, se consideriamo i tre numeri approssimati: 2,0; 2,00; 2,000 il secondo denota una precisione maggiore che nel primo, e il terzo una precisione ancora maggiore. In generale, nella scrittura dei numeri arrotondati secondo le regole precedenti, si viene a commettere un errore, grosso modo, pari a mezza unità dell'ultima cifra arrotondata. Ad esempio 3,54 equivale, grosso modo, alla scrittura: 3,54 ± 0,005 2,000 equivale, grosso modo, alla scrittura 2,000 ± 0,0005 sempre, beninteso, che ci sia stato l'arrotondamento. STIMA DELL INCERTEZZA Può accadere che si abbiano misure tutte uguali tra loro: errore nullo. Ciò non deve indurre nella tentazione di pensare ad una misurazione fisica esatta. Rimane sempre l'errore dello strumento, dovuto alle inevitabili imperfezioni. In mancanza di dati forniti dal costruttore conviene assumere quale errore della misurazione un valore pari alla sensibilità dello strumento. La stessa norma si segue quando l'errore presumibile, calcolato con la regola precedente (o in altri modi che per brevità omettiamo) risulta inferiore alla sensibilità. In generale Nell'esempio precedente abbiamo trovato un errore di 0,002 m, mentre la sensibilità delle letture era di 0,001 m, e quindi abbiamo assunto quale errore della misurazione il valore più grande, cioè ± 0,002 m. Se invece avessimo trovato un errore di 0,0002 m, o addirittura nullo, avremmo dovuto assumere quale errore della misurazione ± 0,001 m, che è la sensibilità dell'asta metrica nelle effettive condizioni di uso. Riassumendo, il procedimento generale delle misurazioni fisiche consiste nelle seguenti operazioni: 1) Si effettuano 5 o 6 misurazioni dello stessa grandezza. 2) Si calcola la media aritmetica sommando le misure ottenute e dividendo

4 per il numero di esse. 3) Si stima 1'incertezza o errore presumibile calcolando la semidifferenza fra il massimo ed il minimo valore. Se l'errore è maggiore della sensibilità lo si assume senz'altro quale errore della misuraziome; se invece l'errore è inferiore alla sensibilità si assume quest'ultima quale errore della misurazione. Errore relativo o percentuale. La bontà di una misurazione fisica dipende non solo dall'errore presumibile di cui abbiamo detto prima, ma anche dal valore della grandezza che si misura. Infatti è evidente che l'errore assoluto di 0,001 m è piccolo nella misurazione di una lunghezza di 2 m, ma è grandissimo nella misurazione di una lunghezza di 0,02 m. Si considererà perciò l'errore relativo definito dal rapporto: errore assoluto / valore medio Ad esempio, se l 2,000 m ± 0,001 m, si ha: Εr 0,001m 2,000m ,05% Εr 0,001m 0,020m % ossia errore relativo è ora cento volte maggiore del precedente. Si osservi che l'errore relativo non è accompagnato da alcuna unità. NUMERO DI CIFRE SIGNIFICATIVE Quando si scrivono i numeri approssimati, secondo le regole precedenti, l'errore relativo è in stretta relazione con il numero di «cifre significative». Le cifre significativo sono quelle che si ottengono cancellando la virgola e gli zeri a sinistra (eventuali), ma non gli zeri a destra. Ad esempio: 2,35; 0,0421; 3,40; 0,200 hanno tutti tre cifre significative. Si ricordi che gli zeri dopo la virgola indicano una maggiore precisione.

5 Scrittura dei numeri approssimati Premettiamo che le potenze ad esponente negativo sono l'inverso della stessa potenza ad esponente positivo; cioè k k In particolare : ,01 ; , Da ciò la convenienza di scrivere le misure fiaiche con una sola cifra intera seguita dai decimali e da un'opportuna potenza di 10 (ad esponente positivo o negativo). Ad esempio: 342,8 3, , ,3 10 Vogliamo far comprendere i vantaggi di questa scritturazione. Si sa che la distanza Terra Sole è circa 149,5 milioni di kilometri. Se scriviamo km si potrebbe pensare che gli zeri siano cifre sicure; invece scrivendo 1,495 x 10 8 km, oppure 1,495 x m, veniamo ad identificare due fatti importanti: il numero di cifre sicure; l'ordine di grandezza, indicato dalla potenza di 10. Così, anche senza ricordare il numero 1,495 ricorderemo più facilmente che la distanza Terra Solo è dell'ordine di m, ovvero 10 8 km (centinaia di milioni di km) e si conosce con quattro cifre significative. Ecco una tabella di dati di lunghezza espressi col solo ordine di grandezza.

6 S'intende che il valore più preciso può essere un po' maggiore ma non più di 10 volte maggiore. Qui è opportuno ricordare che per convenzione internazionale vengono adoperati i seguenti prefissi. Facendo precedere l'unità da un prefisso, l'unità viene moltiplicata per la corrispondente potenza di 10. Ad esempio 1 micromètro (µm) 10-6 m; 1 megaton (Mt) 10 6 t; 1 decametro (dam) 10 m., Secondo tale convenzione cm 2 significa 1 centesimo di m 2, cioè 10-2 m, mentre sappiamo che il centimetro quadrato è 10-4 m 2. Conviene perciò usare le parentesi; così: (cm) 2 (10-2 m) m 2.