I numeri esistono? Francesco Paoli. Filosofia della scienza, Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono?

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1 I numeri esistono? Francesco Paoli Filosofia della scienza, Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 1 / 22

2 Platonismo vs Nominalismo Platonismo: i numeri sono altrettanto reali quanto le banane; Nominalismo: oggetti astratti come i numeri non esistono. Possibile mediazione: i numeri esistono, ma a modo loro: non nello stesso senso in cui esistono le montagne e gli elettroni. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 2 / 22

3 Gilbert Ryle ( ) Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 3 / 22

4 Ryle: esistere è ambiguo Gli oggetti sono divisi in categorie logiche, e per ogni categoria esistere ha un senso diverso. Se diciamo esistono montagne più alte del Cervino con tale verbo intendiamo qualcosa di diverso che se diciamo esistono numeri primi maggiori di 5. Succede qualcosa di simile con l aggettivo alto in l Everest è più alto del Cervino e 7 è più alto di 5. Van Inwagen: ma la possibilità di riformulare questi enunciati con il numero delle montagne più alte del Cervino è maggiore di 0 e il numero dei numeri primi maggiori di 5 è maggiore di 0 suggerisce che non ci sia ambiguità nel verbo esistere. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 4 / 22

5 Willard van Orman Quine ( ) Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 5 / 22

6 Quine: l interpretazione standard dell esistenza Per Quine, l enunciato i numeri esistono è esprimibile nella logica del primo ordine mediante l enunciato formalizzato xnx Una teoria formulata nel linguaggio della logica del primo ordine: è impegnata ontologicamente nei confronti delle cose di tipo F se essa implica un enunciato della forma xfx; è impegnata ontologicamente nei confronti dell oggetto a se essa implica un enunciato della forma x (x = a). Il passaggio attraverso il filtro della notazione logica non serve a esplicitare impegni ontologici presenti prima della traduzione, ma ad avere una teoria in cui indagare gli impegni ontologici in senso definitivo. Gli impegni ontologici delle nostre migliori teorie scientifiche devono essere accettati, perché è all interno della scienza, e non in qualche filosofia, che la realtà dev essere caratterizzata e descritta. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 6 / 22

7 Frege: l argomento low cost per l esistenza dei numeri F1 Giove ha quattro lune. F2 Il numero delle lune di Giove è quattro. F3 C è un numero che è il numero delle lune di Giove, cioè quattro. F4 Ci sono dei numeri, tra i quali il numero quattro. F5 Esistono i numeri. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 7 / 22

8 Risposte all argomento low cost R1 Il passaggio da F1 a F2 è scorretto: si può inferire F2 da F1 solo presupponendo l esistenza dei numeri (Field). R2 Il passaggio da F4 a F5 è scorretto: con buona pace di Quine, non si possono ricondurre le questioni di esistenza alla formulazione di enunciati che contengono un quantificatore esistenziale. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 8 / 22

9 Rudolf Carnap ( ) Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 9 / 22

10 La visione di Carnap dell ontologia (1) Carnap distingue tra domande di tipo A e di tipo B. Tipo A Esistono i centauri? Insetti e mammiferi hanno proprietà anatomiche in comune? Esistono numeri primi maggiori di ? Tipo B Esistono oggetti materiali o solo atomi nel vuoto? Esistono proprietà universali o solo individui particolari? I numeri esistono? Le domande di tipo A richiedono un indagine empirica, quelle di tipo B una riflessione filosofica. Le domande di tipo A sono inoltre interne a un sistema di riferimento: chiedono se certe cose di tipo X siano anche cose di tipo Y. Quelle di tipo B chiedono invece se certi oggetti esistono e basta. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 10 / 22

11 La visione di Carnap dell ontologia (2) Carnap: le domande interne non creano grossi problemi: una volta adottato un sistema di riferimento (e accettati i suoi presupposti ontologici), si possono risolvere le questioni interne adesso mediante una ricerca sperimentale oppure mediante dimostrazioni. Interpretare I numeri esistono? come una domanda interna equivale a banalizzarla, ossia ad interpretarla come Una volta ammesso che i numeri esistono, i numeri esistono?. Le domande esterne, invece, sono prive di significato se intese come questioni metafisiche. Il loro unico senso è pratico, ossia pongono il problema se sia conveniente adottare un certo tipo di linguaggio. L argomento low cost è scorretto: F4 ha senso come enunciato interno all aritmetica, ma non è possibile dedurne l enunciato esterno F5. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 11 / 22

12 Le obiezioni di Quine a Carnap La distinzione tra domande esterne e interne non ha senso. Le domande esterne sui numeri possono essere riformulate come domande interne al sistema di riferimento della teoria degli insiemi. Inoltre, questa distinzione sembra presupporre la distinzione analitico-sintetico, altro bersaglio polemico di Quine. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 12 / 22

