Coomologia di de Rham Sintesi

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1 Università degli Studi Roma Tre Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Matematica Tesi di Laurea Magistrale in Matematica Coomologia di de Rham Sintesi Candidato Giacomo Milizia Relatore Prof. Massimiliano Pontecorvo Anno Accademico Febbraio 2013 AMS classification: 58A12. Key words: Coomologia di de Rham, lemma di Poincarè, dualità di Poincarè, fibrati vettoriali, isomorfismo di Thöm, teorema di Lefschetz.

2 Il seguente lavoro si occupa della coomologia di de Rham e delle sue principali applicazioni. Questo argomento è uno tra i più noti ed importanti della topologia differenziale, disciplina il cui obiettivo è quello di costruire oggetti algebrici quali gruppi, anelli o spazi vettoriali che siano invarianti topologici tra varietà lisce (o varietà di classe C ), servendosi di strumenti prettamente analitici quali il differenziale esterno e/o le forme differenziali e morfismi algebrici quali l integrazione di forme su varietà. E nota, in topologia, l esistenza di invarianti più semplici rispetto ai gruppi di coomologia: possiamo citare, ad esempio, il numero di componenti connesse π 0 (X) di uno spazio topologico X, la cui principale applicazione è il fatto che la retta reale R non è omeomorfa al piano euclideo R 2. Analogamente, un altro invariante topologico è il primo gruppo d omotopia o gruppo fondamentale di uno spazio topologico X (denotato con π 1 (X)) grazie a cui si può mostrare l inesistenza di omeomorfismi tra lo spazio euclideo R 3 ed il piano euclideo R 2. La coomologia di de Rham di una varietà di classe C, come spiegato in questa tesi, si definisce partendo dalle forme differenziali: in effetti i gruppi di coomologia di de Rham hanno una definizione semplice. Infatti, denotando con H q dr (M) il q-simo gruppo di coomologia di de Rham, esso è definito come H q {q-forme chiuse su M} dr (M) = {q-forme esatte su M} dove una q-forma ω si dice chiusa se dω = 0, esatta se esiste una (q-1)-forma τ tale che ω = dτ, quindi i gruppi di coomologia, diversamente dai grupopi di omotopia, presentano il vantaggio che H q dr (M) = 0 se q n + 1 ove n è la dimensione di M. In particolare HdR 0 (M) è lo spazio delle soluzioni dell equazione differenziale df = 0,cioè delle funzioni localmente costanti. Anche HdR 1 (M) si può vedere come spazio di soluzioni di equazioni differenziali sulla varietà M, almeno localmente: considerata una 1-forma ω su M, ω = f i dx i dove le f i sono funzioni di classe C su M, è possibile definire l applicazione γ ω dove γ è una curva liscia e questo funzionale dipende solo dalla classe di omotopia di γ ossia, presa una curva η omotopa a γ (in particolare aventi entrambe p 0 come punto iniziale e p 1 come punto finale), se ω è una forma esatta si può scrivere ω = ω = df = f(p 1 ) f(p 0 ) η γ γ 1 γ

3 dove la seconda uguaglianza è resa possibile dal teorema fondamentale del calcolo integrale. In particolare, per una versione del teorema di Stokes, queste forme sono localmente caratterizzate dal sistema di equazioni differenziali f i x j = f j x i. Il primo capitolo riguarda forme differenziali e coomologia di de Rham. Principalmente ci interesseranno forme differenziali lisce (o di classe C ) su una varietà liscia M. Le dimostrazioni dei risultati più importanti si possono trovare su [1] e [2]. Definizione Le forme differenziali lisce su R n sono elementi di Ω (R n ) = C (R n ) Λ (R n ) Le forme differenziali (o lisce) su R n sono combinazioni lineari dei simboli 1, dx i1, dx in Una forma ω Ω q (R n ) si può scrivere come ω = I f I dx I ove con I denotiamo un multindice {i 1,, i q } di lunghezza q convenendo di porre i 1 < < i q e con f I = f I (x) denotiamo una funzione liscia (cioè di classe C ) su R n. La definizione appena data è facilmente estendibile alle varietà lisce, infatti per esse si ha la seguente Definizione Una forma differenziale ω su una varietà liscia M è una collezione di forme differenziali {ω α } su φ α (U α ) R n ı tali che se = U α U β j U α e U α U β U β, allora ı ω = j ω. Quest uguaglianza vale su Ω (U α U β ) = n Ω q (U α U β ). q=0 D ora in poi la varietà liscia M sarà sempre assunta connessa ed avente dimensione uguale ad n. In particolare, indicando con Ω q (M), lo spazio delle q-forme lisce su una varietà liscia M, si può dare la seguente 2

