Semantica. La semantica verocondizionale classica (seconda parte)

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1 Semantica La semantica verocondizionale classica (seconda parte)

2 Semantica e logica Il grande merito di Frege consiste nell avere inventato un sistema simbolico [= un linguaggio logico] che consentiva ai logici di formulare sia il tipo di inferenze studiate da Aristotele, sia quelle a cui i metodi di Aristotele non potevano essere applicati. (Mounce 1981, p. 9) I linguaggi logici odierni (linguaggio proposizionale, linguaggio predicativo del primo ordine ecc.) sono ricalcati da vicino su quello di Frege, la cosiddetta Ideografia.

3 Semantica e logica I tre grandi contributi di Frege alla logica: 1) Nuova e più perspicua analisi delle inferenze già discusse da Aristotele: dalla struttura soggetto/ predicato alla struttura funzione/argomento. 2) Estensione dell analisi a inferenze non discusse da Aristotele, quelle basate sulla forma delle proposizioni. 3) Ideazione di un linguaggio logico per rendere esplicite tali analisi

4 1: Frege vs. Aristotele Esempio 1: Cesare conquistò la Gallia Aristotele: la proprietà di conquistare la Gallia si predica di Cesare. Frege: la funzione x conquistò la Gallia si applica all argomento Cesare (= è la funzione che, applicata all argomento Cesare, restituisce il Vero). Prima di essere applicate a un argomento le funzioni sono insature, incomplete. Una volta saturate otteniamo un enunciato, che è qualcosa di completo.

5 1: Frege vs. Aristotele Esempio 2: Minou è una gattina Aristotele: la proprietà di essere una gattina si predica di Minou, e la connessione soggetto-predicato è specificata dalla copula. Frege: la funzione x è una gattina si applica all argomento Minou, e la copula non svolge alcun ruolo logico-semantico (è un orpello grammaticale). Le proprietà (nella terminologia freghiana: i concetti) sono funzioni che (in quanto tali) si applicano direttamente ai loro argomenti.

6 1: Frege vs. Aristotele Esempio 3: Tutte le rane sono verdi Aristotele: la proprietà di essere verde si predica del soggetto Tutte le rane e la connessione soggettopredicato è specificata dalla copula. Frege: l enunciato è appropriatamente parafrasabile come Se qualcosa è una rana, allora è verde. L enunciato esprime cioè una relazione tra due funzioni (l insieme degli argomenti a cui si applica la funzione x è una rana è un sottoinsieme degli argomenti a cui si applica la funzione x è verde )

7 Frege sui predicati (si può saltare) I predicati non denotano insiemi di oggetti, bensì concetti, cioè funzioni che associano a oggetti valori di verità. Un concetto F è quella funzione che restituisce il Vero quando è applicata a un oggetto che appartiene alla classe F(= che ricade sotto il concetto F), il falso altrimenti. Es. Cane (x) = Vero se e solo se x appartiene all insieme dei cani.

8 Frege sui predicati (si può saltare) I predicati denotano concetti, cioè funzioni, e non oggetti (insiemi), perché le funzioni sono insature, incomplete, cioè hanno sempre bisogno di un oggetto a cui applicarsi, per dare luogo a un valore di verità (a differenza degli oggetti, che sono completi, autonomi ). Analogamente, i predicati hanno bisogno di un argomento (una variabile vincolata o una costante) per dare luogo a un enunciato. Un predicato da solo è insaturo.

9 Frege sui quantificatori (si può saltare) I quantificatori non possono essere trattati come collezioni di individui. I quantificatori denotano funzioni di secondo livello, cioè funzioni che hanno per argomento concetti invece di oggetti (= si applicano a predicati). Tali funzioni restituiscono il Vero quando sono applicate ai concetti su cui si opera la quantificazione. Es. Tutti i cani è quella funzione OP(Y) tale che OP(Y) = Vero sse Y(x) = Vero per ogni x che è un cane (cioè, per Y = essere un cane)

10 Frege: riassunto (II) SENSO RIFERIMENTO Termini Singolari Termini Predicativi Modo di dare l oggetto Modo di dare la funzione Oggetto particolare Funzione caratteristica ( concetto ) Enunciati Pensiero Valore di verità

11 2: Frege oltre Aristotele Esempio: Se Alessandra va alla festa, ci va anche Giulia ; Alessandra sta andando alla festa; quindi anche Giulia ci va. Non è uno schema inferenziale analizzato da Aristotele. Frege: PàQ; P; quindi Q. (= Modus Ponens) à Ci sono inferenze valide in ragione della relazione che sussiste tra le proposizioni considerate come un tutto (invece che in forza dei rapporti tra i loro costituenti).

