Corsi di Analisi 1, 2, 3, 4

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1 Corsi di Analisi 1, 2, 3, 4 Il programma complessivo dei corsi è contenuto nella pagina del DIMA Prerequisiti: per Analisi 1 : nessuno (l'esame può essere sostenuto contestualmente a quello di Analisi 2) per Analisi 2 : Analisi 1 per Analisi 3 : Analisi 1 e Analisi 2 per Analisi 4 :Analisi 1 e Analisi 2 [email protected] Pirro Oppezzi Corsi di Laboratorio di Matematica e Istituzioni di Logica Matematica Prerequisiti per Laboratorio di Matematica: nessuno. Prerequisiti per Istituzioni di Logica Matematica: nessuno. [email protected] Corso di Istituzioni di Analisi Superiore-I modulo Prerequisiti: Analisi Matematica I e II, Algebra, Geometria II Programma 1. Funzioni di variabile complessa. Derivata complessa; condizioni di Cauchy Riemann. Olomorfia; formula integrale di Cauchy; teorema di Morera. Analiticita', legami con l'olomorfia; teorema della media. Principio di massimo. Teoremi di Liouville, fondamentale dell'algebra, di Weierstrass. Singolarita', serie di Laurent, residui. Integrale di alcune funzioni con il metodo dei residui. Teorema della mappa aperta. Superficie di Riemann; sfera di Riemann; trasformazioni conformi. 2. Spazi di Banach, di Hilbert e operatori. Spazi normati, di Banach e loro duali continui. Operatori lineari;

2 operatori lineari e continui. Teorema di Hahn Banach. Lemma di Baire; teoremi dell'uniforme limitatezza, della mappa aperta e del grafico chiuso e conseguenze. Spazi di Hilbert; base; teorema di Riesz; teorema della proiezione. 3. Teoria dell'integrazione. Spazi Lp; approssimazione con funzioni continue. Convergenza in misura. Confronti tra i vari tipi di convergenza. Variazione totale di una misura complessa; assoluta continuita'; teorema di Radon-Nikodym e conseguenze. Libri consigliati: H. Brezis - Analyse Fonctionnelle, The'orie et applications - Masson H. Cartan - Theorie elementaire des fonctions analitiques d'une ou plusieurs variables complexes - Hermann D.C. Lay, A.E. Taylor, Introduction to Functional Analysis - Wiley (1980). W. Rudin - Real and Complex Analysis - McGraw-Hill L. Schwartz - Cours d'analyse II. Nota: per gli studenti del NO non fanno parte del programma i seguenti argomenti di Funzioni di variabile complessa: Teorema della mappa aperta. Superficie di Riemann; sfera di Riemann; trasformazioni conformi. [email protected] Gianfranco Bottaro Corso di Istituzioni di Analisi Superiore-II modulo Prerequisiti: Analisi Matematica I e II, Algebra, Geometria II, Istituzioni di Analisi superiore-i modulo Programma 1. Teoria dell'integrazione. Duali degli spazi L^p e dello spazio delle funzioni continue che tendono a zero all'infinito; funzioni a variazione limitata, funzioni assolutamente continue, densita' di una misura, teorema di cambiamento della variabile per l'integrale rispetto alla misura di Lebesgue. 2. Spazi di Banach, di Hilbert. Teoria spettrale e operatori. Topologia debole e debole stella, teorema di Alaoglu; spazi riflessivi. Teorema di Ascoli Arzela'. Operatori aggiunti. Operatore risolvente. Definizione dello spettro. Proprieta' spettrali.