4 Definizione L algebra graduata Ω (M), dotata del prodotto e del differenziale esterno d : Ω q (M) Ω q+1 (M) (con la proprietà che d 2 = 0) si dice complesso di de Rham di M in cui Ker d = {d : Ω q (M) Ω q+1 (M); dω = 0} si dice spazio delle forme chiuse, mentre Im d = {d : Ω q 1 (M) Ω q (M); ω = dτ} si dice spazio delle forme esatte, dove una q-forma ω si dice chiusa se dω = 0, esatta se ω = dτ per qualche (q-1)-forma τ. Si dice q-simo gruppo di coomologia di de Rham, e si indica con H q dr, lo spazio vettoriale su R dato dal quoziente Ker{d : Ω q (M) Ω q+1 (M)} Im{d : Ω q 1 (M) Ω q (M)} in cui Im < Ker come sottogruppi in quanto una forma esatta è sempre chiusa ma non vale il viceversa. Un importante conseguenza è data dal fatto che è possibile integrare le n-forme differenziali su una varietà liscia M n ed orientabile; infatti, fissato un sistema di coordinate locali x 1,, x n su M. Avremo le 1-forme dx 1,, dx n Ω 1 (M) ed una forma di volume vol(m) = dx 1 dx n Ω n (M). Definizione Sia ω = f(x)dx 1 dx n Ω n (U). Definiamo l integrale di ω localmente sull aperto U: ω = f(x)dx 1 dx n U M U come integrale di Riemann. Poi estendiamo a tutta M considerando un suo ricoprimento aperto. La definizione risulta ben posta perchè se T : M M è un diffeomorfismo di M in sè stessa, indicando con T ω il pull-back di ω potremo dire che { T ω = ω M ω M a seconda che T conservi od inverta l orientazione. Introduciamo ora l importantissimo teorema di Stokes, riguardante l integrazione su varietà M aventi bordo (denotato con M). 3

5 Teorema (Stokes). Sia M n una varietà orientabile con bordo. Allora ω Ω n 1 c (M) (spazio delle (n 1)-forme a supporto compatto) avremo dω = ω. M D ora in poi quando parleremo di varietà M ci riferiremo espressamente alle varietà senza bordo, ossia quelle in cui M =. M Un interessante conseguenza è data dal seguente Corollario Sia M n una varietà orientabile. Se ω Ω n (M) è una forma esatta allora M ω = 0. Adesso ci occuperemo esplicitamente dei gruppi di coomologia di de Rham delle varietà, che sono oggetti algebrici (più precisamente spazi vettoriali reali) definiti tramite strumenti differenziali (il differenziale esterno di forme). Ci serviremo delle successioni esatte di complessi e catene per calcolare esplicitamente i gruppi di coomologia di de Rham, i quali spesso sono spazi vettoriali reali a dimensione finita su R. Definizione Una successione di spazi vettoriali ed applicazioni lineari l i 1 l V i 1 Vi i Vi+1 si dice esatta se Ker l i = Im l i 1 i dove i è un numero intero. Una successione esatta della forma 0 A f B g C 0 si dice esatta corta (0 A manda 0 in 0, C 0 manda C in 0). Il prossimo risultato è quello che ha dato vita all algebra omologica. Lemma (del serpente). Data una successione esatta corta di complessi e catene 0 A f B g C 0 esiste una successione esatta lunga in coomologia data da H q (A) f H q (B) g H q (C) d H q+1 (A) f H q+1 (B) g Per una varietà connessa è sempre H 0 dr (M) = R. Se ω è una q-forma chiusa diremo che [ω] = ω + dτ H q dr (M) è la classe di coomologia rappresentata da ω e dτ è una forma esatta. Per le proprietà di controvarianza e di funtorialità degli H q dr (M) sussiste il seguente 4

