TERMOLOGIA esercizi risolti Classi quarte L.S.

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1 TERMOLOGIA esercizi risolti Classi quarte L.S. In questa dispensa verrà riportato lo svolgimento di alcuni esercizi inerenti la termologia e le leggi dei gas. Riprendiamo alcuni concetti utili. Temperatura T : Grandezza sica che è collegata alla sensazione termica (soggettiva) inerente un determinato stato termico (oggettivo) di un corpo (collegato al moto microscopico di agitazione termica delle sue particelle), misurata tramite un termoscopio tarato, ossia uno strumento che contiene una sostanza termostatica che subisce i fenomeni dell'equilibrio termico (uniformarsi dello stato termico col corpo con cui la sostanza termostatica viene messa a contatto) e della d ilatazione termica (variazione di dimensioni al variare dello stato termico), ed una scala termometrica (ssata suddividendo in parti uguali un dato intervallo tra due stati di riferimento). Le scale usate maggiormente sono quella centigrada (Celsius) e quella assoluta (Kelvin). Ricordare che T K = T C + 273, 6, T C = T K 273, 6 Variazione di temperatua T : E' denita come dierenza fra la temperatura nale T f e quella iniziale T 0, ossia T = T f T 0 E' misurata indierentemente in gradi Kelvin o Celsius Dilatazione termica lineare: Fenomeno per cui un corpo solido con la dimensione lineare preponderante rispetto alle altre (es. lo) varia la propria lunghezza L al variare della temperatura. E' espressa in formule da: L f = L 0 ( + α T ) ove L f è la lunghezza nale, L 0 la lunghezza iniziale dello stato termico di riferimento, α una costante detta di dilatazione termica lineare che dipende dalla sostanza (fornita dalla letteratura) e T la dierenza di temperatura Dilatazione termica superficiale: Fenomeno per cui un corpo solido con dimensione superciale preponderante rispetto allo spessore (es. lastra sottile) varia la propria supercie S al variare della temperatura. E' espressa in formule da: S f = S 0 ( + 2 α T ) ove S f è la supercie nale, S 0 la sufercie iniziale dello stato termico di riferimento, α la costante di dilatazione termica lineare che dipende dalla sostanza (fornita dalla letteratura) e T la dierenza di temperatura Dilatazione termica volumica: Fenomeno per cui un corpo solido, liquido o areiforme varia il proprio volume V al variare della temperatura. E' espressa in formule da: V f = V 0 ( + K T ) ove V f è il volume nale, V 0 il volume iniziale dello stato termico di riferimento, K una costante detta di dilatazione termica volumica che dipende dalla sostanza per solidi e liquidi (fornita dalla letteratura e valente sempre 3 α) e che è invece uguale a C per i gas. T è la dierenza 273, 6 di temperatura.

2 Legge isobara o prima di Gay-Lussac: Legge che descrive il fenomeno della variazione di volume di un gas perfetto in seguito ad una varazione di temperatura a pressione costante, espressa dalla formula: V f = V 0 ( + 273, 6 T ) ove V f è il volume nale, V 0 il volume iniziale del gas a T = 0 C = 273, 6 K e T = T T 0 è la dierenza di temperatura, fra quella dello stato nale e lo stato di zero Celsius. Sul piano di Clapeyron (V, P ) è denotata da un segmento orizzontale. Se esprimiamo la temperatura in gradi Celsius, T 0 = 0 e quindi: V f = V 0 ( + 273, 6 T f ) Se esprimiamo la temperatura in gradi Kelvin, allora T 0 = 273, 6 e quindi la legge si può scrivere come: V T = cost Legge isocora o seconda di Gay-Lussac: Legge che descrive il fenomeno della variazione di pressione per un gas perfetto in seguito ad una varazione di temperatura a volume costante, espressa dalla formula: P f = P 0 ( + 273, 6 T ) ove P f è la pressione nale, P 0 la pressione del gas a T = 0 C = 273, 6 K e T = T T 0 è la dierenza di temperatura, fra quella dello stato nale e lo stato di zero Celsius. Sul piano di Clapeyron (V, P ) è denotata da un segmento verticale. Se esprimiamo la temperatura in gradi Celsius, T 0 = 0 e quindi: P f = P 0 ( + 273, 6 T f ) Se esprimiamo la temperatura in gradi Kelvin, allora T 0 = 273, 6 e quindi la legge si può scrivere come: P T = cost Legge isoterma o di Boyle-Mariotte: Legge che descrive il fenomeno della variazione di pressione per un gas perfetto in seguito ad una varazione di volume o viceversa a temperatura costante, espressa dalla formula: P V = K P 0 V 0 = P V =... Sul piano di Clapeyron (V, P ) è denotata da un ramo di iperbole equilatera Equazione di stato dei gas perfetti: Legge che descrive lo stato termodinamico di un gas perfetto a partire da due qualsiasi delle sue variabili termodinamiche macroscopiche P, V, T ovvero un legame analitico fra queste tre grandezze. Può essere espressa nelle tre dierenti forme: P V = n R T ove P e V rappresentanop rispettivamente la pressione (in P a) ed il volume (in m 3 ), n è il numero di moli del gas, R è una costante e vale per tutti i gas 8, 34J/mol K e T è la temperatura assoluta. 2