12 3: Linguaggi logici I linguaggi logici, o formali, sono congegnati per esprimersi senza ambiguità, vaghezza, dipendenza dal contesto. La formalizzazione è il processo di traduzione degli enunciati del linguaggio naturale in un linguaggio logico. Grazie alla formalizzazione siamo in grado di stabilire in modo affidabile quando un argomentazione (= un ragionamento espresso verbalmente) è cogente e quando no. I linguaggi logici si distribuiscono in una gerarchia di complessità e potere espressivo (il più semplice è il linguaggio proposizionale).

13 Linguaggi logici (A) Se Gianni fosse ancora vivo, avrebbe dato notizie di sé; ma non ha dato alcuna notizia; quindi Gianni è morto. (B) Se il film programmato per domani fosse di Woody Allen, allora sarebbe un film comico. Ma non è di Woody Allen. Quindi non è un film comico. A è corretta; B è fallace. Infatti

14 Linguaggi logici La formalizzazione evidenzia che A è un esemplificazione della forma generale: Se P allora Q; non Q; di conseguenza non P. (in simboli logici: PàQ, ~Q ~P), mentre (B) è della forma Se P allora Q; non P; quindi (di conseguenza) non Q (in simboli: PàQ, ~P ~Q)

15 Linguaggi logici Ci rendiamo così immediatamente conto che (A) è un argomentazione corretta, perché è un caso di modus tollens, mentre (B) è una tipica fallacia: la prima premessa ci dice che quando è vero P è vero anche Q, ma non ci dice nulla su che cosa consegue dalla falsità di P, che è ciò che viene asserito dalla seconda premessa; non possiamo quindi trarre alcuna conclusione (la fallacia si chiama di negazione dell antecedente perché negli enunciati della forma PàQ, detti condizionali, P e Q sono detti rispettivamente antecedente e conseguente, e nella seconda premessa è P che viene negato).

16 Logica formale È lo studio delle forme (o schemi) argomentative, che sono comuni a molti diversi argomenti Alcuni argomenti sono validi indipendentemente dal contenuto delle premesse e della conclusione (es. modus ponens, modus tollens, legge di De Morgan ecc.).

17 Se Alessandra va alla festa, ci va anche Giulia; Alessandra va alla festa. Quindi Giulia va alla festa. Se piove, non vengo. Sta piovendo, quindi non vengo. Se oggi è lunedi, devo andare dal dentista; oggi è lunedi, quindi devo andare dal dentista. Forma generale: A à B, A B

18 Logica proposizionale L unità di analisi è la proposizione. Non si entra nel merito dei suoi costituenti (à inferenze analizzate da Frege). Si studiano le condizioni alle quali una o più proposizioni ne implicano un altra (e più in generale i tipi di relazione tra proposizione) in relazione alla forma (congiunzione, disgiunzione, condizionale ecc.) delle due proposizioni.

19 P Q P & Q P Q P v Q P Q P à Q V V V V V V V V V V F F V F V V F F F V F F V V F V V F F F F F F F F V P Q P ó Q V V V V F F F V F F F V P V F ~ P F V

20 Limiti della logica proposizionale Tutti gli uomini sono mortali Socrate è uomo Socrate è mortale P, Q R??? à Ci sono argomentazioni molto semplici che non possono essere formalizzate nella logica proposizionale (perché la validità dell argomento dipende dalle relazioni che sussistono tra i costituenti delle proposizioni).

21 Un linguaggio con più risorse espressive à Ci serve un linguaggio in cui sia possibile: 1) Riferirsi a proprietà e a individui (oggetti particolari) 2) Fare affermazioni particolari o universali, senza necessariamente far riferimento a individui specifici (= usare pronomi e aggettivi indefiniti)

22 Argomenti che possiamo esprimere con un linguaggio più potente Fido è un cane, quindi ho almeno un amico fedele. Qualche mammifero è carnivoro; tutti i carnivori sono predatori; quindi qualche mammifero è predatore. Nessuno dei referendum darà gli esiti desiderati. Quindi, ogni referendum darà esiti indesiderati. Gianni è più alto di Luca, Luca è più alto di Andrea; quindi Gianni è più alto di Andrea. Luca è più alto di Andrea. Quindi c è qualcuno che è più alto di Andrea.

