QUADERNO TECNICO 8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO PROGETTO DI EDIFICIO

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1 PROGETTARE CON IL METODO DEGLI STATI LIMITE Francesco Biasioli QUADERNO TECNICO 8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO PROGETTO DI EDIFICIO SEMINARIO TECNICO LE STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO - PROGETTO ED ESECUZIONE ALLA LUCE DELLA NUOVA NORMATIVA Forlì 22 giugno 2007 EDIZIONE FUORI COMMERCIO

2 Stampato da: CS Riproduzione e Stampa snc - Corso Orbassano 226 Torino Riservati per tutti i paesi i diritti di riproduzione, memorizzazione elettronica, traduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo. Gli aggiornamenti di questo volume e i programmi citati nel testo sono disponibili sul sito

3 Presentazione Nella serie dei Quaderni Tecnici dedicata al calcolo strutturale agli stati limite, il Quaderno n. 8 occupa un ruolo particolare in quanto, oltre che sintesi e applicazione pratica dei metodi presentati negli altri Quaderni, intende essere un esempio di applicazione della filosofia delle Norme Tecniche del 14/09/2005 applicata al calcolo di un edificio multipiano in zona sismica. Obiettivo della serie di Quaderni infatti è fornire un esempio concreto di come si possano applicare le Norme Tecniche basandosi sulla loro caratteristica di essere, diversamente dal passato, essenzialmente norme prestazionali. Distinguendo ruoli e responsabilità, le Norme Tecniche si occupano di ciò che è alla base del progetto i metodi di verifica della sicurezza, le azioni e le loro combinazioni, le caratteristiche dei materiali e i loro tassi di lavoro, i criteri di controllo dei materiali e delle strutture - ma non trattano più, come nel passato, né potrebbero trattare in quanto norme prestazionali, questioni di dettaglio o metodi specifici di progetto. Per tali aspetti al Progettista è chiesto di fare riferimento, sotto la sua responsabilità, a metodi documentati e di comprovata affidabilità. Tra questi le Norme citano quelli trattati nella serie degli Eurocodici e, parzialmente, nell Ordinanza Agli Eurocodici 2 e 8, oltre che all Ordinanza 3274 si fa pertanto riferimento nel testo che segue. Particolare rilievo viene dato, nell esposizione, alla fase di predimensionamento degli elementi strutturali e al controllo della disposizione planimetrica degli elementi resistenti verticali di controvento. Solo un progetto correttamente impostato può infatti portare a strutture affidabili e sicure. In sintonia con le indicazioni delle Norme, nel progetto sono utilizzati materiali strutturali con caratteristiche tali da garantire nel tempo opere, oltre che affidabili e sicure, anche durabili ed economiche. Sul presupposto di una garantita e accertata qualità dei materiali sia le Norme che gli Eurocodici basano infatti i modelli di calcolo e la verifica della sicurezza. Segnalazioni di errori, commenti e osservazioni sono ovviamente graditi. Torino, gennaio 2007 Francesco Biasioli RINGRAZIAMENTI La serie dei Quaderni Tecnici è stata messo a punto per una serie di corsi di aggiornamento organizzati dalla FIOPA; la Federazione Interregionale degli Ordini degli Ingegneri del Piemonte e della Valle d Aosta, coordinati dall ing. Ennio Nebiolo. I Quaderni non esisterebbero senza la capacità, pazienza e disponibilità dell ing. Carlo Doimo a cui va il mio più sincero ringraziamento. Per il calcolo delle sollecitazioni e per alcune verifiche si è fatto uso di fogli di calcolo e di programmi liberamente disponibili su Internet ( Si ringrazia l autore dei programmi, il prof. Piero Gelfi, per la cortese disponibilità. Il programma Ellisse delle rigidezze è stato messo a punto nell ambito del progetto auto-ca di sviluppo di procedure in ambito Autocad per il il disegno della carpenteria ed armatura delle strutture in calcestruzzo armato ( F. Biasioli

4 2007 F. Biasioli

5 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO DEFINIZIONI E SIMBOLOGIA Definizioni e simbologia Termini e definizioni Di seguito si elencano in ordine alfabetico alcuni termini comunemente adottati nel linguaggio tecnico: Additivo Componente del calcestruzzo aggiunto prima o durante il suo mescolamento della miscela per modificarne le proprietà allo stato fresco e indurito. Aggregato Materiale granulare naturale o di frantumazione (sabbia, ghiaia, pietra frantumata). E definito aggregato fine (sabbia) se con diametro massimo convenzionale del grano d g 4 mm. Nei calcestruzzi strutturali l aggregato grosso in genere d g 32 mm, per calcestruzzi a facciavista o autocompattanti d g 20 mm. Altezza h di un elemento inflesso Dimensione verticale della sezione trasversale di un elemento orizzontale Altezza utile d Distanza tra la fibra estrema del calcestruzzo compresso e il baricentro delle armature tese Ancoraggio Estremità di una barra che garantisce mediante un meccanismo di aderenza la trasmissione delle forze di trazione al calcestruzzo. Dispositivo usato per ancorare un elemento non strutturale alla struttura Anima b w di una trave Porzione verticale sottile, avente sezione ad I, che unisce la/e ali Armatura Barra d acciaio usate per rinforzare il calcestruzzo Armatura a flessione Armatura disposta per resistere alla forza di trazione indotta dal momento flettente Armatura a taglio Armatura disposta per resistere alle forze di taglio che collega le parti tesa e compressa di una sezione Armatura di compressione Armatura disposta per resistere alla forza di compressione indotta dalla forza assiale e/o dal momento flettente Armatura trasversale Armatura con inclinazione da 45 a 90* sull asse longitudinale dell elemento Azioni permanenti Azioni dovute al peso proprio della struttura, alle murature, alle finiture e alle attrezzature fisse Azioni variabili Azioni dovute ai carichi di esercizio, al vento o alla neve Capacità portante del terreno Carico per unità di superficie su un terreno di fondazione che fornisce un adeguata sicurezza nei confronti del collasso del terreno portante, o un cedimento della fondazione che non porta danno alla struttura. Carichi gravitazionali Carichi convenzionalmente agenti verso il basso, causati dall accelerazione di gravità agente sulla massa degli elementi. Casseforme Carpenteria temporanea che contiene il calcestruzzo allo stato plastico e dà la forma finale all elemento F. Biasioli i

6 DEFINIZIONI E SIMBOLOGIA QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO Cedimento differenziale Movimento di differente entità della fondazione e/o di parti diverse di una struttura. Cemento Legante idraulico che aggiunto ad acqua ha la proprietà di indurire. Calcestruzzo Miscela di legante idraulico, aggregato fine, aggregato grosso, acqua, additivi ed eventuali aggiunte. Classe di esposizione ambientale Descrizione sintetica del livello di aggressività dell azione chimico-fisica dovuta all ambiente sul calcestruzzo. Combinazione dei carichi di progetto Combinazione di carichi che tiene conto della ridotta probabilità che carichi variabili di diversa natura si presentino simultaneamente. Copriferro Spessore di calcestruzzo tra la superficie esterna di qualsiasi armatura e la faccia esterna più vicina dell elemento di calcestruzzo. Corrosione Trasformazione della superficie di un metallo in ossido di ferro in presenza di umidità o ossigeno. Diametro nominale Diametro approssimato di una barra d acciaio ad aderenza migliorata, valutato sulla base della sezione della barra piena equipesante Elemento non strutturale Componente architettonico, meccanico o elettrico non facente parte della struttura Coefficiente di carico Coefficiente che moltiplicano i carichi caratteristici per ottenere i carichi di progetto Ala Parte superiore o inferiore di una sezione a forma di T di spessore h f Gancio Tratto curvo all estremo di una barra d armatura, classificato in base all angolo ( 90, 135, 180 ). Lunghezza teorica di campata Distanza tra gli assi teorici degli appoggi di un elemento orizzontale, chiamata anche luce Progetto della miscela del calcestruzzo Scelta e proporzionamento degli ingredienti di un calcestruzzo Malta Miscela di pasta e sabbia (aggregato fine) Modulo di elasticità (longitudinale/trasversale) Rapporto tra la tensione di trazione o compressione, al di sotto del limite di proporzionalità del materiale, e la corrispondente deformazione o tra la tensione di taglio e la corrispondente deformazione. Momento flettente (positivo/negativo) Effetto di una forza posta a una data distanza da un asse, che produce effetti di curvatura su un elemento strutturale. Definito negativo quando produce tensioni nella parte superiore di una sezione di un elemento orizzontale o quasi orizzontale, positivo quando produce tensioni nella parte inferiore di una sezione di un elemento orizzontale o quasi orizzontale Pasta di cemento Miscela di acqua e cemento ii 2007 F. Biasioli

7 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO DEFINIZIONI E SIMBOLOGIA Pilastro Elemento verticale in grado di portare forze di compressione o pressoflessione. Plinti Elementi che trasmettono al suolo direttamente (fondazioni dirette) o indirettamente (fondazioni su pali) i carichi dei pilastri o dei muri strutturali in calcestruzzo. Prodotti di maturazione Prodotti intesi a mantenere il calcestruzzo umido per un certo periodo di tempo, solitamente alcuni giorni, dal momento del getto in grado di garantire l umidità interna sufficiente a sviluppare il processo di idratazione. Il momento di applicazione dipende dalla temperatura, dall umidità relativa dell aria, dal vento, dall esposizione diretta ai raggi solari, dal tipo di miscela del calcestruzzo. Protezione al fuoco dell armatura Spessore di calcestruzzo richiesto per isolare l armatura dalle alte temperature provocate da un incendio Resistenza a compressione del calcestruzzo f c Resistenza cilindrica del calcestruzzo a compressione, in N/mm 2. Resistenza allo snervamento dell acciaio f y Resistenza minima allo snervamento, in N/mm 2. Soletta Parte superiore di un solaio in calcestruzzo armato portata da travetti, travi o pilastri. Staffe Armatura disposta per assorbire le forze di taglio e/o torsione in un membro strutturale. Armatura che racchiude l armatura longitudinale nelle travi o le barre verticali nei pilastri Stato limite Condizione superata la quale una struttura o una sua parte non è più idonea a svolgere le funzioni per cui è stata realizzata Taglio Forza interna perpendicolare all asse longitudinale dell elemento Tensione Forza per unità di area Trave Elemento strutturale, orizzontale o quasi orizzontale, sorretto da uno (nel caso di mensola) o più punti, ma non per tutta la sua lunghezza, che porta carichi trasversali al suo asse e sollecitato principalmente a flessione. Trave principale Trave principale orizzontale, che può portare altre travi secondarie Travetto Trave a forma di T disposta in serie parallele, che porta direttamente i carichi del pavimento o del soffitto, a sua volta portata da travi principali, travi secondarie o muri portanti Trave di fondazione Trave che poggia sul suolo di fondazione e collega i pilastri o gli elementi verticali o i loro plinti 2007 F. Biasioli iii

8 DEFINIZIONI E SIMBOLOGIA QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO Simbologia Lettere greche αcc αct Coefficiente di riduzione della resistenza di progetto del calcestruzzo rispettivamente a compressione e trazione γ γ A γ c γ G γ g γ M γ m γ Q γ s δ εc εs ε's η μ ν ξ φ ρ ρ 0 Coefficiente di sicurezza parziale (generico) Coefficiente di sicurezza parziali per le azioni eccezionali A Coefficiente di sicurezza parziali per le proprietà del materiale calcestruzzo Coefficiente di sicurezza parziali per le azioni permanenti G Coefficiente di sicurezza parziali per le azioni permanenti, che tengono conto delle incertezze di modello Coefficiente di sicurezza parziali per una proprietà di un materiale, che tengono conto delle incertezze della proprietà stessa e del modello di calcolo utilizzato Coefficiente di sicurezza parziali per una proprietà di un materiale, che tengono conto solo delle incertezze inerenti alla proprietà del materiale Coefficiente di sicurezza parziali per le azioni variabili Q Coefficiente di sicurezza parziali per le proprietà dell armatura ordinaria Rapporto tra momento residuo dopo la ridistribuzione e momento prima della redistribuzione Deformazione del calcestruzzo (negativa) Deformazione dell acciaio teso Deformazione dell acciaio meno teso o più compresso Taglio adimensionale Momento adimensionale Forza assiale adimensionale, coefficiente di riduzione della resistenza del calcestruzzo Rapporto x/d tra profondità x dell asse neutro e altezza utile d Diametro di una barra d armatura Rapporto geometrico dell armatura tesa Rapporto geometrico dell armatura che equilibra le compressioni del calcestruzzo ρ Rapporto geometrico dell armatura più compressa o meno tesa σ s σ c Tensione dell armatura tesa Tensione del calcestruzzo σ s Tensione dell armatura più compressa o meno tesa ψ ψ 0 ψ 1 ψ 2 ω ω' ω 0 Coefficiente che definisce i valori di combinazione delle azioni variabili Coefficiente di combinazione - carichi caratteristici o rari Coefficiente di combinazione - carichi frequenti Coefficiente di combinazione - carichi quasi permanenti Rapporto meccanico di armatura Rapporto meccanico di armatura dell armatura meno tesa o più compressa Rapporto meccanico dell armatura tesa che equilibra il calcestruzzo compresso iv 2007 F. Biasioli

9 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO DEFINIZIONI E SIMBOLOGIA A A c A s A s0 Lettere latine maiuscole Azioni eccezionali - Area Area della sezione lorda di calcestruzzo Area dell armatura più tesa Area dell armatura tesa che equilibra il calcestruzzo compresso A s Area dell armatura più compressa o meno tesa E cm E c(28) E s G M Sd M Rd N Sd N Rd Q T Rd V Sd V Rd Modulo elastico secante di un calcestruzzo di densità normale Modulo elastico tangente di un calcestruzzo di densità normale alla tensione σc=0 e a 28 giorni Modulo elastico dell armatura ordinaria Azioni permanenti (gravity) Valore di progetto del momento flettente sollecitante Valore di progetto del momento flettente resistente Valore di progetto della forza assiale agente Valore di progetto della forza assiale resistente Azioni variabili Valore di progetto del momento torcente resistente Valore di progetto del taglio sollecitante Valore di progetto del taglio resistente b b eff b f b w d Lettere latine minuscole Larghezza della sezione trasversale o Larghezza effettiva di calcolo dell ala di una trave a T o L Larghezza teorica dell ala (flangia) di una trave a T o L Larghezza dell anima nelle travi a T o L Altezza utile della sezione d Distanza della fibra più compressa o meno tesa dal baricentro dell armatura più compressa o meno tesa f cd f ck f yd f yk h h f l eff x z Valore di progetto della resistenza a compressione cilindrica Resistenza caratteristica cilindrica a compressione del calcestruzzo a 28 gg Tensione di snervamento di calcolo dell armatura ordinaria Tensione di snervamento caratteristica dell armatura ordinaria Altezza totale della sezione trasversale Altezza della soletta in una trave a T (altezza della piattabanda) Luce efficace (di calcolo) di un elemento strutturale Profondità dell asse neutro Braccio di leva delle forze interne di trazione/compressione in una sezione inflessa 2007 F. Biasioli v

10 DEFINIZIONI E SIMBOLOGIA QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO Bibliografia e riferimenti Nel testo si fa riferimento ai documenti elencati nella tabella che segue indicando, a margine di pagina, la sigla indicata nella prima colonna e il capitolo/paragrafo del documento a cui fare riferimento. Sigla Documento NT D.M. 14/09/2005 Norme tecniche per le costruzioni, G.U. n. 222 del 23/09/2005. OR 3519 Ordinanza della Presidenza del Consiglio dei Ministri 20/03/2003, n. 3274, allegati 2 e 4, aggiornata all OPCM 3/05/2005, n OPCM 28/04/2006, n. 3519, criteri generali per l individuazione delle zone sismiche e per la formazione e l aggiornamento degli elenchi delle medesime zone (G.U. 11/05/2006). EC2 EN , Eurocodice 2, Brussels, CEN, dicembre EC8 EN , Eurocodice 8, Brussels, CEN, dicembre UNI EN Calcestruzzo, specificazione, prestazione, produzione e conformità, Ottobre ATE UNI EN Calcestruzzo, specificazione, prestazione, produzione e conformità, istruzioni complementari per l applicazione della EN206-1, marzo Capitolato speciale per la prescrizione del calcestruzzo per edifici residenziali QT1 Strutture di calcestruzzo: Le basi del progetto strutturale, Politeko Edizioni, Torino, 2007 QT2 Strutture di calcestruzzo: Durabilità, materiali, ritiro, viscosità, Politeko Edizioni, Torino, 2007 QT3 Strutture di calcestruzzo: Stati limite d esercizio, Politeko Edizioni, Torino, 2007 QT4 Strutture di calcestruzzo: Forza assiale, flessione, instabilità, Politeko Edizioni, Torino, 2007 QT5 Strutture di calcestruzzo: Taglio e torsione, Politeko Edizioni, Torino, 2007 QT6 Strutture di calcestruzzo: Il punzonamento, Politeko Edizioni, Torino, 2007 vi 2007 F. Biasioli

11 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO CAPITOLO 1 CAPITOLO 1 Riferimenti, basi del progetto, durabilità e materiali Dopo una descrizione delle fasi della procedura di progetto, il Quaderno descrive i dati essenziali dell opera e tratta la durabilità strutturale e le conseguenze che ne derivano in termini di criteri di definizione dei copriferri e scelta dei materiali. 1.1 Procedura di progetto Il progetto di un edificio multipiano in calcestruzzo armato può essere articolato in una sequenza logica di operazioni (figura 1.1): 1. Definizione in pianta e in altezza della struttura e disposizione in pianta degli elementi strutturali (cap. 1) 2. Identificazione delle classi di esposizione ambientale, calcolo dei copriferri e scelta dei materiali (cap. 1) 3. Calcolo della intensità delle azioni verticali (carichi gravitazionali - cap. 2) 4. Verifica agli stati limite di esercizio (tensioni, fessurazione, deformazione); definizione degli spessori strutturali e predimensionamento di solai e travi (cap. 3) 5. Calcolo dei carichi verticali totali, predimensionamento agli stati limite ultimi degli elementi verticali pilastri - e degli elementi di controvento setti e nuclei ascensore (cap. 4) 6. Analisi della distribuzione planimetrica degli elementi di controvento (cap. 5) 7. Calcolo delle azioni orizzontali (imperfezioni geometriche, vento e sisma), selezione e ripartizione sugli elementi strutturali dell azione orizzontale di riferimento (cap. 6) 8. Progetto delle armature degli elementi verticali.- pilastri- e orizzontali - solai, travi cap Progetto delle armature degli elementi di controvento (nuclei e setti) 10. Progetto delle fondazioni 11. Disegni costruttivi. Gli argomenti del punto 1 sono oggetto del presente capitolo, quelli dei punti da 2 a 8 dei capitoli che seguono F. Biasioli 1-1

12 CAPITOLO 1 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO CAP. 1) DEFINIZIONE E DISPOSIZIONE DEGLI ELEMENTI STRUTTURALI 2) DURABILITà, COPRIFERRI, MATERIALI 3) AZIONI 4) PREDIMENSIONAMENTO SOLAI E TRAVI - SLE 5) PREDIMENSIONAMENTO PILASTRI, NUCLEI, SETTI - SLU 6) DISTRIBUZIONE DELLE RIGIDEZZE MODIFICA SEZIONI e/o AGGIUNTA ELEMENTI NO DISTRIBUZIONE PLANIMETRICA ACCETTABILE? SI 7) PROGETTO/VERIFICA ARMATURE SOLAI, TRAVI, PILASTRI 8) PROGETTO/VERIFICA ARMATURE NUCLEI, SETTI 9) PROGETTO FONDAZIONI 10) DISEGNI COSTRUTTIVI Figura 1.1 Progetto strutturale di un edificio F. Biasioli

13 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO CAPITOLO Progetto strutturale Piante dei fili fissi e dei pilastri La pianta dei fili fissi include le informazioni di riferimento relative alla struttura (figura 1.2) 1 : a) una griglia di assi secondo due direzioni principali in pianta: gli assi si incrociano in corrispondenza dei fili fissi degli elementi verticali (pilastri, nuclei, setti); 2 b) la disposizione in pianta degli elementi verticali continui a ogni piano fino alle fondazioni; c) le distanze orizzontali tra le linee della griglia d) una tabella quotata contenente le distanze parziali e progressive dei centri degli elementi strutturali e le coordinate (x,y) rispetto al riferimento (0,0). Le piante dei pilastri e delle fondazioni contengono le informazioni relative a tutti gli elementi verticali e di fondazione (posizione, dimensioni, distanze relative) Carpenteria piano tipo Per ogni piano tipo è richiesto un disegno di carpenteria (figura 1.3) che contenga: a) la posizione del perimetro di piano sulla griglia degli assi; b) la posizione e la denominazione delle travi principali, secondarie e pilastri; c) le informazioni relative alla foronomia; d) l orientamento e la denominazione dei solai di piano Sezioni verticali Una o più sezioni strutturali verticali (figura 1.4) forniscono le informazioni rilevanti sulla struttura in elevazione: a) il numero di piani; b) l altezza di interpiano di tutti i piani, definita come la distanza verticale dal piano del pavimento finito del piano considerato fino allo stesso livello di un piano adiacente; c) la pendenza e la forma del tetto; d) l altezza libera verticale tra il piano di pavimento finito e il soffitto del piano; e) lo spazio verticale (a pavimento o a soffitto) necessario ad alloggiare gli impianti tecnici relativi alla distribuzione dell energia elettrica, dell acqua (sia potabile che di scarico), al riscaldamento, alla ventilazione o all aria condizionata; f) la quota e l eventuale pendenza del terreno in relazione con il piano terreno del fabbricato o il piano seminterrato, se presente. 1 Tutti i disegni di carpenteria e armatura sono stati effettuati mediante la proceduta Auto-Ca ( 2 I fili fissi sono segmenti che individuano punti notevoli di un elemento: centro o spigoli di un pilastro, asse o spigolo di un setto ecc. e che, non cambiando di posizione ai piani, possono essere utilizzati per il tracciamento delle carpenterie di piano F. Biasioli 1-3

14 CAPITOLO 1 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO Pilastro x y [cm] [cm] ASC B ASC B C A A R A A A C A A R A A A C A R C C C Q C C C R C C D D D D D R D D D D D C D Figura 1.2 Riferimenti, pianta e coordinate fili fissi F. Biasioli

15 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO CAPITOLO 1 Figura 1.3 Carpenteria piano tipo 2007 F. Biasioli 1-5

16 CAPITOLO 1 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO Quote in cm Figura 1.4 Sezione verticale F. Biasioli

17 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO CAPITOLO 1 DM DM Descrizione dell opera Localizzazione L edificio è situato in una zona pianeggiante ubicata nell'area urbana di una località del Piemonte a quota 350 m s.l.m. La località è classificata in zona sismica 4. L edificio, a uso residenziale, è classificato come struttura di classe 1. Per tale classe la vita utile di progetto T d è pari a 50 anni e il periodo di ritorno delle azioni naturali (vento, neve) a 10 x T d = (10x50) = 500 anni. L edificio è costituito da sei piani fuori terra, un piano sottotetto e un interrato. La configurazione in pianta è di un corpo unico compatto rettangolare, senza giunti di dilatazione, con simmetrie longitudinale e trasversale (fig. 1.5). La copertura è inclinata di un angolo α = 10,7. Ciascun solaio ha superficie lorda pari a (36,10 x 13,70) = 490 m 2 circa. Il volume fuori terra del fabbricato (vuoto per pieno) è pari a [36,10 x 13,70 x (20,83+19,30/2)] = 9924 m 3 circa Struttura di elevazione Figura 1.5 Dimensioni complessive La struttura d elevazione è costituita da telai di calcestruzzo armato gettati in opera con elementi verticali costituti da pilastri, setti e vani ascensore e elementi orizzontali costitutiti da travi in spessore di solaio. I solai misti con alleggerimenti in laterocemento e soletta di completamento in calcestruzzo sono orditi trasversalmente all asse principale dell edificio. Lo schema strutturale è misto telai controventi: ai telai è affidata la resistenza alle sole azioni verticali, agli elementi di controvento (vani ascensore) la resistenza alle azioni orizzontali (imperfezioni geometriche, vento, sisma). Poiché l edificio è realizzato in zona sismica, per gli elementi strutturali sono previsti meccanismi di rottura tali da assicurare un comportamento d insieme di tipo duttile tale da dissipare l energia indotta da un sisma di limitata intensità. Assumendo come quota 0,00 quella del terreno finito circostante il fabbricato, risultano definite le quote: - del primo solaio al finito: + 0,17 m - del piano delle fondazioni e dei muri contro terra: m Le dimensioni in altezza sono (figura 1.4): - altezze interne nette: interrato: 2,40 m; piani tipo: 2,70 m; sottotetto: variabile da 1,0 m in gronda) a 2,30 m al colmo; - altezze interne lorde: piano interrato, dallo spiccato delle fondazioni: plinti: 2,50 m, muri: 2,65 m; piano tipo: 2,80 m; piano sottotetto variabile da 1,04 a 2,35 m; - spessore solaio: al rustico, a tutti i piani: (0,18 + 0,05) = 0,23 m; al finito: piano terreno 0,32 m; piani tipo: 0,33 m; sottotetto: 0,28 m 2007 F. Biasioli 1-7

18 CAPITOLO 1 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO DM Le altezza totali del fabbricato risultano: - da quota + 0,00 all estradosso in gronda del solaio di copertura: [0, x 2, x 0,33 + 0,28 + 1,0 + 0,23] = 19,53 m - da quota + 0,00 all estradosso del colmo del solaio di copertura: [19,30 + 1,53] = 20,83 m - dallo spiccato dei plinti all intradosso del colmo della copertura: m 23,25. - dalla base dei plinti all estradosso del colmo della copertura: [23,25 + 0,50 + 0,23] = 23,98 m Terreno e struttura di fondazione In base ai sondaggi il terreno di fondazione risulta costituito da una serie di strati sabbioso limosi intercalati da strati ghiaioso sabbiosi. Le prove geognostiche definiscono un valore N SPT variabile tra 24 e 40. Poiché 15 < N SPT < 50 si può classificare il terreno nella categoria C. Per la zona non sono disponibili dati relativi a fenomeni di instabilità, subsidenza o erosione del suolo. Le fondazioni sono dirette e costituite per i pilastri da plinti isolati di altezza 0,50 m con dimensioni in pianta adeguate alle caratteristiche meccaniche del terreno. Al piano interrato una serie di muri di calcestruzzo armato aventi fondazione di altezza 0,35 m forma un sistema scatolare di chiusura perimetrale che contrasta la spinta del terreno F. Biasioli

19 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO CAPITOLO 1 DM Durabilità strutturale Classi di esposizione e prescrizione del calcestruzzo La durabilità di una struttura di calcestruzzo dipende dall interazione tra le caratteristiche del materiale con cui la struttura è costruita e le azioni di tipo chimico fisico, legate alle condizioni dell ambiente in cui essa si trova e alle quali è soggetta nell arco della sua vita utile. Tali azioni, non prese in conto nell analisi strutturale, comportano un opportuna scelta del tipo di calcestruzzo, adeguate disposizioni costruttive delle armature e un esecuzione curata. Il requisito di durabilità si ritiene soddisfatto se la struttura, sottoposta alle azioni tipiche dell ambiente e soggetta a ordinaria manutenzione, è in grado di continuare a fornire per tutta la vita utile di progetto le prestazioni per la quale è stata progettata e realizzata. In base alle indicazioni delle norme EN206-1 e UNI le condizioni prevalenti della struttura di elevazione dell edificio possono essere classificate nelle classi di esposizione ambientale di tabella. 3 QT2 Tab. 3.1 Classe di esposizione Condizione di esposizione Elementi strutturali XC1 Calcestruzzo asciutto o permanentemente bagnato Tutti le strutture all interno del fabbricato XC2 Bagnato, raramente asciutto (superfici di calcestruzzo a contatto con acqua per lungo tempo. Fondazioni e muri contro terra XC3 Umidità moderata Logge, pilastri esterni, cornicioni XA1 Ambiente chimico debolmente aggressivo nei suoli naturali ed acqua del terreno Tabella 1.1 Classi di esposizione ambientale Fondazioni e muri contro terra EC Per le diverse classi di esposizione e una durata di vita di 50 anni secondo l EC2 e la norma UNI prosp. 4 per il copriferro e la classe di resistenza del calcestruzzo minimi valgono le seguenti prescrizioni: - classe XC1: copriferro minimo per la durabilità c min,dur = 15 mm; calcestruzzo classe C25/ classe XC2 c min,dur = 25 mm; calcestruzzo classe C25/30 - classe XC3: c min,dur = 25 mm, calcestruzzo classe C28/35 - classe XA1: nessuna indicazione di copriferro minimo; calcestruzzo classe C28/35. Per le fondazioni e i muri contro terra, classificati nelle classi (XC2 + XA1), per soddisfare le richieste di entrambe le classi di esposizione la classe di resistenza minima per il calcestruzzo è la C28/35, In base ai dati di tabella per i solai di piano sarebbe necessario prescrivere due diversi tipi di calcestruzzo: per le zone interne (classe ambientale XC1) un calcestruzzo C25/30, per le logge e i balconi (classe ambientale XC3) un calcestruzzo C28/35. Ciò evidentemente non è agevole in cantiere, dato che il getto avviene in contemporanea su tutta la superficie del solaio. Peraltro gli elementi orizzontali delle logge sono a rischio di degrado in quanto direttamente esposti all ambiente esterno. Una soluzione che ovvia alla minor durabilità intrinseca di tali parti ma è tecnicamente praticabile tiene conto del fatto che l aggressione possibile - degrado da ossidazione delle armature dovuto a carbonatazione del calcestruzzo - dipende sia dalle caratteristiche di permeabilità superficiale del calcestruzzo che dallo spessore del copriferro. Si prescrive pertanto l impiego di una unica classe di calcestruzzo C25/30, oltre che per le zone, anche per gli elementi orizzontali delle logge ma si impone di aumentare per queste ultime il copriferro minimo previsto per la classe XC3 (25 mm) di ulteriori 5 mm. 3 Per una descrizione esaustiva del procedimento vedere QT2 Durabilità. 4 La classe di resistenza del calcestruzzo è identificata mediante la resistenza caratteristica a compressione (N/mm 2 ) misurata dopo 28 gg di maturazione. Nelle NT (Norme Tecniche) la resistenza è misurata su cubi di lato 160 mm e ha sigla: Rck (es. Rck 25, Rck 30 ecc.), nell EC2 su cilindri di diametro 150 mm e altezza 300 mm - sigla fck - o su cubi di lato 160 mm sigla fck,cu e ha sigla C fck / fck,cu. Nel testo si adotta la simbologia dell EC F. Biasioli 1-9