3 Ricordando poi che n = N N A, ove N è il numero totale di particelle del gas e N A il numero di Avogadro (6, particelle/mole), denendo K B = R N A =, J/K, costante di Boltzmann, si ha anche: P V = N K B T Inne, la legge si può anche esprimere come: P V T = cost 3

4 DILATAZIONE TERMICA DI SOLIDI E LIQUIDI Calcolare la lunghezza iniziale di una sbarra di acciaio (α = 0 6 C ) che dopo aver subito un aumento di temperatura T = 50 C arriva a misurare 0, 085 m Si tratta di un'applicazione inversa della legge di dilatazione termica lineare, visto che si parla di sbarre, quindi di corpi che hanno lunghezza L preponderante rispetto alle altre dimensioni: Se L f = L 0 ( + α T ) allora è ovvio che: 2 L 0 = L f + α T Inserendo i valori numerici, è ovviamente L f = 0, 085 m e T = 50 C, quindi: L 0 = 0, = 0, 079 m 50 Un disco di stagno (α = C ) è appoggiato sul bordo di un recipiente cilindrico con raggio interno uguale a r = 5 cm e a temperatura di T = 300 K lo copre con un avanzo di r = 0, mm. A quale temperatura è necessario portare il disco per farlo cadere nel recipiente? E' ovvio che per far cadere il coperchio si deve provocare un restringimento della supercie in modo tale che la supercie nale sia S f = π r 2 a partire da una supercie iniziale di S 0 = π(r + r) 2 Lo sbalzo di temperatura (rareddamento) sarà pertanto, visto che vale la legge di dilatazione superciale S f = S 0 ( + 2 α T ): S f S T = 0 2 α Calcolando le due superci (attenzione a convertire le lunghezze in metri!), si ha: S 0 = 0, m 2 e S f = 0, m 2. Inserendo tali dati, si ha: T = 0, , = 32, Quindi la temperatura nale sarà di T f = , = 267, 89 K 3 Il volume occupato da un liquido contenuto in un termometro è di V 0 = 8 cm 3 ad una temperatura di T 0 = 0 C. Se la scala del capillare è formata da 00 divisioni al centimetro, quanto vale il coeciente di dilatazione volumica del liquido sapendo che la sezione del capillare è S = mm 2? La graduazione dello strumento fa sì che anchè il liquido termoscopico ragguinga la lunghezza nale h = cm sia necessario portarlo alla T f = 00 C. Conoscendo la sezione del capillare, possiamo trovare il volume nale (in cm 3 ) che occuperebbe il liquido a T f : V f = V 0 + S h = 8 + 0, 0 = 8, 0cm 3 A questo punto, ricordando la legge di dilatazione volumica V f = V 0 ( + α T ) si ricava che: α = V f V 0 = T 8, 0 8 =, C 00 4