23 Predicazione e quantificazione I quantificatori non vanno letti come se indicassero entità specifiche (il tutto o un qualcuno in particolare) ma come se indicassero tutte le entità (quello universale) e almeno una entità (quello esistenziale). Es. Tutti gli italiani sono europei: x (Px Qx) si legge: per tutti gli x, se x è italiano allora x è europeo Qualche italiano è sardo: x (Px Qx) si legge: esiste (almeno) un x tale che x è italiano e x è sardo. Tipicamente un condizionale è nell ambito di un quantificatore universale, mentre una congiunzione è nell ambito di un quantificatore esistenziale

24 Predicazione e quantificazione Forme tipiche x (Px Tx) x (Px Tx) Tutti i pinguini sono tristi Almeno un pinguino è un triste Forme atipiche (ben formate ma estremamente improbabili) x (Px Tx) Ogni cosa è un pinguino triste [= nel mondo esistono solo pinguini tristi e niente altro] x (Px Tx) *C è qualcosa tale che, se è un pinguino, allora è triste

25 Il concetto di validità La formalizzazione sposta la nostra attenzione dal contenuto delle proposizioni, dal loro significato, alla struttura o forma degli argomenti, che è l unica cosa che conta ai fini di valutare la validità, la cogenza logica di un argomentazione. Un argomento si definisce valido se non è possibile che le premesse siano vere e la conclusione falsa; il contenuto dell argomentazione, ciò di cui si parla, può trarci in inganno, distraendoci dal valutare l unica cosa che conta ai fini della validità: il nesso consequenziale tra premesse e conclusione.

26 Forma logica La traduzione di un enunciato del linguaggio naturale in una espressione di un linguaggio logico rende del tutto esplicita quella che si suole chiamare la forma logica dell enunciato, cioè la sua struttura semantica. Spesso si contrappone la forma logica alla forma grammaticale, per sottolineare come non vi sia una corrispondenza sistematica tra le relazioni grammaticali e le relazioni logiche tra i costituenti dell enunciato. In questo senso Frege e i suoi eredi dicevano che la forma grammaticale talora occulta la forma logica.

27 Forma logica Il concetto di forma logica è fondamentale perché è la determinazione della forma logica che ci consente di stabilire quali sono le conseguenze logiche di un enunciato, ovvero quali inferenze aventi quell enunciato come premessa siamo autorizzati a trarre. Più specificamente, la forma logica ci consente di distinguere le inferenze valide - quelle che da premesse vere conducono infallibilmente a una conclusione vera - da quelle che hanno al più una certa forza induttiva.

28 Forma logica L enunciato Gianni e Grazia andranno alla festa, per esempio, implica infallibilmente che Grazia andrà alla festa (in quanto da P & Q seguono infallibilmente tanto P quanto Q), mentre dall enunciato Almeno uno tra Gianni e Grazia verrà alla festa (P v Q) non segue che Grazia andrà alla festa, c è soltanto una certa probabilità che ci andrà.

29 Forma logica La forma logica è nascosta, mascherata, dagli usi ordinari del linguaggio quotidiano; in particolare, i diversi usi del verbo essere. Per esempio, la copula uno degli usi del verbo essere --, lungi dal corrispondere a un elemento semantico sostanziale, è meramente un connettore grammaticale tra predicato e portatore del predicato.

30 Forma logica Concetto espresso Forma grammaticale Forma logica Inclusione Ogni uomo è mortale x(uxàmx) Appartenenza Buffon è un portiere Pb Identità Michelangelo Merisi è il Caravaggio m=c Esistenza Vi è almeno un batterista xbx

31 Russell: la teoria delle descrizioni Frege: descrizioni vuote non hanno riferimento, quindi gli enunciati dove esse occorrono non hanno valore di verità. Russell: le descrizioni non sono nomi, bensì enunciati mascherati: L attuale re di Francia = C è qualcosa che è re di Francia e solo quella cosa è re di Francia x(rxf & y(ryf à (x=y) )). Quindi: L attuale re di Francia è calvo è un enunciato che riceve un valore di verità, il falso.