6 Teorema Se F : M N è un diffeomorfismo allora il pull-back F : H q dr (N) Hq dr (M) è un isomorfismo lineare q Z, ossia i gruppi di coomologia di de Rham sono invarianti per diffeomorfismi. Per calcolare direttamente i gruppi dii coomologia di de Rham ci si serve della successione di Mayer-Vietoris, una successione esatta a partire da due aperti U, V che ricoprono M ed aventi intersezione non vuota. Essa è data da 0 Ω (M) a Ω (U) Ω (V ) b Ω (U V ) 0. Questa è una successione esatta corta che induce, in coomologia, una successione esatta lunga 0 HdR 0 (M) H0 dr (U) H0 dr (V ) H0 d dr (U V ) HdR 1 (M) HdR 1 (U) H1 dr (V ) H1 d dr (U V ) HdR 2 (M) che calcola H dr (M) conoscendo HdR (U), H dr (V ), H dr (U V ) dove d è l omomorfismo di cobordo. Possiamo ora enunciare l importante Lemma (Poincarè). n N si ha { H q R se q = 0 dr (Rn ) = 0 se q 0 ossia q 1 ogni forma chiusa è anche esatta. Dal lemma di Poincarè discende la fondamentale proprietà di omotopia per i gruppi di coomologia di de Rham, il cui enunciato è il seguente. Proposizione (Proprietà di omotopia per la coomologia di de Rham). Due applicazioni omotope inducono lo stesso morfismo in coomologia. In particolare Se M è omotopicamente equivalente ad N allora H q dr (M) = H q dr (N) q. La proprietà di omotopia ci permette di affermare che { H q R se q = 0, n dr (Sn ) = 0 se q 0, n Invece non vale la stessa affermazione per la coomologia a supporto compatto di una varietà liscia M. La coomologia a supporto compatto infatti non possiede proprietà funtoriali, chiaramente se M è una varietà compatta, ogni forma ω è a supporto compatto ed allora Hc q (M) = H q dr (M). Per questa coomologia si ha { Hc q (R n ) 0 se q n = R se q = n 5

7 e, più in generale, che per ogni varietà liscia M e per ogni q N, H q+n c (M R n ) = H q c (M). Il secondo capitolo riguarda principalmente il teorema della dualità di Poincarè ed i risultati che ne conseguono, con un ampia sezione riguardante la coomologia di Cech. Dimostrazioni dei risultati principali si trovano su [1], [2] e su [12]. Per poter parlare di dualità di Poincarè è necessario introdurre la nozione di buon ricoprimento di una varietà liscia. Definizione Sia M una varietà di dimensione n. Un suo ricoprimento aperto {U α } α A si dice un buon ricoprimento se ogni U α = R n e se tutte le intersezioni finite e non vuote p U αi sono contraibili. i=1 Il risultato maggiore di questa definizione è dato dal Teorema (del buon ricoprimento). Ogni varietà liscia M ammette un buon ricoprimento. Se M è compatta il ricoprimento si può prendere finito (in tal caso la varietà M si dice di tipo finito). Ci interessa, anche per una questione di semplicità, definire i numeri di Betti di una varietà liscia M, come b q (M) = dim R H q dr (M). Possiamo quindi enunciare il seguenti risultato su buoni ricoprimenti e numeri di Betti di una varietà. Teorema Se una varietà liscia M ammette un buon ricoprimento finito allora b q (M) < q. Ad esempio i tori di genere infinito, intesi come varietà di dimensione 2 aventi infiniti buchi, non ammettono un buon ricoprimento. la compattezza della varietà è una condizione sufficiente per avere dimensione finita: il cilindro S 1 R pur non essendo compatto ammette numeri di Betti finiti. Prima di parlare di dualità di Poincarè bisogna definire la nozione di accoppiamento non-degenere. Definizione Si dice accoppiamento non-degenere tra due spazi vettoriali V, W un applicazione bilineare <, >: V W R tale che se (v, w) < v, w > < v, w >= 0 w W implica v 0 6

