Fibrazioni tra sfere e Teorema di Hopf

Транскрипт

1 Fibrazioni tra sfere e Teorema di Hopf Circolo dei Matematici Giacobini 30 gennaio 2011 (Unipd) Hopf 30 gennaio / 14

2 Heinz Hopf trova, nel 1931 (Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche 1 ), un modo di definire una fibrazione p : S 3 S 2 tale che ogni fibra p (x) sia omeomorfa a S 1. Implicitamente, la sua costruzione risolve anche un problema geometrico a prima vista non ovvio, mostrando che È possibile partizionare lo spazio tridimensionale R 3 con (una retta e) copie di S 1, a due a due disgiunte e inanellate. Le copie di S 1 sono esattamente le fibre p (x); Il problema è reso interessante dalla richiesta (*): si pensi al caso di circonferenze concentriche attorno all asse z. 1 Sulle immagini della sfera tridimensionale alla superficie della sfera (Unipd) Hopf 30 gennaio / 14

3 Fibrazioni Fibrazioni Definizione Siano E, B, F tre spazi topologici, e p : E B una funzione continua e suriettiva, che si dice fibrazione se soddisfa alla seguente condizione di trivialità locale : Per ogni x E esiste un intorno aperto V contenente p(x) tale che p (V ) = V F ; F è detta fibra di p. Lo spazio E si dice totale sopra la base B. Commuta il diagramma di funzioni continue p (V ) V F p p (V ) V π ove π : V F V è la proiezione sul primo fattore dal prodotto. (Unipd) Hopf 30 gennaio / 14

4 Esempi Fibrazioni Il prodotto di due spazi E = B F è banalmente un fibrato di fibra F e base B. Data una varietà differenziabile liscia M di dimensione n il suo fibrato tangente T (M) è un fibrato di T (M) sopra M, di fibra R n : x V TxM V R n p p (V ) V Il nastro di Möbius ha struttura di fibrato con base ]a, b[ e fibra ]c, d[ ( localmente un nastro non torto ), globalmente non prodotto (sarebbe orientabile). π (Unipd) Hopf 30 gennaio / 14

5 Fibrazioni Identifichiamo S 3 R 4 = C 2 S 2 R 3 = C R S 3 = { (z0, z 1 ) C 2 z z 1 2 = 1 } S 2 = { (z, x) C R z 2 + x 2 = 1 } Definizione La mappa di Hopf è definita da p : R 4 R 3, (z 0, z 1 ) (2z 0 z 1, z 0 2 z 1 2 ) p S 3 S 2 (Esercizio: In effetti la satura suriettivamente). p (x) = S 1 per ogni x S 2. Hint: p(z 0, z 1 ) = p(w 0, w 1 ) z 0 w 0 = w 1 z 1 = z 1 w 1 = λ C, e λ 2 = 1... (Unipd) Hopf 30 gennaio / 14

6 Ecco la struttura di fibrato! Fibrazioni {superfici in S 3 } p {curve su S 2 } p : S 1 S 3 S 2 ( V copie di S 1 ). Localmente triviale: globalmente? Esercizio: Aperto massimale V di S 2 tale che p (V ) = V S 1? (Unipd) Hopf 30 gennaio / 14

7 Quaternioni Definizione (Quaternioni) Consideriamo (R[i, j, k], +, ) con gli usuali somma e prodotto, e i tre elementi i, j, k soggetti alle relazioni i i = j j = k k = 1 R: i j = k, j k = i, k i = j j i = k, k j = i i k = j L insieme H = R[i, j, k]/r è un corpo (anti)commutativo, ed è l unica algebra con divisione di dimensione 4 su R. ((a + ib + jc + kd) (a + ib + jc + kd ) = prodotti formali + riduzioni modulo R) Esercizio: Verificare che H si identifica ad un opportuno sottocorpo H di M 2 (C), fatto dalle matrici del tipo ( z w w z ). Hint: a + ib + jc + kd ( ) a+ib c+id c+id a ib. Succede anche per C... (Unipd) Hopf 30 gennaio / 14

8 Quaternioni Proprietà Varie Algebriche: Se V 0 è l insieme dei quaternioni a parte reale nulla, q rq r è una applicazione V 0 V 0 per ogni r H. Esercizio: In termini di matrici? V 0 = {Q H tr Q = 0}. Esercizio: Generalizzare a V α = {Q H tr Q = α} per α R. SU 2 = UH (quaternioni di norma unitaria), mediante A SU 2 A = ( z w w z ), z z + w w = 1. Se A SU 2, allora ϕ A : X AXA è una trasformazione ortogonale di V 0 ( = R 3 ). La mappa θ : SU 2 SO(3, R): A ϕ A è un epimorfismo di gruppi. 1 {±} SU 2 θ SO3 1 è una sequenza esatta di gruppi. (Unipd) Hopf 30 gennaio / 14