32 Russell: teoria semantica - Non c è bisogno di postulare sensi per dar conto della verità. Le espressioni linguistiche hanno soltanto riferimento ( semantica referenziale ). - I nomi (apparentemente) propri sono in realtà abbreviazioni di descrizioni. I veri nomi propri (logicamente tali) sono le espressioni indicali ( questo, quello ) che stanno per un dato di senso o comunque per qualcosa di cui abbiamo acquaintance, conoscenza diretta. - La forma grammaticale maschera la forma logica. Compito della teoria semantica è mettere in luce la forma logica

33 Sviluppi di Frege: il Tractatus La questione centrale del Tractatus è quella della natura della logica: - Che cosa giustifica la verità di una certa proposizione della logica? - Se noi invochiamo come giustificazione la sua derivabilità dalla verità degli assiomi, che cosa giustifica la verità degli assiomi? - Ci sono giustificazioni alternative a quella della dipendenza dagli assiomi?

34 Sviluppi di Frege: il Tractatus La questione centrale del Tractatus è quella della natura della logica: - In che cosa le proposizioni della logica si distinguono da tutte le altre proposizioni? - Che cosa giustifica la verità di una certa proposizione della logica? - Se noi invochiamo come giustificazione la sua derivabilità dalla verità degli assiomi, che cosa giustifica la verità degli assiomi? - Ci sono giustificazioni alternative a quella della dipendenza dagli assiomi?

35 Emendamenti a Frege 1) Significato = condizioni di verità, NO valore cognitivo 2) I termini singolari hanno solo riferimento, non senso; gli enunciati hanno solo senso, no riferimento 3) Gli enunciati hanno un valore di verità, ma i valori di verità non sono oggetti di cui gli enunciati sono nomi. (La differenza di funzione logica tra nomi ed enunciati è uno specchio della differenza metafisica tra oggetti e stati di cose).

36 Il Tractatus Isomorfismo tra linguaggio e realtà (I). Il mondo è una collezione di fatti (o eventi) Un fatto è un nesso di oggetti, cioè un ente complesso, strutturato, costituito da oggetti che stanno in una certa relazione. Fuori da un fatto, un oggetto è una mera potenzialità. Non c è nient altro nella natura di un oggetto al di là della sua disposizione a entrare quale costituente in uno o più fatti. Gli oggetti sono assolutamente semplici. Non viene mai dato un esempio concreto di oggetto.

37 Il Tractatus Isomorfismo tra linguaggio e realtà (II). Ci sono due tipi di espressioni linguistiche: i nomi e gli enunciati (Saetze, proposizioni). I nomi si riferiscono agli oggetti: come gli oggetti, sono assolutamente semplici. Le proposizioni corrispondono (in un senso da chiarire) ai fatti (Tatsachen); come i fatti, sono complesse, hanno struttura. Una proposizione può essere vera o falsa. Quindi non è detto che una proposizione corrisponda a un fatto: se la proposizione è falsa, non corrisponde a un fatto. Tuttavia una proposizione esprime sempre uno stato di cose (Sachverhalt).

38 Il Tractatus Uno stato di cose è un nesso di oggetti (enti, cose) : si ha uno stato di cose tutte le volte che si ha un complesso di oggetti che stanno in una certa relazione. Gli stati di cose possono essere realizzati - sussistenti (= fatti) - o meno. Es. lo stato di cose che la penna è sul tavolo (= l essere la penna sul tavolo); lo stato di cose che Gianni è più giovane di Luca; lo stato di cose che Lucrezia è seduta tra Giulio e Cristina (ma Wittgenstein non fa mai esempi)

39 Il Tractatus La teoria della proposizione come immagine. Le proposizioni elementari, o atomiche, sono un immagine logica di stati di cose. Se nel mondo si dà quello stato di cose (= se quello stato di cose è un fatto), la proposizione è vera, falsa altrimenti. Un immagine logica è un immagine che raffigura lo stato di cose facendo astrazione di tutti i dettagli (es. colore, forma geometrica, posizione ecc.) e mantenendo esclusivamente la struttura, cioè la forma logica. La forma logica è qualcosa del tipo: qualcosa è in relazione con qualcosa.