20 CAPITOLO 1 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO Rapporto prezzo-prestazioni del calcestruzzo QT2 QT2 tab. 3.1 E sempre opportuno effettuare la valutazione economica delle soluzioni alternative stimando il rapporto prezzo/prestazioni delle diverse classi di calcestruzzo. Per un calcestruzzo di riferimento con diametro massimo dei grani d g = 32 mm e classe di consistenza S3 è calcolato in tabella 1.2 per le classi di esposizione più significative il rapporto prezzo/prestazioni sulla base dei prezzi correnti nella località, assumendo come calcestruzzo di riferimento il calcestruzzo di classe C25/30. Il minor costo teorico complessivo dell opera che si otterrebbe impiegando, al posto di un calcestruzzo classe C20/25, un calcestruzzo classe C25/30 o C28/35 è rispettivamente pari al 12 e 20%, a condizione che le prestazioni di tali materiali siano utilizzate correttamente nel progetto strutturale. Il vantaggio effettivo è ovviamente minore del teorico, date le limitazioni poste dalle dimensioni minime delle sezioni di pilastri, solai e travi e dalla configurazione geometrica dell edificio, ma certamente la presa in conto della durabilità attraverso la scelta di una classe di calcestruzzo adeguata non comporta incrementi del costo totale di costruzione, mentre ne garantisce migliori prestazioni (ridotta deformabilità degli elementi inflessi, resistenza addizionale per eventi non previsti nel calcolo ecc.). Variabile u.d.m. Classe C20/25 C25/30 C28/35 Classe di esposizione - XC1 XC3 Rck N/mm Prezzo /m ,5 Prezzo relativo % ,7 111,9 Prestazione relativa % Rapporto prezzo/prestazioni 1 0,88 0,80 Tabella 1.2 Confronto tecnico-economico In conclusione si prescrive l impiego di due classi di calcestruzzo con le seguenti caratteristiche: muri contro terra, plinti di fondazione, pilastri, setti e nuclei ascensore: - classe di resistenza C28/35, rapporto a/c max 0,55, dosaggio minimo cemento 320 kg/m 3 - classe di esposizione (XC2 + XA1) o XC3 - classe di consistenza S3 - diametro massimo aggregato 32 mm travi, solai, balconi, rampe scale, copertura - classe di resistenza C25/30 rapporto a/c max 0,60, dosaggio minimo cemento 300 kg/m 3 - classe di esposizione XC1 - classe di consistenza S3 (per copertura, rampe scale ); S5 (per travi e solai) - diametro massimo aggregato 32 mm Copriferri delle armature DM Il copriferro è la distanza tra la superficie più esterna dell armatura (incluse staffe e collegamenti) ) e la superficie del calcestruzzo più vicina. Un copriferro minimo c min deve essere assicurato per garantire: - la corretta trasmissione delle forze di aderenza - la protezione dell acciaio contro la corrosione (durabilità) - un adeguata resistenza al fuoco F. Biasioli

21 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO CAPITOLO 1 EC Il copriferro MINIMO c min che soddisfa sia i requisiti relativi all aderenza che alla durabilità vale: c min,b c min,dur c min = max [c min,b ; (c min,dur - Δc dur,add); 10 mm] [1.1] copriferro minimo dovuto al requisito di aderenza (b = bond ) con c min,b φ dell armatura copriferro minimo dovuto alle condizioni ambientali (dur = durability ) Δc dur,add riduzione del copriferro minimo per la durabilità in presenza di protezioni aggiuntive (ad es. tavelle di laterizio, intonaco, vernici protettive ecc). I requisiti di copriferro per la durabilità non risultano mai critici per le travi e i pilastri interni, protetti da intonaco di spessore 10 mm, e per le armature superiori delle travi e dei balconi, protette dall ambiente esterno dalla presenza del sottofondo e del pavimento (i balconi, anche dalla guaina impermeabile). La condizione più severa in tutti questi casi è pertanto il rispetto delle condizioni di aderenza. Le armature del solaio di tutti i piani sono protette, alla base delle nervature, da una tavella di laterizio di spessore 12 mm ricoperto da intonaco di spessore 8 mm. Pertanto: Δc dur,add = = 20 mm Le superfici inferiori delle solette piene, dei pilastri e delle travi delle logge sono tutte protette da 10 mm di intonaco. Dato che il calcestruzzo di tali elementi è di classe C25/30 anziché di classe C28/35, come sarebbe richiesto per la classe XC3, si incrementa di 5 mm il copriferro di 25 mm richiesto per classe XC3. Il copriferro NOMINALE c nom, da considerare nel progetto delle armature e riportare nei disegni esecutivi, è somma: - del copriferro minimo c min, - della tolleranza di posizionamento delle armature Δc, assunta pari a 8-10 mm. DM Per le NT deve essere c nom 20 mm. Pertanto: c nom = c min + Δc = max [c min + (8 10) mm; 20 mm] [1.2] Per i getti del piano interrato (plinti e muri) in cui un lato è contro terra, dunque non ispezionabile si deve assumere c nom 40 mm. Nell ipotesi di utilizzare: - staffe φ 8 mm per i pilastri e le travi - barre φ 16 mm per pilastri, travi, plinti e muri - barre φ 12 mm per solai e solette dei balconi si ottengono i valori teorici di tabella. Tenuto conto delle tipologie di distanziatori disponibili in commercio, nel progetto si adottano i valori evidenziati nell ultima colonna. Elemento strutturale Classe di esposizione φ, c min,b (mm) c min,dur (mm) Δc dur,add (mm) c dur (mm) c min (mm) c nom (mm) Travi, pilastri interni, nuclei XC Solai XC Solette/travi logge (arm. sup.) XC Solette/travi logge (arm. inf.) XC Pilastri esterni logge XC Fondazioni, muri contro terra XC2+XA Tabella 1.3 Copriferri nominali 2007 F. Biasioli 1-11

22 CAPITOLO 1 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO DM Materiali Calcestruzzo La classe del calcestruzzo è identificata mediante la resistenza caratteristica a compressione (N/mm 2 ) misurata dopo 28 gg di maturazione. Nelle NT (Norme Tecniche) la resistenza è misurata su cubi di lato 160 mm e ha sigla: R ck (es. R ck 25, R ck 30 ecc.), nell EC2 su cilindri di diametro 150 mm e altezza 300 mm - sigla f ck - o su cubi di lato 160 mm sigla f ck,cu. Per l EC2 la denominazione è C f ck / f ck,cu. Per entrambe le norme è R ck = f ck,cu, mentre la resistenza cilindrica f ck, varia: secondo le NT si assume f ck, = 0,83 R ck, secondo l EC2 è f ck, 0,80 f ck,cu. Adottando le indicazioni delle NT si ottengono: Denominazione C25/30 C28/35 Destinazione solai/travi pilastri, setti, nuclei resistenza a compressione cubica caratteristica R ck N/mm 2 resistenza a compressione cilindrica (0,83 R ck ) f ck N/mm 2 resistenza a trazione media f ctm 2,6 2,8 N/mm 2 modulo elastico (secondo EC2) E cm kn/mm 2 coeff. di sicurezza parziale (da applicare a R ck ) γ m,c 1,9 resistenza a compressione cilindrica di calcolo f cd 15,8 18,4 N/mm 2 coefficiente effetti di lungo termine α cc 1 resistenza a trazione di calcolo f ctd 1,8 1,2 N/mm Acciaio DM Gli acciai per armatura sono definiti dai valori caratteristici delle tensioni di snervamento f yk e di rottura f tk, del rapporto (f t /f y ) k e dal valore caratteristico della deformazione ε uk corrispondente alla tensione massima sotto carico. Per le NT e l EC2 è: fyk f yd = γ s fyd Secondo le N.T è γ s = 1,15. La deformazione di progetto al limite elastico vale ε syd = E DM Nel seguito sono riportati i valori caratteristici e di progetto di tensioni e deformazioni per acciaio laminato EC a caldo B450C controllato in stabilimento. Per il calcolo di ε syd si è assunto, come nell EC2, E s = N/mm 2. resistenza a trazione caratteristica f tk 540 N/mm 2 tensione di snervamento caratteristica f yk 450 N/mm 2 allungamento uniforme al carico massimo ε uk > 70 rapporto tra resistenza e tensione di snervamento 1,15 < (f t / f y ) k <1,35 modulo elastico (secondo EC2) E s 200 kn/mm 2 coeff. di sicurezza parziale γ s 1,15 tensione di snervamento di calcolo f yd 391 N/mm 2 deformazione di snervamento di calcolo ε syd 1,96 deformazione limite allo SLU ε ud = 0,90 ε uk ε ud 63 s F. Biasioli

23 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 2 CAPITOLO 2 Analisi dei carichi 2.1 Stati limite Definizione e classificazione Stati limite: sono stati al di là dei quali una struttura non soddisfa più le esigenze per le quali è stata progettata. Si suddividono in stati limite ultimi e stati limite di esercizio. a. Stati limite ultimi Gli stati limite ultimi sono quelli associati al collasso o ad altre forme di cedimento strutturale che possono mettere in pericolo la sicurezza delle persone. Le situazioni che precedono il collasso sono trattate anch esse come stati limite ultimi. Gli stati limite ultimi per cui è richiesta la verifica riguardano: la perdita di equilibrio della struttura o di una parte di essa, considerata come corpo rigido; il dissesto per deformazione eccessiva, rottura o perdita di stabilità della struttura o di una parte di essa, compresi i vincoli e le fondazioni. b. Stati limite di esercizio Gli stati limite di esercizio corrispondono a stati al di là dei quali non risultano più soddisfatti i requisiti di uso richiesti. Gli stati limite di esercizio per cui è richiesta la verifica riguardano: le deformazioni o inflessioni che nuocciono all aspetto o modificano la possibilità d uso della struttura (inclusi i malfunzionamenti di apparecchiature e impianti) o danneggiano le finiture o gli elementi non strutturali; la fessurazione del calcestruzzo se può influire negativamente sull aspetto, sulla durabilità o sulla impermeabilità all acqua dell opera; il danneggiamento del calcestruzzo in presenza di compressione eccessiva, che può portare a perdita di durabilità; le vibrazioni se possono causare disturbo agli occupanti, danno all edificio o ai beni in esso contenuti o limitarne l idoneità all uso. QT Metodi di verifica Una struttura deve essere verificata per tutti gli stati limite considerati significativi, sia ultimi che di esercizio. In genere le verifiche agli stati limite di esercizio vengono effettuate utilizzando modelli che ipotizzano il comportamento elastico dei materiali, modificato per tener conto della fessurazione del calcestruzzo (sezione parzializzata omogeneizzata). Si possono usare metodi tabellari semplificati, che forniscono indicazioni utili in fase di predimensionamento degli elementi strutturali (vedere QT3). QT4 QT5 QT6 Il progetto/verifica agli stati limite ultimi si basa su modelli plastici. I metodi di progetto/verifica delle armature, diversi a seconda dei diversi stati limite (sollecitazioni di pressoflessione e flessione, taglio, torsione e punzonamento), sono facilitati dall uso di tabelle e grafici basati su parametri adimensionali (vedere QT 4-5-6). Per tutti gli stati limite occorre preliminarmente cumulare le azioni permanenti (peso proprio e carichi permanentemente portati) e variabili (carichi di esercizio, vento, neve) mediante idonee combinazioni di carico e disporre i carichi variabili sulla struttura in modo da massimizzare l effetto sfavorevole considerato F. Biasioli 2-1

24 CAPITOLO 2 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO DM Azioni Classificazione e variabilità nel tempo Le NT definiscono come azione ogni causa o insieme di cause capace di indurre stati limite in una struttura. In genere per gli edifici si considerano azioni variabili di intensità convenzionale aventi la possibilità di variare la posizione (disposizioni di carico). I carichi si classificano come: - carichi permanenti (G) che agiscono durante tutta la vita utile della struttura con variazioni di intensità nel tempo così piccole e lente da poter essere considerati con sufficiente approssimazione costanti nel tempo: pesi propri della struttura e carichi permanentemente portati; - carichi variabili (Q) suddivisi in carichi di lunga durata - che agiscono, anche non continuativamente, con intensità significativa per un tempo non trascurabile rispetto alla vita utile della struttura - e di breve durata - che agiscono per un tempo breve rispetto alla vita utile della struttura. - carichi eccezionali (A), legati ad eventi fortuiti (incendi, esplosioni, urti, impatti, sisma ecc ) 1. 1 Fig. 2.1 Variabilità di un azione nel tempo DM Di ciascun carico variabile nel tempo sono definiti una serie di valori rappresentativi (fig. 2.1): Q k il valore caratteristico dell azione, caratterizzato da un assegnata probabilità di essere superato nel periodo di riferimento T u (frattile di ordine k della distribuzione statistica del carico); ψ 0 Q k, il valore di combinazione dell azione, in cui il coefficiente ψ 0 < 1 tiene conto della ridotta probabilità di occorrenza simultanea di due o più azioni indipendenti entrambe di intensità pari al valore caratteristico: è utilizzato per gli SLU e SLE irreversibili (fessurazione); DM QT1 ψ 1 Q k il valore frequente dell azione, in cui ψ 1 < ψ 0 è scelto in modo che il periodo di tempo in cui il valore l intensità ψ 1 Q k viene superata sia al più una frazione, generalmente il 10%, del periodo di riferimento T u. E utilizzato per gli SLE reversibili (verifica di fessurazione di strutture precompresse); ψ 2 Q il valore quasi permanente dell azione k, in cui ψ 2 < ψ 1 è scelto in modo che il periodo di tempo in cui ψ 2 Q k risulta superata sia al più una frazione (generalmente il 50%) del periodo di riferimento T u : E utilizzato per il calcolo degli effetti a lungo termine negli SLE reversibili (deformazione della struttura) e nelle condizioni che vedono dominante l azione sismica. Essendo tutti i coefficienti ψ < 1 i valori che si ottengono corrispondono ad intensità dell azione via via minori, più facilmente superabili durante la vita utile della struttura e corrispondenti a periodi di ritorno T minori del periodo associato al valore caratteristico dell azione stessa. I valori dei fattori di combinazione ψ adottati in Italia dipendono dal tipo di azione considerata, dalla destinazione d uso della struttura e dalla situazione di progetto. 1 Anche se le NT non classificano l evento sismico come eccezionale, esso è da intendersi come tale secondo le indicazioni dell EC0, (9) F. Biasioli

25 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO Azioni permanenti DM Per le parti strutturali e non strutturali le azioni permanenti sono valutate in base alle masse volumiche dei materiali di cui è composta la costruzione e/o alle loro caratteristiche geometriche Per elementi strutturali e di finitura per edifici si possono applicare i valori di tabella 2.1. Materiali massa volumica/ intensità Calcestruzzo non armato / armato 24 / 25 Conglomerato leggero per sottofondi Intonaco di cemento 20 Mattoni semipieni 16 Mattoni forati 11 Pietre naturali, piastrelle ecc 30 Laterizio per solai interasse nervature i = (40+10) o (38+12) cm h = 18 cm 0,75 h = 20 cm 0,82 h = 22 cm 0,89 h = 24 cm 1,00 Manto di tegole (coppi) o marsigliesi 0,70 Manto di tegole (marsigliesi) 0,40 u.d.m. kn/m 3 kn/m 2 Tabella Masse volumiche e intensità Nel seguito è sviluppata l analisi dei carichi dei diversi di elementi strutturali, rappresentati in sezione. Per tutti gli elementi il peso proprio è identificato dal simbolo g k0. A) SOLAI E SOLETTE SOLAIO PIANO TIPO H = (18 + 5) cm a) solaio in latero-cemento interasse (38+12) h = 18 cm 0,75 kn/m 2 getto di completamento in calcestruzzo armato nervature i = 50 cm e soletta s = 5 cm (0,12 0, ,05 1,0 1,0) 25 2,33 kn/m 2 g k0 = 3,08 kn/m 2 b) sottofondo in calcestruzzo alleggerito s = 8 cm 0, ,28 kn/m 2 c) pavimento in ceramica 1 cm 0, ,25 kn/m 2 d) intonaco d'intradosso 1 cm 0, ,20 kn/m 2 g k1 = 1,73 kn/m F. Biasioli 2-3

26 CAPITOLO 2 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO SOLAIO LOGGIA E PIANO SOTTOTETTO - H = (18 + 5) cm a) solaio in latero-cemento e calcestruzzo H = (18 + 5) cm g k0 = 3,08 kn/m 2 b) sottofondo in calcestruzzo alleggerito s = 3 cm 0, ,48 kn/m 2 c) pavimento in ceramica 1 cm 0, ,25 kn/m 2 d) intonaco d'intradosso 1 cm 0, ,20 kn/m 2 g k4 = 0,93 kn/m 2 SOLAIO COPERTURA- H = (18 + 5) cm a) solaio in latero-cemento e calcestruzzo H = (18 + 5) cm g k0 = 3,08 kn/m 2 b) guaina e isolamento 0,24 kn/m 2 c) manto di tegole e listellatura 0,90 kn/m 2 g k5 = 1,14 kn/m 2 SOLETTA SCALE- H = 15 cm a) soletta in calcestruzzo h = 15 cm 0,15 25 g k0 = 3,75 kn/m 2 b) sottofondo gradini spessore medio 5 cm 0, kn/m 2 c) pedata in ceramica s = 1 cm 0,25 kn/m 2 d) intonaco di intradosso s = 1 cm 0,20 kn/m 2 g k7 = 1,35 kn/m F. Biasioli

27 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 2 B) MURATURE ESTERNE ED INTERNE MURATURA DI TAMPONAMENTO ESTERNA SP. CM 35 interno c a d b quote in cm Muratura di chiusura esterna - sezione verticale a) muratura interna in mattoni forati s = 12 cm 0, ,32 kn/m 2 b) muratura interna in mattoni semipieni s = 12 cm 0, ,92 kn/m 2 c) intonaco interno s =1 cm 0, ,20 kn/m 2 intonaco in cassavuota rustico s =1 cm 0, ,20 kn/m 2 d) isolamento termico s = 8 cm 0,08 0,9 0,06 kn/m 2 Totale 3,70 kn/m 2 Per ciascun piano di altezza a rustico h = 2,80 m il carico medio a metro lineare di muratura netto, tenendo conto delle aperture esterne (finestre e porte finestre), risulta perimetro totale edificio (35,7 + 14,0) m altezza interpiano al rustico 2,80 m superficie muratura lorda totale edificio 100 2, m 2 superficie aperture porte-finestre n ,20 2,20 42 m 2 finestre n ,20 1,50 15 m 2 Totale 67 m 2 incidenza aperture su totale muratura (67/280) % peso medio lineare muratura lorda 3,70 2,80 = 10,36 kn/m peso medio lineare muratura netta (1-0,24) 10,36 g k2 = 7,88 kn/m MURATURA DI PARTIZIONE INTERNA SP. CM 10 interno b a b quote in cm a) muratura interna in mattori forati s = 8 cm 0, ,88 kn/m 2 b) intonaco interno ed esterno s =(1+1) cm 0, ,40 kn/m 2 Totale 1,28 kn/m F. Biasioli 2-5

28 CAPITOLO 2 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Per ciascun piano di superficie netta 470 m 2 circa il carico medio a metro quadrato di solaio, tenendo conto delle aperture interne, risulta sviluppo totale muratura interna 165 m altezza interpiano al rustico 2,80 m superficie muratura lorda totale edificio 165 2, m 2 superficie aperture: porte n ,80 2,20 53 m 2 incidenza aperture su totale muratura (53/462) ,5% peso totale muratura lorda peso totale muratura netta 1, = 591 kn (1-0,115) 591= 523 kn Per il calcolo dei solai degli edifici di civile abitazione in grado, come nel caso di esame, di avere adeguata capacità di ripartizione trasversale dei carichi, il carico lineare costituito dai divisori può essere trasformato in un carico uniformemente, la cui intensità è calcolata come rapporto tra il peso complessivo della muratura e la superficie netta del solaio (462 m 2 nel caso in esame). Peso della muratura per unità di superficie di solaio 523/462 g k3 = 1,13 kn/m Peso delle travi Il peso a metro lineare delle travi in spessore aventi dimensioni (b h) è calcolato come differenza tra i pesi propri di una trave piena di altezza h e larghezza b e quello di una striscia di solaio di larghezza b Esprimendo b e h in metri, assumendo come massa volumica del calcestruzzo il valore per elementi armati (25 kn/m 3 ) e come peso proprio quello del solaio (3,08 kn/m 2 ) risulta: per trave di spina g k0 = (25 b h 3,08 b) = b (25 h 3,08) kn/m per travi di bordo o cordoli g k0 = (25 b h 3,08 b/2) = b (25 h 1,54) kn/m Per solaio di spessore h = 0,23 m porta g k0 = 2,67 b kn/m per trave di spina; g k0 = 4,21 b kn/m per trave di bordo o cordoli Azioni variabili Le azioni variabili dipendono dalla destinazione d uso dell opera. I modelli di tali azioni sono: - carichi uniformemente distribuiti q k - carichi orizzontali lineari H k, applicati alle pareti alla quota di 1,20 m. dal piano di calpestio, oppure ai mancorrenti alla quota del bordo superiore e utilizzati solo per verifiche locali - carichi concentrati Q k applicati su impronte di carico di (50 50) mm [per rimesse e parcheggi su impronte ( ) mm distanti 1,60 m]. I valori dei carichi caratteristici e/o nominali da utilizzare nel progetto, ricavati dalle NT in funzione della categoria dell edifico, sono riportati in tabella 2.2. Cat. Ambiente q k (kn/m 2 ) Q k (kn) H k (kn/m) 1 Locali di abitazione, logge 2,00 2,00 1,00 5 Balconi, ballatoi, scale 4,00 3,00 2, Sottotetti accessibili per sola manutenzione Rimesse e parcheggi per autovetture fino a 30 kn Tabella Carichi di esercizio 1,00 2,00 1,00 2,50 2 x 10,00 1, F. Biasioli

29 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO Azioni variabili ambientali e naturali - neve DM L intensità del carico di neve sulla copertura di un edificio dipende da una serie di fattori legati a variabili topografiche (zona geografica e quota sul livello del mare della costruzione, ventosità del sito, presenza di edifici circostanti) e alla tipologia della copertura (inclinazione delle falde, rugosità della superficie, presenza di fonti di calore sotto la copertura ecc). L azione statica si ottiene moltiplicando il carico di neve q s, considerato agente in proiezione orizzontale della copertura, per l area ove esso è presente. Il carico di neve q S è calcolato a partire da: - il carico di neve q ref (T R ) che dipende da un carico di riferimento caratteristico q sk funzione dei parametri che caratterizzano il sito (zona geografica ed effetti locali legati all ubicazione) modificato per tener conto del periodo di ritorno T R specifico per la costruzione considerata; - i parametri che caratterizzano la tipologia strutturale e il tipo di opera (coefficienti di forma, di esposizione e termico). A) Carico di neve caratteristico q sk e di riferimento q ref (T R ) Il carico di neve caratteristico q sk, è il frattile 99,5% della distribuzione dei massimi annuali dei carichi di neve al suolo. Tale valore ha probabilità di superamento, in qualsiasi anno, pari a p = (1-0,995) = 0,005 dunque periodo di ritorno T R = 1/0,005 = 200 anni. Tutte le località del Nord Italia (esclusa quelle della regione Liguria) a quota minore di 1500 m sono classificate dalle NT nella zona geografica I. Per tale zona è: - q sk = 1,60 kn/m 2 se la località in cui è localizzato il fabbricato è ad altezza a s 200 m s.l.m. 3,0( as-200) - q sk = 1,60 + se 200 < a s 750 m 1000 La località in cui è ubicato l edificio si trova a quota a s = 350 m s.l.m. Si ottiene: 3,0( ) q sk = 1,60 + =. 2,05 kn/m Il carico q sk va modificato in funzione del periodo di ritorno T R del fenomeno, variabile in base alla classe strutturale dell opera,secondo la relazione: q ref (T R ) = α R (T R ) q sk Il coefficiente α R (T R ) dipende dal periodo di ritorno T R che viene assunto pari a 10 volte la vita di progetto convenzionale dell opera T d. Per strutture con vita di progetto T d = 50 anni (classe 1) sono pertanto T R = 10 x 50 = 500 anni e α R (500) = 1,12 (+12%). q ref (500) = α Rn (500) q sk = 1,12 x 2,05 = 2,30 kn/m 2 B) Carico di neve q s Il carico di neve q s ha espressione q s = μ i q ref (T R ) c e c t μ i coefficiente di forma della copertura, varabile per copertura a una falda da 0,80 a 0 in funzione dell inclinazione α sull orizzontale (delle inclinazioni α i delle falde, se diverse, per coperture a due falde) nell ipotesi che non risulti impedito lo scivolamento della neve. La presenza di un parapetto e/o di elementi fermaneve impongono il valore μ i = 0,80. c e coefficiente di esposizione, variabile tra 0,8 e 1,2, che tiene conto che la neve può essere asportata dal vento in misura variabile in funzione delle caratteristiche topografiche del sito ove è localizzato l opera. In zona aperta senza ostacoli all effetto del vento c e = 0,80; in zona in cui non si ha rimozione significativa c e = 1,0; in zona riparata dall effetto del vento (edifici bassi contornati da edifici alti e/o da alberi alti) c e = 1,20. In assenza di indicazioni specifiche si assume c e = 1, F. Biasioli 2-7

30 CAPITOLO 2 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO c t coefficiente termico, che tiene conto della possibilità che la neve venga sciolta per effetto di dispersioni termiche della struttura di copertura. In assenza di dati specifici o in presenza di sottotetto non riscaldato si assume c t = 1,0. L edificio ha copertura a due falde di uguale inclinazione con cornicione ed elementi fermaneve (μ i = 0,80), è in condizioni normali di esposizione e realizzato in zona edificata in cui non si ha rimozione della neve (c e = 1,0) e ha un sottotetto non riscaldato (c t = 1,0). Pertanto: q s = μ i q ref (500) c e c t = 0,80 2,30 1,0 1,0 = 1,84 kn/m Sommario delle azioni (peso proprio, carichi permanenti e variabili) In tabella 2.4 viene presentato un sommario dei carichi agenti sui diversi orizzontamenti. Tutti i valori di tabella sono valori caratteristici considerati in proiezione orizzontale. 1) PIANO TIPO Intensità Totale 1a) Solai e terrazzi Gk0 peso proprio 3,08 Gk1 + Gk3 carichi permanenti + muratura 2,86 5,94 kn/m 2 Qk1 carico variabile 2,00 kn/m 2 1b) Muratura di chiusura esterna Gk2 peso proprio 7,88 kn/m 1c) Logge e sottotetto Gk0 peso proprio 3,08 Gk4 carico permanente 0,93 4,01 kn/m 2 Qk3 carico variabile (logge) 2,00 kn/m 2 1d) Travi Gk0 p.p. trave di spina 2,67 b kn/m Gk0 p.p. travi di bordo / cordoli 4,21 b kn/m 2) SOTTOTETTO Gk0 peso proprio 3,08 Gk4 carico permanente 0,93 4,01 kn/m 2 Qk6 carico variabile 1,00 kn/m 2 3) COPERTURA Gk0 peso proprio 2 3,14 Gk5 carico permanente 2 1,16 4,30 kn/m 2 Qk4 neve 1,84 kn/m 2 4) SCALE Gk6 peso proprio 3,75 Gk7 carico permanente 1,35 5,10 kn/m 2 Qk7 carico folla 4,00 kn/m 2 Tabella Carichi su orizzontamenti 2 Dato che la copertura ha falde inclinate sull orizzontale di α = 10,75, le intensità dei carichi permanenti in proiezione orizzontale si ottengono dividendo per (cos α) i valori calcolati, nell analisi dei carichi, considerando una sezione perpendicolare alla falda. In proiezione orizzontale il carico permanente totale, somma del peso proprio gk0 e del carico permanente portato gk5, ha pertanto intensità pari a: (3,08 + 1,14)/0,982 = 4,30 kn/m F. Biasioli

31 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 2 DM Combinazione delle azioni Le azioni che possono agire su una struttura sono numerose e in generale la presenza di una azione non implica necessariamente la presenza o l esclusione di altre azioni: le azioni variabili, considerate tra loro indipendenti possono manifestarsi anche contemporaneamente, ma la probabilità della presenza contemporanea di azioni variabili aventi tutte intensità significative è ovviamente ridotta. Le azioni devono essere combinate in uno scenario di carico che massimizzi gli effetti sulla struttura. Una azione variabile non deve mai essere presa in conto se, in una data combinazione di carico, ha effetto favorevole, cioè riduce l effetto di carico (sollecitazione, deformazione, tensione) in esame. Nel caso di strutture non precompresse le combinazioni da utilizzare sono: per gli SLU la combinazione FONDAMENTALE E d = E γg,jg k,j+ γq,1q k,1+ γq,iψ0,iqk,i i i > 1 Il simbolo E significa effetto provocato dalla presenza dei carichi G e Q,, il simbolo + significa in combinazione con. Tra i carichi variabili, il carico Qk,1 è quello che massimizza l effetto nella sezione e per la verifica in esame, i coefficienti moltiplicativi delle azioni sono indicati in tabella 2.4. Nel caso di più azioni variabili tutte peggiorative dell effetto di carico in esame, per tener conto della ridotta probabilità che esse siano tutte contemporaneamente presenti con il valore caratteristico si assume il valore caratteristico dell azione che fornisce il contributo più significativo e, per le altre, valori ridotti (valori di combinazione) ottenuti moltiplicando il valore caratteristico di ciascuna per il suo coefficiente di combinazione ψ 0. Effetto γg γq Favorevole Sfavorevole Tabella Coefficienti delle azioni per gli SLE le combinazioni: RARA E d = E G k,j+q k,1+ ψ0,iqk,i i i >1 Il carico variabile che fornisce il contributo più significativo è preso con il valore caratteristico, i carichi che lo accompagnano con i valori di combinazione; QUASI PERMANENTE E d = E G k,j+ ψ2,iqk,i i i Tutti i carichi variabili sono ridotti moltiplicandoli per il rispettivo coefficiente. I valori dei coefficienti ψ 0 e ψ 2 sono riportati in tabella 2.5. Carico ψ 0 ψ 2 Locali di abitazione, logge balconi, ballatoi, scale 0,70 0,30 Neve 0,60 0,10 Tabella 2.5 Coefficienti ψ 2007 F. Biasioli 2-9

32 CAPITOLO 2 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO [PAGINA BIANCA] F. Biasioli

33 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 3 CAPITOLO 3 Predimensionamento e verifiche agli stati limite di esercizio Nel capitolo si esaminano le prescrizioni delle NT relative alla geometria degli elementi strutturali e viene svolto il predimensionamento della geometria di solai e travi e la verifica agli stati limite di esercizio (limitazione delle tensioni, fessurazione e deformazione). La verifica allo stato limite di limitazione delle tensioni è effettuata in modalità semplificata, sulla base dei soli dati relativi all intensità e ai coefficienti di combinazione e di sicurezza dei carichi agenti. La verifica allo stato limite di fessurazione definisce i diametri massimi delle barre di armatura e della loro posizione nelle travi La verifica allo stato limite di deformazione di solai e travi inflessi richiede il predimensionamento allo stato limite ultimo delle loro sezioni (geometria e armatura): essa è pertanto preceduta dall individuazione delle aree di carico di competenza di ciascun elemento strutturale. 3.1 Elementi strutturali EC OR Gli elementi strutturali sono classificati in base alla loro natura e funzione come travi, pilastri, piastre, muri ecc. e in base alle loro caratteristiche geometriche come: monodimensionali, se una dimensione è prevalente rispetto alle altre: gli elementi, individuati dal loro asse geometrico, possono essere analizzati con la teoria delle travi ; bidimensionali, se due dimensioni sono prevalenti rispetto alla terza, quest'ultima pari, in generale, allo spessore: a tali elementi si dà il nome di piastre o lastre; tridimensionali, se le tre dimensioni sono dello stesso ordine di grandezza (elementi tozzi). La struttura d'elevazione dell'edificio è formato da un insieme di elementi monodimensionali orizzontali (solai e travi) e verticali (pilastri e nuclei). I solai in calcestruzzo gettato in opera con alleggerimenti in laterizio sono considerati diaframmi infinitamente rigidi in grado di trasmettere le azioni orizzontali (vento, imperfezioni geometriche, eventuale sisma) agli elementi verticali di controvento (nuclei ascensore, setti). 1 I nuclei ascensore sono considerati come mensole incastrate in fondazione e vincolate ai piani dai solai di piano. In particolare il solaio di piano terreno, collegato ai muri laterali in modo da formare una scatola rigida, impedisce lo spostamento nel piano orizzontale di tutti gli elementi verticali. 1 Secondo la 3274 i solai possono essere considerati diaframmi rigidi se le aperture presenti non ne riducono significativamente la rigidezza; se realizzati in laterocemento, devono avere una soletta di calcestruzzo di spessore minimo 40 mm. Seguendo le indicazioni valide in zona sismica la rigidezza effettiva si può valutare considerando il solaio come una trave alta appoggiata agli elementi verticali, soggetta a un carico distribuito ottenuto dividendo il peso del solaio incrementato del 30% per la lunghezza complessiva di trave F. Biasioli 3-1

