OTTAVIO SERRA. Consentirà anche di collegarci ai temi di informatica e di sperimentare sul campo questioni relative alla propagazione degli errori.

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Gennaro Castellano
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1 OTTAVIO SERRA GEOMETRIA PROBABILITA INFORMATICA Reazione tenuta nea Saa consiiare de Comune di Diamante i 7 giugno 000 Ne ambito de Convegno su L insegnamento dea matematica:quae, Perché, Come Organizzato dai Proff. A. Fabiano, M.F. Farina, J. Guenot De Dipartimento di Matematica, Università dea Caabria. I fatto di disporre attuamente di potenti strumenti informatici e mutimediai non ci deve far dimenticare che i fine primario de insegnamento dea matematica è a MATEMATICA. Non c è dubbio che i possesso di certi strumenti modifichi sia i modo di pensare gi argomenti di matematica, sia i modo di presentari. D atra parte, concetti fondamentai per costruire modei dea reatà esterna (quaunque cosa possa significare reatà esterna), quai i concetti probabiistici e quei de agebra ineare, stentano ad entrare a pieno titoo ne insegnamento dea scuoa secondaria, anche per e carenze dea preparazione dei docenti, dee quai non è senza copa università. Presenterò acuni esempi per chiarire e mie idee, traendo i primo daa geometria e da probema de cacoo di L esempio permetterà di rivisitare argomenti di geometria eementare fuori dei soiti esercizi di routine sui teoremi di Pitagora e di Eucide. Consentirà anche di coegarci ai temi di informatica e di sperimentare su campo questioni reative aa propagazione degi errori. E noto che basta i soo teorema di Pitagora ( uso dei teoremi di Eucide sneisce i cacoi) per ottenere i ato de n-agono regoare inscritto in un cerchio (di raggio 1), dato i ato de n-agono: n 4 n Segue per i ato de n-agono circoscritto: L n n 4 n Risuterà aora n. n n. L n 1

I fatto di disporre attuamente di potenti strumenti informatici e mutimediai non ci deve far dimenticare che i fine primario de insegnamento dea matematica è a MATEMATICA.

2 Tuttavia i cacoo è fortemente sensibie aa propagazione degi errori per copa dea formua n 4 n perché, a crescere di n, i ato de n-agono si avvicina pericoosamente a zero, sotto a radice quadrata quasi è quasi zero e i cacoo di perde di attendibiità. Tutto si sistema se a formua de n_agono inscritto si scrive: n n 4 n (Qui far vedere quache programma, come per esempio, i miei PiGreco in VisuaBasic o Archimed in Pasca). Congettura e confutazione in geometria. E noto che per trasformazione affine de cerchio in eisse, si giustifica facimente a formua per area de eisse: S(e) =ab, che generaizza quea de cerchio. Per anaogia, viene in mente di generaizzare a unghezza dea circonferenza in L(e) = (a + b). Che tae formua sia errata si dimostra osservando che, se fosse giusta, dovrebbe vaere per ogni b, ma, per b = 0, L(e) = a, mentre eisse degenera in un segmento a contato due vote e quindi L(e) = 4a. Speranza matematica: c è da fidarsi? Certamente, se i cacoo è corretto, ma attenti ae attribuzioni faaci di probabiità. Spesso errore dipende da una errata attribuzione di probabiità uniforme, come ne seguente esempio (da Jean Pau Deahaye) Mi vengono presentate due buste, A e B, contenenti una x $ e atra x $. Sto per scegiere a busta A, ma poi ragiono così: se A contiene z $ (x o x), c è una probabiità su due che B contenga z $ e una su due che contenga z/ $; a speranza matematica di B è 1/(z)+1/(z/) = 1.5z, megio di A a cui speranza è di soi z $. Ma a situazione è simmetrica per e due buste: cos è che non va? Intanto, non sono possibii tutti i vaori di x; chi propone i gioco fissa un tetto ai suoi vaori; inotre i vaori dispari possono comparire soo una vota in A come in B.

Tutto si sistema se a formua de n_agono inscritto si scrive: n n 4 n (Qui far vedere quache programma, come per esempio, i miei PiGreco in VisuaBasic o Archimed in Pasca).