8 e < v, w >= 0 v V implica w 0. In alternativa un accoppiamento si può vedere come un applicazione lineare definita sul prodotto tensoriale V W. Per poter definire e provare il teorema della dualità di Poincarè, l obiettivo è quello di avere una forma bilineare non-degenere: bisogna quindi costruire un applicazione bilineare non degenere definita sui gruppi di coomologia. Definizione Sia M una n-varietà orientata. Allora 0 q n denoteremo con : H q dr (M) Hn q c (M) R l applicazione bilineare data da (α, β) M M α β. L accoppiamento è ben definito, ossia non dipende dalla scelta del rappresentante [α] o [β], in più siccome β è a supporto compatto, l integrale non presenta problemi di convergenza. Ora è possibile enunciare il teorema della dualità di Poincarè. Teorema (Dualità di Poincarè). Sia M una n-varietà orientata che ammette un buon ricoprimento finito, allora : H q dr (M) Hn q c (M) R α β M α β è un accoppiamento non-degenere, ossia H q dr (M) = (Hc n q (M)), dove (Hc n q (M)) è il duale dello spazio vettoriale (Hc n q (M)). Osservazione Per una varietà compatta ed orientabile M si ha che b q (M) = b n q (M), 0 q n. In coomologia di de Rham, sotto determinate ipotesi, è possibile calcolare anche la coomologia del prodotto di due varietà; a permettere questo risultato è il teorema di Künneth, che afferma che se una varietà M possiede un buon ricoprimento finito, allora per ogni varietà F si ha HdR r (M F ) = p+q=r Hp dt (M) Hq dt (F ): se inoltre, F è tale che dim R H q dr (F ) < allora b r(m F ) = p+q=r b p(m)b q (F ). 7

9 La formula di Künneth permette di calcolare i gruppi di coomologia dei prodotti: ad esempio il toro T n visto come prodotto di n copie di S 1 ha i gruppi di coomologia di de Rham calcolabili per induzione con questa formula, i quali sono dati da H q dr (Tn ) = R (n q). Uno degli argomenti maggiormente trattati nel secondo capitolo è la coomologia di Cech, una teoria di coomologia che permette di mostrare l invarianza per omeomorfismi della coomologia di de Rham, servendosi di una successione di Mayer-Vietoris che utilizza non più due aperti, ma un ricoprimento numerabile di essi che però richiedono l introduzione di nuovo concetti di algebra omologica. Definizione Un complesso doppio è una terna (K,, f, δ) composta da un gruppo abeliano (o spazio vettoriale) K, con una doppia graduazione, ossia che si decompone in una somma diretta K, = p,q N K p,q di sottogruppi (o sottospazi) e da due morfismi f, δ : K K aventi le seguenti proprietà: 1. f(k p,q ) K p,q+1 e δ(k p,q ) K p+1,q p, q N; 2. f 2 = 0 e δ 2 = 0; 3. f δ = δ f. Ad un complesso doppio si può associare un complesso differenziale: sia intanto K = n N Kn ottenuto ponendo K n = p+q=n Kp,q, poi definiamo D : K K +1 ponendo D K p,q = δ + ( 1) p f. Allora D(K n ) K n+1 e D 2 = 0 per ogni φ K p,q e quindi (K, D) è un complesso differenziale detto complesso differenziale indotto da (K,, f, δ), la cui coomologia è la coomologia HD (K) del complesso indotto (K, D). E possibile aumentare il complesso doppio. Esso infatti è dato da un complesso doppio (K,, f, δ), un complesso differenziale (Ω, d) ed un morfismo r : Ω K, tale che r sia iniettiva, r d = f r, δ r = 0 ed r(ω q ) K 0,q. In particolare se r è un complesso doppio aumentato a righe esatte, allora esso induce un isomorfismo tra H (Ω) ed HD (K). Adesso bisogna fare Mayer-Vietoris utilizzando un ricoprimento aperto numerabile. Innanzitutto bisogna prendere un insieme diretto, ossia un insieme dotato di un ordine parziale per gli indici; inoltre preso un ricoprimento aperto numerabile U, ponendo U α0 α r = U α0 U αr e p, q N si pone C p (U, Ω q ) = Ω q (U α0 α p ). α 0 < <α p 8