13 Posizioni neocarnapiane: Hofweber Hofweber: l equivalenza quineana tra enunciati di esistenza e enunciati con quantificatore esistenziale è corretta, ma il quantificatore esistenziale ha due diversi significati: un significato referenziale (esterno), quello di esprimere un impegno ontologico; un significato inferenziale (interno) quello di permettere certe inferenze, come concludere Fred ammira qualcuno che è ammirato da molti detective dalla premessa Fred ammira Sherlock Holmes. Non c è niente di sbagliato nell argomento low cost se i quantificatori che contiene sono interpretati in senso inferenziale; ma questa interpretazione non risolve la disputa ontologica sui numeri. Per Hofweber, le questioni esterne non sono prive di significato come per Carnap, sono semplicemente molto diffi cili da risolvere. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 13 / 22

14 Posizioni neocarnapiane: Yablo Quando diciamo L Italia è uno stivale o L italiano medio guarda la TV due ore al giorno formuliamo enunciati veri in senso metaforico, che non ci impegnano riguardo all esistenza degli oggetti di cui parlano. Gli enunciati matematici sono veri in senso letterale o metaforico? Se intesi come enunciati esterni, sono veri in senso metaforico (Burgess e Rosen: ma in genere il linguaggio matematico non sembra metaforico secondo gli standard più comunemente adottati). Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 14 / 22

15 Hilary Putnam ( ) Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 15 / 22

16 Putnam: l argomento di indispensabilità I1 Dovremmo impegnarci ontologicamente a tutte e sole le entità indispensabili per le nostre migliori teorie scientifiche; I2 Le entità matematiche sono indispensabili per le nostre migliori teorie scientifiche; I3 Dovremmo impegnarci ontologicamente alle entità matematiche. Questo argomento nega la tradizionale visione della matematica come scienza a priori, perché deduce l esistenza dei numeri dalla fiducia che riponiamo nelle migliore teorie scientifiche empiriche. Si tratta inoltre di un argomento abduttivo: postulare l esistenza dei numeri è il modo migliore di spiegare la nostra esperienza quotidiana e scientifica. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 16 / 22

17 Critiche all argomento di indispensabilità: Maddy Maddy critica I1 su basi naturaliste: gli scienziati non accettano ogni aspetto delle loro migliori teorie, inclusi gli impegni ontologici. Maddy critica l olismo della conferma di Quine e Duhem, secondo cui se i dati sperimentali ci inducono a credere in una teoria, essi forniscono ragioni per credere a tutte le ipotesi su cui la teoria si basa. Ma in realtà le teorie scientifiche sono piene di assunzioni provvisorie, fatte per ottenere i risultati giusti ; credere nella teoria non ci impegna a considerarle vere. Resnik: non è certo la parte matematica di queste teorie ad essere soggetta al dubbio. Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 17 / 22

18 La traduzione nominalistica degli enunciati numerici (Quine-Goodman) Quine e Goodman intendono fornire per ogni enunciato contenente termini astratti una parafrasi nominalisticamente accettabile. Esempio. Data la definizione induttiva 0 xpx = xpx n+1 xpx = y (Py n x (Px x = y)) si può tradurre Il numero delle lune di Giove è quattro con 4 xgx. Ci sono però dei casi in cui la traduzione nominalistica è più diffi cile: es. Il numero dei gatti è maggiore del numero dei cani. Per risolvere la diffi coltà, Quine e Goodman ricorrono alla nozione di conglomerato, che è concreta come quella di un piatto rotto o di un mazzo di carte. Si ha quindi: Il conglomerato ottenuto prendendo un pezzo da ogni gatto è più grande del conglomerato ottenuto prendendo un pezzo da ogni cane. Problema: ma come sostituire i numeri con oggetti concreti, se questi esistono solo in numero finito? Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 18 / 22

19 Charles Chihara (n. 1932) Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 19 / 22

20 Chihara: i numeri sono i numerali Chihara propone di identificare i numeri con i numerali, ossia con i nomi dei numeri. Obiezione: i numeri sono infiniti, mentre c è solo una quantità finita di numerali (c è solo una quantità finita di segni linguistici fisicamente realizzabili nel nostro mondo). Risposta: i numeri sono infiniti solo in senso potenziale, ossia per ogni numero è sempre possibile trovarne uno più grande. Contro-obiezione: cosa significa possibile nella precedente affermazione? Se si dà l interpretazione standard in termini di mondi possibili, ci stiamo impegnando ontologicamente su entità altrettanto astratte quanto i numeri. Chihara: no, è una nozione primitiva (questo mostra quanto il nominalismo di Chihara sia lontano da quello di Quine-Goodman). Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 20 / 22

21 Hartry Field (n. 1946) Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 21 / 22

22 Il programma nominalista di Field 1 Nominalizzare la fisica: sostituire gli enunciati della fisica in cui si quantifica su numeri reali in enunciati nominalisticamente accettabili. 2 Giustificare l utilità della matematica: come può la matematica risultare utile anche se i suoi enunciati sono, alla lettera, falsi (perché parlano di oggetti che non esistono)? Perché la matematica è uno strumento che serve a velocizzare la deduzione di enunciati nominalisti da altri enunciati nominalisti, che però non aumenta le risorse espressive o deduttive della teoria nominalisticamente accettabile (se F = teoria fisica, M = teoria matematica, allora F + M è estensione conservativa di F ). Francesco Paoli (Filosofia della scienza, ) I numeri esistono? 22 / 22