40 Il Tractatus Dunque una proposizione è una sequenza strutturata di segni che stanno per oggetti e relazioni. L enunciato rappresenta lo stato di cose, nel senso che ne riproduce la struttura. Es. Rxy ( x è a destra di y ) rappresenta lo stato di cose costituito da due oggetti che stanno nella relazione di essere l uno a destra dell altro

41 Il Tractatus La forma di raffigurazione è l insieme delle convenzioni con cui un immagine rappresenta uno stato di cose, l insieme dei mezzi espressivi grazie ai quali un immagine raffigura ciò che raffigura. Ad esempio, proprietà e relazioni spaziali, proprietà e relazioni cromatiche ecc. (si pensi a una cartina o a uno spartito). Nel caso delle proposizioni la forma di raffigurazione coincide con la forma logica, perché la proposizione asserisce meramente il sussistere di un certo nesso tra oggetti, ignorando qualsiasi altro dettaglio (es.: Rab, la cui forma generale è Xxy).

42 Il Tractatus Significato (= senso) di una proposizione = condizioni di verità (cfr ) La condizione di verità di una proposizione atomica è lo stato di cose che essa esprime (se infatti quello di stato di cose sussiste, allora la proposizione è vera, e viceversa). Le proposizioni complesse sono funzioni di verità delle proposizioni atomiche in esse contenuti, quindi le loro condizioni di verità sono determinate dalle tavole di verità. Le tavole di verità possono essere viste come un metodo per formalizzare le condizioni di verità delle proposizioni complesse.

43 P Q P & Q P Q P v Q P Q P à Q V V V V V V V V V V F F V F V V F F F V F F V V F V V F F F F F F F F V P Q P ó Q V V V V F F F V F F F V P V F ~ P F V

44 Il Tractatus Le proposizioni non sono nomi di valori di verità. Le proposizioni esprimono un senso (= significato in senso intuitivo) e hanno un valore di verità. Una proposizione è vera in quanto è immagine di un fatto, non in quanto è in relazione con un oggetto astratto (il vero). I termini singolari (= i nomi ) significano oggetti. Al contrario delle proposizioni, i termini singolari non hanno senso ma solo riferimento. Il Vero e il Falso non sono oggetti. In logica non ci sono oggetti. (contra Frege)

45 Il problema di Russell Una proposizione atomica è una struttura relazionale Rabc che asserisce che certi oggetti (a, b e c) stanno nella relazione R tra loro. Ma secondo Russell una proposizione ha anche una forma (che potremmo indicare con Xxyz), e per comprendere la proposizione occorre conoscere (avere acquaintance con) la forma. La forma è dunque un oggetto logico semplice la cui conoscenza diretta è presupposta nella comprensione del linguaggio. Ma come fa la proposizione a comunicare la sua forma?

46 e la soluzione di Wittgenstein La forma della proposizione si mostra nella proposizione stessa. La proposizione non può descrivere la sua forma, dire qual è la sua forma perché nella proposizione ci sono soltanto segni che stanno per oggetti e relazioni. La forma (logica) della proposizione non è un oggetto. Non ci sono oggetti logici.

47 Natura della logica - Le proposizioni della logica (= i teoremi della logica classica) sono tutte e sole le tautologie, cioè le proposizioni complesse che risultano vere comunque assegniamo i valori di verità alle proposizioni componenti (quindi la verità delle proposizioni della logica risiede nel significato dei connettivi logici è convenzionale). - Assiomi, regole e teoremi si collocano tutti allo stesso livello. Non c è una categoria di proposizioni logiche più basilare di un altra

48 Esempi di tautologie P v ~ P P à (Q à P) ~ (P & Q) à (~ P v ~ Q) (P à Q) à (~ Q à ~ P)

49 Ancora su fatti e oggetti Gli oggetti devono esistere altrimenti non potrebbero esistere nemmeno i fatti (2.021: gli oggetti formano la sostanza del mondo). Però non esistono oggetti fuori dai fatti. Gli oggetti sono necessariamente semplici e la loro esistenza è necessaria. I fatti sono necessariamente complessi, ma la loro esistenza è contingente (infatti una proposizione può essere tanto vera quanto falsa).