34 CAPITOLO 3 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO 3.2 Stato limite di esercizio: limitazione delle tensioni I materiali (calcestruzzo e acciaio) degli elementi strutturali non devono essere soggetti, in esercizio, a tensioni di lavoro troppo elevate. Ne deriverebbero infatti effetti negativi quali: - per tensioni di compressione eccessive del calcestruzzo: fessure longitudinali, microfessurazioni, elevata viscosità; - per tensioni eccessive di trazione dell acciaio: deformazioni anelastiche con fessurazione e deformazioni eccessive delle strutture inflesse. Per le classi di esposizione ambientale e le combinazioni di carico previste devono essere rispettati i valori limite dei rapporti σc/ fck e di σs/ fyk di tabella 3.1. Calcestruzzo σc/ fck Acciaio σs/ fyk Condizioni Classe di ambientali esposizione combinazione di carico quasi permanente rara Ordinarie X0 0,45 Aggressive XC 0,42 0,80 QT2 Tab Rapporti limite di tensione per ambiente, materiale e combinazione di carico Nel caso degli elementi inflessi una stima delle tensioni del calcestruzzo e dell acciaio in esercizio può essere effettuata ancor prima del dimensionamento delle sezioni utilizzando le relazioni approssimate: Q 1+ ψ σ M G 0,68 0,68 f c ES K ck M Q UL K γg + γq GK Q 1+ ψ σ M G 0,93 0,93 f s ES K yk M Q UL K γg + γq GK Tale possibilità è importante perché dal livello delle tensioni dipendono sia alcune scelte di dettaglio (diametro e interferro delle armature) che la verifica allo stato limite di deformazione. Per i coefficienti γ G = 1,40, γ Q = 1,50 e ψ 0 (combinazione rara) e ψ 2 (combinazione quasi permanente) fissati dalle NT per ciascun carico (cap. 2) si ottengono i valori di tabella 3.2. K K [3.1] [3.2] Elemento Gk kn/m 2 Qk kn/m 2 Qk Gk ψ 2 COMBINAZIONE QUASI PERMANENTE ψ 2 Qk Gk σc fck σs fyk COMBINAZIONE RARA ψ 0 ψ 0 Qk Solaio p.tipo 5,94 2,00 0,34 0, , Loggia 4,01 2,00 0,50 0, , Sottotetto 4,01 1,00 0,25 0, , Copertura 4,22 1,64 0,39 0, , Scale 5,10 4,00 2 0,78 0, , Tab. 3.2 Rapporti di tensione Dal confronto delle tabella 3.1 e 3.2 la verifica allo stato limite ultimo delle tensioni sia del calcestruzzo che dell acciaio è per i carichi del caso specifico sempre soddisfatta. In tabella sono evidenziati i casi che forniscono i rapporti più elevati. Gk σs fyk F. Biasioli

35 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO Stati limite di esercizio: fessurazione EC La fessurazione delle strutture inflesse di calcestruzzo armato non precompresse è un fenomeno inevitabile e la presenza delle fessure è alla base dei modelli di calcolo delle strutture in c.a. (sezione parzializzata). Un certo livello di fessurazione è pertanto accettato, ma l ampiezza delle fessure deve essere limitata sia per ragioni estetiche che per ridurre il pericolo di corrosione delle armature. L EC2 considera sono le fessure dovute ad applicazione delle azioni dirette e indirette Per ridurre il pericolo di corrosione occorre tenere conto dell aggressività dell ambiente in cui l opera è collocata: pertanto l EC2 fissa dei valori limite di apertura delle fessure in funzione della classe di esposizione ambientale (Tab. 3.3). Classe di esposizione wk (mm) X0, XC1 0,4 XC2-3-4, XD, XS 0,3 EC EC Tab. 3.3 Fessure - apertura limite I valori di tabella vanno intesi come valori caratteristici e devono essere verificati per la combinazione di carico quasi permanente. Per le classi di esposizione X0 e XC1 l ampiezza delle fessure non influenza la durabilità e il limite indicato serve solo a garantire un aspetto accettabile dell opera. Nelle travi inflesse, per evitare rotture repentine per strappo delle armature alla formazione della prima fessura nel calcestruzzo, deve essere presente un armatura longitudinale minima in quantità tale da rispettare il rapporto geometrico (b t è la larghezza media della zona tesa di calcestruzzo): A ρ [3.3] s l = 0,15% bd t Se nella trave è presente almeno l armatura minima è possibile evitare fessure incontrollate e limitarne l ampiezza a valori minori di w k = 0,3 mm, dunque soddisfare sempre le condizioni di tabella 3.3 per tutte le classi di esposizione, se: - per fessurazione dovuta a deformazioni impresse, si limita il diametro φ max delle barre longitudinali; - per fessurazione dovuta a carichi, si limita il diametro delle barre o, in alternativa, la distanza massima i max tra due barre adiacenti (fig. 3.1 ). I valori φ max e i max variano in funzione del tasso di lavoro σ s delle armature e sono riportati in tabella 3.4. imax σ s (N/mm 2 ) φ max (mm) imax φmax Tab. 3.4 Valori limite per verifica a fessurazione Fig. 3.1 Diametro e interferro massimi Nella combinazione di carico quasi permanente il tasso di lavoro massimo delle armature si verifica nei solai del piano tipo e del sottotetto e vale σ 0,56 f yk (tab. 3.2). Per acciaio B450C la tensione risulta σ 0,56 x 450 = 250 N/mm 2, a cui corrisponde, in tabella 3.4, un diametro massimo delle barre compreso tra 14 e 16 mm e una distanza massima pari a circa 185 mm. Dato che la stima approssimata delle tensioni con le formule [2.2] e [2.3] è a favore di sicurezza e il calcolo esatto fornirebbe valori minori di quelli stimati, nel progetto si adottano ovunque barre di diametro φ 16 mm. Con tale scelta si può considerare verificato lo stato limite di fessurazione. i max (mm) 2007 F. Biasioli 3-3

36 CAPITOLO 3 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO 3.4 Distanze d Sulla base dei valori di copriferro dei diversi elementi strutturali riportati nel cap. 2 si calcolano le distanze d del baricentro delle armature longitudinali dalla superficie esterna di calcestruzzo più vicina ad esse. Per travi e pilastri (fig. 3.2): φl d' = c + φ + 2 nom st d' h d d' φ long /2 φ staffe cnom d' Fig, 3.2 Distanze d travi e pilastri Per solai e solette d' = c nom φl + 2 I solai in laterocemento hanno la sezione di figura L elemento di base del travetto tralicciato prefabbricato, di altezza totale 37 mm, incorpora un fondello di laterizio di spessore 12 mm. Le armature predisposte nel getto in stabilimento distano 12 mm dal bordo superiore del fondello di laterizio dunque, nel caso di barre di diametro 12 mm, hanno baricentro a distanza ( /2) = 30 mm dal bordo inferiore del travetto (fig. 3.3). Se è presente dell armatura integrativa, questa viene appoggiata sul getto di calcestruzzo del travetto (fig. 3.3). Se anche l armatura integrativa ha diametro 12 mm il suo baricentro dista dal bordo inferiore del travetto ( /2) = 43 mm. Per il sistema delle tre barre si può assumere per d la posizione del baricentro complessivo posto a distanza:: d = [ ]/3 = 34 mm Fig, 3.3 Distanze d e d - solai Per le travi e i pilastri si assumono staffe diametro 8 mm e barre longitudinali diametro 16 mm. Sulla base dei valori dei copriferri nominali c nom di tabella (1.3) si ottengono i valori di tabella 3.5. In base a tali valori, in tabella sono anche riportate le altezze utili d, distanza del baricentro dell armatura tesa dal bordo del calcestruzzo compresso. Essendo i solai e le travi in spessore di solaio è: d = h d = 230 d 2 La soletta di completamento è opportuno abbia spessore minimo 50 mm in quanto date le condizioni di scarsa accuratezza del getto delle superfici dei solai lo spessore reale può facilmente risultare minore del valore teorico. Il DM infatti penalizza i getti di strutture armate di spessore minore di 50 mm aumentando il fattore parziale di sicurezza del 25% (DM05, e ). Tale limitazione rende di fatto antieconomica la realizzazione di getti di spessore minore di 50 mm F. Biasioli

37 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 3 Elemento strutturale φ st (mm) φ l (mm) c nom (mm) d (mm) d = h d (mm) 3.5 Aree di carico Pilastri interni Travi interne Solai (armatura inf.) /34 200/196 Solette logge (arm. sup.) Solette logge (arm. inf.) Travi logge (arm. sup.) Travi logge (arm. inf.) Pilastri esterni logge Plinti e fondazioni Tab. 3.5 Valori d, d Per dimensionare travi e pilastri occorre definirne le zone di carico di competenza di ciascun elemento: tutti i carichi (distribuiti, lineari, concentrati) compresi all interno di ciascuna area vanno attribuiti all elemento strutturale presente all interno della stessa. Le zone di competenza possono essere individuate sulla base delle intersezioni di linee che identificano le zone di taglio nullo nei modelli di calcolo (ad es. trave continua) utilizzati per solai e travi. Si considera una singola condizione di carico che vede tutte le campate degli elementi caricate con un carico distribuito costante di valore unitario: note le reazioni vincolari è possibile calcolare l estensione di zona caricata di competenza di ciascun elemento. 3 Data la simmetria dell edificio è sufficiente operare su metà pianta. In figura 3.4 sono riportati, in verticale a sinistra e a destra i modelli di calcolo dei solai, in orizzontale superiormente e inferiormente i modelli di calcolo delle travi. Le luci di calcolo sono calcolate in base alle distanze asse-asse degli elementi portanti: per i solai, si considerano le linee d asse delle travi, per le travi i baricentri dei pilastri. Per le travi che terminano sul vano ascensore, si considera un vincolo di incastro posto in una sezione a distanza d = 20 cm dal filo esterno del vano. I modelli di calcolo utilizzati sono: trave di bordo inferiore allineamento da A1 a A7: trave continua a cinque campate su appoggi con incastro terminale 4 ; travi centrali riferimenti C1 - C2 B4: trave continua a due campate con appoggio iniziale e incastro finale nel vano ascensore riferimenti B4 C6 - C7: trave continua a due campate con incastri di estremità e appoggio centrale. travi di bordo superiori (due travi separate dal vano scale) riferimenti D1 D2 D3: trave continua a due campate su appoggi semplici riferimenti D5 D6 D7 : trave continua a due campate con appoggio iniziale e incastro finale. I punto di taglio nullo sono quotati in figura. Le aree di carico di maggior estensione sono quelle che competono alle travi centrali, ai pilastri C2 e C7 e al vano ascensore B4. 3 Dalla relazione T(z) = R q z = 0 per q = 1 è z = R. 4 Il vincolo di incastro deriva dalla simmetria dell edificio in corrispondenza dell allineamento n F. Biasioli 3-5

38 CAPITOLO 3 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Fig, 3.4 Aree di competenza F. Biasioli

39 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO Predimensionamento degli elementi inflessi EC Solai armatura a flessione Per il calcolo i solai a travetti sono considerati piastre nervate con portanza monodirezionale poiché, per qualsiasi nervatura, il rapporto tra la luce minima l min e lo spessore h risulta l min /h 5. Le luci di calcolo dei solai sono assunte pari alla distanza tra gli assi delle travi. Per la verifica allo stato limite di esercizio di deformazione occorre stimare le quantità di armatura tesa per flessione nelle sezioni di campata. Con riferimento alla carpenteria di piano si considerano: - le nervature S03 - S01 con schema statico di trave continua a due campate di luci teoriche pari a l = (0,55/2 + 5, ,65/2) = 6,525 m non si considerano momenti di semi incastro alle estremità delle nervature; - la nervatura S04 in corrispondenza del vano ascensore, con schema statico di trave semplicemente appoggiata di luce teorica l = (0,55/2 + 4,15 +0,20/2) = 4,525 m li solaio del piano tipo sono soggetti ai carichi permanenti G k = 5,94 kn/m 2 e variabili Q k = 2,0 kn/m 2 per metro di larghezza (due nervature) descritti nella tabella 2.3. Il carico totale di progetto allo SLU vale: G d + Q d = (1,4 5,94 + 1,5 2) = (8,31 + 3,0) = 11,31 kn/m 2. Nervature S03 S01 Considerando le disposizioni del carico variabile Q k che forniscono le sollecitazioni massime in campata e sull appoggio, le reazioni vincolari e i diagrammi di inviluppo sono riportati in figura 3.5. Scala momenti 1:25 - Sollecitazioni SLU M min M max R max R min Scala tagli 1:25 - Sollecitazioni SLU T maxs T maxd Luci gk qk 2 2 Fig, 3.5 S03-S03 - diagrammi di inviluppo delle sollecitazioni L ascissa del momento massimo è a distanza z = 29,88/11,31 = 2,64 m dall appoggio iniziale. In presenza di armatura integrativa l altezza utile vale (tab. 3.5) d = (h-d ) = 196 mm F. Biasioli 3-7

40 CAPITOLO 3 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Per il calcolo dell armatura tesa si assume una coppia resistente calcestruzzo acciaio avente braccio di leva pari alla distanza tra il baricentro delle soletta superiore e il baricentro dell armatura inferiore, dunque con valore z = /2 = 171 mm. Il tasso di lavoro dell armatura allo SLU è pari a f yd = 450/1,15 = 391 N/mm 2 Per le sollecitazioni massime e per metro di larghezza di solaio si ottiene: A s = M Sd / ( z f yd ) = 39, / ( ) = 590 mm 2 /m Si dispongono (2 + 1) φ 12 per nervatura con un area complessiva pari a 2 (3 113) = 678 > 590 mm 2 /m e A s rapporto geometrico ρ= = 100 = 0,34% bd Nervatura S04 La sollecitazione di momento massimo vale M = G d l 2 /8 = 11,31 4,525 2 /8 = 28,95 knm. In assenza di armatura integrativa l altezza utile d risulta d = (h-d ) = (230 30) = 200 mm (fig. 3.3) di conseguenza: A s = M Sd / ( z f yd ) = 28, / ( ) = 370 mm 2 /m Si dispongono 2 φ 12 per nervatura con un area complessiva pari a 2 (2 113) = 452 > 370 mm Travi larghezza e armatura a flessione Secondo l EC2 si definisce trave un elemento monodimensionale a sviluppo orizzontale e prevalente comportamento flessionale, soggetto a carichi normali all asse longitudinale e per il quale sia: l 3h essendo l e h rispettivamente la luce della trave e l altezza della sezione trasversale. Per non essere tenuta in conto nel calcolo, una eventuale forza assiale di progetto N Sd (presente ad es. nelle travi inclinate della copertura), deve avere intensità tale per cui NSd ν= 0,10 A f c cd QT4 ν forza assiale ridotta A c area della sezione trasversale della trave f cd resistenza a compressione cilindrica di progetto del calcestruzzo L altezza utile d, identica per le tutte travi in spessore di solaio, vale d = h d = 194 mm (tab. 3.5). Occorre definire, oltre che l armatura tesa A s, la larghezza b delle travi. Un valore della larghezza minima b min può essere ottenuta fissando un valore limite del momento ridotto μ: M μ= bd f Il valore μ lim è legato al rapporto (x/d) li m allo SLU: se (x/d) lim = 0,450 è μ lim = 0,296 (vedi QT4). Nella carpenteria di piano sono previste travi con larghezza costante sia di bordo che centrali. In base all analisi delle aree di carico del punto 3.5 le travi più caricate risultano: - per la travata centrale, la trave compresa tra i riferimenti C1-C2-B4 (vano ascensore) - per le travate di bordo, la trave compresa tra i riferimenti D1-D2-D3. Travata centrale T09 T10 La trave tra i riferimenti C1 C2 B4 è formata dalle due campate T009-T010. Lo schema statico è di trave appoggiata ai pilastri e incastrata nel muro del vano ascensore. Il vincolo di incastro si assume attivo a partire da una sezione a distanza 20 d (d = altezza utile della trave) dal filo esterno del vano. Le luci di calcolo tra i vincoli teorici sono: Sd 2 cd F. Biasioli

41 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 3 T009 l = 3,60 m T010 l = (4,35 0,10 + 0,20) = 4,25 m. L area di carico (fig. 3.4) ha larghezza.8,13 m. In base all intensità del carico totale di progetto del solaio (tab. 3.2) il carico di progetto per metro lineare di trave, trascurando la differenza tra il peso proprio della trave e il peso proprio del solaio, risulta pari a: 11,31 8,13 = 92 kn/m Considerando le disposizioni del carico variabile Q le sollecitazioni massime in campata e sull appoggio, le reazioni vincolari e i diagrammi di inviluppo sono riportate in figura 3.6. Fig. 3.6 T009 T010 - Diagrammi di inviluppo delle sollecitazioni Il momento massimo in campata vale M = 98 knm. Adottando μ lim = 0,296 si ottiene la larghezza minima: b 6 MSd min 2 2 lim cd = = = 556 mm μ d f 0, ,8 Si assume una trave di larghezza b = 650 mm. Il momento ridotto effettivo diventa μ = 0,296 x 556/650 = 0,253 a cui corrisponde (QT4) il rapporto meccanico di armatura ω o = 0,300 e il rapporto geometrico fcd 15,8 ρ=ω =0, = 1,21% f 391 yd Per la trave T010 la quantità di armatura dunque il rapporto geometrico varia in proporzione alla variazione della sollecitazione. Risulta pertanto ρ = (78/98) x 1,21 = 0,96% 2007 F. Biasioli 3-9

42 CAPITOLO 3 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Travata di bordo T001-T002 Si considera la trave compresa tra i riferimenti D1 D2 D3, formata da due campate T001-T002 aventi luci teoriche (assi pilastri) rispettivamente pari a 3,60 e 4,35 metri. L area di carico (fig. 3.4) ha larghezza.2,74 m. In base all intensità del carico totale di progetto del solaio (tab. 3.2) il carico di progetto per metro lineare di trave, trascurando la differenza tra il peso proprio della trave e il peso proprio del solaio, risulta pari a: 11,31 2,74 = 31 kn/m a cui va sommato il carico sulla trave dovuto alla muratura esterna, con intensità (1,4 7,88) = 11 kn/m. Si ottiene un carico totale pari a ( ) = 42 kn/m. Considerando le disposizioni del carico variabile Q le sollecitazioni massime in campata e sull appoggio, le reazioni vincolari e i diagrammi di inviluppo sono riportate in figura 3.7. Fig, 3.7 T001 T002 - Diagrammi di inviluppo delle sollecitazioni Con le ipotesi precedenti per M Sd = 67 knm b M = = = 381 mm μ d f 0, ,8 6 Sd min 2 2 lim cd Si assume una trave di larghezza b = 550 mm, a cui corrispondono: μ = 0,296 x 381/550 = 0,205 ω o = 0,233 ρ = ω f cd /f yd = (0,233 15,8/391) 100 = 0,94% F. Biasioli

43 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO Verifiche allo stato limite di deformazione QT3 4.2 QT2 tab Solai Per la verifica allo stato limite di esercizio di deformazione di elementi inflessi con luce fino a 7 metri il rapporto l/d tra la luce e l altezza utile (la snellezza ) della trave deve rispettare la relazione 5 : l 310 l l s k = s k d σ d f σ / f d s 0 yk s yk 0 con: s fattore che dipende dalla forma della sezione: s = 1,0 per sezioni rettangolari o a T con rapporto tra le larghezze dell ala compressa b eff e dell anima b w (b eff / b w ) 3; s = 0,80 per sezioni a T con (b eff / b w ) > 3 k coefficiente che tiene in conto dello schema statico del sistema strutturale (tabella 3.6) σ s tensione dell armatura tesa in esercizio (combinazione di carico quasi permanente). (l/d) 0 rapporto luce/altezza utile di base Sistema strutturale Travi semplicemente appoggiate Piastre semplicemente appoggiate mono o bidirezionali (in base alla luce minore) Campata terminale di travi continue o di piastre continue monodirezionali di piastre bidirezionali continue su un lato lungo (in base alla luce minore) Campata intermedia di travi continue Campata intermedia di piastre mono o bidirezionali (in base alla luce minore) Piastre non nervate sorrette da pilastri senza travi (in base alla luce maggiore) Mensole 0,4 Tab Valori k Dalla tabella 3.2 il rapporto massimo σs/ fyk dell armatura nella combinazione quasi permanente, per ψ 2 = 0,30 e Q k /G k = 2,0/5,94 = 0,34, vale : σ s / f yk = 0,54 Per individuare il rapporto (l/d) 0 si può utilizzare o un metodo tabellare (QT2 tab. 3.7) o una delle formule proposte dall EC2. La tabella o la formula da utilizzare dipende dal parametro ρ 0 = 10-3 f ck. Per un calcestruzzo C25/30 con f ck = 0,83 R ck = 0,83 30 = 25 N/mm 2 vale ρ 0 = = 0,50%. k 1,0 1,3 1,5 1,2 [3.4] Il valore (l/d) 0 può essere calcolato con l espressione dell EC2 valida per ρ ρ 0 Per il rapporto geometrico ρ = 0,34% si ottiene: l ρ0 ρ0 =11+1,5 f ck +3,2 fck -1 d 0 ρ ρ 3 [3.5] S03-S01 l 0,50 0,50 = 11+ 1, , = = 27 d 0,34 0, Per i solai è b eff / b w = 50/12 > 3 dunque s = 0,80. 5 Per luci leff maggiori di 7 metri il risultato della [3.1] va moltiplicato per il rapporto 7/ leff 2007 F. Biasioli 3-11

44 CAPITOLO 3 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Per un acciaio B450C con s = 0,80 e k = 1,3 considerando la nervatura di luce maggiore l = 6,525 m la [3.3] diventa: l l = s k = 0,8 1,3 27 = 36 > = 33 d f σ /f d , yk s yk La verifica allo stato limite di esercizio di deformazione è soddisfatta e l altezza del solaio è compatibile con i valori limite di inflessione. Per confronto è sovente utilizzato, anziché il rapporto l/d, il rapporto l/h (h = altezza totale dell elemento inflesso). Risulta: 6 l l d 196 = = 36 = 31 h d h 230 I campi di solaio compresi tra le travi dovrebbero avere, ove possibile, dimensioni multiple delle dimensioni di ogni blocco (25 50 cm). L interasse tra le nervature del solaio deve essere minore di 15 volte lo spessore della soletta: in questo caso l interasse è di 50 cm < (15 5 ) = 75 cm. Per la larghezza minima delle nervature b w deve risultare b w 1/8 dell interasse tra i travetti, e comunque non inferiore a 80 mm: nel caso in esame con i = 500 mm è b w = 120 mm > 500/8. Per irrigidire il solaio e ripartire il peso delle murature delle logge vengono realizzate due nervature trasversali, di larghezza b w = 22,5 e 20 cm. QT Travi Per la verifica allo stato limite di esercizio di deformazione vale la relazione [3.4] e il metodo di progetto/verifica è simile a quello adottato per i solai. Nel caso delle travi peraltro il rapporto geometrico delle armature tese supera sempre il valore di riferimento ρ 0 = 0,50% (le travi inflesse correttamente dimensionate sono armate con rapporti geometrici dell armatura tesa ρ nell intorno dell 1%). Se ρ 0 > 0,50% si può tener conto, nel calcolo della snellezza (l/d) 0, anche dell eventuale contributo positivo di una armatura A s posta nella zona compressa della sezione, identificata dal rapporto A s /A s. Per un calcestruzzo C25/30 valgono i valori di snellezza di base (l/d) 0 di tabella 3.7. C25/30 ρ 0 = 0,50%5 ρ As'/ As (%) Tab. 3.7 Rapporto (l/d) 0 per travi - calcestruzzo C25/30 Per ρ > ρ 0 la relazione da cui sono ricavati i valori di tabella vale: l ρ 1 ρ' d ρ - ρ' 12 ρ 0 =11+1,5 f ck + fck 0 0 [3.6] 6 Il valore (l/h) = 31 paragonato al valore 25 indicato per i solai nel DM 9/1/96 può sembrare elevato, ma occorre considerare che le formulazioni del DM facevano implicito riferimento a classi di resistenza del calcestruzzo minori di quella adottata nel caso in esame. Con una classe C20/25 (Rck = 25N/mm 2 ) risulterebbe (l/d)0 = 23, l/d = 31 e l/h = 26, cioè un valore allineato a quello del DM F. Biasioli

45 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 3 I fattori k che tengono conto delle condizioni di vincolo sono sempre quelli di tabella 3.6. Anche in questo caso per travi con sezione a T i valori (l/d) 0 di tabella devono essere moltiplicati per 0,8, e nel caso di luci l eff > 7 m, per il rapporto 7/l eff. Travata centrale T09 T10 La trave T09 ha rapporto ρ = 1,21%. Per tale valore la tabella 3.7 fornisce,per A s = 0, rapporti (l/d) 0 vicini a 14. I valori esatti possono essere calcolati con la formula [3.6]. Per la trave T010 è ρ = 0,96% Trascurando il contributo favorevole delle barre reggistaffe compresse e tenendo conto dei due diversi schemi di vincolo per s = 1 (sezione rettangolare) k = 1,3 (trave T009) e k = 1,5 (trave T010) si ottiene T009 T010 l 0,50 l = 11+ 1,5 25 = = 14 = 1,3 14 = 23 > = 19 d 1,21 d 450 0, l 0,50 l = 11+ 1,5 25 = = 15 = 1,5 15 = 29 > = 22 d 0,96 d 450 0, La verifica allo stato limite di deformazione delle travi centrali è soddisfatta. Travata di bordo T001-T002 Per il valore ρ = 0,94% la tabella 3.8 fornisce un rapporto (l/d) 0 pari a 15 circa. Il valore esatto può essere calcolato con la [3.6] tenendo conto dello schema di vincolo per cui è k = 1,3. l 0,50 l T002 = 11+ 1,5 25 = = 15 =1,3 15 = 25 > = 22 d 0 0,94 d 450 0, La verifica allo stato limite di deformazione della trave di bordo è soddisfatta. 3.8 Geometria del solaio La sezione corrente del solaio del piano tipo con le dimensioni delle travi è riportata in figura 3.8. quote in [cm] Fig. 3.8 Solaio tipo sezione 2007 F. Biasioli 3-13

46 CAPITOLO 3 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO [PAGINA BIANCA] F. Biasioli

47 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 4 CAPITOLO 4 Predimensionamento degli elementi verticali Nel capitolo si calcolano, in base alle aree di competenza definite nel capitolo 3, i carichi verticali totali sugli elementi verticali Il predimensionamento viene effettuato sulla base di criteri che tendono ad evitare problemi di instabilità o dei singoli pilastri o del sistema di controvento. 4.1 Carichi totali verticali SLE combinazione quasi permanente Il carico totale agente varia in funzione della verifica da effettuare. Per verifiche allo SLE di deformazione e allo SLU per il calcolo delle masse inerziali per le verifiche sismiche si considera la combinazione di carico quasi permanente, ottenuta applicando a ciascun carico variabile Q k il rispettivo coefficiente ψ 2. I carichi di progetto da prendere in considerazione sono pertanto: Solaio piano tipo (carico distribuito) ,3 2,0 = 6,54 kn/m 2 Scala e pianerottoli (carico distribuito) 5,10 + 0,3 4,0 = 6,30 kn/m 2 Solaio di sottotetto (carico distribuito) 4,01 + 0,3 1,0 = 4,31 kn/m 2 Solaio di copertura (carico distribuito 4,30 + 0,1 1,84 = 4,48 kn/m 2 Murature di tamponamento (carico lineare) 7,88 kn/m Incremento di carico per trave di spina b = 0,65 m 2,67 0,65 = 1,74 kn/m Incremento di carico per trave di bordo b = 0,55 m 4,21 0,55 = 2,32 kn/m SLU combinazione fondamentale I carichi di progetto allo stato limite ultimo da prendere in considerazione sono Solaio piano tipo (carico distribuito) 1,40 5,94 + 1,50 2,0 = 11,32 kn/m 2 Scala e pianerottoli (carico distribuito) 1,40 5,10 + 1,50 4,0 =13,14 kn/m 2 Solaio di sottotetto (carico distribuito) 1,40 4,01 + 1,50 1,0 = 7,11 kn/m 2 Solaio di copertura (carico distribuito 1,40 4,30 + 1,50 1,84 = 8,77 kn/m 2 Murature di tamponamento (carico lineare) 1,40 7,88 = 11,03 kn/m Incremento di carico per trave di spina b = 0,65 m 1,40 2,67 0,65 = 2,43 kn/m Incremento di carico per trave di bordo b = 0,55 m 1,40 4,21 0,55 = 3,24 kn/m Carichi sugli elementi verticali - SLE e SLU Le tabelle 4-1 e 4.2 riportano nell ordine, per ciascun elemento verticale: - la sigla di ciascun elemento, definita in base al sistema di riferimento; - la tipologia (R = rettangolare o quadrato, C = circolare, ASC = vano ascensore); - le dimensioni Δx e Δy nelle direzioni globali x,y di ciascuna area di competenza e l area A; - per tutti i piani (terra, tipo, sottotetto e copertura): i carichi unitari e totali dovuti al solaio, alle travi, alle murature e alle scale e le estensioni dei carichi lineare - i carichi totali per elemento e complessivo su ciascun pilastro (escluso il peso proprio) di ciascun piano F. Biasioli 4-1

48 CAPITOLO 4 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO F. Biasioli

49 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 4 Tab. 4.1 Carichi su pilastri e totali - SLE 2007 F. Biasioli 4-3

50 CAPITOLO 4 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO F. Biasioli

51 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 4 Tab. 4.2 Carichi su pilastri e totali - SLU 2007 F. Biasioli 4-5

52 CAPITOLO 4 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO 4.2 Predimensionamento degli elementi verticali - pilastri Un pilastro è un elemento monodimensionale verticale caricato da una forza assiale di progetto N Sd tale che: ν N Sd = > 0,10 Acfcd Per non essere considerato una parete i rapporti geometrici tra le dimensioni devono risultare (fig, 3.9) 1 : h/b 4 l/h 3 Predimensionamento Fig. 4.1 Pilastro La geometria della sezione trasversale di un pilastro può essere definita in modo da non dover prendere in conto gli effetti del secondo ordine, che dipendono dalla snellezza: l 0 λ = [4.1] i min con l 0 lunghezza di libera inflessione (distanza tra i punti di flesso della linea elastica) i min raggio d inerzia minimo della sezione di calcestruzzo non fessurata: per sezioni rettangolari di lato minimo h è i min = b/ 12 ; per sezioni circolari di diametro D i min = D/4 EC Nel caso di un pilastro isolato si possano trascurare gli effetti del secondo ordine se risulta λ λ lim. La snellezza limite vale 20 A B C λ lim = [4.2] ν Nella formula ν è la forza assiale ridotta con espressione sopra indicata. I coefficienti ABC tengono conto: A = 1/(1 +0,2ϕ ef ) degli effetti viscosi, espressi mediante il coefficiente efficace di viscosità ϕ ef Asfyd B = 1 + 2ω della quantità di armatura totale A s espressa come rapporto meccanico ω = ; A c f cd C = 1,7 - r m dell eccentricità delle forze assiali alle estremità del pilastro, espressa come rapporto M01 tra i momenti del primo ordine alle estremità r m = M con M02 M Secondo l EC2 in prima approssimazione si possono assumere A = 0,7 (ϕ ef = 2,14) e B = 1,1 (cioè ω = 0,105). Il coefficiente C dipende dalla forma del diagramma del momento flettente che sollecita il pilastro: momenti flettenti di ugual segno generano una deformata del pilastro avente lunghezza libera di inflessione (distanza tra le sezioni di momento nullo) maggiore di quella dovuta a momenti flettenti di segno opposto: in quest ultimo caso infatti la sezione di momento nullo suddivide il pilastro in due parti che presentano curvature opposte e a cui corrispondono lunghezze di libera inflessione ridotte. (fig. 4.2) Fig, 4.2 Lunghezze di libera inflessione e diagrammi di momento 1 In zona sismica deve essere bmin non minore di 0,1 volte la distanza massima tra il punto di momento nullo gli estremi del pilastro F. Biasioli