5 LEGGI DEI GAS 4 Un gas ha inizialmente una pressione pari a P 0 = 2, P a ed un volume di 5 litri. Se mantenendo costante la temperatura lo si porta alla pressione atmosferica, quale volume andrà ad occupare? Si tratta di una trasformazione isoterma (T =cost), tra lo stato iniziale S 0 (5 l; 2, P a) e nale S f (V f ;, P a). Visto che la pressione deve diminuire, il gas subirà un incremento di volume. Applicando la legge isoterma, si ha: 5 P 0 V 0 = P f V f V f = P 0 V 0 = 2, =, 35 l P f, Un gas che alla temperatura T 0 = 273 K ha un volume pari a V 0 = 2 m 3. Di quanto cambia il suo volume se viene portato isobaricamente alla temperatura T f = 300 K? Si tratta si una trasformazione isobara (P =cost), che consiste in un riscaldamento ( T = = 27 K) in seguito al quale il gas deve aumentare di volume. Visto che la T è espressa in Kelvin, usiamo la legge isobara nella forma V/T = cost, avendo che: V 0 T 0 = V f V f V F = V 0 Tf = = 2, 2 m3 T Se avessimo voluto applicare la legge nella prima forma avremmo avuto, visto che abbiamo il volume V 0 a T = 0 C, e che T f = 300 K = , 6 = 26, 84 C: 6 V f = V 0 ( + 273, 6 T ) = 2 ( + 26, 84) = 2, 2 m3 273, 6 Una pentola a pressione fa scattare la valvola di sicurezza se, riscaldandola, la pressione al suo interno raggiunge P = 3 Atm. Supponendo che all'interno della pentola ci sia, inizialmente, del vapore acqueo in condizioni normali, a quale temperatura si trova il vapore quando scatta la valvola? E' chiaro che il gas subisce un incremento di pressione a seguito di un riscaldamento a volume costante, quindi si tratta di una trasformazione isocora (V =cost). Ricordiamo che per condizioni normali si intendono i valori P 0 = Atm e T 0 = 273 K. Quindi, in tale esercizio, disponiamo del valore di P 0, pressione a T = 0 C. Applicando la seconda legge di Gay-Lussac si ha, essendo P f = P 0 ( + T f = P f 3 P 0 /273, 6 = = 546, 32 C /273, 6 273, 6 T ): La temperatura nale vale allora T f = 546, 6 C. Potevamo eettuare il calcolo anche con la seconda forma della legge isocora, visto che abbiamo la temperatura espressa in Kelvin P 0 T 0 = P f T f T f = P f P 0 T 0 che equivalgono proprio ai 546 C trovati sopra! = 3/ 273, 6 = 89, 32 K 5

6 7 Un gas subisce una trasformazione isocora che lo porta dallo stato S A (P A = Atm; T A = 200 K) allo stato S B (V B = 5 l; T B = 400 K) e successivamente una trasformazione isoterma che lo porta allo stato S C (V C = 8 l). Calcolare il valore di P C. Si tratta di una successione di due trasformazioni in sequenza. Per calcolare il valore della pressione nale, si dovrà usare la legge isoterma di Boyle: P C V C = P B V B P C = V B P B V C Noto il valore di V C, sarà necessario calcolarci i valori inerenti lo stato S B a partire dallo stato S A. La transizione da S A a S B avviene tramite una isocora. Osservato che non conosciamo il valore di P 0, pressione a zero Celsius, dobbiamo usare la seconda forma della legge isocora, visto che T è espressa in Kelvin, ottenendo: P A T A = P B T B P B = P A TA T B = = 2 Atm Il volume V B coincice con V A, in quanto la trasformazione è isocora, quindi V B = 5 l. Con tale dato, andiamo a calcolare il valore di P C con la legge di Boyle. La pressione nale vale allora: P C = V B P B = 5 2 =, 25 Atm V C 8 N.B. Se avessimo voluto invece usare la prima forma della legge isocora, nella omonima trasformazione fra lo stato A e lo stato B, avremmo prima dovuto calcolare la pressione a T = 0 C, a partire dallo stato A Per la seconda legge di Gay-Lussac: P A = P 0 ( + 273, 6 T A) P 0 = Ove T A = , 6 = 73, 6 C. Inserendo i dati: + P A 273, 6 T A P 0 = =, 366 Atm + 273, 6 ( 73, 6) Ora possiamo applicare la legge nella prima forma, per trovare P B. Osservato che T B = , 6 = 26, 84 C: [ ] P B =, , 84 = 2 Atm 273, 6 che, come si vede, coincide col valore trovato direttamente con la seconda forma! 8 Un gas eettua una trasformazione isoterma AB alla temperatura T = 60 C e successivamente un'isobara BC. Calcolare la temperatura nello stato C, sapendo che P A = P a, che P B =, P a, V A = 7 dm 3 e V C = 0 dm 3 Applichiamo in sequenza le due trasformazioni, calcolando tutti i parametri degli stati:. Isoterma AB: dello stato nale B è nota solo la prressione, per cui ricaviamo il volume dalla legge di Boyle: P A V A = P B V B V B = P A V A P B = 8, 67 dm 3 6