3 Operatori lineari completamente continui ed esempi, teorema dell'alternativa di Fredholm, teoria di Riesz-Schauder per operatori completamente continui, teorema della mappa spettrale. Analisi spettrale negli spazi di Hilbert: forme bilineari e quadratiche, teorema di Lax Milgram, operatori autoaggiunti, teorema spettrale e sue applicazioni. Libri consigliati: H. Brezis - Analyse Fonctionnelle, The'orie et applications - Masson N. Dunford, J.T. Schwartz - Linear Operators. Part I: General Theory - Interscience W. Rudin - Real and Complex Analysis - McGraw-Hill D.C. Lay, A.E. Taylor, Introduction to Functional Analysis - Wiley (1980). [email protected] Gianfranco Bottaro i prerequisiti sono: Corso di Geometria 1 (NO) Algebra 1, Analisi Matematica 1, Geometria Analitica. PRESENTAZIONE La Topologia Generale tratta lo studio degli "spazi topologici" e delle applicazioni continue tra queste. La nozione di continuità è nota dai corsi di Analisi Matematica, nell'ambito delle funzioni reali di una o più variabili reali. Ma risulta utile estenderla ad insiemi arbitrari, muniti di una "struttura topologica" che consente di individuare gli "intorni" dei punti; un insieme munito di questa struttura si dice spazio topologico. La struttura topologica può essere prodotta da una distanza, come avviene per gli spazi euclidei Rn: la loro topologia usuale è determinata dalla distanza euclidea. Tra le proprietà più importanti degli spazi topologici ci sono la connessione e la compattezza; alcuni aspetti di queste, nell'ambito delle funzioni reali continue, sono già noti agli studenti attraverso il Teorema degli Zeri ed il Teorema di Weierstrass. Altro problema importante in Topologia, spesso non banale, è distinguere gli spazi a meno di "omeomorfismo": due spazi si dicono "omeomorfi" se esiste tra questi un'applicazione continua, biiettiva, la cui inversa sia continua. Ad esempio, il Teorema di Invarianza della Dimensione dice che gli spazi euclidei Rm ed Rn sono omeomorfi solo se m = n; questo risultato è alla base della nozione topologica di dimensione. La dimostrazione è abbastanza semplice per m = 1 o n = 1, ma richiede strumenti più complessi per il caso generale.

4 Si può effettuare con metodi di Topologia Algebrica, che riconducono problemi topologici (il precedente e molti altri) a problemi algebrici, spesso più elementari e risolubili; questi metodi potranno essere accennati nel corso ma saranno sviluppati in corsi successivi (Geometria 2, Topologia Algebrica). PROGRAMMA 0. Introduzione. Continuità e omeomorfismi negli Rn, esempi. 1. Spazi metrici. Generalità; la metrica euclidea; funzioni continue e omeomorfismi; funzioni uniformemente continue e Lipschitziane, isometrie. 2. Spazi topologici. Definizione; la topologia indotta da una metrica, la topologia euclidea; confronto di topologie; sottospazi; basi di aperti e sistemi fondamentali di intorni; assiomi di numerabilità. 3. Sottoinsiemi di uno spazio. Chiusi; interno, esterno e frontiera; chiusura, parti dense, spazi separabili; limiti delle successioni; punti di accumulazione. 4. Funzioni continue. Generalità; il caso metrico; omeomorfismi; applicazioni aperte e chiuse. 5. Sottospazi. Generalità; sottospazi notevoli di Rn; continuità su sottospazi e ricoprimenti. 6. Prodotti cartesiani. Prodotto di spazi e proprietà universale; relazioni con: continuità, basi di aperti, chiusi, sottospazi, intorni, limiti di successioni, metriche. La topologia della convergenza puntuale. 7. Quozienti. La topologia quoziente, la proprietà universale; fattorizzazione canonica di un'applicazione; relazioni tra quozienti e sottospazi, quozienti e prodotti. Alcuni quozienti del rettangolo: toro, sfera, nastro di Möbius, bottiglia di Klein, piano proiettivo. Cenni alle varietà topologiche. 8. Proprietà di separazione. Gli spazi T2. Cenni agli spazi T1, T0, regolari e normali. 9. Connessione. Generalità; i connessi di R; prodotto di spazi connessi; le componenti connesse di uno spazio; distinzione di spazi non omeomorfi; connessione locale; connessione per archi. 10. Compattezza. Generalità; il teorema di Tychonoff (dimostrato solo nel caso finito); i compatti di Rn; spazi localmente compatti e sottospazi relativamente compatti; compattificazioni; il compattificato di Alexandroff; spazi numerabilmente compatti e sequenzialmente compatti. 11. Complementi sugli spazi metrici. Prodotti numerabili; completezza e completamento; cenni alle caratterizzazioni degli spazi metrici compatti; numero di Lebesgue di un ricoprimento aperto di un compatto metrico. Complementi. (Temi al di fuori del programma, che possono essere trattati in modo informale negli Esercizi o in seminari facoltativi). Gruppi topologici. Varietà topologiche ed orientabilità. Il gruppo fondamentale. Il Lemma di Zorn, sue applicazioni in algebra (ad es.: ideali massimali, basi degli spazi vettoriali) e in topologia (il teorema di Tychonoff nel caso infinito). Contrazioni e punti fissi negli spazi metrici.