53 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 4 Se, come nel caso in esame, l edificio è controventato i momenti alle estremità dei pilastri sono dovuti ai carichi verticali ed hanno segno opposto: si può assumere M 02 = - M 01 dunque r m = - 1 e C = 2,7. Con i valori suggeriti dall EC2 nel caso di pilastri per edifici la [4.2] risulta pertanto 20 A B C 20 0,7 1,1 2,7 41,6 λlim = = = [4.3] ν ν ν Per una forza assiale centrata nel baricentro della sezione la relazione tra la forza assiale ridotta ν e il rapporto geometrico di armatura ω vale: ν = 1 + ω Imponendo ω = 0,105 e sostituendo nella [4.3] si ottengono due CRITERI DI PREDIMENSIONAMENTO ν = 1,105 λ lim = 40 [4.4] in base ai quali è possibile definire la geometria (area e dimensione minima) dei pilastri e setti. Per dimensionare le sezioni la sequenza operativa è la seguente: 1) si calcolano le forze assiali di progetto N Sd allo SLU che sollecitano i pilastri in fondazione (per i pilastri perimetrali, le forze assiali allo spiccato del muro del piano interrato); 2) si definiscono gli eventuali vincoli geometrici delle dimensioni legati al progetto architettonico; 3) dalla [4.4] per ν = 1,105 si ottiene l area A c ; 4) assumendo, a favore di sicurezza come lunghezza di libera inflessione l 0 la distanza di interpiano; dalla [4.1] per λ = λ lim = 40 si calcolano il raggio minimo di inerzia ρ e, in base alla forma della sezione, la dimensione minima della sezione 5) si fissano le dimensioni finali; 6) in base alla lunghezza totale di ciascun pilastro, valutata dallo spiccato di fondazione all intradosso della copertura (dallo spiccato dei muri per i pilastri perimetrali) si calcola il peso proprio che, moltiplicato per γ G = 1,40 e sommato alla forza assiale allo SLU N Sd dovuta al carico dei solai, fornisce la forza assiale totale N Sd in fondazione. QT4 Nel caso in esame: - la lunghezza di libera inflessione è pari a l 0 = ( = 303 cm) - i pilastri circolari sono richiesti avere diametro massimo pari a 30 cm - i pilastri delle travate di bordo devono essere contenuti nella muratura esterna dunque avere dimensione trasversale massima b = 25 cm - i pilastri centrali devo avere dimensione trasversale massima b = 30 cm. - l altezza media dell edificio è h = 20,83 m I valori ottenuti dal predimensionamento sono da considerare come valori di prima approssimazione e possono non essere rispettati, tenendo presente che - se l area totale di un pilastro risulta minore dell area minima derivata dal criterio di predimensionamento, lo stesso andrà armato con un rapporto di armatura maggiore di ω = 0,105 - se la dimensione minima di un pilastro è minore della dimensione minima del predimensionamento, risulterà λ > λ lim e il pilastro va verificato tenendo conto degli effetti del secondo ordine. 4.3 Predimensionamento degli elementi verticali - setti Se i pilastri sono elementi adibiti essenzialmente a portare carichi verticali, i setti sono chiamati ad assorbite i carichi derivanti dalle azioni orizzontali: avendo schema di mensola incastrata al piede, sono quindi sollecitati da momenti flettenti elevati. Di tale loro caratteristica si tiene conto nel criterio di predimensionamento F. Biasioli 4-7

54 CAPITOLO 4 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO OR In un diagramma di interazione il momento flettente ridotto (adimensionale) μ risulta massimo se la forza assiale ridotta vale ν 0,40. Per identificare le pareti strutturali l ordinanza 3274 assume proprio la condizione: ν 0,40 Le condizioni ν = 0,40 λ lim = 40 [4.5] forniscono il criterio di predimensionamento dei setti. Il procedimento è lo stesso utilizzato per i pilastri. Si considerano setti gli elementi D3, D5, D9, D11. Adottando i criteri di predimensionamento per pilastri e setti, si ottengono i valori di tabella 4.3 In tabella la tipologia di ciascun elemento è indicata con i simboli R = Rettangolare; Q = Quadrato; C = Circolare; il simbolo ASC indica i vani ascensore, S i setti. Tab. 4.3 Carichi su pilastri e predimensionamento In base ai valori di tabella i pilastri C2 e C12 non rispettano la prescrizione di progetto e devono pertanto essere verificati anche per gli effetti del secondo ordine F. Biasioli

55 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 4 EC Predimensionamento degli elementi verticali vani ascensore Le strutture degli edifici possono risultare controventate o non controventate, a seconda che nel complesso strutturale siano o non siano previsti degli specifici elementi strutturali a cui è affidato l assorbimento delle forze orizzontali (vento, sisma, imperfezioni geometriche). I telai delle strutture, sia controventate che non controventate, possono essere a nodi fissi o a nodi mobili. Un telaio si definisce a nodi fissi se, nel calcolo dei pilastri, è lecito trascurare gli effetti del II ordine dovuti a non linearità geometrica (eccessiva deformabilità dell elemento) o meccanica (comportamento non lineare dei materiali); in caso contrario è classificata a nodi mobili. Ove possibile, è opportuno realizzare strutture a telaio a nodi fissi associandole ad adeguati elementi di controvento, così da contenere le dimensioni dei pilastri dei telai e disporre di due distinte strutture di trasferimento dei carichi: i telai per i carichi verticali, i controventi per i carichi orizzontali. In un edificio in cui gli elementi di controvento sono distribuiti in modo sostanzialmente simmetrico, in modo da evitare effetti torsionali significativi sotto l azione delle forze orizzontali, i telai controventati possono essere considerati a nodi fissi se la rigidezza flessionale (E cd I c /L) dei controventi soddisfa per entrambe le direzioni principali (X, Y) la condizione ns EcdIc V,Ed 1 [4.6] 2 s F = k n+1,6 L n s numero di piani dell'edificio L altezza totale (m) dell edificio misurata dal vincolo flessionale degli elementi di controvento, assunto, per il caso in esame, in corrispondenza dell impalcato del piano terreno F V,Ed carico verticale (kn) totale allo SLU agente sugli elementi controventati e di controvento; nella stima di F V,Ed i carichi vanno assunti fissi e senza riduzione ai piani E cd valore di progetto del modulo elastico (kn/m 2 ) del calcestruzzo: E = Ecm 2 1,20 cd I c k 1 momento d inerzia della sezione (m 4 ) degli elementi di controvento. coefficiente pari a 0,31 se allo stato limite ultimo gli elementi di controvento si assume che siano fessurati, a 0,62 se si assume che siano non fessurati. La formula [4.6] permette il calcolo del valore minimo dell inerzia flessionale (ΣI c ) complessiva degli elementi di controvento realizzati con un calcestruzzo di modulo elastico E cd. Si ottiene: 2 F V,Ed L 1,6 Σ I= c 1 + k 1 Ecd ns Per l edificio in esame sono: numero di piani (incluso copertura) n s = 7 altezza dell'edificio (colmo copertura) L = 20,83 m peso totale della struttura in esercizio - primo solaio (tab. 4.2) F V,Ed = kn modulo di elasticità calcestruzzo R ck 35 (E cm = kn/m 2 ) E cd = kn/m 2 Nell ipotesi di sezione non fessurata (k 1 = 0,62) si ottiene 2 2 F V,Ed L 1, ,83 1,6 4 c 6 k 1 Ecd ns 0, I = 1+ = 1+ = 1,52 m Per la verifica si considerano, a favore di sicurezza, come strutture di controvento i soli vani ascensore, di dimensioni esterne complessive (220x200) cm e con muri di spessore 20 cm. 2 Il valore suggerito dall Eurocodice è γce = 1, F. Biasioli 4-9

56 CAPITOLO 4 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Le caratteristiche geometriche della sezione a C sono calcolate suddividendo la sezione in elementi rettangolari (fig. 4.4). Da tale suddivisione si ottengono le caratteristiche in tabella 4.4. Elemento bx by xi yi A Sxi Syi [mm] [mm] [mm] [mm] [mm 2 ] [mm 3 ] [mm 3 ] 1a b a b Totale Tab. 4.4 Vani ascensore caratteristiche geometriche Le coordinate del baricentro rispetto al sistema di riferimento xy risultano: Sy Sx x G = = = 1000mm y G = = = 966mm A A I momenti di inerzi rispetto ai due assi passanti x y per il baricentro sono calcolati in tabella 4.5. Elemento Fig. 4.3 Suddivisione bx by xi yi Ixg Ay 2 Ixtot Iyg Ax 2 Ixtot [mm] [mm] [mm] [mm] [mm 4 ] [mm 4 ] [mm 4 ] [mm 4 ] [mm 4 ] [mm 4 ] 1a E E E E E+10 1b E E E E E+10 2a E E E E+11 2b E E E E E E E E E+11 Tab. 4.5 Vani ascensore caratteristiche meccaniche 8.40E+11 Con riferimento alla formula in appendice al capitolo 5. le coordinate del centro di taglio rispetto al sistema di riferimento indicato in figura valgono: x CT = 1000 mm per simmetria della sezione rispetto all asse y y = = 887 mm CT b Dalla tabella 4.5 risulta Elemento I x0 [m 4 ] I y0 [m 4 ] B4 0,79 0,84 B10 0,79 0,84 Totale 1,58 1,68 Tab. 4.6 Nuclei - momenti di inerzia Poiché I min = 1,58 > 1,52 m 4 la verifica è soddisfatta: il complesso di telai della struttura può essere considerato a nodi fissi e non sono rilevanti gli effetti del II ordine F. Biasioli

57 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO Calcestruzzo volumi di getto teorici e effettivi Una stima della quantità di calcestruzzo utilizzata nei getti si ottiene considerando per ogni impalcato l incidenza % del peso del calcestruzzo dei diversi elementi strutturali sul carico totale di solaio allo SLU (tab. 4.7). Tale valore, moltiplicato per il carico totale di piano allo SLU di tabella 4.2, fornisce il peso del calcestruzzo per ciascun solaio, a cui va aggiunto il contributo dovuto all incremento di peso delle travi. Carichi Cls SLU Incidenza [kn/m 2 ] [kn/m 2 ] [%] Piano Tipo 2, Sottotetto Copertura Scale Tab. 4.7 Stima della quantità di calcestruzzo Dalla tab. 4.2: {( ) 20, , ,6 + ( ) 28,5} /100 = 8629 kn L incremento totale di peso dovuto alle travi è ( )/1,4 = 1921 kn Il peso totale di calcestruzzo per il getto degli impalcati è pertanto pari a ( ) = kn, a cui corrisponde un volume teorico di calcestruzzo pari a (1550/25) = 422 m 3. Peso e il volume di calcestruzzo di pilastri, setti e nuclei (tab. 4.3) risultano = 3207 kn 3207/25= 128 m 3 Non sono state stimate le quantità di calcestruzzo destinate alle opere di fondazione e ai muri controterra che formano la scatola di chiusura del piano interrato. I volumi sopra indicati sono teorici e devono essere incrementati per tener conto delle tolleranze dovute a imperfezione dei casseri, dimensioni geometriche delle travi diverse da quelle teoriche, calcestruzzo che finisce negli elementi di alleggerimento in laterizio, calcestruzzo richiesto per l avviamento della pompa o che rimane nelle tubazioni della medesima ecc. Una buona stima dei volumi effettivi si ottiene aumentando le quantità teoriche di almeno il 10%. Il volume di calcestruzzo degli elementi verticali (pilastri, setti e vani ascensore) a cui è affidata la sicurezza globale dell edificio è particolarmente contenuto e giustifica la scelta di una classe di resistenza diversificata per tali elementi F. Biasioli 4-11

58 CAPITOLO 4 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO [PAGINA BIANCA] F. Biasioli

59 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 5 CAPITOLO 5 La ripartizione delle azioni orizzontali 5.1 Rigidezze e baricentro delle rigidezze Per il calcolo dell inerzia degli elementi di controvento si è fatta l ipotesi (cap. 4.4) che gli stessi abbiano disposizione planimetrica tale da minimizzare gli effetti torsionali delle forze orizzontali agenti sull edificio. Perché il sistema di controventi risulti efficace le strutture di controvento, oltre che presenti in quantità adeguata, devono dunque essere disposte planimetricamente in modo adeguato ed occorre valutare l efficacia della loro disposizione. Si adotta un modello semplificato che considera solo il primo solaio dell edificio che può presentare spostamenti e rotazioni per effetto di un insieme di forze orizzontali applicate al complesso strutturale. Tale solaio, assunto come infinitamente rigido nel suo piano dunque indeformabile, collega le estremità superiori degli elementi verticali (pilastri, setti e nuclei - fig. 5.1) assunti come incastrati al piede.. Si assume che tutti gli elementi verticali abbiano lati paralleli ai lati principali del solaio e siano indeformabili assialmente: il piano deformato dunque non si sposta in direzione verticale. Fig Modello di solaio La parte di edificio soprastante il solaio è trattata come un unico corpo rigido che si muove seguendo il movimento del primo solaio (fig. 5.2). A causa di tale approssimazione il modello fornisce indicazioni sufficientemente precise solo per edifici regolari in pianta e in altezza 1 ; nel caso di edifici alti o privi di regolarità strutturale i risultati del modello possono essere fortemente approssimati ma il modello è in grado di evidenziare grossolane criticità nella disposizione dei controventi. Fig Modello di edificio 1 La regolarità strutturale è definita nel paragrafo F. Biasioli 5-1

60 CAPITOLO 5 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Un solaio infinitamente rigido soggetto a un sistema di forze orizzontali agenti nel suo piano e comunque orientate ruota e si sposta. Con riferimento a un sistema di riferimento (x,y) con origine in un punto O qualsiasi, interno o esterno al solaio, gli spostamenti nelle direzioni x e y e la rotazione del solaio attorno all origine O sono individuati dallle tre grandezze: u 0, v 0 e θ, rispettivamente gli spostamenti dell origine O nelle direzioni x e y e la rotazione del piano rispetto all origine del sistema di reiferimento (fig. 5.3). Fig. 5.3 Componenti dello spostamento Gli spostamenti del baricentro (per sezioni con due assi di simmetria) o del centro di taglio (per i nuclei) dell i-esimo elemento verticale di coordinate x i e y i valgono: u i = u 0 + Δx i = u 0 - θ y i v i = v 0 +Δy i = v 0 + θ x i e fanno nascere all estremità dell elemento le forze di reazione F xi e F Yi, legate alle rigidezze a flessione e taglio dell elemento secondo le direzioni x,y: F xi = k xi u i = k xi (u 0 - θ y i ) F yi = k yi v i = k yi (v 0 + θ x i ) [5.1a] La rotazione θ fa nascere nell elemento i-esimo il momento torcente di reazione M Ti legato alla rigidezza torsionale k θ,i dell elemento dalla relazione M Ti = k θi θ [5.1.b] Fig Risultante del sistema di forze Se X, Y e M sono le componenti della risultante F del sistema d forze e il momento risultante del sistema rispetto all origine O, il sistema delle forze reattive interne (F xi F yi M Ti ), di cui una terna di componenti per un generico elemento i-esimo è rappresentato in figura 5.4, equilibra il sistema di forze esterne (X, Y, M). Con riferimento a un sistema di coordinate ortogonali x,y con origine posta nel baricentro del pilastro A1 (fig. 1.2) nella tabella 5.1 sono riportati, per ciascun elemento: - il tipo e il riferimento - le coordinate x,y del baricentro o del centro di taglio - le dimensioni in pianta della sezione trasversale, l altezza, l area e i momenti di inerzia rispetto a due assi locali passanti per il baricentro o il centro di taglio F. Biasioli

61 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 5 - il fattore di taglio t della sezione (t = 6/5 per sezioni rettangolari, t = 10/9 per sezione circolare, t =2 per i vani ascensore) 2 - il coefficiente di deformazione α (vedi appendice) - il coefficiente di forma per torsione β (vedi appendice) - le rigidezze a flessione e taglio k xi e k yi dei singoli elementi e la loro incidenza % sul totale - i momenti statici delle rigidezze calcolati rispetto agli assi di riferimento x,y. Tab. 5.1 Rigidezze a flessione e taglio Dai valori di tabella si nota come i nuclei ascensore forniscano il (44,8+44,8) = 89,6% della rigidezza complessiva in direzione x e il (41+42) = 82% della rigidezza complessiva in direzione y. Tali elementi pertanto assorbirebbero la maggior parte delle forze orizzontali, in assenza di effetti torsionali significativi. Le coordinate del baricentro K delle rigidezze rispetto al sistema globale x y avente origine nel baricentro del pilastro A1 risultano: S k x k y x k = = 10 = 17,80 m y = = = 10 = 3,82 m K k K k ky y,i i Skx x,i i = 3 k 3 y y,i x x,i 2 Per i nuclei il fattore t ha valore variabile tra 2 e F. Biasioli 5-3

62 CAPITOLO 5 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Con riferimento a un sistema (x, y) la cui origine è nel baricentro K delle rigidezze in tabella 5.2 sono riportate per ciascun elemento: - le coordinate x i,y i del baricentro o del centro di taglio, - la rigidezza torsionale propria k t,i (vedi appendice) - i momenti del secondo ordine delle rigidezze k x e k y - la rigidezza torsionale specifica k T,i, somma della rigidezza propria k t,i e delle rigidezze torsionali di posizione k x y i 2,e k y x i2, nelle quali le distanze calcolate rispetto al baricentro delle rigidezze K - l incidenza % della rigidezza torsionale dell elemento sulla rigidezza torsionale totale. Tab. 5.2 Rigidezze torsionali L esame dei valori di tabella evidenzia che i vani ascensore forniscono, oltre che la massima parte della rigidezza flessionale, anche il (37,1 + 37,1)= 74,2% della rigidezza torsionale totale K T. Altri elementi che hanno rigidezza torsionale significativa sono i pilastri (riferimenti C1 e C13) agli angoli del fabbricato e i setti (riferimenti D3 e D11) in corrispondenza del vano scale, che complessivamente forniscono il 13,2% della rigidezza torsionale globale. Per tali elementi il valore della rigidezza torsionale di posizione è dello stesso ordine di grandezza della rigidezza propria F. Biasioli

63 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO Classificazione della struttura, raggi ed ellisse delle rigidezze La struttura di un edificio può essere classificata come regolare o non regolare. Una struttura regolare contrasta con efficacia l azione delle forze orizzontali, presenta minor aleatorietà di comportamento e può essere studiata con modelli di calcolo semplificati. La verifica della regolarità strutturale (obbligatoria in zona sismica) permette di convalidare le ipotesi semplificative assunte per la modellazione della struttura (controventi) e i procedimenti d analisi. Il DM non descrive come verificare la regolarità strutturale e richiama nel merito la letteratura tecnica consolidata: nel seguito si fa riferimento alle prescrizioni dell Ordinanza 3274 e dell EC8. Per la valutazione della regolarità le indicazioni dell EC8 sono più complete di quelle della 3274 perché, oltre alle prescrizioni relative alla configurazione geometrica in verticale, la norma fornisce indicazioni in merito alla configurazione planimetrica degli elementi strutturali. La tabella 5.3 fornisce il sommario delle rigidezze. Per l edificio in esame: il complesso strutturale è organizzato secondo un reticolo ortogonale di telai sostanzialmente simmetrico rispetto ai due assi principali del fabbricato, che individua due direzioni principali con rigidezze flessionali totali dello stesso ordine di grandezza (tab. 5.3); è valida l ipotesi di solaio infinitamente rigido perchè la rigidezza del solaio, valutata nel proprio, piano è significativamente maggiore di quella degli elementi strutturali verticali. rigidezze totali u.d.m. pilastri controv. totale controv totale valori di confronto per sistema a telaio-pareti a pareti KX kn/m % > 50% > 65% KY kn/m % > 50% > 65% KT knm/rad % Tab. 5.3 Sommario rigidezze Dai vqlori di tabella secondo l EC8 il complesso strutturale può essere classificato come controventato - poiché la maggioranza delle azioni orizzontali è assorbita dalla struttura di controvento (setti e vani ascensore) - e come sistema misto telaio pareti, in quanto le azioni orizzontali risultano assorbite in quantità maggiore del 50% dagli elementi di controvento. Per valutare la disposizione planimetrica degli elementi resistenti, si valutano i raggi torsionali ( raggi di rigidezza ) del sistema di elementi verticali e li si confronta con le eccentricità delle forze agenti calcolate rispetto al baricentro delle rigidezze K. I raggi di rigidezza sono i semiassi dell ellisse delle rigidezze, la figura geometrica con centro nel baricentro delle rigidezze K che evidenzia come sono distribuite le rigidezze intorno al baricentro. 3 I raggi di rigidezza nelle direzioni x,y hanno espressione: K T r X= r Y= Kx K K T Y [5.2] Dai valori di tabella 5.3 si ottiene: r X= = 9,70 m r Y= = 9,42 m [5.3] 3 I raggi torsionali hanno significato affine a quello dei raggi giratori di un sistema di forze o ai raggi di inerzia polari delle sezioni, entrambi calcolati come radice quadrata del quoziente tra il momento di secondo ordine delle forze o delle aree elementari e la risultante delle forze o delle aree elementari F. Biasioli 5-5

64 CAPITOLO 5 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO I due raggi hanno valore molto simile tra loro: l ellisse delle rigidezze ha pertanto forma di cerchio, evidenziando una struttura con elementi verticali disposti planimetricamente in modo da renderla sostanzialmente indifferente alla direzione delle forze sollecitanti di piano (fig. 4.2): le superfici e la disposizione planimetrica degli elementi verticali sono pertanto corrette, ma occorre ancora valutare se il sistema degli elementi di controvento è in grado di limitare gli effetti torsionali. Secondo l EC8 la disposizione planimetrica degli elementi resistenti risulta accettabile e si può assumere che l edificio non subisca effetti torsionali significativi per effetto delle forze orizzontali se i rapporti tra le eccentricità e 0X e 0y misurate tra il centro delle rigidezze e le rette di azione delle forze esterne e i rispettivi raggi di rigidezza soddisfano le condizioni. 4 e 0X / r x 0,30 e 0y / r y 0,30 [5.4] In pratica il baricentro delle forze esterne deve risultare all interno di un nocciolo, una zona di forma affine alla forma dell ellisse posta nell intorno del baricentro delle rigidezze ed estesa al 9% dell area dell ellisse. 5 Per tracciare l ellisse delle rigidezze si può utilizzare un semplice programma di disegno/calcolo. 6 Nel caso specifico si ottiene l ellisse di figura 5.2, di forma quasi circolare. In base alla [5.4] la retta di azione delle forze orizzontali deve essere compresa all interno della zona evidenziata di figura. Fig, 5.5 Raggi, ellisse delle rigidezze e nocciolo 4 Occorre inoltre considerare che la rigidezza torsionale KT è stata calcolata, a favore di sicurezza, assumendo i nuclei come costituiti da pareti isolate dunque più deformabili di quanto non siano nella realtà: un stima più accurata aumenterebbe il valore di KT e i raggi di rigidezza in maniera significativa. 5 L area A di una ellisse di semiassi a,b vale A = π a b 6 Il programma Ellisse delle rigidezze sviluppato nell ambito del progetto Auto-CA può essere scaricato liberamente dal sito F. Biasioli

65 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 5 APPENDICE: Flessibilità, rigidezze, baricentro ed ellisse delle rigidezze DEFINIZIONI In meccanica le rigidezza assiale K z, flessionale K ϕ e torsionale K T di una molla sono rispettivamente la forza F z la coppia M x e la coppia M z da applicare alle estremità della molla per ottenere, rispettivamente un loro spostamento relativo δ, o una loro rotazione relativa ϕ oppure θ di valore unitario. L inverso di ciascuna rigidezza è una flessibilità, definita come lo spostamento o la rotazione relativa provocate da una forza o una coppia di valore unitario. Fz 1 δ F = k z δ RIGIDEZZA ASSIALE k z = FLESSIBILITA' ASSIALE f z = = δ kz Fz Mx 1 ϕ M x = k ϕ ϕ RIGIDEZZA FLESSIONALE k ϕ = FLESSIBILITA' FLESSIONALE f ϕ = = ϕ kϕ Mx Mz 1 θ M z = k θ θ RIGIDEZZA TORSIONALE k θ = FLESSIBILITA' TORSIONALE f θ = = ϕ k M θ z Fig. A1 Molle a trazione, compressione, torsione e.flessione Le definizioni di rigidezza e flessibilità possono essere estese al comportamento degli elementi strutturali soggetti alle sollecitazioni di forza assiale, flessione, taglio e torsione. Le formule che seguono sono valide per materiali con comportamento elastico definito dalle tre costanti elastiche: modulo di elasticità longitudinale E, modulo di elasticità tangenziale G e coefficiente di Poisson ν. Tra le costanti vale la E relazione G =. 2 (1+ ν ) FLESSIBILITA E RIGIDEZZA DI ASTE E NODI Un elemento di forma prismatica di lunghezza l z non vincolato alle estremità è sollecitato, nelle sezioni di estremità, da una forza assiale N z (fig. A2, sin.): le sezioni di estremità si avvicinano (o allontanano) della quantità Δl, mentre tutte le sezioni sono soggette alla tensione costante σ Z = N z /A. In campo elastico vale la legge di Hooke σ z = E ε z pertanto: Per N z = 1 si ottiene la FLESSIBILITA ASSIALE Δl N N l ε z = = Δ l = l EA EA z RIGIDEZZA ASSIALE z z z f l EA z z = e di conseguenza la 1 EA k z = = f l Se l asta è vincolata alle estremità la rigidezza dipende oltre che dalla rigidezza propria dell asta anche dal tipo di vincolo, che definisce la possibilità di spostamento di ciascun nodo. La rigidezza di un nodo libero è pari alla rigidezza dell asta. Un nodo di cui è impedito il movimento ha flessibilità nulla, dunque rigidezza infinita (fig. A2, destra). z z 2007 F. Biasioli 5-7

66 CAPITOLO 5 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO N z N z Δl 2 N z N z N z Δl kz = EA lz lz kz lz N z N z Δl 2 N z N z N z kz = z Δl = N z EA l k = EA z l z Δl = N EA z l z Fig. A2 Rigidezza e flessibilità assiale La presa in conto della rigidezza assiale è utile nello studio dell equilibrio di strutture che possono essere considerate come infinitamente rigide (cioè non deformabili a flessione), portate da elementi deformabili assialmente. Se la struttura rigida presenta simmetria geometrica e di carichi (includendo nei carichi anche le rigidezze degli elementi portanti, considerati alla stregua delle reazioni vincolari) si ha solo una traslazione verticale di tutta la struttura rigida. E il caso ad esempio dei carichi trasmessi da plinti o platee rigide ai pali di fondazione. La struttura di figura A3 vincolata ai pali di fondazione ha distribuzione delle rigidezze e dei carichi agenti simmetrica rispetto all asse della struttura. La struttura si sposta solo in direzione verticale della quantità Δz e tutte le estremità dei pali sono obbligate al medesimo accorciamento Δz i = Δz. P1 = = P2 P1 P2 Δz kz1 kz2 kz1 = = R1 R2 R1 Fig. A3 Struttura simmetrica caricata simmetricamente Poiché il carico che agisce su ogni palo dipende dalla rigidezza assiale k z,i del nodo di estremità secondo la relazione: R i = k z,i Δz i dall equilibrio alla traslazione in direzione verticale Σ R i = Σ P i sostituendo si ottiene: Poiché Δz i = Δz = costante Σ k z,i Δz i = Σ P i Δz i = Δz = Σ P i /Σ k z,i pertanto R i = (k z,i /Σ k z,i ) Σ P i Nel caso di struttura simmetrica caricata simmetricamente la quota del carico totale (Σ P i ) che sollecita ciascun palo è pertanto proporzionale al peso della rigidezza assiale (k z,i ) del palo sulla rigidezza totale (Σ k z,i ). A parità di deformazione i pali più flessibili (meno rigidi) portano una quota di carico minore dei pali meno flessibili (più rigidi - es. 1). Se non si ha simmetria di carichi e di rigidezze, oltre allo spostamento verticale, la struttura è soggetta a una rotazione che comporta spostamenti Δz i delle estremità di ciascun palo diversi tra loro. Per il calcolo della reazione fornita da ciascun palo si utilizza anche in questo caso l ipotesi relativa alla deformazione di insieme del corpo, cioè che la struttura nel suo complesso si muova con un moto rigido F. Biasioli

67 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 5 Dato che le deformazioni spostamenti e rotazioni - sono piccole, confondendo inclinazioni e angoli gli abbassamenti delle teste dei pali posti a distanza x i dall origine sono legati dalla relazione (fig. A6) z i = z 0 + tg ϕ 0 x i z 0 + ϕ 0 x i in cui z 0 è l abbassamento dell origine O(x, z) del sistema di riferimento delle coordinate e ϕ 0 è la rotazione dell elemento rispetto all asse orizzontale x (fig. A4). P1 P2 Pi o x z i x1 x2 xi o z P1 P2 Pi k1 k2 k3 ki R1 R2 R3 Ri x z0 o P1 P2 Pi x z z1 z2 z3 zi φ 0 Fig. A4 Caso generale Il carico sul palo la cui testa si abbassa della quantità z i dipende dalla sua rigidezza k z,i con la relazione: R i = k z,i z i = k z,i (z 0 + ϕ 0 x i ) Essendo due le incognite del moto rigido (z 0 e ϕ 0 ) occorre utilizzare due equazioni di equilibrio, una alla traslazione verticale e una alla rotazione attorno all origine O: Σ R i = Σ P i Σ R i x i = Σ P i x i Σ k z,i (z 0 + ϕ 0 x i ) = Σ P i Σ k z,i (z 0 + ϕ 0 x i ) x i = Σ P i x i Sviluppando i termini delle equazioni si ottiene un sistema di due equazioni nelle incognite z 0 e ϕ 0 (Σ k z,i ) z 0 + (Σ k z,i x i ) ϕ 0 = Σ P i (Σ k z,i x i )z 0 + (Σ k z,i x 2 i ) ϕ 0 = Σ P i x i I coefficienti (Σ k z,i x i ) delle incognite simmetrici rispetto alla diagonale, uguali tra loro, rappresentano i momenti statici delle rigidezze rispetto all origine del sistema: il sistema dunque si semplifica con una opportuna scelta della posizione dell origine O del sistema di coordinate, Se si assume come origine O del sistema rispetto alla quale calcolare le distanze x i delle forze e delle rigidezze il baricentro delle rigidezze di coordinata: Σ kzixi x K = Σ kzi i coefficienti dei termini che non sono sulla diagonale principale - i momenti statici delle rigidezze nel nuovo sistema di coordinate si annullano e il sistema si riduce a: (Σ k z,i ) z = Σ P i 0 + (Σ k z,i x 2 i ) ϕ 0 = Σ P i x i Le distanze delle forze e delle rigidezze nel nuovo sistema di coordinate con origine nel baricentro delle rigidezze sono indicate con x i. Ogni equazione pertanto fornisce un incognita: 2007 F. Biasioli 5-9