10 Preso un ricoprimento aperto numerabile U di una varietà M, il complesso doppio (C (U, Ω ), d, δ) si dice complesso doppio di Mayer-Vietoris associato al ricoprimento U. Il complesso doppio aumentato r : (Ω (M), d) (C (U, Ω ), d, δ) si dice complesso doppio aumentato di Mayer-Vietoris associato al ricoprimento U. Tutto ciò ci permette di enunciare il principio di Mayer-Vietoris. Teorema (Principio di Mayer-Vietoris). Sia U un ricoprimento aperto numerabile di una varietà M. Allora il complesso doppio aumentato di Mayer- Vietoris associato ad U ha righe esatte. In particolare, il morfismo r : Ω (M) C (U, Ω ) induce un isomorfismo tra la coomologia di de Rham H (M) di M e la coomologia del complesso doppio di Mayer-Vietoris. Tutto ciò ci permette di definire la coomologia di Cech di un ricoprimento aperto numerabile U di una varietà M come la coomologia H(U, R), mentre il complesso differenziale (C (U, R), δ) si dice complesso di Čech del ricoprimento U, dove (C p (U, R)) = Ker d (C p (U, Ω 0 )) è lo spazio vettoriale delle funzioni localmente costanti su p + 1 aperti del ricoprimento. In particolare, data una varietà connessa M, la coomologia di Cech di un buon ricoprimento di M è sempre isomorfa alla coomologia di de Rham di M. Poichè la coomologia di de Rham di una varietà è canonicamente isomorfa alla coomologia di Cech della varietà a coefficienti reali, si può affermare che varietà omeomorfe hanno gruppi di coomologia di de Rham isomorfa e quindi che i gruppi di coomologia di de Rham sono anche invarianti topologici per le varietà. Il terzo capitolo riguarda le varie applicazioni della coomologia di de Rham, partendo dalla teoria dei fibrati (in particolare quelli vettoriali) di cui si calcola la coomologia, passando per l introduzione della coomologia a supporto compatto verticale, fondamentale per la dimostrazione dell isomorfismo di Thöm. Saranno trattate le applicazioni lisce tra varietà compatte, connesse ed orientabili, passando dal teorema di Lefschetz, al teorema di Poincarè-Hopf, alla nozione di grado di un applicazione differenziabile. La conclusione è dedicata ad alcuni risultati sugli spazi proiettivi complessi, dai gruppi di coomologia di de Rham ad un applicazione diretta del teorema di Lefschetz. Riferimenti ai principali risultati si possono trovare su [1], [9] e [13]. Definizione Sia π : E M un applicazione suriettiva liscia la cui fibra π 1 (x) è uno spazio vettoriale reale x M. L applicazione π si dice fibrato vettoriale reale di rango n se {U α } α A ricoprimento aperto di M e dei diffeomorfismi che preservano la fibra e delle banalizzazioni locali φ α : E Uα = π 1 (U α ) 9 U α R n

11 i quali sono isomorfismi lineari su ogni fibra. Le applicazioni φ α φ 1 β : (U α U β ) R n (U α U β ) R n sono automorfismi di spazi vettoriali di R n in ogni fibra dette funzioni di transizione e quindi danno luogo a delle applicazioni g αβ : (U α U β ) GL n (R) g αβ (x) = (φ α φ 1 β ) {x} R n. Per poter definire un fibrato vettoriale su M basta avere le funzioni di transizione g αβ. Anzi, esiste un unico fibrato E su M che ha le g αβ come funzioni di transizione rispetto all atlante A = {(U α, φ α, χ α )} (ove χ α : π 1 (U α ) U α R n sono applicazioni biiettive) ed opportune banalizzazioni locali. Una proprietà fondamentale dei fibrati vettoriali è che essi sono banali su una varietà contraibile. Il seguente teorema chiarirà le idee. Teorema (Proprietà di omotopia per i fibrati vettoriali). Sia N una varietà compatta. Se f, g : N M sono applicazioni omotope e π : E M è un fibrato vettoriale, allora f 1 E = g 1 E. Un importante conseguenza è data dal Corollario Un fibrato vettoriale su una varietà contraibile è banale. Una naturale generalizzazione della nozione di fibrato si ottiene sostituendo R n con qualsiasi altra varietà fissata. Un esempio è dato dai fibrati in fibre: F ove F è una varietà compatta, E è localmente un prodotto. Se U M è un aperto sufficientemente piccolo, allora π 1 (U) = U F. Il fibrato di Hopf, ad esempio, non è un fibrato banale. Questo fibrato si costruisce così: sia data S 3 C 2 in cui definiamo la relazione d equivalenza E M (z, w) (α, β) λ S 1 t.c. z = λα, w = λβ. Naturalmente S 3 / = CP 1 e sappiamo anche che CP 1 = S 2 : la fibrazione di Hopf è l applicazione quoziente da S 3 su S 2 con fibra S 1. Se questa fibrazione fosse 10