5 TESTI DI CONSULTAZIONE E. Carletti, Dispense di Topologia Generale, Dipartimento di Matematica dell'università di Genova, 2002/03. E. Sernesi, Geometria 2, Bollati-Boringhieri, V. Checcucci - A. Tognoli - E. Vesentini, Lezioni di Topologia Generale, Feltrinelli, [email protected] Marco Grandis Corso Matematiche Elementari da un punto di vista superiore il programma di MEPVS per il NO e`: - elementi di geometria iperbolica e ellittica - trasformazioni nel piano - esercitazione su temi didattici PREREQUISITI -geometria e analisi del primo e secondo anno [email protected] Fulvia Furinghetti Corso di Istituzioni di Geometria Superiore CORSO DI IGS (I modulo) Prerequisiti: Algebra (vecchio ordinamento ) o i corsi di Algebra del nuovo Titolo : Teoria di Galois e applicazioni Programma: - Nota storica su risoluzioni di equazioni algebriche, problemi con riga e compasso, determinazione di particolari numeri primi. - Il gruppo di Galois di una estensione algebrica

6 -Applicazioni al caso delle equazioni algebriche di 3 e 4 grado -Le estensioni ciclotomiche. Gruppo di Galois e cenni sull'aritmetica degli interi di una estensione ciclotomica.applicazioni alla risoluzione di equazioni a coefficienti interi -Cenni sulle equazioni sui corpi finiti e le applicazioni alla teoria dei codici -Risolubilita' per radicali delle equazioni a coefficienti razionali -Divisione della circonferenza in n parti equali e primi di Fermat. [email protected] Claudio Pedrini corso di Programmazione per Matematica N.O. A.a Docente: Gabriella Dodero (e Vittoria Gianuzzi) Esercitatore: Anna Bigatti Il corso prevede sei crediti ed ha come obiettivo l'insegnamento di elementi di programmazione utilizzando il linguaggio C. Per questo scopo si utilizzera' il laboratorio Mac (Aula 712). Organizzazione del corso: tre ore settimanali di teoria in aula - due ore settimanali di esercitazioni in laboratorio. Prova intermedia in laboratorio da effettuarsi nella "sospensione". Prova finale in laboratorio, ed esame orale. Non sono previsti prerequisiti. Verra' seguito principalmente il libro di testo "Introduzione al linguaggio C" di Delores M.Etter, in edizione italiana (Ed. Apogeo 2001, prezzo Euro 12,39), integrato con appunti per i pochi argomenti ivi non trattati. Programma di massima: 1. Introduzione alla soluzione di problemi con il computer i sistemi di elaborazione approccio alla soluzione di problemi terminologia 2. Programmazione di base in C struttura di un programma costanti e variabili istruzioni di assegnazione operazioni di input ed output espressioni matematiche 3. Strutture di controllo e file di dati