68 CAPITOLO 5 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Σ P Σ P x z = ϕ = i i i Σ k zi Σ kzi xi Noti z 0 e ϕ 0 si calcola lo spostamento z i della testa di ciascun palo e la forza R i che lo sollecita (es ) FLESSIBILITA E RIGIDEZZA FLESSIONALE Le sezioni di estremità di un asta libera di lunghezza l z soggetta a due coppie uguali M x (fig. A5, sinistra) in campo elastico ruotano, una rispetto all altra, della quantità: 1 Mx Δ ϕ = l z = lz ρ EJ Nella formula ρ è il raggio di curvatura dell elemento. lz Per M x = 1 si ottiene la FLESSIBILITA FLESSIONALE f ϕ = EJ 1 EJx e di conseguenza la RIGIDEZZA FLESSIONALE k ϕ = = f l x ϕ x z lz lz Δφ Mx Mx Mx Mx x Δφ Mx k φ = Δφ Mx lz E, Jx y k φ = 3EJ lz x x k = 4EJ φ lz Fig. A5 Rigidezza e flessibilità flessionali Se l asta è vincolata alle estremità si devono considerare sia dalla rigidezza dell asta che il tipo di vincolo, cioè le sue possibilità di spostamento e rotazione. Se l asta è appoggiata e in una delle sezioni di estremità è applicata una coppia di momento flettente M x (fig. A5, centro) la rotazione della sezione e la rigidezza del nodo valgono: Ml xz 3EJx Δ ϕ = k ϕ = 3EJ l x Se la trave è incastrata all estremità opposta a quella dove è applicata la coppia (fig. A5, destra), la rotazione della sezione e la rigidezza del nodo libero valgono: Ml xz 4 EJx Δ ϕ = k ϕ = 4 EJ l x La rigidezza pertanto aumenta se aumenta il grado di vincolo dell asta. Il nodo incastrato ha rotazione nulla (flessibilità nulla) per qualsiasi valore di momento applicato: dalla relazione M x = k ϕ Δϕ la rigidezza flessionale del nodo incastrato è pertanto k ϕ =. La conoscenza della rigidezza flessionale dei nodi di estremità delle aste permette la soluzione dei problemi iperstatici. Nel caso degli edifici travi e pilastri convergono in uno stesso nodo e sono vincolati in varia misura all estremità opposta (fig. A6). Se i nodi non si spostano (strutture a nodi fissi) la ripartizione di un momento M applicato al nodo può essere effettuata se si sa valutare la rigidezza flessionale del nodo di estremità di ciascun elemento. z z F. Biasioli

69 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 5 l2 l1 k1 l3 lz k2 M k3 Δφ Δφi Mi k φi Mi Δφi kφi l4 k4 Fig. A6 Rigidezza e flessibilità flessionali dei nodi di travi Poiché la struttura è a nodi fissi, le estremità di tutte le aste che convergono nel nodo C ruotano di uno stesso angolo Δϕ i = Δϕ (condizione di congruenza). Il momento nell estremità di un asta che ruota della quantità Δϕ i dipende dalla rigidezza flessionale del nodo k ϕ,i secondo la relazione M i = k ϕ,i Δϕ i. Dato che tutte le estremità delle aste che convergono nel nodo sono obbligate alla rotazione comune Δϕ, dalla condizione di congruenza e dall equazione di equilibrio alla rotazione: Σ M i = M si ottiene: Σ k ϕ,i Δϕ i = M Δϕ i = Δϕ = M/Σ k ϕ,i M i = k ϕ,i Δϕ i = k ϕ,i /Σ k ϕ,i M La quota di momento che sollecita l estremità di ciascuna asta anche in questo caso pari al peso della sua rigidezza flessionale sulla rigidezza flessionale totale: le aste più flessibili sono sollecitate una quota del momento M minore di quella che sollecita le aste più flessibili (es. 5). FLESSIBILITA E RIGIDEZZA A TAGLIO Le sezioni di estremità di un asta di lunghezza l z sollecitata da forze di taglio di uguale intensità V y si spostano in direzione verticale una relativamente all altra della quantità (fig. A7): Vl yz Δ y = t GA lz V lz V Δy V V ky = ky= GA t lz Fig. A7 Flessibilità e rigidezza a taglio Nella formula t è il fattore di taglio il cui valore dipende dalla forma della sezione trasversale (t = 6/5 per sezione rettangolare, t = 10/9 per sezioni circolari). lz Per V y = 1 si ottiene la FLESSIBILITA A TAGLIO f y = t GA 1 GA e di conseguenza la RIGIDEZZA A TAGLIO k y = = f t l Se l asta è incastrata a una delle estremità Il nodo incastrato ha spostamento nullo (flessibilità nulla) per qualsiasi valore della forza applicata; dalla relazione V y = k y Δy la rigidezza del nodo è pertanto k y =. y z 2007 F. Biasioli 5-11

70 CAPITOLO 5 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO FLESSIBILITA E RIGIDEZZA TORSIONALE La rigidezza torsionale cioè la coppia T z da applicare all estremità libera di un elemento di lunghezza l incastrato alla base per ottenere una rotazione θ unitaria - ha espressione diversa a seconda che l elemento abbia sezione piena (es. pilastri o setti) o a parete sottile (es. nuclei ascensore). Nel secondo caso la rigidezza torsionale varia se la forma della sezione a parete sottile è aperta (sezione a C) o chiusa (sezione anulare). La sezione d estremità di un elemento di lunghezza l z incastrato alla base e sollecitato all estremità libera da una coppia di momento T z ruota della quantità (fig. A.8): T z lz θ= GJ Per V y = 1 si ottengono la FLESSIBILITA TORSIONALE lz t l z f θ = GJ t GJt e di conseguenza la RIGIDEZZA TORSIONALE k θ = l Nella formula J t è il momento di inerzia torsionale che vale: per sezioni circolari piene di raggio r J t = J p = π r 4 /2 per sezioni rettangolari di dimensioni a e b con a > b: Fig. A.8 Rigidezza 3 a b 3 torsionale J t = β = tende al valore 3 se a >10 b β 1-0,63 b/a per sezioni che possono essere suddivise in rettangoli di dimensioni (a i b i ) con a i > b i si sommano i contributi dei rettangoli cercando la suddivisione che rende massimo il momento J t : 3 a i bi 3 J t = Σ βi = βi 1-0,63 b i /a i per sezioni anulari chiuse con pareti di spessore costante s la cui linea media posta a distanza 2 s s/2 dai bordi ha lunghezza u e racchiude l area Ω: J t = 4 Ω u Imponendo le condizioni di equilibrio e congruenza si possono risolvere i casi iperstatici. In figura A9 una mensola di luce l z è portata da una trave incastrata alle estremità. L asse della mensola individua una sezione che dista l 1 e l 2 dalle 2 estremità della trave. l P 2 Il momento flettente M all estremità della mensola T si trasforma in momento torcente T applicato alla l1 P trave. La sezione in cui è applicato T ruota di un angolo Δθ e le estremità dei due tratti di trave di T1 lunghezze l 1 e l 2 devono ruotare entrambe dell angolo Δθ i = Δθ sotto l effetto di una frazione M=Pl=T T i del momento T. Fig. A9 Torcente di equilibrio Dalla condizione di congruenza Δθ i = Δθ e dall equazione di equilibrio: Σ T i = T risulta: Σ k θ,i Δθ i = T Δθ i = Δθ = T/Σ k θ,i T i = k θ,i Δθ i = T k θ,i /Σ k θ,i La quota T i del momento torcente T che sollecita ciascun tratto della trave è proporzionale al peso della sua rigidezza torsionale sulla rigidezza torsionale totale. Il tratto più lungo (più flessibile) è sollecitato da una quota del momento T minore del tratto di trave più corto (meno flessibile - es. 6). z F. Biasioli

71 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 5 IL CENTRO DI TAGLIO DELLE SEZIONI A PROFILO APERTO Per gli elementi con sezione a profilo aperto sia le caratteristiche di sollecitazione che le caratteristiche geometriche delle sezione trasversali (momenti di inerzia flessionali e torsionali, da cui dipendono le rigidezze) vanno riferite a un punto della sezione diverso dal baricentro, detto centro di taglio. Per tale punto passa la risultante delle tensioni tangenziali che si hanno sulla sezione quando una sollecitazione di taglio ha retta d azione che passa per il baricentro della sezione. Il centro di taglio, oltre che il punto rispetto al quale si devono calcolare tutte le caratteristiche di sollecitazione, è anche il punto attorno a cui la sezione ruota se soggetta a torsione. Se la sezione è dotata di un asse di simmetria, il centro di taglio si trova su tale asse, se ha due assi di simmetria, il centro di taglio coincide con il baricentro. Fig. A:10 Centro di taglio Se la sezione ha forma di L, il centro di taglio è posto all incrocio degli assi delle due ali, se ha forma di T, è posto all incrocio degli assi dell ala e dell anima. In una sezione a parete sottile a forma di C simmetrica rispetto a un asse orizzontale posto a metà altezza dell anima verticale, il centro di taglio dista dall asse dell anima della quantità (fig. A.10): Per una sezione a C senza risvolti è b 1 = h b + 6h b1-8b e = b h + 6h b + 6h b + 8b +12hb LA RIGIDEZZA DEGLI ELEMENTI DI CONTROVENTO All estremità di un elemento che subisce gli spostamenti u i e v i e la rotazione θ nascono delle forze e coppie di reazione che, all annullarsi dell azione che ha provocato lo spostamento, tendono a riportare l elemento nella sua posizione originale. In figura A.11 sono evidenziate le forze reattive che nascono all estremità di due pilastri, proporzionali alla rigidezza a flessione e taglio di ciascuno di essi. Eventuali coppie di reazione dovute a una rotazione θ del piano sarebbero proporzionali alla loro rigidezza torsionale. Fig. A.11 Forze attive e reattive Negli edifici sono presenti elementi di controvento - i setti e i vani ascensore che si assumono come incastrati in fondazione, e altri elementi - i pilastri di piano che sono collegati alle travi dei piani superiori e inferiori dei telai: se tali travi sono considerate infinitamente rigide, le estremità dei pilastri non possono ruotare. In assenza di rotazione del solaio setti, vani ascensore e pilastri sono obbligati ad avere tutti gli stessi spostamenti ma si deformano in modo diverso: i setti e i vani ascensore come mensole di altezza pari all altezza d edificio, i pilastri come elementi di altezza pari all interpiano F. Biasioli 5-13

72 CAPITOLO 5 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Fig. A.12 Deformate di elementi di controvento e di pilastri L effetto del solaio rigido è simulato in figura A.12 dalla biella inestensibile che collega un generico setto con un generico telaio, e dalle presenza delle travi di piano indeformate. Sia gli elementi di controvento che i pilastri si deformano per flessione e taglio: la forza reattiva che sviluppano dipende dalla rigidezza a flessione e taglio di ciascun elemento, che si può ricavare a partire dalla sua deformabilità globale. Figura A.13 Deformate di interpiano mensola Con riferimento alla parte di struttura che comprende il primo impalcato evidenziata in fig. A.12, si esaminano due elementi, un tratto di mensola e uno dei pilastri del telaio, entrambi con altezza pari all altezza l dell interpiano. Il tratto di mensola soggetto a una generica forza F applicata a livello del primo impalcato, presenta le sollecitazioni di fig. A.13. Lo spostamento dell estremità del tratto, somma degli spostamenti per flessione δm e taglio δv, vale: 3 l l δ = δm + δv = + t F 3 E J G A J, A, l momento d'inerzia baricentrico, area della sezione trasversale e lunghezza dell'elemento t fattore di taglio della sezione trasversale E, G moduli di elasticità longitudinale e tangenziale del materiale. Se F = 1 il termine entro parentesi rappresenta la flessibilità globale dell elemento, somma di due addendi di cui il primo è la flessibilità a flessione, il secondo la flessibilità a taglio. E Posto G = (ν è il coefficiente di Poisson del materiale), esprimendo il momento di inerzia 2 (1+ ν ) mediante il raggio giratore ρ (J = A ρ 2 ) invertendo la flessibilità globale si ottiene la rigidezza globale dell elemento a mensola: 1 E A 1 k = = 3 2 l t l l + 1 l + 2 t (1+ ν) 3 E J G A 3 ρ F. Biasioli

73 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 5 Uno qualsiasi dei pilastri di piano avente la stessa lunghezza della mensola se soggetto a uno spostamento relativo δ delle estremità presenta una deformata antisimmetrica (fig.a.14). In corrispondenza dell asse di simmetria orizzontale posto a metà altezza si trova il punto di inversione della curvatura della linea elastica (punto di flesso). In tale punto il raggio di curvatura ρ ha valore infinito: stante la relazione, valida in campo elastico, (1/ρ) = M/EJ tra curvatura 1/ρ e momento M il momento flettente M ha dunque valore nullo. Figura A.14 Deformate di interpiano pilastro Per l antisimmetria della deformazione lo spostamento orizzontale della sezione di mezzeria è pari alla metà dello spostamento relativo δ delle estremità: tagliando il pilastro nella sezione di simmetria dato che M = 0 l unica forza che si trasferisce è il taglio V = F. che agisce su una mensola incastrata di luce l/2. Le relazioni precedenti si scrivono: 3 δ (l/2) l/2 E A 1 = + t F k = E J G A l 1 l + 2 t (1+ ν) 12 ρ Le espressioni nei due casi differiscono solo per il coefficiente che, nella parentesi a denominatore, moltiplica la snellezza (l/ρ). In entrambi i casi la rigidezza a flessione e taglio può pertanto essere espressa con la formula: E A 1 k = 2 l 1 l + 2 t (1+ ν) α ρ nella quale α = 3 per gli elementi di controvento (nuclei ascensore e setti) e α = 12 per i pilastri. Per il coefficiente di Poisson si può assumere ν = 0,20 se si considera che un elemento non sia fessurato come può avvenire per i nuclei e i setti - e ν = 0 se si considera che l elemento sia fessurato, come risultano sempre essere i pilastri. Nella formula la rigidezza assiale [EA/l] risulta ridotta dalla presenza del termine entro parentesi a denominatore della frazione. In tale termine il primo addendo dipende dalla snellezza (l/ρ), il secondo per una sezione geometricamente definita (fattore t) e un dato materiale (coefficiente ν) ha valore costante. Il peso relativo di ciascuno dei due addendi sul totale dipende pertanto dal valore del rapporto (l/ρ). Per sezioni rettangolari di lati bx, by nelle direzioni X e Y A = bx by Per sezioni circolari di raggio r A = π r F. Biasioli 5-15 ρ x,y r ρ = 2 by,x = 12 6 t = 5 10 t = 9 Un elemento tozzo come un setto o un nucleo ascensore ha dimensione in pianta b significativa, dunque raggio giratore ρ dello stesso ordine di grandezza dell altezza l: il primo addendo è dello stesso ordine di grandezza del secondo, entrambi sono relativamente piccoli e la rigidezza globale dell elemento risulta molto elevata rispetto a quella del solaio. Dunque il solaio non riesce a impedire la rotazione del nodo di

74 CAPITOLO 5 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO estremità dell elemento: risulta confermata l ipotesi che prevede una deformata affine a quella di una mensola (deformata bending type fig. A.13). Un elemento snello quale può essere considerato un pilastro ha altezza l >> ρ: la snellezza (l/ρ) è molto grande e il primo termine in parentesi prevale sul secondo: la rigidezza globale k dell elemento risulta piccola rispetto alla rigidezza del solaio. Il nodo d estremità che collega il pilastro alla trave non ruota e la deformazione è di tipo a taglio (deformata shear type - fig. A.14) 7. CALCOLO DEGLI SPOSTAMENTI DI PIANO Un solaio infinitamente rigido che collega una serie di elementi verticali (pilastri, setti, nuclei ascensore) incastrati al piede, se soggetto a un sistema di forze orizzontali comunque dirette si sposta e ruota rimanendo nel piano. Con riferimento a un sistema di riferimento (x,y) con origine in un qualsiasi punto del piano (fig. A.15): - le grandezze u 0, v 0 e θ sono gli spostamenti dell origine O secondo x e y e la rotazione del piano; - le grandezze X, Y e M sono le componenti della risultante F del sistema d forze orizzontali e il momento risultante del sistema rispetto all origine O. Si ammette che tutti gli elementi verticali abbiano lati paralleli alle direzioni degli assi coordinati e siano indeformabili assialmente: il piano deformato dunque non presenta spostamenti in direzione verticale. Fig. A.15 - Risultante del sistema di forze Gli spostamenti del centro di taglio dell elemento verticale i-esimo di coordinate x i e y i u i = u 0 - θ y i v i = v 0 + θ x i fanno nascere all estremità dell elemento le forze di reazione F xi e F Yi, legate alle rigidezze a flessione e taglio dell elemento secondo le due direzioni x,y dalle relazioni: F xi = k xi u i = k xi (u 0 - θ y i) F yi = k yi v i = k yi (v 0 + θ x i ) La rotazione θ fa nascere nell elemento i-esimo il momento torcente di reazione M Ti legato alla rigidezza torsionale k θ,i dell elemento dalla relazione M Ti = k θi θ Il sistema delle forze reattive interne (F xi F yi M Ti ), di cui una terna di componenti per il generico elemento i- esimo è rappresentato in figura A.15, equilibra il sistema di forze esterne F (X, Y, M). Considerando le direzioni positive delle forze e dei momenti come in figura si scrivono tre equazioni di equilibrio: alla traslazione secondo X Σ F xi = Σ k xi (u 0 - θ y i) = X alla traslazione secondo Y alla rotazione risp. a O Σ F yi = Σ k yi (v 0 + θ x i ) = Y - ΣF xi y i + Σ F yi x i + Σ M Ti = - Σ k xi (u 0 - θ y i) ) y i + Σ k yi (v 0 + θ x i )x i + Σ k θi θ = M 7 Nei casi reali l interazione tra i molti telai e gli elementi di controvento fa si che i telai trattengano gli elementi di controvento ai piani inferiori e siano trattenuti dalle mensole ai piani superiori. L interazione tra gli elementi dunque è complessa ma per lo scopo di questo studio, tali effetti mutui possono essere trascurati F. Biasioli

75 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 5 Raccogliendo i termini ed esplicitando sempre nelle tre equazioni tutte le incognite, anche quelle i cui coefficienti sono nulli, si ottiene un sistema di tre equazioni nelle tre incognite u 0, v 0 e θ: (Σ k xi )u 0 [ + 0 v 0 ] (Σ k xi y i ) θ = X [ + 0 u 0 ] + (Σ k yi ) v 0 + (Σ k yi x i ) θ = Y - (Σ k xi y i )u 0 + (Σ k yi x i ) v 0 + (Σ k yi x 2 i + Σ k xi y 2 i + Σ k θi ) θ = M Ponendo K x = Σ k xi K y = Σ k yi somma delle rigidezze nelle direzioni x e y S kx = Σ k xi y i S ky = Σ k yi x i momenti statici delle rigidezze nelle direzioni x e y rispetto agli assi K T = Σ k yi x 2 i + Σ k xi y 2 i + Σ k θ,i somma delle rigidezze torsionali proprie e dei momenti del secondo ordine delle rigidezze a flessione e tagli rispetto agli assi e si ottiene 8 K x u 0 [ + 0 v 0 ] S kx θ = X [ + 0 u 0 ] + K y v 0 + S ky θ = Y S kx u 0 + S ky v 0 + K T θ = M Le tre equazioni diventano disaccoppiate, cioè ciascuna equazione fornisce un incognita, se tutti i termini simmetrici rispetto alla diagonale principale si annullano. Tali termini sono i momenti statici S kx e S ky delle rigidezze in direzione x e y rispetto agli assi coordinati: per annullarli è dunque sufficiente che l origine O del sistema di riferimento sia posta nel BARICENTRO DELLE RIGIDEZZE o CENTRO DI TAGLIO K del sistema, le cui coordinate nel sistema di coordinate iniziale sono: S k x S k y x k = y = K k K k ky yi i kx xi i = k = y yi x xi A tale nuova origine vanno ovviamente digerite, oltre che le coordinate di tutti gli elementi, tutte le forze agenti, modificando di conseguenza il momento di trasporto M che assume il valore M. In tale riferimento le tre incognite valgono X Y M u = v = θ = Kx Ky KT Adottando le coordinate x i e y i riferite al nuovo sistema di riferimento, centrato sul baricentro delle rigidezze K, le forze reattive su ciascun elemento risultano: k M F = k (u - y ) = X - y x,i x,i x,i 0 θ0 i i Kx KT k M F = k (v + x ) = Y + x y,i y,i y,i 0 θ0 i i Ky KT Le forze che sollecitano ciascun elemento hanno pertanto una componente proporzionale al peso delle rigidezze nelle direzioni x,y rispetto alla rigidezza totale corrispondente, a cui si somma l effetto del momento M. Tale effetto essendo direttamente proporzionale alla distanza di ciascun elemento dal baricentro delle rigidezze, risulta massimo per gli elementi più distanti dal baricentro delle rigidezze. Se la risultante del sistema di forze F passa per il baricentro delle rigidezze è M = 0 dunque θ = 0: i punti del piano si spostano tutti nelle direzioni x,y delle quantità: X u = u = v = v = i 0 i 0 Kx Y K y 8 La matrice dei coefficienti delle incognite ha i termini simmetrici rispetto alla diagonale principale uguali e i termini della diagonale principale tutti positivi: tali condizioni garantiscono che per un assegnato sistema di forze (X,Y,M) esiste un unica soluzione (u0 v0 θ) F. Biasioli 5-17

76 CAPITOLO 5 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Le forze reattive su ciascun elemento sono proporzionai al peso della sua rigidezza sulla rigidezza totale: k x,i F x,i= k x,i u 0 = X K x k F y,i= k y,i v 0 = Y K Se il sistema di forze si riduce a una coppia (cioè se X = Y = 0 e M 0) risultano u 0 = v 0 = 0 e θ 0. Gli spostamenti dei punti del piano valgono: M M u = - θ y = - y v = θ x = x i 0 i i i 0 i i KT KT Il baricentro delle rigidezze ha coordinate (0,0) dunque per esso sono u = v = 0. Esso è dunque il solo punto che non si sposta quando il piano è soggetto a un momento torcente M: è il punto rispetto al quale tutti gli altri punti del piano ruotano. Il baricentro delle rigidezze è dunque anche il CENTRO DI TORSIONE del sistema. 9 Se X = Y = 0 e M 0 le forze reattive su ciascun elemento sono proporzionai alla distanza dell elemento dal baricentro delle rigidezze: y,i M F = - k θ y = - y x,i x,i 0 i i K T M F = k θ x = x y,i y,i 0 i i K T REGOLARITA STRUTTURALE ED ELLISSE DELLE RIGIDEZZE Per il calcolo dell inerzia complessiva degli elementi di controvento si fa l ipotesi che gli stessi abbiano disposizione planimetrica tale da minimizzare, in presenza di forze orizzontali, gli effetti torsionali sull edificio. Ciò è possibile solo se l edificio presenta regolarità strutturale in pianta. cioè se il baricentro delle forze orizzontali non dista in modo significativo dal baricentro delle rigidezze K degli elementi verticali. In tal caso il momento torsionale M e i relativi spostamenti sono poco significativi dunque la struttura si considera dotata di rigidezza torsionale adeguata. Nella valutazione della rigidezza torsionale dei nuclei si considerano le sezioni aperte come formate da pareti rettangolari sottili senza tenere conto di fenomeni quali l ingobbamento impedito delle sezioni, che ne aumentano notevolmente la rigidezza torsionale. Nel caso di nuclei aperti (sezioni a C. a L e a T o comunque prive di due assi di simmetria) le rigidezze si considerano applicate nel centro di taglio della sezione. Calcolati i valori delle rigidezze di tutti gli elementi è possibile classificare il sistema strutturale in base alla suddivisione delle rigidezze tra i diversi elementi resistenti (tabella A.1). Se il rapporto tra la rigidezza flessionale degli elementi di controvento C e la rigidezza flessionale totale T supera i valori di tabella, il sistema può essere classificato come a telaio/pareti o a pareti. rigidezze u.d.m. pilastri controv. totale y controv totale valori di confronto per sistema a telaio-pareti a pareti KX e ky kn/m 10 3 P C P+ C = T C/T % > 50% > 65% Tab. A.1 Classificazione dei sistemi strutturali 9 La coincidenza tra centro di taglio e centro di torsione può anche essere dimostrata con il teorema di Betti - Maxwell F. Biasioli

77 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 5 Per quanto riguarda la regolarità strutturale, un edificio può essere classificato come regolare o non regolare in verticale e in pianta. Una struttura regolare contrasta con efficacia l azione delle forze orizzontali, presenta minor aleatorietà di comportamento e può essere studiata con modelli di calcolo semplificati. La verifica della regolarità strutturale (obbligatoria in zona sismica) permette dunque di convalidare le ipotesi semplificative assunte nella modellazione della struttura e i procedimenti d analisi. Per la valutazione della regolarità in verticale si può fare riferimento alle prescrizioni dell Ordinanza 3274, per quella della regolarità in pianta, non considerata nell Ordinanza, alle prescrizioni dell EC8. Per valutare se una disposizione planimetrica degli elementi resistenti è accettabile, secondo l EC8 si calcolano i raggi di rigidezza del sistema strutturale e li si confronta con le eccentricità e 0 delle forze agenti, calcolate rispetto al baricentro delle rigidezze K. I raggi di rigidezza nelle direzioni x,y valgono K T r X= r Y= Kx K K T Y sono i semiassi dell ellisse delle rigidezze, la figura geometrica che evidenzia come sono distribuite le rigidezze intorno al baricentro delle rigidezze 10. Se i raggi hanno valore molto simile tra loro, l ellisse delle rigidezze ha forma circolare. Un ellisse a forma circolare è di particolare interesse in quanto evidenzia un complesso strutturale in cui gli elementi di controvento sono disposti in modo da renderla sostanzialmente indifferente alla direzione delle forze di piano agenti. La geometria e la disposizione planimetrica degli elementi è in tal caso ottimale. Definiti i raggi delle rigidezze, secondo l EC8 le eccentricità e 0X e 0y tra il centro delle rigidezze e le rette di azione delle forze esterne si considerano limitate se risultano verificate le due condizioni: e 0X / r x 0,30 e 0y / r y 0,30] cioè se il baricentro delle forze cade all interno di un nocciolo, una zona limitata nell intorno del baricentro delle rigidezze estesa a circa il 9% della superficie di questa. 11 Se ad esempio l ellisse delle rigidezze ha la forma circolare di fig. A.16, la retta d azione delle forze orizzontali dovrebbe passare all interno del cerchio tratteggiato. Il rispetto di tale condizione assicura che un edificio non subisce effetti torsionali significativi per effetto delle forze orizzontali. Fig. A.16 Raggi di rigidezza, ellisse delle rigidezze e nocciolo. L ellisse delle rigidezze è pertanto una figura geometrica di assoluto interesse per il progettista, in quanto può essere tracciata in base alle sole informazioni geometriche relative agli elementi verticali e alla loro posizione in pianta. 10 I raggi di rigidezza, detti anche raggi torsionali, hanno significato affine a quello dei raggi giratori di un sistema di forze o ai raggi di inerzia polari delle sezioni, in entrambi i casi calcolati come radice quadrata del quoziente tra il momento di secondo ordine delle forze o delle aree elementari e la risultante delle forze o delle aree elementari. 11 L area A di una ellisse di semiassi a,b vale A = π a b 2007 F. Biasioli 5-19

78 CAPITOLO 5 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Per un assegnato sistema di controventi, un definito baricentro delle rigidezze e un dato sistema di forze, occorre dunque massimizzare i termini a denominatore dei due quozienti, cioè i raggi di rigidezza. Per massimizzare i raggi di rigidezza, a parità di rigidezza totale K x e K y occorre massimizzare la rigidezza torsionale K T. K T = Σ k yi x 2 i + Σ k xi y 2 i + Σ k θ,i A parità di sezione complessiva degli elementi di controvento, è opportuno dunque che questi siano disposti alle massime distanze x i y i possibili dal baricentro delle rigidezze K. E opportuno ricordare che nel modello descritto la rigidezza torsionale dei nuclei è stata calcolata, a favore di sicurezza, assumendo gli stessi come costituiti da pareti isolate, dunque più deformabili a torsione di quanto non siano nella realtà: un stima più accurata tenendo conto dell ingobbamento impedito delle sezioni ne aumenterebbe la rigidezza torsionale k θ,i dunque il valore di K T. L approccio proposto è pertanto a favore di sicurezza F. Biasioli

79 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 5 ES1 Un plinto di fondazione è sollecitato da un pilastro che trasmette il carico P 1 = 1200 kn ed è portato da due pali di fondazione disposti simmetricamente come in figura. Ciascun palo ha rigidezza assiale k z = 300 kn/mm. Nell ipotesi che il plinto si comporti come un corpo rigido, calcolare l abbassamento della testa di ciascun palo e il relativo carico. P P kz kz Δz = = R R Σ R i = P = 1200 kn Δz i = Δz = Σ P i /Σ k z,i = 1200/600 = 2,0 mm Σ k z,i = = 600 kn/mm R i = Σ P i (k z,i /Σ k z,i ) R 1 = R 2 = 1200 x 300/600 = 600 kn ES2 Un plinto di fondazione con la geometria di figura è caricato da due pilastri che trasmettono i carichi P 1 = 1000 kn e P 2 = 1200 kn. I pilastri sono posti a distanza 1,36 m e 4,70 m dal bordo sinistro del plinto. Il plinto è portato da due pali di fondazione aventi rigidezza assiale k z1 = 200 kn/mm e k z2 = 300 kn/mm posti a distanza 1,00 m e 5,00 m dallo stesso bordo. Nell ipotesi che il plinto si comporti come un corpo rigido, calcolare il carico e l abbassamento della testa di ciascun palo. 1,36 4,70 m x x kz1 kz2 z1 z2 z 1,00 5,00 m z R1 R2 Con origine del sistema di coordinate O(x,z) posta come in figura il sistema si scrive ( ) z 0 + (200 x x 5 ) ϕ 0 = 2200 (200 x x 5 )z 0 + (200 x x 5 2 ) ϕ 0 = 1000 x 1, x 4, z ϕ 0 = z ϕ 0 = 7000 La soluzione è z 0 = 5,25 mm ϕ 0 = - 0,25 rad Gli spostamenti delle teste dei pali sono z 1 = 5,25 0,25 x 1 = 5 mm z 2 = 5,25 0,25 x 5 = 4 mm I carichi che porta ciascun palo sono R 1 = 5 x 200 = 1000 kn e R 2 = 4 x 300 = 1200 kn F. Biasioli 5-21