12 banale dovremmo avere S 3 S 2 S 1, ma con la formula di Künneth si dimostra che ciò è falso. Per quel che riguarda la coomologia a supporto compatto verticale, bisogna prima introdurre alcuni risultati. Proposizione Se π : E M è un fibrato vettoriale orientabile ed M è una varietà orientabile allora Hc q n (M) = Hc q (E). L ipotesi di orientabilità non si può eliminare: infatti, preso il nastro di Möbius M, esso è tale che H q c (M) = 0 q, nonostante M sia un fibrato vettoriale su S 1. La coomologia a supporto compatto verticale è il tipo di coomologia che riguarda i fibrati vettoriali. denotando lo spazio delle forma a supporto compatto verticale con Ω cv(e), una forma ω Ω cv(e) non necessita di supporto compatto su tutto E ma è la sua restrizione ad ogni fibra a possedere supporto compatto. La coomologia di questo complesso, si chiama coomologia a supporto compatto verticale e si denota con H cv(e). L integrazione lungo la fibra π : Ω q cv(e) Ω q n (M) è indipendente dalla banalizzazione e commuta col differenziale esterno d., inoltre quest applicazione abbassa di una forma il grado per mezzo della dimensione della fibra. Affinchè sia possibile dimostrare l isomorfismo di Thöm, è fondamentale enunciare la seguente Proposizione (Formula di proiezione). Sia π : E M un fibrato vettoriale orientato di rango n, η una forma su M ed ω una forma su E a supporto compatto lungo la fibra. 1. π ((π η) ω) = η π ω 2. Supponiamo in aggiunta che M sia una varietà orientata di dimensione m, ω Ω q cv(e) e τ Ω m+n q c (M), allora con l orientazione prodotto locale su E si ha (π η) ω = η π ω Ora possiamo enunciare il teorema dell isomorfismo di Thöm E Teorema (Isomorfismo di Thöm). Sia π : E M un fibrato vettoriale orientabile di rango n su una varietà M di tipo finito. Allora Hcv(E) = H n dr (M). Il teorema vale anche nel caso di una varietà che non sia di tipo finito, ma serve l applicazione della teoria dei fasci, che non è argomento di questo lavoro. Adesso vedremo le applicazioni lisce tra varietà compatte, connesse ed orientabili aventi stessa dimensione (finita). Intanto presa F : M M, applicazione liscia di 11 M

13 M in sè stessa, e denotata con Fq : H q dr Hq dr l applicazione lineare indotta, il numero di Lefschetz di F è dato da L(F ) = n q=0 ( 1)q tr(fq ). Il teorema di Lefschetz asserisce che se F : M M è un applicazione liscia di una varietà compatta, connessa ed orientabile in sè che non ha punti fissi (cioè p M F (p) p), allora L(F ) = 0. Una diretta conseguenza di questo teorema è data dal teorema di Poincarè-Hopf, il cui enunciato è il seguente. Teorema (Poincarè-Hopf). Se una varietà compatta e connessa M ammette un campo vettoriale mai nullo allora χ(m) = 0. Rimanendo tra le applicazioni lisce tra varietà compatte, connesse ed orientabili aventi stessa dimensione finita, possiamo enunciare la definizione di grado di un applicazione differenziabile. Definizione Sia F : M N un applicazione differenziabile tra varietà compatte connesse n-dimensionali orientate e sia ω HdR n (N) con ω = 1. Il N grado deg F R di F è dato dall uguaglianza deg F := F ω. In particolare se due applicazioni differenziabili F, G : M N sono C -omotope tra loro, allora hanno lo stesso grado. Inoltre se N coincide con la sfera S n (ed M ha dimensione n), allora anche l uguaglianza dei gradi implica l esistenza di un omotopia C tra le varietà ([4]). Questo caso si può mettere in relazione con i teoremi di Lefschetz e di Poincarè-Hopf, infatti Corollario Sia F : S n S n un applicazione liscia, allora: 1. Se F non ha punti fissi allora { ids n se n è dispari F A se n è pari dove con A : S n S n indichiamo l applicazione antipodale p p. 2. Se n è pari allora ogni campo vettoriale X T (S n ) ha uno zero. Chiudiamo con l argomento degli spazi proiettivi complessi CP n, intesi come varietà lisce di dimensione 2n (su R), calcolandone innanzitutto i gruppi di coomologia di de Rham. Per ottenere il risultato scritto sotto si usa la successione di Mayer-Vietoris. M 12

14 Proposizione n N si ha { H q R se q è pari dr (CPn ) = 0 se q è dispari con 0 q 2n. Per concludere ci occupiamo di un applicazione del teorema di Lefschetz a questa varietà. Teorema Sia f : CP n CP n un applicazione liscia. Se n è pari allora L(f) 0 e quindi f ammette almeno un punto fisso. 13

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