7 2. isobara BC: ricaviamo la temperatura nale che permette di contrarre il volume dal valore V B al valore V C < V B. Applichiamo la prima legge di Gay-Lussac nella seconda forma, osservato che T B = , 6 = 333, 6 C: La temperatura dello stato C è pertanto: V B = V C 0 T C = T B V C V B = 333, 6 T B T C 8, 67 = 78, 4 T C = 78, 4 K EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI 9 Calcolare il volume iniziale di un gas che si trova alla temperatura di 300K e alla pressione di 2Atm, che viene portato ad occupare un volume di 0l alla temperatura di 280K e alla pressione di 2, 5Atm. Il gas risulta compresso o dilatato? Ricaviamo, dalla conoscenza completa dello stato C, il numero di moli n. Ovviamente V f = 0 l = 0, 0 m 3, P f = 2, 5 Atm = 2, 5, P a = 2, P a. Si ha: 0 n = P f V f = 2, , 0 =, 088 R T f 8, Conoscendo il numero di moli, deduciamo, per lo stato iniziale, il valore del volume: V 0 = n R T 0 P 0 =, 088 8, , = 0, 03 m 3 n = 2, 5 moli di un gas perfetto, contenute in un volume V = 80 l sono compresse isotermicamente da uno stato A ad uno stato B, aumentando la pressione da P A =, 5 Atm a P B =, 8 Atm. Raggiunto lo stato B, si aumenta ancora la pressione mantenendo costante il volume, sino a giungere alla temperatura T C = 620 K. Calcolare la pressione P C. La pressione dello stato nale C, dipenderà da quella dello stato B intermedio secondo la legge isocora: P C T C = P B T B La pressione P B e la temperatura nale T C sono note: ci manca la temperatura T B. Essa, che è pari a quella nello stato iniziale T A, si può calcolare dall'equazione di stato, appplicata allo stato A: T A = T B = P A V A n R Facciamo attenzione a trasformare le unità di misura: V A = 80 l = 0, 08 m 3 P A =, 5 Atm =, 5, =, P a Ponendo i valori numerici nell'equazione precedente, si ha: Usiamo ora la legge isocora: T A = T B =, , 08 2, 5 8, 34 = 584, 84 K P C = P B TC 620 =, 8 =, 9 Atm T B 584, 84 7

8 Quale è il volume occupato da 0 g di gas Neon alla temperatura T = 25 C e a pressione ordinaria, sapendo che la sua massa molare è m mol = 20, 8 g? Ovviamente T = = 298 K e P = Atm =, P a. Il volume inerente lo stato del gas si determina con l'equazione di stato, a patto di determinare prima il numero n di moli. Sapendo che Si ha che n = 0/20, 8 = 0, 495moli. Applicando l'equazione di stato si ha: n = m m mol V = n R T P = 0, 498 8, , = 0, 02 m 3 2 A quale pressione 4 moli di ossigeno si trovano ad una temperatura T = 25 C in un volume V = 3, 2 l? Convertendo le unità di misura, si ha ovviamente T = = 298 K e V = 3, 2 l = 0, 0032 m 3. Applicando l'equazione di stato, si ha: P = n R T V che corrisponde a circa 30, 57 Atm. = 4 8, , 0032 = 3, P a 3 3 moli di gas perfetto alla temperatura di T A = 400 K e alla pressione di P A = 2, 5 Atm subiscono un'espansione isoterma AB in modo che nello stato B il volume sia doppio. Il gas è quindi compresso isobaricamente sino a tornare al volume di partenza. Determina lo stato nale del gas. Se la trasformazione AB è isoterma, ovviamente T A = T B e se è V B = 2 V A, allora sarà anche P B = P A =, 25 Atm. 2 Se l'ultima trasformazione è isobara, allora P B = P C = P A =, 25 Atm. Sappiamo anche che l'ultima 2 trasformazione riporta il volume al valore iniziale, per cui V C = V A Dunque, applicando la prima legge di Gay-Lussac: V B = V C V A T C = T B V C V B = T A = T A T B T C 2 V A 2 = 200 K Riassumendo, gli stati sono caratterizzati da: STATO A: (V A, 2, 5 Atm, 400 K) STATO B: (2V A, 2, 5 Atm, 400 K) STATO A: (V A, 2, 5 Atm200 K) Lo stato C si trova compiutamente applicando indierentemente l'equazione di stato coi valori di T A e P A, oppure coi valori di T C e P C. Si ha dunque: V C = V A = n R T A 3 8, = P A 2, 5, = 0, 039 m3 = 39 l 8