80 CAPITOLO 5 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO ES3 Svolgere l esempio precedente adottando come origine del sistema di riferimento il baricentro delle rigidezze K. Rispetto all origine dell esercizio 2 il baricentro delle rigidezze K è posto a distanza S k x kz z,i i x k = = = = 3,40 m K z kz,i In base ai risultati precedenti tale punto si sposta della quantità z k = 5,25 0,25 x 3,40 = 4,40 mm. Rispetto a un sistema di riferimento (x,z) avente l origine nel baricentro delle rigidezze K si ottengono: - il momento dei carichi esterni (momenti assunti positivi se antiorari) M = 1000 (1,36-3,40 ) (4,70-3,40) = knm - la rigidezza torsionale totale K T = Σ k zi (x i x K ) 2 = 200 (1-3,40) (5-3,40) 2 = 1920 knm Lo spostamento verticale del baricentro delle rigidezze e la rotazione del plinto sono R 2200 M z k = = = 4,40 mm ϕ 0 = = = - 0,25 rad K 500 K 1920 z Tali risultati coincidono con i valori calcolati precedentemente: di conseguenza saranno uguali gli spostamenti della testa e le reazioni dei pali. ES4 Alla struttura dell esempio precedente viene aggiunto un terzo palo di rigidezza k 3 = 250 kn/mm a distanza d 3 = 3,00 m dall origine. Calcolare i carichi sui pali. ϕ 1,36 4,70 m kn x x kz1 kz3 kz2 z1 z3 z2 z 1,00 3,00 z R1 R3 R2 5,00 Utilizzando i [m] per la misura delle distanze il sistema risulta: ( ) z 0 + (200 x x 3, x 5,0 ) ϕ 0 = 2200 (200 x x 3, x 5,0 ) z 0 + (200 x x 3, x 5 2 ) ϕ 0 = z ϕ 0 = z ϕ 0 = 7000 La soluzione è z 0 = 3,25 mm ϕ 0 = - 0,096 rad Gli spostamenti delle teste e i carichi sui pali risultano pari a z 1 = 3,25 0,096 x 1 = 3,15 mm R 1 = 3,15 x 200 = 630 kn z 2 = 3,25 0,096 x 5 = 2,77 mm R 2 = 2,77 x 300 = 830 kn z 3 = 3,25 0,096 x 3 = 2,29 mm R 3 = 2,96 x 250 = 740 kn R 1 + R 2 + R 3 = 2200 kn F. Biasioli

81 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 5 Il baricentro delle rigidezze, posto alla distanza dal bordo sinistro S k x kz z,i i x k = = = = = 3,27 m K z kz,i si sposta verticalmente di z k = 3,25-0,096x 3,27 = 2,94 mm Rispetto a un sistema di riferimento (x,z) avente l origine nel baricentro delle rigidezze K si ottengono: - il momento dei carichi esterni (positivi se antiorari) M = 1000 (1,36-3,27) (4,70-3,27) = -194 knm - la rigidezza torsionale totale K T = Σ k zi (x i x K ) 2 = 200 (1-3,27) (5-3,27) (3,0-3,27) 2 = 1947 knm Lo spostamento verticale del baricentro delle rigidezze K e la rotazione del plinto R 2200 M -194 z k = = = 2,94 mm ϕ 0 = = = 0,096 rad K 750 K 1947 z coincidono con i valori precedentemente calcolati, così come le reazioni sui pali. ϕ ES5 Il nodo di figura è sollecitato da una coppia di momento di intensità M = 200 kn/m. Calcolare la quota di tale momento che sollecita ciascuna asta che converge nel nodo. Le aste orizzontali hanno tutte sezione rettangolare di dimensioni (300 x 500) mm, i pilastri verticali hanno tutti sezione quadrata di lato 300 mm. Materiale; calcestruzzo con E cm = 32 kn/mm 2 l2 l1 k1 l3 lz k2 M k3 Δφ Δφi Mi k φi l4 k4 Le rigidezze flessionali valgono Aste 1-2: Aste 3-4: 3 3EJx k ϕ = = 10 = 75 knm lz = /rad 3 4EJx k ϕ = = 10 = 28,8 knm lz = /rad Dalla relazione M i = M k ϕ,i /Σ k ϕ,i si ottiene 75 28,8 M 1,2 = 200 = 72,6 knm M 3,4 = 200 = 27,8 knm ( ,8) ( ,8) L equilibrio al nodo risulta soddisfatto F. Biasioli 5-23

82 CAPITOLO 5 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO ES6 Per la struttura di figura sono P = 10 kn l z = 2,50 m l 1 = 2,50 m e l 2 = 3,50 m. La trave portante ha sezione rettangolare di dimensioni (300 x 500) mm. Calcestruzzo con E cm = 32 kn/mm 2 ν = 0,20 l 1 l 2 2 T P P T1 M=Pl=T E 32 Il modulo di elasticità tangenziale vale G = = = 13,33 kn/mm 2 (1+ ν) 2 (1+0,2) M = T = P l z = 10 x 2,5 = 25 knm, Per tutte le sezioni della trave portante di dimensioni a = 500 mm b = 300 mm b/a = 0,60 β = 3/(1-0,63 x 0,60) = 4, a b J t = = = mm β 4,823 Le rigidezze torsionali delle due parti della trave portante valgono Parte 1: 6 GJt 13, k ϑ1 = = = 10 = 14,9 knm/rad l lz 2 Parte 2: 6 GJt 13, k ϑ2 = = = 10 = 10,7 knm/rad l Dalla relazione T i = T k θ,i /Σ k θ,i si ottiene 14,9 10,7 M t,1 = 25 = 14,5 knm M t,2 = 25 = 10,5 knm (14,9 + 10,7) (14,9 + 10,7) Le due semitravi sono sollecitate da una quota di T che, in campo elastico, è proporzionale al peso della rigidezza torsionale di ciascuna di esse rispetto alla somma delle rigidezze delle due parti F. Biasioli

83 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 6 CAPITOLO 6 Azioni orizzontali Il capitolo confronta le diverse azioni orizzontali al fine di individuare le azioni più gravose da utilizzare. Le azioni prese in considerazione sono: imperfezioni geometriche azioni naturali - vento azioni naturali azioni sismiche 1. EC Imperfezioni geometriche Allo SLU si deve tenere conto degli effetti legati alle possibili imperfezioni non intenzionali della geometria della struttura. Tali effetti si trascurano se minori degli effetti dovuti ad altre azioni orizzontali (vento o sisma). Le imperfezioni geometriche sono prese in conto assumendo che la struttura nel suo complesso, o un singolo elemento, siano inclinati rispetto alla verticale di un angolo θ i (i = imperfections ) fig Fig, 6.1 Imperfezioni geometriche e forze orizzontali equivalenti L angolo di inclinazione θ i è definito dalla relazione In cui: θ 0 θ i = θ o α h α m [6.1] inclinazione di base in radianti: il valore raccomandato è θ 0 =1/200 rad α h coefficiente riduttivo relativo all altezza l dell edifico in metri α h = 2 / l 2/3 α h 1 α m coefficiente riduttivo che tiene conto della ridotta probabilità che m elementi verticali siano tutti contemporaneamente inclinati di uno stesso angolo 1 αm = 0,5 1+ m per un elemento isolato: l = lunghezza dell elemento; m = 1; per un sistema di elementi di controvento: l = altezza dell edificio; m = numero di elementi verticali che contribuiscono alla forza orizzontale agente sul sistema di controvento; 1 DM Le NT equiparano le azioni sismiche a un azione naturale in quanto, con la nuova zonazione, tutta l Italia è 3519 classificata come sismica F. Biasioli 6-1

84 CAPITOLO 6 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Per valutare gli effetti delle imperfezioni geometriche si può, in alternativa: - schematizzare la struttura con elementi verticali inclinati dell angolo θ (fig. 6.1, sinistra), oppure - assumere un sistema di forze orizzontali H agente sulla struttura indeformata (fig. 6.1, destra). Nel secondo caso se V i è la risultante dei carichi verticali agenti sul piano i-esimo i cui elementi verticali sono tutti inclinati di uno stesso angolo θ i, confondendo, per la piccolezza delle deformazioni, l angolo di inclinazione θ i con (sin θ i ) la forza orizzontale equivalente al piano i-esimo vale: H i = sin θ i Σ V i θ i Σ V i [6.2] Per gli elementi di controvento l effetto delle imperfezioni geometriche si calcola applicando il peso totale del controvento alla sommità dell'elemento. Per stimare la forza globale orizzontale H I agente su tutto il complesso strutturale dovuta alle imperfezioni geometriche ci si può basare sul carico totale verticale F v allo spiccato del piano terreno, somma dei carichi agenti a tutti i piani fuori terra escluso il piano terreno e del peso proprio degli elementi verticali. La forza globale orizzontale massima H im, applicata a livello del primo impalcato ha intensità: H im = θ i F V = θ 0 α h α m F V [6.3] Il coefficiente α h è definito in base all altezza della parte in elevazione del fabbricato a partire dalla quota 0,00. Assumendo, a favore di sicurezza, la quota media del baricentro della copertura (fig. 6.2) si ottiene: l = 19,30 + 1,53/2 = 20,07 m α h = 2 / 20,07 = 0,45 < 2/3 pertanto α h = 2/3 = 0,667 Per il calcolo di α m ci si basa sul numero totale dei pilastri. Le forze orizzontali dovute alle imperfezioni geometriche sono infatti trasmesse agli elementi di controvento attraverso il comportamento a diaframma del solaio, assunto infinitamente rigido nel suo piano. Si ottengono i valori di tabella 6.1. Direzione θ 0 l [m] α h m α m Fv [kn] H im [kn] x, y 1/200 20, , Tabella 6.1 Imperfezioni geometriche La risultante H imp si assume sia applicata nel baricentro delle forze F V, di coordinate (17,80; 5,96) m vedi par Fig. 6.2 altezza di calcolo F. Biasioli

85 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 6 DM 3.3 DM Azioni ambientali e naturali - vento L edificio in esame avendo configurazione e tipologia strutturale ordinaria, semplice o di limitata estensione risulta essere poco sensibile all azione dinamica del vento. In tale situazione è possibile descrivere le azioni indotte dal vento attraverso sistemi di forze o di pressioni i cui effetti siano equivalenti a quelli del vento turbolento, considerando di regola la direzione orizzontale ed utilizzando la formulazione quasi statica equivalente. L azione quasi-statica equivalente si ottiene moltiplicando la pressione cinetica di picco q(z), legata alla velocità di picco del vento v p (z), per l area di fabbricato su cui tale pressione risulta applicata. Occorre tenere conto: - per la velocità v p (z), dei parametri che caratterizzano il sito (zona geografica, periodo di ritorno, effetti locali legati all ubicazione del sito e all altezza dal suolo degli elementi della costruzione); - per la pressione cinetica q(z), dei parametri che caratterizzano la tipologia strutturale e il tipo di opera (coefficienti di pressione esterna e interna, coefficiente dinamico). Nel seguito sono sviluppati tutti i passaggi per il calcolo di tale pressione. A) Velocità di riferimento v R (T R ) Si parte dalla velocità di riferimento v ref,0. Le località del Nord Italia (escluse Liguria, Emilia Romagna e zona di Trieste) a quota 1000 m s.l.m. sono classificate nella zona geografica I per cui è v ref,0 = 25 m/s. La velocità v ref,0 è il frattile 98% della distribuzione dei massimi annuali delle velocità medie del vento misurate in sequenze di intervalli successivi di tempo di durata 10 minuti. Tale valore ha probabilità di superamento, in ciascun anno, pari a p = (1-0,98) = 0,02 dunque periodo di ritorno T d = 1/0,02 = 50 anni. Essa va moltiplicata per un coefficiente α R (T R ) funzione del periodo di ritorno T R del fenomeno. v R (T R ) = α R (T R ) v ref,0 [6.4] Il periodo di ritorno T R è assunto pari a 10 volte la vita di progetto convenzionale dell opera T d,che varia in base alla classe strutturale dell opera. Le strutture in classe 1 devono essere progettate per una vita di progetto T d = 50 anni, pertanto è T R = 500 anni. Per T R = 500 anni secondo le NT è α R (500) = 1,122 (+12,2%) 2 pertanto: v R (500) = α R (500) v ref,0 = 1,122 x 25 = 28,05 m/s B) Velocità di di picco v P (z) Il valore v R (500) deve essere modificato per tener conto degli effetti locali legati al sito dove è posta la costruzione, e dell altezza z sul suolo delle diverse parti da cui essa è composta. Si definisce una classe di rugosità del terreno variabile in funzione della presenza, più o meno diffusa, di ostacoli che possano ridurre la velocità del vento in prossimità del suolo e nell intorno della struttura. Per una costruzione in zona fortemente urbanizzata si adotta la classe di rugosità A. In funzione della classe di rugosità, della zona geografica, della distanza dal mare e dell altezza del sito sul livello del mare si individua una categoria di esposizione del sito, classificata dalla I (più severa) alla V (meno severa). La velocità di picco v P (z) vale: v p (z) = c ev (z) v R (T R ) [6.5] c ev (z) il coefficiente di esposizione, funzione della categoria di esposizione, che definisce il profilo della velocità in funzione della distanza (z) dal suolo. Fino a una quota z min in prossimità del suolo la velocità è costante, al di sopra della quota z min la velocità cresce con z. 2 Per strutture in classe 2 sono Td = 100 anni, TR = 1000 anni, αr (1000) = 1,156 (+15,6%) F. Biasioli 6-3

86 CAPITOLO 6 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO I due tratti sono definiti dalle relazioni c ev (z) = c ev (z min ) per z z min z z cev ( z ) =kr c t ln 7+ln z0 z0 per z > z min [6.6] Nelle formule k r fattore di terreno, variabile in base alla categoria di esposizione del sito c t coefficiente di topografia, assunto nelle NT con valore c t = 1 nei casi normali e c t > 1 per edifici isolati posti sulla sommità o sulle pendici di una collina z 0 lunghezza di rugosità, variabile in base alla categoria di esposizione del sito z min altezza, a partire dal terreno, della zona in cui la velocità del vento è assunta costante I profili di velocità per le diverse pareti sono rappresentati in fig Fig Andamento della velocità del vento Per l edificio in esame sono: classe di rugosità A, zona geografica I, h < 500 m s.l.m, distanza dal mare > 30 km. In base a tali caratteristiche il sito è classificato nella categoria di esposizione V per cui: k r = 0,23 c tt =1 z 0 = 0,70 m z min = 12 m Il profilo della velocità in funzione della quota (z) vale pertanto: v p (z) = c ( z ) = 0,23 1 ln 7 + ln 28,05 = 6,45 ln 7 + ln [ m/s] ev z z z z 0,70 0,70 0,70 0,70 Per z 12 m v p (z) = ( ) cev 12 = 6,45 ln 7 + ln = 34,12 m/s 0,70 0,70 costante La velocità del vento sulle pareti sottovento 3 si assume con valore costante, valutato per un altezza convenzionale z = h* pari alla quota altimetrica del baricentro della copertura. Nel caso in esame (fig. 6.2): h* = (19, ,83) /2 = 20,07 > 12 m 20,07 20,07 cev 20,07 = 6,45 ln 7 + ln = 38,03 m/s 0,70 0,70 v p (h * ) = ( ) costante 3 3 Assimilando il vento a un fascio di luce sono sopravento gli elementi illuminati, sottovento quelli in ombra F. Biasioli

87 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 6 DM C) Pressione cinetica di di picco q (z) La pressione cinetica di picco q(z) è legata alla velocità del vento dalla legge di Bernoulli: 1 q( z ) = ρ v ( ) 2 p z 2 [6.7] Assumendo per la densità dell aria ρ = 1,25 kg/m 3 se la velocità del vento è in [m/s] la pressione cinetica di picco q(z) risulta espressa in [N/m 2 ]. Pertanto: Pareti sopravento z 12 m q (12) = 0,625 34,12 2 = 727 N/m 2 = 0,73 kn/m 2 costante Pareti sopravento z > 12 m z z -3 q (z) = 26,0 ln 7 + ln 10 0,70 0,70 [kn/m 2 ] Pareti sottovento z = h*= 20,07 m q (20.07) = 0,625 38,03 2 = 904 N/m 2 = 0,90 kn/m 2 costante D) Azioni quasi statiche equivalenti L azione d insieme esercitata dal vento su una costruzione è data dalla risultante delle azioni agenti sui singoli elementi considerando di regola, come direzione del vento, quella corrispondente a una degli assi principali della costruzione alla volta. Si assumono gli assi di riferimento x,y di figura; Il vento esercita in direzione perpendicolare agli elementi di parete o di copertura pressioni (positive) e depressioni (negative) a seconda della posizione degli elementi (sopravento o sottovento, interni o esterni) e della loro inclinazione rispetto all orizzontale (vento radente vedi figura): Fig Pressioni e depressioni dovute al vento L intensità delle pressioni/depressioni varia in funzione della geometria dell elemento e della pressione cinetica di picco q(z) secondo la relazione: w(z) = c p c d q(z) [6.8] z quota altimetrica valutata a partire dal terreno c p coefficiente di pressione c pe di pressione esterna: c pe = + 0,80 per elementi sopravento con inclinazione sull orizzontale α 60 ; c pe = - 0,40 per elementi sottovento paralleli alla direzione del vento (vento radente) e per falde sopravvento e sottovento con α 15 ; c pi di pressione interna: per costruzioni non stagne e con aperture regolarmente distribuite di superficie uniforme c pi = ± 0,20 scegliendo il segno che da luogo alla combinazione più sfavorevole. c d coefficiente dinamico variabile tra 0,05 e 1,15, tiene conto degli effetti riduttivi associati alla non contemporaneità delle massime pressioni locali e degli effetti amplificativi dovuti alle vibrazioni strutturali. Il suo valore dipende dalla tipologia (struttura in calcestruzzo o 2007 F. Biasioli 6-5

88 CAPITOLO 6 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO DM muratura, in acciaio o mista in acciaio-calcestruzzo) e dalle rapporto tra le dimensioni dell edificio. Per l edificio in esame c d = 0,95. Per il calcolo dell effetto globale del vento sulle pareti esterne verticali (α = 90 ) nelle due direzioni x e y si cumulano gli effetti delle pressioni e depressioni sulle pareti sopravento e sottovento. 4 La pressione unitaria totale agente nelle direzioni rispettivamente X e Y vale pertanto Per z 12 m q (z) = ± 0,95 (0,80 0,73 + 0,40 0,90 ) = ± 0,95 (0, ,36) = ± 0,90 kn/m 2 z z -3 Per z > 12 m q (z) = ± 0,95 0,80 26 ln 7 + ln ,40 0,90 0,70 0,70 [kn/m 2 ] Nell ipotesi che la struttura abbia solai infinitamente rigidi nel proprio piano, l'azione del vento può essere schematizzata con un sistema di forze orizzontali applicate a livello di ciascun solaio, considerate agenti separatamente secondo gli assi principali x e y dell'edificio e, per ciascuna direzione, alternativamente nei due versi opposti. Stante la modesta inclinazione delle falde (α = 10,7 < 15 ), sulla copertura si hanno pressioni e depressioni le cui componenti orizzontali si annullano vicendevolmente. L intensità delle forze di piano è il prodotto della pressione q(z) per la superficie di facciata di competenza di ciascun impalcato (semialtezza di piano x larghezza facciata). La pressione q(z) si assume convenzionalmente alle quote z di ciascun solaio indicate. Le rette d'azione delle forze risultanti sono applicate a livello del solaio e passano per la linea d asse di ogni facciata, di coordinate (17,80; 5,96) m vedi par Cumulando le pressioni e depressioni agenti sulle due pareti ortogonali alle direzioni x e y si ottengono le forze di piano di tabella 6.2 e fig Piano quota di piano (m) pressione unitaria (kn/m 2 ) altezza di influenza Vento in direzione X profondità (m) area (m 2 ) F xi (kn) Vento in direzione Y profondità (m) ST 18,26 1,00 2,79 38,2 ± 38,2 100,7 ± 100,7 P5 15,23 0,94 ± 39,0 ± 102,8 P4 12,20 P3 9,17 P2 6,14 P1 3,11 0,90 3,03 13,70 41,5 ± 37,4 Totale F x = ± 227 kn Tabella Carichi di vento Azioni statiche equivalenti 36,10 area (m 2 ) 109,4 F yi (kn) ± 98,8 Totale F y = ±599 kn Fig Carichi di vento 4 Il coefficiente cpi va preso in conto solo per la verifica dei singoli elementi e ha effetto nullo sull effetto globale F. Biasioli

89 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 6 Per edifici, come quello in esame, aventi altezza maggiore di 18 m si devono considerare anche gli effetti torsionali dovuto al vento agente in modo asimmetrico. Per edifici ordinari le NT individuano i 4 casi di carico di figura 6.6. In figura il simbolo p significa pressione, e d depressione. Fig Azione torsionale del vento I casi 2 e 4 possono essere ridotti a una forza equivalente con la relativa eccentricità. Nel caso 2 definita l n la lunghezza della parete normale alla direzione del vento sono: Risultante delle forze di vento: R = (p + d) (0,5 l n + 0,75 0,5 l n ) = 0,875 l n (p + d) Momento della forze rispetto al lato inferiore del fabbricato M = (p + d) [(0,5 l n 0,75 l n ) + (0,75 0,5 l n ) 0,25 l v ] = 0,47 l 2 n (p + d) La risultante R agisce pertanto alla distanza e = M/R = (0,47/0,875) l n = 0,54 l n dal lato inferiore, dunque è posta a distanza (4%l n ) oltre la mezzeria delle pareti. Si devono pertanto considerare l 87,5% delle forze di tabella 6.2 (casi 1x e 1y) a una distanza, dalla mezzeria dei lati del fabbricato ortogonali alla direzione del vento, pari al 4% della loro lunghezza dei lati- Tali distanze sono dunque rispettivamente pari a (0,04 x 13,70) = 0,55 m e (0,04 x 36,10) = 1,44 m rispetto agli assi di simmetria del solaio che distano 17,80 m e 6,50 m dall origine del sistema di riferimento globale. Nel caso 4, somma di due casi (2x) e (2y), entrambe le forze sono eccentriche. Calcolando le distanze rispetto all origine del sistema globale si ottengono i valori di tabella 6.3. F x e y F y e x caso [kn] [m] [kn] [m] 1x ± 227 6,50 1y ± ,80 2x ± 0, = ± 199 6,50+0,55 = 7,05 2y ± 0, = ± ,80+1,44 =19,24 3 ± 0, = ± 170 ± 0, = ± ± ± ,24 Tabella 6.3 Azioni del vento 2007 F. Biasioli 6-7

90 CAPITOLO 6 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO DM Azioni ambientali e naturali - sisma Accelerazione di progetto Sd (T) stato limite ultimo L edificio è localizzato in zona sismica 4, una zona per la quale ciascuna Regione può richiedere la verifica sismica. Si assume una Classe di Duttilità (CD) bassa. L azione sismica in zona 4 è definita da: valori di accelerazione a max con una probabilità di superamento pari al 10% in 50 anni compresi tra il 2,5% e il 5% dell accelerazione di gravità (0,025 g a max 0,05 g); un accelerazione di ancoraggio al suolo dello spettro di risposta elastico a g = 0,05g. Per strutture regolari in altezza la verifica può essere effettuata utilizzando l analisi statica equivalente anziché l analisi dinamica modale. Se la struttura è, come quella in esame, anche regolare in pianta è possibile scindere l azione sismica in due azioni separate, studiando un modello piano della struttura per ciascuna direzione principale. 5 In via semplificata la 3274 consente che non siano effettuare le verifiche allo stato limite di danno se si assume, per la verifica allo SLU, un valore di accelerazione delle masse di intensità 0,05g. In alternativa per una valutazione più precisa si può adottare l azione sismica di progetto S d (T 1 ) ricavata dallo spettro di risposta in accelerazione. Gli effetti di un terremoto su una struttura dipendono dall interazione tra le caratteristiche della struttura e le caratteristiche del sisma, cioè l accelerazione a cui la struttura è sottoposta. Tale interazione viene definita attraverso lo spettro di risposta di progetto S d (T), una funzione che ha in ascissa il periodo di vibrazione T dell oscillatore elastico equivalente al sistema strutturale specifico, in ordinata l accelerazione S d a cui è soggetta la massa dell oscillatore a seguito dell applicazione, sul substrato rigido del sedime di fondazione, dell accelerazione di ancoraggio al suolo a g ( g = ground, terreno). Un coefficiente S 1 amplifica l accelerazione di ancoraggio a g per tenere conto degli effetti di risonanza/amplificazione dovuti alle caratteristiche stratigrafiche del terreno nella zona compresa tra il substrato rigido e l opera di fondazione. Lo spettro è formato da diverse parti individuate dalle equazioni: 0 T T B d( ) ( g ) T B T T C Sd( T ) = ( ag S) 2,5 T T S T = a S + 0,4q 1- q TB T B 2,5 q 2,5 T Sd T = ag S q T T C T T D ( ) ( ) C [6.9] 2,5 TCT D T D T 4 s Sd( T ) = ( ag S) 2 q T nelle quali: a g accelerazione di ancoraggio al suolo relativa ad un terreno di tipo A (roccia) S coefficiente che tiene conto degli effetti locali di amplificazione dovuti al terreno q fattore di struttura che modella il comportamento anelastico della struttura T B, T C, T D valori dei periodi che identificano i diversi rami dello spettro, dipendenti anch essi dal profilo stratigrafico del terreno di fondazione. 5 Per le strutture in zona 4 l analisi statica equivalente separata secondo due direzioni è sempre applicabile, indipendentemente dalla regolarità strutturale, purché si adotti un accelerazione di progetto convenzionale pari a Sd(T1) = 0,05 g F. Biasioli

91 DM 5.7 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 6 Parametri dello spettro di risposta allo SLU Per i terreni nei quali non sono presenti strati superficiali alluvionali di spessore compreso tra 5 e 20 m, i parametri dello spettro di risposta allo stato limite ultimo che caratterizzano l azione applicata alla struttura hanno i valori di tabella 6.4: Tipo terreno S B, C, D 1,25 0,15 0,50 2,0 Periodo fondamentale di vibrazione T 1 T B [s] T C [s] Tabella 6.4 Parametri dello spettro di SLU OR Se si applica l analisi statica lineare, nel caso di edifici la cui altezza è minore di H = 40 m il periodo fondamentale di vibrazione T 1 può essere stimato in via semplificata mediante la formula: T 1 = C 1 H 3/4 [s] [6.10] Secondo l Ordinanza 3274 per edifici con struttura a telaio in calcestruzzo armato è C 1 = 0,075, per altri tipi di edificio C 1 = 0,050. Nel caso specifico adottando l altezza H = 18,26 m a livello del sottotetto il periodo fondamentale di vibrazione dell edificio è pari a T 1 = C 1 H 3/4 = 0,075 18,26 3/4 = 0,66 s. In base ai valori di tabella 6.4 il periodo T 1 identifica la parte di spettro compresa tra i limiti T C e T D e di conseguenza la terza equazione delle [6.9]. Fattore di struttura q Il fattore di struttura q è un valore adimensionale che individua indirettamente la duttilità della struttura. Può essere calcolato in via semplificata con la relazione q o K α q = (K α K D K R ) q 0 [6.11] valore di base che dipende dal livello di duttilità attesa, pari a 4,0 per strutture miste telaio pareti. fattore di duttilità della struttura, che dipende dal rapporto tra il valore α u dell azione sismica per il quale si verifica la formazione di un numero di cerniere plastiche tale da rendere labile la struttura e α 1 per il quale il primo elemento strutturale raggiunge la sua resistenza flessionale; per strutture classificabili come miste telaio pareti è K α = α u /α 1 = 1,20. K D fattore che dipende dalla Classe di Duttilità CD; per CD B è K D = 0,7. K R fattore che dipende dalla regolarità dell'edificio; per edificio regolare in altezza è K R = 1, per edificio non regolare è K R = 0,80. Nel caso in esame q = K α K D K R q 0 = 1,2 0,7 1 4 = 3,36 Per T = T 1 e T C T 1 T D. si ottiene: 2,5 T C 2,5 0,50 Sd( T 1) = ag S = 0,05 g 1,25 = 0,035 g q T1 3,36 0,66 La presa in conto dello spettro elastico consente una riduzione delle forze sismiche del 30% rispetto alla soluzione semplificata basata su una accelerazione convenzionale di intensità 0,05g. Gli effetti del sisma dell edificio si riducono dunque nello stesso rapporto. La scelta di adottare l accelerazione spettrale invece della accelerazione convenzionale impone peraltro la verifica di stato limite di danno. T D [s] 2007 F. Biasioli 6-9

92 CAPITOLO 6 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Accelerazione di progetto Se (T) stato limite di danno DM Lo spettro di progetto per lo stato limite di danno è definito dalle equazioni: 0 T T B e( ) ( gd ) T B T T C e( ) ( gd ) T 0,4 T S T = a S η 2, TB η T B S T = a S η 2,5 TC T C T T D Se( T ) = ( agd S) η 2,5 T [6.12] TT C D T D T 4 s Se( T ) = ( agd S) η 2,5 2 T Per S, T B T C e T D continuano a valere i valori definiti per lo spettri di SLU (tab. 6.4). a gd (d = danno ) è l accelerazione di ancoraggio dello spettro per la quale la probabilità di superamento è pari al 50% in 50 anni. L accelerazione a gd, essendo riferita a eventi caratterizzati da una frequenza di accadimento più elevata di quelli su cui si basa la verifica allo SLU, ha valore minore di a g. Sulla base di quanto indicato nell OPCM 3519/2006 e nelle successive mappe di pericolosità 6 è possibile assumere, per la maggior parte delle zone del nord Italia un valore di a gd compreso tra 0,025g e 0,05g. In base alle considerazioni sopra riportate nel caso in esame si assume a gd = 0,025g. Parametri dello spettro di risposta di SLD Per tutti i terreni in cui non sono presenti strati superficiali alluvionali di spessore compreso tra 5 e 20 m, i parametri di identificazione dello spettro di stato limite di danno hanno i valori di tabella: Tipo terreno S B, C, D 1,5 0,05 0,25 1,2 Tabella 6.5 Parametri dello spettro di SLD Fattore di correzione dello smorzamento η T B [s] Il coefficiente percentuale di smorzamento viscoso equivalente dell azione sismica ξ dipende dal tipo di materiali utilizzati, dalla tipologia strutturale e dal terreno di fondazione. Le norme suggeriscono il valore ξ = 5%. Il fattore di correzione η serve a tener conto di un coefficiente ξ avente valore diverso dal 5%. Nel caso in esame si assumono ξ = 5% dunque η = 1. Il valore del periodo fondamentale dell edificio T 1 = 0,66s identifica la parte di spettro compresa tra i valori T C e T D. In base ai parametri sopra indicati per T C T 1 T D risulta pertanto: TC 0,25 Se( T ) = ( agd S) η 2,5 = 0,025g 1,25 1 2,5 = 0,030g T 0,66 Dato che i tamponamenti presenti nella struttura possono ridurne la deformabilità, occorre inoltre verificare che gli spostamenti relativi di interpiano non superino il valore d r 0,5%h, essendo h l altezza di interpiano. Per tale verifica occorre dunque determinare gli spostamenti del solaio. T C [s] T D [s] 6 Le mappe di pericolosità relative a probabilità annuali di eccedenza diverse dalla probabilità su cui si basa la verifica allo SLU (10% in 50 anni) sono state redatte dal medesimo gruppo di lavoro che ha definito la mappa dell OPCM 3519/2006 e sono scaricabili dal sito F. Biasioli