9 Proprietà Varie Quaternioni Geometriche: ϕ A = ϕ αa per ogni α R. Se v, w V 0 il prodotto dei quaternioni ad essi associati è q v q w = v, w v w Se q = a + bi + cj + dk è un quaternione di norma 1, allora ϕ Aq coincide con la rotazione di R 3 bc ) di asse v = ( e angolo d 2γ = 2 arccos a. Si ricordi la difficoltà (computazionale) relativa al trovare l asse e l angolo di una generica rotazione di R 3!... ) R(ψ, θ, ϕ) = ( cos ϕ cos ψ cos θ sin ϕ sin ψ cos ψ sin ϕ cos θ cos ϕ sin ψ sin θ sin ψ cos θ cos ψ sin ϕ+cos ϕ sin ψ cos θ cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ cos ψ sin θ sin θ sin ϕ cos ϕ sin θ cos θ (Unipd) Hopf 30 gennaio / 14

10 Hopf e Quaternioni Quaternioni ( 10 ) ( ab ) Sia P 0 = S 2, e r = c S 3 un quaternione di modulo unitario. 0 d Definiamo la mappa η : S 3 S 2 : r ϕ Ar (P 0 ) = A r IA r, ove I = ( ) i 0 0 i. Esercizio: η coincide con la mappa di Hopf. Chiamiamo perciò entrambe le mappe p. Esercizio: p (1, 0, 0) = {(cos t, sin t, 0, 0) t R} Esercizio: Dati due punti A, B su S 2 determinare l insieme di tutte le rotazioni dello spazio che spostano A in B. Hint: tutte le rotazioni di quel tipo hanno asse lungo il cerchio massimo che biseca l arco ÂB. Esercizio fastidioso: Trovare i quaternioni associati a quelle rotazioni... (Unipd) Hopf 30 gennaio / 14

11 Proiezioni S 3 R 4 vive in uno spazio a 4 dimensioni, e non si può vedere nel senso usuale del termine: dobbiamo accontentarci di rappresentazioni locali (pure dense di informazioni). Definizione (Proiezione Stereografica) Consideriamo S n \ {N, S}, ove N = e n+1, S = e n+1 sono i due poli della sfera, e definiamo ϕ N : S n \ {N} R n ϕ S : S n \ {S} R n ϕ N (P) = (N P) {x n+1 = 0}, ϕ S (P) = (S P) {x n+1 = 0}. Più esplicitamente Con facili conti x ϕ N (x, x n+1) = 1 x n+1 ι R n+1 (x, 0) 1 x n+1 ( ϕ 1 N (P 2x ) = 1 + x x, x x 1 ) 1 + x x (Unipd) Hopf 30 gennaio / 14

12 Proiezioni Procedendo analogamente si ottiene un ottimo atlante per S n, che induce su R n una struttura di spazio compatto (Alexandrov). Sia ora n = 3: allora la proiezione stereografica S 3 \ N R 3 manda (x 1, x 2, x 3, x 4 ) in ( x 1 x 2 x 3 1 x 4 1 x 4 1 x 4 ). È noto che la proiezione stereografica è una mappa conforme, perchè lo è la metrica riemanniana definita naturalmente su T x S n da ds 2 dx dx = 4 (1 + x x) 2 L immagine di circonferenze (non passanti per N) su S 3 è fatta da circonferenze in R 3 (di raggio non infinito). (Unipd) Hopf 30 gennaio / 14

13 Ma allora... Proiezioni S 3 \ {N 3 } p S 2 \ {N 2 } Si può fare tutto in R 2, R 3 : R 3 R 2 Se ( a C la retta ) complessa u = av interseca S 3 nella circonferenza aeiθ e iθ (θ varia in [0, 2π[). 1+ a 2 1+ a 2 Se quella circonferenza non passa per il polo Nord, proiettata su R 3 resta una circonferenza: si identifica la coppia (u, v) ad una quaterna in R 4 e la circonferenza in R 3 che è fibra di un punto su S 2 (privata di un punto, e identificata al piano, identificato a sua volta alla retta complessa dove a è stato originariamente scelto) ha equazione parametrica [0, 2π[ θ ( 2Ru 1 Iv 2Iu 1 Iv ) 2Rv 1 Iv (Unipd) Hopf 30 gennaio / 14

14 Fine Una frase come Vediamo subito che... è fin troppo ben nota tra i matematici, come le sue compagne in infamia È ovvio che... ed Ora, chiaramente,... ; vogliono dire che il lettore si deve aspettare ore o giorni di fatica da spaccarsi la testa per illuminare l oscurità - e scoprire magari alla fine che chi le ha scritte non si ricorda nemmeno più perché fosse ovvio. (Robert ed Ellen Kaplan) (Unipd) Hopf 30 gennaio / 14