7 Sviluppo di algoritmi espressioni condizionali istruzioni di selezione cicli file di dati 4. Programmazione modulare e funzioni Programmi modulari definizione di funzioni 5. Array definizione ed uso di array Array come parametri di funzione 6. Dati di tipo carattere Calcolo con dati di tipo carattere funzioni per la gestione di caratteri 7. Caratteristiche di programmazione avanzate (cenni) Uso di indirizzi statici Parametri indirizzo Strutture dinamiche Ricorsione [email protected] Gabriella Dodero previsto al 2 sem del 2 anno del NO. corso ELETTROMAGNETISMO ED OTTICA Prerequisiti : corsi di analisi matematica 1, 2, 3 e meccanica e termodinamica. A livello di contenuti è opportuno che gli studenti conoscano: - dinamica del punto materiale, energia e lavoro - calcolo differenziale in 1 e 2 variabili (operatori differenziali) Programma: ELETTROMAGNETISMO ED OTTICA 1) Elettromagnetismo. Legge di Coulomb. Principio di sovrapposizione. Conservazione della carica.

8 Quantizzazione della carica. Campo elettrico da distribuzioni discrete e continue di carica. Potenziale del campo elettrostatico. Equazione di Laplace con applicazioni. Elementi della teoria dei circuiti in continua. Eetto Joule. Elementi della teoria dei dielettrici omogenei isotropi e lineari. Vettore induzione magnetica B. Ferromagnetismo. Legge di Faraday-Neuman. Impedenza di un circuito in corrente alternata. Equazioni di Maxwell. Dipolo oscillante ed emissione delle onde elettromagnetiche. 2) Ottica. Onda piana e relativa propagazione. Interferenza e dirazione di onde piane. Onda piana in un mezzo trasparente. Lente sottile. Immagine di una sorgente puntiforme. [email protected] Corrado Boragno Corso di Calcolo delle Probabilita' e Statistica Matematica il programma e' in rete alla pagina: i prerequisiti sono: Operazioni tra insiemi e loro proprieta'. Coefficienti binomiali. Funzione esponenziale. Estremo inferiore e superiore. Successioni. [email protected] Franco Fagnola Corso di Istituzioni di Fisica Matematica 1

9 Prerequisiti per il corso di Istituzioni di Fisica Matematica 1 Algebra Lineare, Algebra 1, Analisi Matematica 1, Laboratorio di Matematica, Analisi Matematica 2, Geometria Analitica, Meccanica e Termodinamica, Analisi Matematica 3, Geometria 1, Analisi Matematica 4, Sistemi Dinamici e Meccanica Analitica. Programma del corso di Istituzioni di Fisica Matematica 1 I. Preliminari di geometria differenziale 1. Varieta' differenziabili, applicazioni differenziabili, curve. 2. Spazio tangente e cotangente. Differenziale e codifferenziale di un'applicazione. Fibrato tangente e cotangente. 3. Campi vettoriali e loro curve integrali. Flusso locale di un campo vettoriale. Commutatore di due campi vettoriali. 4. Algebra tensoriale ed algebra esterna di uno spazio vettoriale. Campi tensoriali. Forme differenziali. Differenziale esterno. Derivata di Lie di un campo tensoriale. 5. Varieta' riemanniane. Connessione di Levi-Civita, derivata covariante e trasporto parallelo. Geodetiche. Varieta' riemanniane piatte. 6. Integrazione su varieta': orientabilita', integrazione di una forma differenziale di grado massimo, varieta' con bordo, teorema di Stokes e suoi casi particolari. II. Cinematica dei sistemi continui 1. Sistemi continui e decrizione dei loro moti. 2. Cinematica della deformazione. 3. Velocita' di deformazione e vorticita'. III. Dinamica dei sistemi continui 1. Equazioni di bilancio. 2. Tensore degli sforzi e forma locale delle equazioni di bilancio. 3. Temperatura ed equazioni costitutive.

10 IV. Dinamica dei fluidi 1. Fluidi perfetti: teorema di Bernoulli, moti irrotazionali. 2. Fluidi viscosi: equazione di Navier-Stokes, numero di Reynolds. 3. Propagazione del suono e del calore. [email protected] Marco Pedroni