93 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO Modello delle azioni sismiche orizzontali L effetto delle azioni sismiche può essere trattato in modo analogo all effetto delle azioni dovute al vento, assumendo l ipotesi di solai infinitamente rigidi. Nell analisi statica equivalente il sisma è modellato con un sistema di forze orizzontali di piano ottenute ripartendo proporzionalmente all altezza di piano il tagliante alla base F h che vale: F h = S d (T 1 ) λ W /g [6.12] W è il peso complessivo del fabbricato (v. oltre) dunque W/g rappresenta la massa totale del fabbricato. Il coefficiente λ tiene conto in modo forfetario della massa "modale" che realmente partecipa al modo di vibrare fondamentale: per edifici a telaio in calcestruzzo armato con più di tre piani per i quali T 1 < 2T C, è λ = 0,85. DM Sia i pesi dei singoli piani W i che il peso complessivo dell edificio W sono calcolati per i carichi che sono sempre mediamente presenti, cioè nella combinazione di carico quasi permanente: G k + Σ i (ψ 2i Q ik ) SI assumono ψ 2i = 0,30 per carichi di abitazione e sulle scale e ψ 2i = 0,20 per i carichi su tetti e coperture. Con tali ipotesi il carico totale della parte di fabbricato libera di oscillare è W = kn (tabella 6.6). Il tagliante alla base vale pertanto F h = 0,035g 0, /g = 862 kn allo SLU F h = 0,030g 0, /g = 739 kn allo SLD Esso si distribuisce sui vari piani in proporzione al momento statico delle masse del singolo piano z i W i rispetto al momento statico delle masse di tutto l edificio Σ(z j W j ): F i = F h z i W i / Σ(z j W j ) [6.13] Ciascuna forza di piano agisce nel baricentro delle masse ( centro di massa ) di ciascun solaio. La posizione del centro di massa può essere calcolata con sufficiente precisione in base al valore dei carichi agenti sui pilastri: dato che per la [6.12] la forza orizzontale sismica è proporzionale al carico totale verticale si può assumere anche per ogni elemento verticale una forza orizzontale proporzionale al carico verticale che gli compete. I La tabella 6.6 riporta, per la combinazione di carico quasi permanente, il carico verticale agente su ciascun elemento verticale. In base alla posizione di ciascun elemento il centro di massa ha coordinate: x m = 17,80 m y m = 5,96 m Per tenere conto dell incertezza relativa alla distribuzione reale delle masse in condizioni di esercizio, la retta d azione della forza sismica si considera possa passare non nel centro di massa, ma con eccentricità e ai pari al ± 5% della dimensione massima del solaio nella direzione perpendicolare alla direzione dell azione sismica considerata. La retta d azione si trova dunque nella zona compresa tra le rette x m = 17,80 ± 36,10 0,05 = 17,80 ± 1,81 m = (15,99 m; 19,61 m) y m = 5.96 ± 13,70 0,05 = 5,96 ± 0,69 m = (5,25 m; 6,65 m) Si dovrà tenere conto della condizione che rende massima la distanza tra la retta d azione della forza sismica e la posizione del baricentro delle rigidezze K, punto attorno a cui ruota il solaio F. Biasioli 6-11

94 CAPITOLO 6 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO tipo rif. coordinate x y forza verticale My Mx [m] [m] [kn] [knm] [knm] ASC B ASC B C A A R A A A C A A R A A A C A R C C C Q C C C R C C D D D D D R D D D D D C D Totale x m = = 17,80 m y m = = 5,96 m Tab. 6.6 Coordinate del centro di massa F. Biasioli

95 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO Azioni orizzontali Nella tabella 6.7 sono riportate - l ntensità delle diverse azioni orizzontali - la distanza e y o e x delle relative rette d azione dall origine del sistema di riferimento globale - la distanze e = max (e x y K ; e y x ) tra le rette d azione delle forze orizzontali e il baricentro delle rigidezze K avente coordinate (17,80; 3,82) m. Nel caso in cui e y o e x abbiano segno ±, la distanza e è calcolata assumendo il segno che ne rende massimo il valore - il momento torcente M z ottenuto applicando alla forza in esame l eccentricità e. Tipo Caso/ direzione F e x e y e M z [kn] [m] [m] [m] [knm] Imp. geometriche x,y ,80 5,96 2, Vento Sisma SLU Sisma SLD 1x 227 6,50 2, x 199 7,05 3, y , y ,24 1, x 170 6,50 0 3y , ,05 3, ,24 1, x 6,65 2, y 19,61 1, x 6,65 2, y 19,61 1, Tabella 6.7 Confronto delle azioni orizzontali Moltiplicando l intensità di ciascuna forza per l eccentricità e si ottiene il momento torcente M t applicato al solaio. Gli effetti delle imperfezioni geometriche sono nettamente inferiori a quelli del vento e del sisma: esse non vengono pertanto ulteriormente considerate. Allo SLU si verificano due diverse combinazioni: - la combinazione che cumula gli effetti del vento con i massimi carichi verticali - la combinazione sismica F. Biasioli 6-13

96 CAPITOLO 6 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO 6.5 Combinazione delle azioni carichi verticali e vento Pilastri Allo SLU gli effetti dell azione del vento sugli elementi verticali si valutano considerando il solaio del primo piano come infinitamente rigido. La ripartizione della forza totale orizzontale dovuta al vento si effettua con le modalità descritte nel capitolo 5 affidando l intera forza ai soli elementi di controvento; comunque considerando, a favore di sicurezza, nelle verifiche di ciascun pilastro, la forza orizzontale che ad esso risulta dalla ripartizione. Dalla tabella 6.7 il caso dominante per il vento risulta il n. 4, che genera il maggior effetto torsionale. Tale caso è somma dei casi 2x e 2y: il vento in direzione x ha risultante F x = 199 kn, e momento torcente M t = knm, il vento in direzione y ha risultante F y = 524 kn, e momento torcente M t = knm, dunque il momenti torcente totale vale M t = knm. Dalla ripartizione si ottengono su ciascun elemento le azioni di tab I momenti M z,i = (M i + F x,i y2 i + F x,i x i2 ) tengono conto dei momenti torcenti T i dovuti alla rotazione θ del piano e del contributo dovuto all intensità delle forze reattive F x,i F x,i di ciascun elemento, considerate passanti per il centro di taglio dell elemento. La risultante delle forze interne di componenti (F x,i F x,i M z,i ) ha i valori evidenziati in grassetto alla fine delle colonne relative ed è in equilibrio con le forze sollecitanti. Tabella 6.8 Azioni del vento pilastri F. Biasioli

97 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO Elementi di controvento In base ai valori di tabella 6.8 il contributo offerto dai controventi all assorbimento delle azioni orizzontali è pari a circa il 92% per ogni direzione considerata. I valori delle azioni - forze e coppie - su tali elementi sono ripetuti nelle prime colonne di tabella 6.9. Poiché convenzionalmente agli elementi di controvento si vuole affidare il 100% degli effetti delle forze orizzontali, calcolato il rapporto tra le azioni globali e il totale parziale delle azioni assorbite dai soli elementi di controvento si moltiplica per tale rapporto ciascuna azione. Le tre ultime colonne di tabella 6.9 riportano i valori ricalcolati. Tipo rif. Fx,i Fy,i Mi Fx,i Fy,i Mi [kn] [kn] [knm] [kn] [kn] [knm] ASC B B D S D D D Tot. controventi Tot. generale , Rapporto 1,09 1, Tabella 6.9 Azioni del vento controventi Gli elementi più sollecitati risultano il vano ascensore B10 e il setto D11 evidenziali in tabella. Per il calcolo delle sollecitazioni su tali elementi occorre considerare che - essendo le strutture di controvento considerate come mensole incastrate alla base, per il calcolo del momento di incastro le forze di tabella 6.9 vanno ripartite lungo tutta l altezza di tali strutture (fig- 6.7). A tal fine si attribuisce, a ciascun piano, una quota delle azioni di tabella 6.9 proporzionale al peso che la forza vento, a livello di ciascun piano, ha rispetto alla totale forza di vento, utilizzando i valori di tabella 6.2; - per calcolare il momento torcente che sollecita i vani ascensore occorre tener presente che le azioni orizzontali di tabella 6.9 sono applicate nel centro di taglio, esterno alla sezione e distinto dal baricentro. Riportando la forza eccentrica F x nel baricentro nasce un momento torcente di trasporto, che va sommato al torcente proprio. Tipo rif. Fy,i Fx,i ey Mi MI,tot [kn] [kn] [m] [knm] [knm] ASC B 4 169, B , In tabella 6.10 sono riportate le azioni applicate, a livello di ciascun solaio su ascensori e setti. Poiché in fase di predimensionamento si è ipotizzato che i vani ascensore lavorino in condizioni non fessurate sotto gli effetti del vento, occorrerà validare anche tale ipotesi. Fig. 6.7 Controvento forze di piano 2007 F. Biasioli 6-15

98 CAPITOLO 6 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Piano quota di forze di piano vano ascensore piano Fxi Fyi Fx Fy My Mx Mz [m] [kn] [kn] [kn] [kn] [knm] [knm] [knm] ST P P P P P Totali quota di Tab. 6.10a Azioni del vento vano ascensore B10 forze di piano setto vano scala D11 piano Fxi Fyi Fx Fy My Mx Mz Piano [m] [kn] [kn] [kn] [kn] [knm] [knm] [knm] ST P P P P P Totali Tab. 6.10b Azioni del vento setto D F. Biasioli

99 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO Combinazione delle azioni carichi verticali e azione sismica Come per il vento, anche gli effetti dell azione sismica si prendono in conto: affidando l intera forza ai soli elementi di controvento,e contemporaneamente considerando, a favore di sicurezza, anche la quota spettante al singolo pilastro Sisma - SLU Il sisma in direzione x genera a livello del primo impalcato la forza orizzontale F x = 862 k e il momento M t = 1560 knm. Si ottengono gli spostamenti u 0 = 0,235 mm v 0 = 0 mm θ = 7,1 x 10-6 rad. Le reazioni dei singoli elementi e gli spostamenti u i = u 0 - θ y i v i = v 0 + θ x i e complessivo 2 2 i = u i +vi δ sono riportati nella tabella Tabella 6.11 Azione sismica di SLU in direzione x primo solaio Il sisma in direzione y genera la forza orizzontale F x = 862 kn e il momento M t = 2440 knm. Si ottengono gli spostamenti u 0 = 0 mm v 0 = 0,22 mm θ = 4,52 x 10-6 rad. Le reazioni dei singoli elementi e gli spostamenti u i = u 0 - θ y i v i = v 0 + θ x i 2 2 i i i e complessivo δ = u +v sono riportati nella tabella F. Biasioli 6-17

100 CAPITOLO 6 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Tabella 6.12 Azione sismica di SLU in direzione y primo solaio Verifica allo SLD calcolo dello spostamento di interpiano Le verifiche di SLD richiederebbero una seconda ripartizione delle azioni, adottando le intensità di tab. 6.8 ma è possibile evitare la procedura utilizzando i risultati già disponibili per lo SLU. Stante l ipotesi di modello lineare, gli spostamenti di SLD si possono ricavare da quelli di SLU moltiplicando gli spostamenti di quest ultimo per il rapporto tra le forze sismiche nei due casi. In via semplificata e a favore di sicurezza, in tabella 6.12 l elemento che presenta il massimo spostamento è quello con sigla A13, per il quale per sisma agente in direzione Y lo spostamento vale δ = 0,30 mm. Per proporzionalità lo spostamento dello stesso elemento allo SLD risulta: d r,max,sld = 0,30 739/862 = 0,26 mm Poiché l elemento è assunto come incastrato alla base, tale spostamento corrisponde con lo spostamento massimo di interpiano che, perché sia verificato lo stato limite di danno, deve essere minore del valore di confronto d r = 0,5% h = 0, = 15 mm:. La verifica è soddisfatta F. Biasioli

101 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO Azione sismica - elementi di controvento Dai dati delle tabelle 6.11 e 6.12, il sistema di controventi risulta assorbire più del 90% delle azioni orizzontali: Con le stesse modalità adottate per le azioni dovute al vento, agli elementi di controvento viene affidato il 100% delle azioni sismiche I valori che assume la forza totale a livello del primo solaio sono, per ciascun nucleo o setto e per le due direzioni del sisma, riassunti in tabella Le tre ultime colonne contengono i valori ricalcolati per fornire il 100% della forza orizzontale. tipo rif. Fx,i Fy,i Mz,i Fx,i Fy,i Mz,i sisma x [kn] [kn] [knm] [kn] [kn] [knm] ASC B B D S D D D Totale Tot. Generale Rapporto tipo rif. Fx,i Fy,i Mz,i Fx,i Fy,i Mz,i sisma y [kn] [kn] [knm] [kn] [kn] [knm] ASC B B D S D D D Totale Tot. Generale Rapporto Tab Azioni sui controventi Come per il vento, gli elementi più sollecitati sono il vano ascensore B10 e il setto D11 evidenziali in tabella. Anche in questo caso le azioni globali vanno distribuite tra i vari piani adottando la formula [6-13] e riportate, nel caso dei vani ascensore, dal centro di taglio al baricentro. Le tabelle 6.14 riportano i valori così ottenuti F. Biasioli 6-19

102 CAPITOLO 6 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Tab. 6.14a Azioni sismiche - vani ascensore Tab. 6.14b Azioni sismiche - setti DM OR Combinazione delle azioni Le azioni verticali e orizzontali agiscono simultaneamente sulla struttura è necessario cumularle secondo le regole definite al paragrafo 2.3. In campo elastico lineare l effetto del vento in condizioni di SLU può essere tenuto in conto moltiplicando i valori delle tabb. 6.8, 6.10 e 6.11 per il coefficiente ψ 0 = 0,6. La combinazione degli effetti dovuti al sisma con quelli relativi ai carichi verticali avviene utilizzando una regola di combinazione di SLU differente rispetto a quella che si usa nella condizione statica. Si considerano i carichi verticali nella combinazione di carico quasi permanente e li si combina con l effetto di progetto del sisma. E X/Y + G k + Σ i ψ 2i Q ik Ciascuna azione sismica di progetto E X o E Y è ottenuta combinando gli effetti dell azione sismica secondo una direzione con il 30% con gli effetti secondo l altra direzione E X = E Edx + 0,30 E Edy E Y = E Edy + 0,30 E Edx Le azioni sollecitanti di progetto su un elemento si ottengono dunque per sovrapposizione degli effetti F. Biasioli

103 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 7 CAPITOLO 7 Solai Il comportamento dei solai in laterocemento, come in genere di tutte le strutture snelle in cui non sono presenti armature trasversali per taglio, si basa su un meccanismo di trasferimento dei carichi agli appoggi (travi e muri) di tipo arco-tirante : in tale schema le spinte di un arco di calcestruzzo compresso molto ribassato sono equilibrate da un tirante realizzato dalle armature inferiori del solaio. Da qui l importanza che almeno parte delle armature inferiori sia presente su tutta la lunghezza del solaio e sia ancorata in modo adeguato alle due estremità, prolungando le barre all interno delle travi di bordo. Il dimensionamento delle armature viene effettuato considerando, a seconda della sollecitazione, sezioni a forma di T (in campata) o a forma rettangolare estesa (sull asse delle travi) o ristretta (nelle zone di collegamento tra le nervature e le travi, se soggette a momento negativo). Data l ampia zona di calcestruzzo compresso per la presenza della soletta le sezioni hanno in genere un basso rapporto di armatura e la verifica delle tensioni nel calcestruzzo, almeno per i carichi e le luci comuni negli edifici, non è mai critica. Per il calcolo delle armature sono sufficienti metodi approssimati basati sull equilibrio. Nel seguito assunti come già verificati (cap. 3) gli stati limite di esercizio di deformazione, fessurazione e limitazione delle tensioni, si descrivono in sequenza: - il diagramma di inviluppo delle sollecitazioni agenti, calcolate con modelli elastico-lineari; - il calcolo dell armatura teorica ed effettiva inferiore in campata; - il calcolo della quantità d armatura inferiore che deve essere portata fino agli appoggi di estremità - il calcolo dell armatura superiore all appoggio centrale; - le verifiche a taglio - il calcolo delle lunghezze di ancoraggio. 7.1 Analisi delle sollecitazioni Il solaio è caricato dai carichi permanenti G k = 5,94 kn/m 2 e Q k = 2,0 kn/m 2. Per una larghezza di solaio pari a un metro (due nervature) il carico totale di progetto allo SLU ha intensità: γ G G d + γ Q Q d = (1,4 5, ,5 2 1) = (8,32 + 3,0) = 11,32 kn/m/m Due schemi statici coprono tutte le tipologie presenti nel solaio: nervature S03-S01 trave continua su due campate di luce 6,525 m con appoggi di estremità nervatura S04 trave appoggiata di luce 4,525 m Per tutte le nervature non si considerano, per il calcolo delle sollecitazioni, a favore di sicurezza momenti di semi incastro agli appoggi di estremità. Per le nervature S03-S01 la disposizione dei carichi variabili genera i diagrammi di inviluppo delle sollecitazioni di momento e taglio di figura Le reazioni massime sono dovute alla combinazione con entrambe le campate caricate e γ G = 1,4 γ Q = 1,5. Per la nervatura S04 la sollecitazione massima vale: EC ( ) 2 2 γ G + γ Q l 11,32 4,525 G k Q k M max = = =29,0 knm 8 8 Se un elemento è continuo su un appoggio che non costituisce vincolo alla rotazione, come è per le nervature S03 S01 il vincolo rappresentato dalla trave centrale, il momento sull appoggio può essere 1 I diagrammi di inviluppo sono calcolati con il programma TraveConDWG del prof. Gelfi, scaricabile liberamente dal sito F. Biasioli 7-1

104 CAPITOLO 7 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO ridotto perchè la reazione d appoggio R non risulta concentrata in un punto, ma uniformemente distribuita sulla larghezza t dell appoggio. Da considerazioni di equilibrio la riduzione vale (fig. 7.2): ΔM = R t/8 La trave centrale ha larghezza t = 0,65 m ed è R = 92,30 kn/m. Risulta ΔM = 92,30 0,65/8 = 7,5 knm/m Scala momenti 1:25 - Sollecitazioni SLU M min M max R max R min Scala tagli 1:25 - Sollecitazioni SLU T maxs T maxd Luci gk qk 2 2 Fig, 7.1 S03-S01 - diagrammi di inviluppo delle sollecitazioni Fig, 7.2 S03 S01 Riduzione del momento sull appoggio Per il progetto delle armature le sezioni di interesse e le sollecitazioni allo SLU di momento M Sd e taglio V Sd sono: S03-S01 asse della trave centrale M Sd = (60,2-7,5) = 52,7 knm/m filo della trave centrale (prima sezione ristretta) M Sd = 45,8 knm/m campata, a z = 29,88/11,32 = 2,64 m dall asse della trave di bordo M Sd = 39,5 knm/m prima sezione ristretta a filo della trave centrale: V Sd = 46,15 11,32 x 0,325 = 42,5 kn/m S04: campata a distanza z = 2,23 m dall asse della trave di bordo M Sd = 29,0 knm/m sezione ristretta a filo della trave centrale: V Sd = 25,61 11,32 x 0,525 = 19,7 kn/m F. Biasioli

105 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 7 EC Verifiche a flessione Armature inferiori I solai in laterocemento sono stati predimensionati (altezza e armatura) nel capitolo 3. Le sezioni di una nervatura sono rappresentate in figura 7.3. Il baricentro delle armature varia a seconda della luce e dello schema statico delle nervature. La distanza del baricentro delle armature inferiori tese al bordo inferiore del solaio S03 S01 (intradosso laterizio) è d = 34 mm, l altezza utile di conseguenza: d = h - d = = 196 mm (fig. 7.3, sinistra); per il solaio S04 è d = 30 mm, pertanto d = = 202 mm. (fig. 7.3, destra). QT4 6.5 Fig. 7.3 Nervature S03 S01 e S04 sezione La larghezza minima delle nervature b w deve risultare 1/8 dell interasse i tra i travetti, con un minimo di 80 mm. Nel caso in esame: i = 500 mm b w = 100 > 500/8 La quantità di armatura tesa in campata, stimata nel paragrafo 3.4.1, fornisce i rapporti geometrici e meccanici: S03 S01 A s fyd 0, φ 12 per nervatura ρ= = 100 = 0,35% ω=ρ = = 0,09 bd fcd ,8 S04 A s fyd 0, φ 12 per nervatura ρ= = 100 = 0,22% ω=ρ = = 0,05 bd fcd ,8 Per una sezione a T con asse neutro nell anima ma molto vicino al bordo inferiore dell ala, nell ipotesi che la coppia resistente interna sia realizzata dalle risultanti delle tensioni di compressione di intensità f cd nella soletta superiore uniformemente compressa, e delle tensioni f yd delle armature inferiori, risulta:: h 50 h 50 ω ω d 196 d 202 f f lim = = = 0,26 lim = = = 0,25 Tale rapporto è maggiore di entrambi i valori precedenti, pertanto l asse neutro taglia certamente l ala e i travetti si verificano, a momento positivo, come sezioni rettangolari di larghezza pari alla larghezza dell ala. QT4 STR 2 Dalla tabella QT4 STR 2 ai rapporti meccanici corrispondono le profondità dell asse neutro e i momenti resistenti : S03 S01 ω 0 = 0,09 ξ = 1,235 ω 0 = 0,105 x = ξ d = 0,105 x 196 = 22 < 50 mm μ = ω 0 (1 0,513 ω 0 ) = 0,09 (1 0,513 0,09) = 0, cd M Rd = μbd f = 0, ,8 10 = 51,6 > 39,5 knm/m S04 ω 0 = 0,05 ξ = 1,235 ω 0 = 0,062 x = ξ d = 0,062 x 202 = 13 < 50 mm μ = ω 0 (1 0,513 ω 0 ) = 0,05 (1 0,513 0,05) = 0,049 Rd cd M = μbd f = 0, ,8 10 = 32,2 > 29,0 knm/m Per assicurare un'adeguata resistenza nei confronti di un eventuale vincolo di incastro parziale alle estremità delle travi l'ec2 richiede che, anche se nell analidi delle sollecitazioni si sono assunti alle estremità vincoli di appoggio semplice, le sezioni d'estremità siano armate in modo da essere in grado di portare un momento negativo pari ad almeno il 25% del momento in campata, dunque per il momento maggiore pari a: 2007 F. Biasioli 7-3

106 CAPITOLO 7 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO M Sd = 0,25 x 39,5 = 9,9 knm/m L armatura prevista in campata per il solaio S04 (4 φ 12/metro) fornisce il momento resistente M Rd = 32,6 knm/m dunque ciascuna barra contribuisce al momento totale per una quota pari a 32,2/4 = 8,1 knm/m. E pertanto sufficiente disporre superiormente all estremità del solaio e in tutte le nervature una barra φ 12, in grado di realizzare un momento resistente M Rd = 2 x 8,1 = 16,2 > 9 knm/m. Il meccanismo arco-tirante prevede che alle estremità della trave sia presente una quantità d armatura tale da realizzare il tirante inferiore. L arco, fortemente ribassato, si assume inclinato alle estremità di un angolo θ a cui corrisponde la forza di trazione N Sd = V sd cot θ (fig. 7.4) A favore di sicurezza si assume per l angolo l inclinazione minima sull orizzontale θ = 21,8 (cot θ = 2,5) permessa dall EC2 per le bielle di calcestruzzo Fig. 7.4 Arco-tirante compresso nel caso di travi armate a taglio. Nell ipotesi che le armature lavorino tutte al tasso f yd la quantità minima di armatura longitudinale A sl richiesta per il tirante risulta: S03 S01 N Sd = V sd cot θ = 29,9 2,5 = 74,8 kn/m A sl = N Sd /f yd = 74, /391 = 191 mm 2 /m S04 N Sd = V sd cot θ = 25,6 2,5 = 64 kn/m A sl = N Sd /f yd = /391 = 164 mm 2 /m Portando alle estremità del solaio una barra per nervatura è: A sl = = 226 > 191 mm 2 /m. Tali amature devono ovviamente essere adeguatamente ancorate (v. oltre) Armature superiori La sezione di solaio in corrispondenza dell asse delle travi ha forma rettangolare di dimensioni (b x h)= (1000 x 230) mm. Nella parte inferiore della sezione, soggetta a momento negativo, risultano presenti e ancorate due delle barre di campata, una per travetto, ma tale armatura non viene presa in conto in quanto essendo posizionata al di sopra dell armatura longitudinale delle travi, dunque molto distante dal lembo compresso della sezione, è poco sollecitata. Se si utilizzano barre φ 14 mm valgono le grandezze geometriche (fig. 5.2): - distanza d del baricentro delle barre superiori tese dal bordo di calcestruzzo più vicino d = 32 mm - altezza utile delle armature tese: nella sezione sulla trave d = = 198 mm; nella sezione all attacco trave.solaio con tavella inferiore di laterizio sp. 8 mm: d = = 190 mm Il massimo momento negativo arrotondato ha intensità M Sd = 52,7 knm/m. Risultano: M 52,7 10 μ= = = 0,085 bd f ,8 Sd 2 2 cd ω= 0,975( ,05 μ ) = 0,975( ,05 0,085 ) = 0,089 ωbdf 0, ,8 A 713 mm 2 /m cd s = = = fyd 391 Si dispongono 3φ14 per nervatura (6 barre per metro) con area A s = 6 x 154 = 924 > 713 mm 2 /m. Il momento nella prima sezione ristretta all attacco tra le nervature e la trave (b = 2 x 120 = 240 mm), vale 6 45,8 10 M Sd = 45,8 knm/m. μ= = 0,335 ω= 0, ,05 0,335 = 0, ,8 As ωbdf 0, ,8 cd = = = fyd 391 ( ) mm 2 /m: si mantengono 3φ14 per nervatura F. Biasioli

107 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO Lunghezze di ancoraggio Per calcolare le lunghezze di taglio delle barre, alla lunghezza teorica, calcolata sulla base delle richieste strutturali, occorre sommare le lunghezze di ancoraggio. Per queste ultime occorre definire: - le condizioni locali di aderenza (buona o mediocre): tutte le barre, sia inferiori che superiori, presenti in getti di spessore minore di 250 mm sono considerate in condizioni di buona aderenza ; - il valore di progetto f bd della tensione di aderenza che, per barre con diametro fino a 32 mm in condizioni di buona aderenza vale 2 : 0,85 f 0,7 f ctk,0,05 ctm 2/3 2/3 2/3 f bd = 2,25 f ctd = 2,25 = 1,913 = 0,837 0,30 fck = 0,251 (0,83R ck ) = 0,222 R ck γ c 1,60 Per un calcestruzzo R ck 30 f bd = 0, /3 = 2,14 N/mm 2 Una barra di diametro φ, perimetro πφ e area πφ 2 /4 che lavora alla tensione di trazione f yd trasmette al calcestruzzo una forza pari a (πφ 2 /4) f yd. Per evitare che la barra si sfili dal calcestruzzo, tale forza deve essere equilibrata dalla risultante delle tensioni di aderenza f bd che si sviluppano sul perimetro della barra per una lunghezza l bd0, detta lunghezza di ancoraggio di riferimento. Risulta: 2 φ φ f l bd0 ( πφ ) fbd = π f yd l bd0 = 4 4 f Se la barra lavora alla tensione σ sd < f yd la lunghezza di ancoraggio si riduce proporzionalmente: si ottiene la lunghezza di ancoraggio di base l bd : σsd l bd = lbd0 f Tutte le barre che non si considerano più collaboranti a partire da una data sezione devono essere ancorate oltre la sezione per almeno la lunghezza l bd > l bmin. Per valutare la tensione σ sd si devono considerare TUTTE le barre presenti nella sezione, sia quelle collaboranti che quelle non collaboranti. In una sezione sollecitata da un momento M Sd armata con barre di diametro φ e area A s siano: - n il numero ESATTO di barre richiesto per assorbire il momento M Sd lavorando al tasso f yd ; - n 1 > n il numero totale di barre presenti nella sezione Per l equilibrio è n A s f yd = n 1 A s σ sd di conseguenza yd yd bd sd bd bd0 bd0 fyd n1 [7.1] [7.2] σ n l = l = l > lbmin [7.3] La lunghezza minima di ancoraggio l bmin è la maggiore tra: - 10 volte il diametro φ della barra; mm - il 30% o il 60% di l bd0 rispettivamente per ancoraggi in trazione o in compressione: ciò comporta che il rapporto n/n 1 deve essere sempre maggiore, a seconda del caso, di 0,30 o 0,60 dunque che non si possono mai ancorare più del (1 0,30) = 70% delle barre tese presenti in una data sezione, o più del (1 0,60) = 40% delle barre compresse. Nel caso in esame si adottano i seguenti schemi di armatura: A) barre inferiori: due barre estese per tutta la lunghezza della nervatura del solaio (armatura di corredo del travetto a tralicci), a cui vengono aggiunti in mezzera una barra per la quota di momento eccedente e alle estremità degli spezzoni per garantire la continuità del tirante inferiore; B) barre superiori sull appoggio: due barre su tre interrotte, con la terza che si estende. 2 La tensione di aderenza fbd della [8.1] va ridotta del 30% per condizioni di aderenza mediocri F. Biasioli 7-5

108 CAPITOLO 7 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Le lunghezze di ancoraggio di riferimento valgono pertanto: φ fyd φ fyd barre φ 14 : l bd0 = = = 640 mm barre φ 12: l bd0 = = 4 fbd 4 2,14 4 fbd 4 2,14 = 548 mm S03 S01 M (+) barre φ 12 2 l bd = 548 = 365 mm 3 n/n 1 = 0,67 > 0,30 M (-) barre φ 14 1 l bd = 640 = 213 mm 3 n/n 1 = 0,33 > 0,30 Forza di trazione all appoggio σ A sd s,req 191 l bd = l bd0 = l bd0 = 548 = 463 mm f A 226 yd s,prov QT5 3.2 S Forza di trazione all appoggio l bd = 548 = 398 mm 226 Gli ulteriori requisiti relativi alla lunghezza minima di ancoraggio (> 10 φ, > 100 mm) sono rispettati. 7.4 Traslazione del diagramma di momento Nel caso di barre soggette a trazione/compressione per flessione alla lunghezza l bd occorre SEMPRE aggiungere un ulteriore lunghezza a l che tiene conto della traslazione del diagramma dei momenti dovuta alla sollecitazione composte di flessione e taglio (fig. 8.5). Nel caso dei solai la lunghezza a l non deve essere aggiunta alle lunghezze di ancoraggio delle barre previste per assorbire le forze di trazione all appoggio. traslazione traslazione Linea inviluppo di Fs Inviluppo della forza di trazione agente Fig. 7.5 Traslazione del diagramma di momento Nel caso dei solai è a favore di sicurezza assumere a l = d con d altezza utile del del solaio. Con d = 202 mm le lunghezze di ancoraggio comprensive della lunghezza a l risultano: S03 S01 armature inferiori in campata 2 x ( ) = 1134 mm arrotondata a 1200 mm S03 S01 armature inferiori su trave di bordo (2 x 463) = 926 mm arrotondata a 1000 mm S03 S01 armature inferiori su trave centrale (2 x ) = 1576 mm arrotondata a 1750 mm S03 S01 armature superiori interrotte ( ) = 415 mm arrotondato a 500 mm S03 S01 armature superiori non interrotte ( ) = 342 mm arrotondato a 500 mm S04 armature inferiori (2 x 398) = 796 mm arrotondata a 1000 mm F. Biasioli