3 Più in generae, occorre sempre fare attenzione a non assegnare impicitamente uguae probabiità a tutti (gi infiniti) numeri interi. Se per es. 1<=x<=10, <=x<=0, a speranza di chi scegie a busta A è ( ( ) )/0=8.5 e o stesso è per B. In generae, per un x massimo =n pari, n=k, a speranza per ciascuna busta è S=( k-1+(+4+..k)+k++..4k)/4k= 3k(k 1) ( k ( k k) 3k k)/ 4k 4k Se n è dispari, n=k+1, S=(1+3+..k+1+(+4+..k)+k++..4k+)/(4k+)= (k(9k+8)+1)/(4k+). Citato dao stesso Autore, i paradosso di S. Pietroburgo, attribuito a Danie Bernouii. Anche in questo, tutto ruota su fatto trascurato che i Casinò non ha una disponibiità finanziaria infinita. Ecco i fatto. I ciente ancia una moneta e riceve $ se esce testa a 1 ancio, 4 $ se esce per a prima vota testa a ancio, 8 $ se testa esce per a prima vota a 3 ancio, e così via. La speranza di vincita è infinita e dunque a posta, per un gioco equo, dovrebbe essere infinita; ma anche se i banco mi chiede una posta di 1000 $, io non ci casco, è chiaro! Atro esempio: quand è che comincia a diventare conveniente giocare aa rouette, anziché depositare i sodi in banca? Come esempi di cacoo di probabiità vorrei presentare i seguenti, reativi aa probabiità ne continuo, tratti da ibro di Guido Castenuovo: Cacoo dee probabiità vo.1, Zanichei Probabiità che un meteorite copisca a Terra (supposta sferica) a di sopra di un dato paraeo (di coatitudine ). Normaizziamo i probema ponendo R=1(raggio terrestre). L atezza dea caotta imitata da detto paraeo è h=1-cos( e perciò a probabiità richiesta è (assunta ipotesi di distribuzione uniforme): P (1 cos ) 1 cos sen ( ) 4 La probabiità che i punto di caduta abbia coatitudine compresa tra e d risuterà poi 1 dp ' sen. d 3

.+k-1+(+4+..k)+k++..4k)/4k= 3k(k 1) ( k ( k k) 3k k)/ 4k 4k Se n è dispari, n=k+1, S=(1+3+..k+1+(+4+..k)+k++..4k+)/(4k+)= (k(9k+8)+1)/(4k+). Citato dao stesso Autore, i paradosso di S.

4 Anaogamente, a probabiità che i punto di impatto abbia ongitudine compresa tra e dè dp d Se si assume che e due probabiità siano indipendenti, avremo dp dp. dp sen dd 4 Probema de ago di Buffon. (Proposto i 1733, a souzione fu data i 1777) 4

probabiità siano indipendenti, avremo dp dp.

5 Su un fogio orizzontae è tracciato un sistema di rette paraee equidistanti (distanza a). Viene anciato su fogio un ago ciindrico di unghezza <a: qua è a probabiità che ago intersechi una retta? Detta y a distanza de centro de ago daa retta più vicina, angoo che ago forma con a perpendicoare Y ae rette paraee, y varia tra 0 ed a, mentre tra -e. Lo spazio degi eventi è i rettangoo di base e atezza a, mentre evento è insieme dei punti a disotto dea cosinusoide y=.cos( Integrando questa funzione tra gi estremi -e, e dividendo per area de rettangoo a, si ottiene a probabiità P=/(a). (Vedere i programma i mio programma Buffon ) La comparsa de mitico ne probema de ago ha indotto moti ricercatori a reaizzare degi esperimenti. Data Autore /a Lanci Inters PiGreco 1850 Wof Smith De Morgan Fox Lazzarini Reina (da Roger Cucuière: La probabiità geometrica, Le Scienze Quaderni, ottobre 97) I trucco c è e si vede: basta scegiere un buon rapporto /a e arrestare esperimento quando si ottiene una appetibie approssimazione di Una interessante generaizzazione, dovuta a Barbier (Journa de mathematiques, 1860), permette di ottenere senza cacoo integrae a probabiità precedente, nonché di arrivare a un risutato sua unghezza di una curva chiusa (convessa) ottenuto da Cauchy ne 1841 indipendentemente da cacoo dee probabiità. Se ago è diviso in n parti uguai, ciascuna di queste ha a stessa probabiità di incontrare una dee rette paraee. La probabiità è perciò proporzionae aa unghezza de ago. Ne caso che >a, a probabiità va sostituita con a speranza matematica S de numero di intersezioni: S=c., essendo c una costante dipendente da a, ma indipendente da. Se <a, S=P. La formua S=c. vae anche se ago è sostituito da spezzata o anche da una poigonae chiusa con un numero arbitrario di ati e a imite da una curva continua. 5

Lo spazio degi eventi è i rettangoo di base e atezza a, mentre evento è insieme dei punti a disotto dea cosinusoide y=.

6 Ne caso che a curva è un cerchio di diametro a, S=, =a e perciò c=1/(a). Si ottiene infine S=/(a) e, per <a, P=S come co cacoo integrae. Ne caso di una curva chiusa convessa e regoare, se a è abbastanza grande in modo da poter e- scudere gi incontri con più di una paraea, a probabiità di un incontro (e quindi di due) è S/ = /a Questa probabiità può vautarsi osservando che in un cerchio di raggio a una corda è individuata daa distanza x = OX da centro e da angoo che a normae aa corda forma con un asse poare. dp = dx/a. d/e quindi, essendo r() = OR, P S 1 a 0 d r( ) 0 dx Confrontando con a P = S/, si ottiene i risutato di Cauchy: r( ) d 0 E chiaro che in questo risutato finae ogni riferimento a cerchio è inessenziae: i punto O è sempicemente un punto arbitrario interno aa curva regoare, chiusa e convessa in oggetto. Interessante e suggestivo per gi studenti è i cacoo di integrai con metodi Montecaro: Hit or Miss (Copito o mancato) e Sampe Mean (Media campionaria). O. Serra 6

probabiità può vautarsi osservando che in un cerchio di raggio a una corda è individuata daa distanza x = OX da centro e da angoo che a normae aa corda forma con un asse poare. dp = dx/a.

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