50 Dimostrazione per assurdo della semplicità degli oggetti Se (per ipotesi) ci fossero oggetti complessi: 1) l esistenza di tali oggetti sarebbe un fatto contingente (perché che due o più oggetti si combinino a costituire un fatto è contingente); ma allora, detto C uno di tali oggetti: 2) Le proposizioni dove compare il nome C potrebbero essere insensate, perché la loro sensatezza richiede l esistenza di C; quindi: 3) La sensatezza di alcune proposizioni verrebbe a dipendere dalla verità di altre proposizioni, quelle che raffigurano stati di cose che comprendono C. 4) Ma questo è assurdo, perché la sensatezza di una proposizione è qualcosa che ci è noto a priori.

51 Semplicità degli oggetti Se non vi fossero oggetti semplici, che una proposizione abbia un senso determinato (e quale esso sia) non potrebbe risultare dall analisi della proposizione stessa, ma dovrebbe essere garantito, per così dire, dall esterno: dovremmo sapere indipendentemente che gli oggetti (complessi) di cui la proposizione parla esistono davvero, cioè dovremmo sapere che sono vere le proposizioni che asseriscono quei fatti nella cui sussistenza consiste l esistenza dei complessi in questione (dire che un complesso esiste equivale ad asserire che di fatto certi costituenti sono combinati in un certo modo). (Marconi 1997, p. 29).

52 Semplicità degli oggetti Se, per assurdo, gli oggetti potessero essere complessi, si aprirebbero una serie di problemi: - Qual è la natura dei costituenti di un oggetto? - Ci potrebbero essere proposizioni che raffigurano la struttura di un oggetto? - In che cosa si distinguerebbero queste proposizioni da quelle che raffigurano stati di cose? Sarebbero proposizioni necessarie o contingenti? -

53 Il problema degli oggetti Ipotesi su che cosa è un oggetto secondo W.: - Macrooggetti ordinari - Particelle elementari - Punti materiali (nello spazio-tempo) - Fasci di sensazioni (primitivi sensoriali) - Entità diverse a seconda del contesto di discorso - Principi immateriali Nessuna di queste ipotesi ha un chiaro riscontro testuale, e nessuna consente di risolvere in modo del tutto convincente il problema sollevato dalle proposizioni elementari ordinarie.

54 Il problema degli oggetti Le tipiche proposizioni elementari del linguaggio sono della forma a è F (Fa). Ma come può lo stato di cose espresso da una proposizione del genere essere un nesso di oggetti? Sebbene W. non si esprima esplicitamente al riguardo, sembra chiaro che egli non considera tali proposizioni come elementari.

55 Il problema degli oggetti Esempio. Aldo è un flautista - L insieme dei flautisti è un oggetto, e la relazione tra Aldo e l insieme è l appartenenza. Problema: è molto difficile sostenere che un insieme di oggetti sia un ente semplice - La proprietà di essere un flautista è un oggetto e la relazione tra Aldo e tale proprietà è l esemplificazione. Problema: è strano assimilare le proprietà agli oggetti e l esemplificazione non sembra essere una relazione del tipo che ha in mente W. - La proposizione in questione non è una vera proposizione elementare. Problema: una parte cospicua del nostro linguaggio non è come sembra e, quel che è peggio, non sappiamo com è davvero.

56 Tautologie e insensatezza 1 Le proposizioni della logica sono le tautologie. Le tautologie sono prive di senso (sinnlos) in quanto non descrivono stati di cose (il sussistere di uno stato di cose è contingente; una tautologia, invece, è necessaria). In altre parole: l essenza delle proposizioni ordinarie risiede nel loro essere vere o false (a seconda di come stanno le cose nel mondo); invece le tautologie non possono essere false.

57 Insensatezza 2 Le proposizioni che parlano del linguaggio (e delle nozioni di oggetto, stato di cose, verità ecc.), come quelle del Tractatus, sono insensate (unsinnig) in un accezione più radicale: cercano di dire quello che non si può dire ma solo mostrare. Non parlano del mondo, ma della logica, cioè dei nostri modi di pensare il mondo. Queste proposizioni sarebbero sensate se potessimo uscire dal linguaggio (dalla logica), così da poterne parlare; ma non possiamo uscire dal linguaggio (dalla logica). Si tratta quindi di proposizioni necessarie in un senso un po diverso dalle tautologie.