109 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO Sezioni di ancoraggio e lunghezze di taglio Per individuare le sezioni a partire dalle quali occorre provvedere la lunghezza di ancoraggio: - si calcolano i momenti resistenti M Rd delle sezioni ideali in cui risulta presente un numero di barre esattamente pari al numero delle barre non interrotte; tali barre lavorano tutte al tasso f yd ; - si cercano, sul diagramma di inviluppo dei momenti sollecitanti, le sezioni per le quali M Sd = M Rd. Per le varie nervature e per metro di larghezza di solaio risulta: S03 S01 momento M (+) in campata Barre non interrotte (2+2) φ 12 inserite nei travetti con area totale A S = 4 x 113 = 452 mm 2. La capacità portante della sezione armata con tale armatura risulta pari a M Rd = 32,2 knm/m Per le nervature S01 e S03 la condizione M Rd = M Sd identifica due sezioni poste a distanza x = 1,5 m e x = 3,8 dall asse della trave di bordo. S03 S01 momento M (-) su appoggio centrale Barre non interrotte (1+1) φ 14 superiori con area totale A S = 2 x 154 = 308 mm 2. La capacità portante della sezione armata con tale armatura risulta pari a M Rd = 45,8 308/790 = 17,8 knm/m Per le nervature S01 e S03 la condizione M Rd = M Sd identifica due sezioni poste a distanza x = 1,15 m dall asse della trave centrale (x = 0,91 m dal filo della trave). La sezione di momento nullo dista x = 2,50 m dall asse della trave: a partire da tale sezione deve essere predisposta solo la lunghezza di ancoraggio minima (10 φ = 140 mm). La lunghezza di taglio delle barre in cm risultano pertanto: armature inferiori 2 φ12/ travetto di corredo ai tralicci esteso su tutta la lunghezza (592 cm) 1φ12/ travetto di lunghezza l = ( ) = 350 cm 1φ12/ travetto di lunghezza l = 100 cm in corrispondenza delle travi esterne 1φ12/ travetto di lunghezza l = 175 cm in corrispondenza della trave centrale armature superiori 2φ14/ travetto l = 2 ( ) = 3200 mm arrotondato a 350 cm 1φ14/travetto l = 2 ( ) = 5280 mm arrotondato a 600 cm Alle estremità 1φ12/travetto l = 1750 mm arrotondato a 175 cm S04 armature inferiori 2 φ12/travetto di corredo ai tralicci esteso su tutta la lunghezza (400 cm) 1φ12/travetto di lunghezza l = 100 cm in corrispondenza di ciascuna estremità In allegato è riportato lo schema delle armature di entrambe le nervature. Le armature superiori alle estremità sono piegate a 45, per avere l ancoraggio delle barre nella zona compressa della sezione. Le armature che entrano nelle travi hanno alle estremità ganci a 90. La parte di barra che si estende oltre la piegatura deve avere lunghezza almeno pari a 5 volte il diametro. Nel caso in esame il piego è di 100 mm > (5 x 12) = 60 mm. La barra dovrebbe essere disposta con il piego preferibilmente disposto in orizzontale, in modo da risentire dell effetto favorevole di compressione dovuto alla biella di calcestruzzo dell arco di scarico F. Biasioli 7-7

110 CAPITOLO 7 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO 7.6 Verifiche a taglio I solai per edifici di civile abitazione sono strutture generalmente poco sollecitate, dotate di una sufficiente capacità di ripartizione dei carichi e prive di armatura a taglio. Secondo l EC2 perché un elemento non richieda armatura a taglio devono risultare soddisfatte entrambe le condizioni: dove V Sd V Rd,c V Rd,c,max V Sd V Rd,c V Sd V Rd,c,max forza di taglio sollecitante di calcolo forza di taglio resistente di calcolo di un elemento privo di armatura a taglio forza di taglio resistente massima delle bielle di calcestruzzo compresse con valore: V Rd,c,max = 0,5 [0,6(1-f ck /250)] f cd b w d Il termine entro parentesi quadra è un fattore di riduzione della resistenza del calcestruzzo fessurato per taglio. Per i solai la condizione V Sd V Rd,c,max non è mai determinante. Nel caso di appoggio indiretto, come è il caso dei solai portati da travi, la verifica a taglio va eseguita nella sezione ristretta posta a distanza pari all altezza utile d dal filo trave (fig. 7.5). QT5 Fig. 7.5 Verifica a taglio In tale ipotesi dato lo schema statico del solaio, la sezione più sollecitata a taglio è in prossimità della trave centrale, a distanza (650/2 +196) = 521 mm dall asse della trave centrale. In tale sezione il taglio sollecitante è pari a V Sd = 46,2 11,32 x 0,521 = 40,3 kn/m Secondo l EC2 il taglio resistente in assenza di precompressione vale: 0,18 V 3 Rd,c = bwd = ν k 100ρlfck bwd > νmin bwd γc La tensione ν è una tensione di taglio modificata che tiene conto: 0,18 0, della tensione tangenziale di base = = 0,113 N/mm γ 1,60 c dell effetto ingranamento degli inerti k = 1+ 2 per d = 190 mm k = 2 d - dell effetto spinotto delle armature tese presenti e ancorate nella sezione posta a distanza h dalla sezione considerata, (fig. 7.6 destra) e valutate come percentuale geometrica di armatura Asl ρ l = < 0,02 b d w In tale sezione sono presenti superiormente ed ancorate 3 barre φ 14 mm. Pertanto ρl = = 0,024 > 0,02 ρl = 0, La tensione di taglio modificata minima ha espressione: ν = 0,035 k f min ck F. Biasioli

111 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 7 d l bd l bd V V A sl A Sd Sd 45 o 45 o 45 o d A sl A A sl A l bd V Sd Fig. 7.6 Armatura longitudinale nella verifica a taglio (A = sezione di verifica) Nel calcolo della larghezza a taglio dell anima b w si può tenere conto anche dello spessore del laterizio (0,8 cm) a diretto contatto con la nervatura: pertanto b w = 2 x ( ) = 256 mm/m Per un calcestruzzo C25/30 con f ck = 0,83 R ck = 25,0 N/mm 2 si ottiene: 0,18 ν ρ ν = k 100 lck f = 0, ,02 25,0 = 0,83 N/mm γ c min = 0,035 k f = 0, = 0,49 N/mm ck -3 ll taglio resistenze vale V = 0, = 41,6 > 40,3 kn/m Rd,c La verifica a taglio nella sezione considerata è soddisfatta. L approccio di calcolo evidenzia che, nel caso di un solaio, risultano critiche: - l altezza totale, che si riflette sul valore dell altezza utile d.- la scelta della tipologia di blocchi: a parità di altezza è preferibile l impiego di blocchi senza aletta di larghezza 38 cm portati da travetti con fondello in laterizio e in grado di realizzare nervature di spessore (50 38) = 12 cm..- la scelta del calcestruzzo: utilizzando classi di resistenza minori di quella specificata per il caso in esame (C25/30) la verifica non risulterebbe mai soddisfatta. La forza di taglio resistente massima per f cd = 15,9 N/mm 2 vale V Rd,c,max = 0,3 (1-f ck /250) f cd b w d = 0,3 (1-25/250) 15, = 202 kn/m 7.7 Schemi delle armature Nelle figure 7.7 e 7.8 sono riportat gli schemi delle armature per le due nervature tipo. Fig. 7.7 Esecutivo armature solaio S F. Biasioli 7-9

112 CAPITOLO 7 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Fig. 7.8 Esecutivo armature solaio S03 S F. Biasioli

113 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 8 CAPITOLO 8 Travi Si considera la travata centrale costituita dalle travi T09 - T010 comprese tra i pilastri C1, C2 e il vano ascensore. Tutte le travi hanno sezione rettangolare di dimensioni (650 x 230) mm e altezza utile d = h d = (230 36) = 194 mm. 8.1 Calcolo delle sollecitazioni Analisi dei carichi L ncremento del peso proprio della trave è pari a G k = 2,67 b = 2,67 x 0,65 = 1,74 kn/m. In base alll area di competenza della trave di ampiezza i = 8,13 m i carichi sulla trave risultano: SLE SLU peso proprio G d0 1, 0 1,71 = 1,74 kn/m 1,40 1,71 = 2,43 kn/m carico permanente portatig d1 1,0 (5,94 8,13) = 48,29 kn/m 1,40 48,29 = 67,61 kn/m carico permanente totale G d0 + G d 50,0 kn/m 70,0 knm/m carico variabile Q d 1,0 0,30 (2,0 8,13) = 4,88 kn/m 1,5 (2,0 8,13) = 24,4 kn/m carico totale G d0 + G d + Q d = 54,9 kn/m 94,4 knm/m Modello di calcolo e diagrammi di inviluppo delle sollecitazioni Lo schema statico assunto è quello di un semitelaio, con vincoli di cerniera posti a metà altezza dei pilastri. Le luci di calcolo sono definite in base alle distanze tra gli assi dei pilastri La campata che termina sul vano ascensore si considera incatrata in una sezione posta a una distanza circa pari all altezza utile d 0,20 m dal filo del setto del vano ascensore. Risulta pertanto T09 l = 3,60 m T010 l = (4,35 0,10 + 0,20) = = 4,25 m I diagrammi di inviluppo delle sollecitazioni di momento M e di taglio V, calcolati in campo elastico lineare 1, per le combinazioni di carico di SLU e SLE e diverse disposizioni del carico variabile Q d sono riportati nelle figure 8.1 e 8.2. In base ai valori di momento taglio nella sezione di incastro e al carico totale si calcolano le sollecitazioni nella sezione a filo setto posta a distanza 0,20 m dall incastro teorico): SLU M Sd = -168, ,1 0,20 = - 121,1 knm V Sd = 236,1 94,4 0,20 = 217 kn SLE M Sd = -92, ,8 0,20 = - 66,5 knm V Sd = 129,8 54,9 0,20 = 119 kn Tali sollecitazioni sono confrontabili con le corrispondenti sollecitazioni sulll appoggio centrale: queste ultime vengono assunte come riferimento per il progetto. 1 Il programma utilizzato è Telaio2D sviluppato dal prof. P. Gelfi, liberamente disponibile e scaricabile gratuitamente dal sito F. Biasioli 8-1

114 CAPITOLO 8 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Fig. 8.1 Inviluppo delle sollecitazioni M e V - SLU Fig. 8.2 Inviluppo delle sollecitazioni M e V - SLE F. Biasioli

115 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO Ridistribuzione dei momenti E possibile ridistribuire le sollecitazioni di momento delle travi continue di telai a nodi fissi, purchè allo stato limite ultimo le sezioni delle travi siano in grado di garantire sufficiente capacità di rotazione. La ridistribuzione si applica riducendo i momenti negativi alle estremità delle travi M Sd,el, calcolati con un modello elastico lineare, al valore M red = M Sd,el - ΔM Sd,el. Il valore di ΔM Sd,el dipende dalla capacità di rotazione delle sezioni. Se si riducono i momenti negativi agli appoggi/incastri per l equilibrio devono aumentare i momenti di campata. Occorre dunque evitare che un momento di campata incrementato a seguito della ridistribuzione superi il momento massimo ottenuto dall inviluppo dei momenti, calcolato per una disposizione di carico diversa da quella che fornisce il momento da ridistribuire. Se ciò non si verifica la ridistribuzione comporta una riduzione dei momenti agli appoggi con riduzione delle quantità d armatura. QT1 La massima quota di ridistribuzione ammessa discende da considerazioni relative a: duttilità delle sezioni allo SLU: la sezione in cui viene ridotto il momento deve essere in grado di garantire allo SLU una assegnata capacità di rotazione, definita in funzione della profondità relativa dell asse neutro ξ = x/d dalla relazione MSd,red δ= = 0,44 + 1,25 ξ 0,70 M Sd,el ξ è la profondità relativa dell asse neutro nella sezione per il momento M Sd,red = δm Sd,el. limitazione delle tensioni in esercizio nelle sezioni: una ridistribuzione troppo elevata comporta una significativa riduzione della quantità di armatura, dunqe possibili elevate tensioni delle armature in condizioni in esercizio, quando le sollecitazioni dovute ai carichi di esercizio sono valutate in assenza di ridistribuzione. Per evitare tale situazione è cautelativo assumere una ridistribuzione limitata al 15% circa (δ = 0,85). Per ridistribuire il momento M Sd,el si applicare alle estremità di ciascuna trave un momento positivo ΔM Sd,el = (M Sd,el - M red ) = M Sd,el (1 - δ) Sul pilastro C1 per M Sd,el = 92,9 knm e δ = 0,85 si ottengono: ΔM Sd,el = (1-0,85) 92,9 = 14 knm M Sd,red = 92,9 0,85= 79 knm. A sinistra del pilastro C2 per M Sd,el = 134,7 knm e δ = 0,85 si ottengono ΔM Sd,el = (1-0,85) 134,7 = 20,2 knm M Sd,red = 134,7 0,85= 114,5 knm. A destra del pilastro C2 per M Sd,el = 163,1 knm e δ = 0,85 si ottengono ΔM Sd,el = (1-0,85) 163,1 = 24,5 knm M Sd,red = 163,1 0,85= 138,6 knm. Non si ridistribuisce il momento a filo setto del vano ascensore in quanto la stessa combinazione di carico che determina il massimo momento positivo determina anche il massimo momento di campata. Applicando la coppia ΔM Sd,el per l equilibrio alle estremità di ciascuna trave di luce l, nascono forze di taglio di intensità V red = ± ΔM Sd,el /l. Tali forze riducono le sollecitazioni di taglio dovute ai carichi in prossimità dell appoggio centrale (sollecitazioni massime nel caso di trave continua) e contemporaneamente aumentano quelle all estremità di ciascuna trave. Risulta - trave T09 - luce l = 3,60 m V red = ± ΔM Sd,el /l = ± (20,2 14) / 3,60 = ± 1,7 kn - trave T010 - luce l = 4,25 m V red = ± ΔM Sd,el /l = ± 24,5 / 4,25 = ± 5,8 kn Dopo la ridistribuzione i tagli sull appoggio centrale risultano pertanto V Sd = 187,3 + 1,7 = 189,0 kn a destra dell asse del pilastro C1 V Sd = 210,6 1,7 = 208,9 kn a sinistra delll asse del pilastro C2 V Sd = 233,6 5,8 = 227,8 kn a destra dell asse del pilastro C2 V Sd = ,8 = 222,8 kn a filo del vano ascensore dell asse del pilastro C F. Biasioli 8-3

116 CAPITOLO 8 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO QT4 ST2 8.2 Armature a flessione Lo schema di progetto è il seguente: si calcola l armatura di campata nell ipotesi che sia presente solo armatura tesa; si fissa la quantità dell armatura di campata che si intende mantenere costante su tutta la lunghezza della travata, ancorata in corrispondenza dei pilastri di estremità; tenendo conto di tale armatura, compressa per momenti di segno negativo, per la sollecitazione di momento ridistribuito si calcola l armatura superiore tesa agli appoggi. Dato che le sollecitazioni di campata delle travi della travata hanno pressoché la medesima intensità, il procedimento viene sviluppato per la trave T010 e per l appoggio centrale costituito dal pilastro C Armature di campata Dal diagramma di figura 8.1 il momento massimo positivo nella campata T010 vale M Sd = 83,85 knm. Perché sia sufficiente la presenza di sola armatura tesa la profondità relativa ξ dell asse neturo dever risultare essere ξ 0,45. Al valore ξ lim = 0,45 corrisponde il momento ridotto μ lim = 0,296. Per M Sd = 83,85 knm 6 83,85 10 μ = = 0,216 <μ 2 lim = 0, ,9 Dato che la condizione è rispettata è sufficiente disporre solo armatura inferiore. Al valore μ = 0,216 corrisponde il rapporto meccanico di armatura ω = 0,247 e l area teorica di armatura in campata A s = 0, ,9/391 = 1267 mm 2 Si dispongono 6 barre φ16 con area A s = 1608 mm 2. Nell ipotesi di estendere fino alle estremità delle travi 4 barre φ16, nella sezione in cui le barre restanti (2φ16) non vengono considerate attive il momento resistente vale: 4φ16 ω = 0, /1267 = 0,157 μ = 0,144 M Rd = 0,144 83,85/0, knm Sul diagramma di inviluppo delle sollecitazioni le sezioni in cui M Sd = M Rd = 56 knm sono poste alle distanze, misurate dagli assi dei pilastri C1 e C2: T09 z = 1,30 m e z = 2,10 m T010 z = 1,40 m e z = 2,80 m QT 4 ST Armature all appoggio Il progetto dell armatura a flessione si effettua considerando le sollecitazioni nella sezione di trave a filo del pilastro. C2. Il pilastro ha dimensione, nella direzione della trave, 400 mm. Risulta: M Sd = (138,6 227,8 0,40/2) = 93 knm Il baricentro dell armatura superiore della trave dista d = 36 mm dal lembo della sezione. Sono presenti nella zona inferiore compressa 4φ16 con area A s = 804 mm 2 e d = 36 mm. Il rapporto δ = d /d vale δ = 36/194 = 0,186. Assumendo in prima approssimazione per le barre (4φ16) presenti nella zona inferiore compressa la tensione σ s = f yd (dunque k = σ s /f yd = 1), se si dispone un identico numero di armature nella parte compressa la coppia interna acciaio- acciaio allo SLU sviluppa il momento: ΔM = ( ) 10-6 = 49,7 knm. Il momento sollecitante residuo che deve essere fornito dalla coppia acciaio-calcestruzzo vale 6 43,3 10 M 0 = 93 49,7 = 43,3 knm μ0 = = 0, ,9 Per tale valore in tabella ST2 si ottiene δ ilm = 0,07 dunque l armatura compressa lavora a una tensione minore di f yd. Operando con iterazioni successive si ottiene l armatura - con 6 φ16 superiori + 4 φ16 inferiori risulta M Rd = 81,1 < 93 knm F. Biasioli

117 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 8 - con 7 φ16 superiori + 4 φ16 inferiori risulta M Rd = 93 knm La sezione così armata ha la capacità portante indicata in figura 8.3 DM Fig. 8.3 Sezione inflessa momento resistente M Rd La distanza dell asse neutro dal bordo compresso vale x = 48,5 mm dunque ξ = x/d = 48,5/194 = 0,25, per cui δ = 0,44 + 1,25 0,25 = 0,75 < 0,85. La ridistribuzione attuata è quindi accettabile. Si dispongono superiormente 7 barre φ16, con A s = 1407 mm 2 di cui quattro interrotte e tre per l intera lunghezza della trave. La sezione armata con 3 φ16 in zona tesa e 4 φ16 in zona compressa sviluppa il momento resistente (negativo) M Rd = 43,5 knm. Sul diagramma di inviluppo delle sollecitazioni che tiene conto della ridistribuzione tale valore si rileva nelle sezioni a distanza z = 0,50 m dall asse dell appoggio centrale. Al di la di tale punto dovrà essere garantita, per le barre interrotte, la lunghezza di ancoraggio. CALCOLO DELLA CAPACITÀ PORTANTE IN ZONA SISMICA In zona sismica è richiesto che il 50% dell armatura tesa effettivamente disposta sia presente anche in zona compressa e non è possibile tenerne in conto il contributo nel calcolo di capacità portante. Nella sezione al filo del pilastro centrale (C2) le armature presenti risultano 7φ16, con A s = 1407 mm 2 superiori tesi e 4φ16, con A s = 804 mm 2 inferiori compressi. La sezione equivalente in condizioni sismiche risulta pertanto: armatura tesa: A s = 1407 mm 2 armatura compressa A s = 804 0, = 101 mm 2 Nei calcoli è possibile tenere in conto la quota d armatura superiore che supera il 50% dell armatura disposta in zona tesa. Con tale disposizione il massimo momento negatvo sopportato dalla sezione risulta: M Rd,E = 92,3 knm ξ = 0,320 Per il calcolo del massimo momento positivo si ha armatura tesa: A s = 804 mm 2 armatura compressa A s = ,5 804 = 1005 mm 2 da cui M Rd,E = 56,1 knm ξ = 0, F. Biasioli 8-5

118 CAPITOLO 8 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO 8.3 Armature a taglio Modello a traliccio Il progetto/verifica delle armature al taglio della trave può essere effettuato in base al valore del taglio sollecitante di calcolo agente nelle sezioni a distanza d dal filo dell appoggio. Nel caso in esame le sollecitazioni di taglio sono valutate nelle sezioni che distano: z = 0, ,194 0,32 m dall asse del pilastro C1 z = 0, ,194 0,39 m dall asse del pilastro C2 z = 0,19 m dal setto del vano ascensore. La resistenza di progetto f cd del calcestruzzo delle bielle inclinate compresse va ridotta mediante il coefficiente ν = 0,7 per tener conto dell effetto combinato della compressione longitudinale e della trazione trasversale sulla resistenza delle bielle di calcestruzzo compresso. Il valore di calcolo della tensione di progetto di compressione nel calcestruzzo risulta: ν 1 f cd = 0,7 f cd = 0,7 15,9 = 11,1 N/mm 2 I valori riportati nel diagramma di inviluppo del taglio derivano da diverse condizioni di carico. Le sollecitazioni di taglio di progetto V Sd sono valutate tenendo in conto che la ridistribuzione di momento, agisce solamente sulla condizione di carico che massimizza il momento sull appoggio (carico variabile presente su entrambe le campate a cavallo dell appoggio). Il carico totale di progetto ha intensità 94,4 kn/m. Nella sezione a z = 0,39 m a destra del pilastro C2 risulta V Sd = 227,8 0,39 x 94,4 = 191 kn. L armatura a taglio è costituita da staffe verticali (α = 90 ) chiuse a due braccia, realizzate con barre di diametro 8 mm. Il gancio di chiusura è realizzato con un piego a Le staffe vanno disposte con passo longitudinale massimo: 3 s max = 0,75 d (1+cot α) = 0,75 194= 146 mm arrotondato a 150 mm. In base al valore del taglio sollecitante il taglio ridotto adimensionale vale V η = 3 Sd = = 0,136 < 0,310 bwdν1fcd ,1 La larghezza della sezione di calcestruzzo è sovrabbondante. La larghezza teorica minima da prendere in conto per il calcolo delle armature è pari a: 4 b min = 650 x 0,136/0,310 = 285 mm Al taglio minimo adimensionale η = 0,310 corrisponde l inclinazione della biella compressa θ = e il rapporto geometrico dell armatura trasversale ω wη = 0,138 dunque l armatura a taglio: A ω wηb sw wν1fcd 0, ,1 = = = 1,12 mm s f /mm ywd 2 La prescrizione serve per evitare che l eventuale distacco del copriferro in condizioni di SLU permetta alla barra della staffa di perdere aderenza, con conseguente riduzione dell effetto di confinamento che offre al calcestruzzo. L ancoraggio sviluppato da un uncino piegato a 135 garantisce un comportamento accettabile anche in caso di perdita completa del ricoprimento di calcestruzzo e manitiene la funzionalità della staffa medesima. 3 L EC2 fornisce prescrizioni anche per la massima distanza trasversale tra i bracci delle staffe. Per la trave in esame risulterebbe una distanza pari a 146 mm dunque occorrerebbe disporre staffe a quattro bracci. Occorre peraltro considerare che i modelli a traliccio utilizzati per il calcolo delle armature a taglio sono validi per travi alte, a sezione rettangolare o a T : Nel caso di travi in spessore il modello taglio-resistente è più orientato al modello arco.tirante che al modello a traliccio: è dunque importante realizzare un tirante inferiore ben ancorato alle estremità piuttosto che fare eccessivo affidamento sul modello a traliccio. 4 Tale situazione si verifica spesso nelle travi in spessore. E pertanto possibile inserire fori in tali travi se si adottano opportuni accorgimenti (doppie staffe) purchè, nella zona del pilastro,sia disponibile una zona di larghezza adeguata a permettere la trasmissione diretta delle forze di compressione dell arco al pilastro. Sono dunque da evitare fori in aderenza al pilastro F. Biasioli

119 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 8 Utilizzando staffe φ 8 a due bracci è A sw = 100 mm 2 si ottiene il passo s = 89 mm. Le disposizioni per la zona sismica richiedono di disporre la prima staffa a non più di 5 cm dal filo del pilastro, mentre le successive ad una distanza non superiore al minimo tra - 0,25 d = 0, = 50 mm mm - 6φ l = 616 = 96 mm Tale limitazione è richiesta per una zona di lunghezza pari a d dal filo pilastro, ossia per i primi 200 mm. La disposizione delle staffe è riportata in figura 8.4. Per l inclinazione θ = (cot θ = 2,5) le staffe con passo massimo s max = 150 mm forniscono la capacità portante A 100 s 150 sw -3 V Rd,s = 0,9dfywdcotθ = 0, ,5 10 = 114 kn Sul diagramma di inviluppo delle sollecitazioni di taglio le sezioni in cui si verifica tale sollecitazione sono alle distanze, misurate rispettivamente dagli assi dei pilastri C1 e C2: T09 z = 0,60 e 2,65 m T010 z = 1,05 e 3,15 m All interno di tali zone è sufficiente disporre staffe con passo s max = 150 mm. Al di fuori di tali zone il passo si riduce a s = 90 mm. E inoltre opportuno disporre due staffe in più a sinistra e a destra degli appoggi, per migliorare la zona di calcestruzzo confinata. La prima staffa dovrebbe essere posizionata entro 5 cm dal filo del pilastro. Tutte le staffe devono avere altezza tale da garantire il ricoprimento di 2 cm dunque con altezza della parte verticale pari a (230 40) = 190 mm. QT Modello arco-tirante Le travi in spessore difficilmente si adattano al meccanismo taglio resistente descritto dal modello a traliccio. E opportuno pertanto verificare anche un meccanismo arco-tirante per il quale alle estremità della trave deve essere presente e ancorata una quantità di armatura tale da realizzare il tirante inferiore. L arco, fortemente ribassato, è inclinato alle estremità di un angolo θ e a tale inclinazione corrisponde la forza di trazione S d = V sd cot θ. L angolo θ può essere calcolato considerando la sovrabbondanza di resistenza lato calcestruzzo ed imponendo pertanto che il collasso avvenga lato acciaio. Il carico totale di progetto ha intensità 94,4 kn/m. Nella sezione a filo del pilastro C1 a z = 0,125 m dall asse, tenendo conto della ridistribuzione il taglio sollecitante è pari a: V Sd = 189 0,125 x 94,4 = kn Considerando staffe φ8 / 50 mm risulta: A sw ,2 V Rd,s = V Sd = 0,9d fywdcotθ = 0, cotθ cotθ = = 1,30 s , La forza di trazione nel tirante è S d = V sd cot θ = x 1,30 = 230,3 kn. Sono presenti 4φ16 con A s = 804 mm 2 in grado di sviluppare una forza S Rd = 804 x 391 x 10-3 = 314 kn F. Biasioli 8-7

120 CAPITOLO 8 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO OR Verifiche sismiche In zona sismica l entità delle azioni di progetto è calcolata come somma del taglio dovuto ai carichi verticali in condizioni quasi permanenti e del taglio dovuto ai momenti flettenti resistenti delle sezioni di estremità. Per il calcolo dei momenti flettenti, in questo caso, si utilizzano le armature effettivamente presenti all interno della trave. Il taglio dovuto ai momenti resistenti risulta : Trave Cond. MRd, sx MRd,dx VSd T009 sisma 1 56, ,5 sisma 2 93,4 56,1 41,5 T010 sisma 1 56, ,2 sisma 2 93,4 56,1 35,2 Tab. 8.1 Sollecitazioni sismiche dovute ai momenti resistenti d estremità Il taglio relativo ai carichi gravitazionali risulta: - carico permanente G d = 1,71 = 1,71 kn/m - carico permanente portati G d = 5,94 8,13 = 48,3 kn/m - carico variabile Q d = 0,30 2,0 8,13 = 4,9 kn/m - carico totale G d + Q d = 54,9 kn/m Pertanto 54,9 3,60 54,9 4,25 V Sd = = 98,8kN V Sd = = 116,7kN 2 2 Le sollecitazioni di progetto sono Trave T ,3 T ,9 V Sd,sisma Tab. 8.2 Taglio di progetto - sisma In ogni caso l azione sismica è minore di quella derivante dagli SLU statici, pertanto non si approfondiscono ulteriormente le verifiche. Le disposizioni per la zona sismica richiedono di disporre la prima staffa a non più di 5 cm dal filo del pilastro, mentre le successive ad una distanza non superiore al minimo tra - 0,25 d = 0, = 50 mm mm - 6φ l = 616 = 96 mm Tale limitazione è richiesta per una zona di lunghezza pari a d dal filo pilastro, ossia per i primi 200 mm. La disposizione delle staffe è riportata in figura Lunghezze di ancoraggio Per calcolare le lunghezze di taglio delle barre alla lunghezza calcolata sulla base delle richieste strutturali occorre sommare le lunghezze di ancoraggio. Per queste ultime occorre definire: - le condizioni locali di aderenza (buona o mediocre): tutte le barre, sia inferiori che superiori, presenti in getti di spessore minore di 250 mm sono considerate in condizioni di buona aderenza ; - il valore di progetto f bd della tensione di aderenza. Per un calcestruzzo R ck, per barre con diametro fino a 32 mm e condizioni di buona aderenza : f bd = 0, /3 = 2,14 N/mm F. Biasioli

121 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 8 La lunghezza di ancoraggio di riferimento per barre φ16 vale : φ fyd 391 l bd0 = =φ = 46 φ = 736 mm 4f 4 2,14 bd Se la barra lavora alla tensione σ sd < f yd la lunghezza di ancoraggio si riduce proporzionalemente e si ottiene la lunghezza di ancoraggio di base l bd : l = l In una sezione sollecitata da un momento M Sd in cui sono: - n il numero di barre di area A s richieste per assorbire il momento M Sd al tasso f yd ; - n 1 > n il numero totale di barre di area A s presenti, bd bd bd0 bd0 σ f sd yd n l = l > l bmin n La lunghezza minima di ancoraggio l bmin è la maggiore tra - 10 volte il diametro φ della barra con un minimo di 100 mm - il 30% o il 60% di l bd rispettivamente per ancoraggi in trazione o in compressione: ciò comporta che il rapporto n/n 1 deve essere sempre maggiore, a seconda del caso, di 0,30 o 0,60. Nel caso in esame si adottano i seguenti schemi di armatura: A) barre inferiori: quattro barre di armatura su tutta la luce delle travi, due barre interrotte in campata B) barre superiori sull appoggio intermedio: quattro barre su sette interrotte nelle sezioni a distanza z = 0,50 m dall asse dell appoggio, tre barre che corrono per tutta la lunghezza della trave. Le lunghezze di ancoraggio di base valgono pertanto: T09 T10 M (-) app. C1 barre φ 16 l bd = 46 φ = = 736 mm Armature inferiori all appoggio σ A sd s,req 230,2 l bd = l bd0 = l bd0 = 736 = 540 mm = 60 cm f A 314 yd M (+) barre φ 16 4 l bd = 736 = 491 mm 6 n/n 1 = 0,67 > 0,30 M (-) app. C2 barre φ 16 3 l bd = 736 = 315 mm 7 n/n 1 = 0,43 > 0,30 Gli ulteriori requisiti relativi alla lunghezza minima di ancoraggio (> 10φ = 160 mm, > 100 mm) sono sempre rispettati. Nel caso di barre soggette a trazione/compressione per flessione alla lunghezza l bd occorre SEMPRE aggiungere un ulteriore lunghezza a l che tiene conto della traslazione del diagramma dei momenti dovuta alla sollecitazione composte di flessione e taglio (QT4). La lunghezza a l non deve essere aggiunta alle lunghezze di ancoraggio calcolate per assorbire le forze di trazione all appoggio. Nel caso delle travi è a l = a l = 0,9d( cotϑ-cotα ) 2 con d altezza utile. Per d = 194 mm, cot θ = 2,5, cot α = 0 le lunghezze di ancoraggio, comprensive della lunghezza a l, risultano: armature superiori appoggio C1 ( ) = 1173 mm = 120 cm armature inferiori in campata ( ) = 928 = 100 cm armature superiori appoggio C2 ( ) = 752 mm = 75 cm lunghezza di ancoraggio minima ( ) = 597 mm = 60 cm. 1 s,prov 2007 F. Biasioli 8-9

122 CAPITOLO 8 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO 8.5 Sezioni di ancoraggio e lunghezze di taglio Per individuare le sezioni al di là delle quali provvedere la lunghezza di ancoraggio: - si calcolano i momenti resistenti M Rd delle sezioni ideali, sezioni in cui si considerano presenti barre che lavorano tutte al tasso f yd in numero pari al numero delle barre non interrotte; - si individuano, sul diagramma di inviluppo dei momenti sollecitanti, le sezioni per le quali M Sd = M Rd. T09 momento M (+) in campata Le sezioni sono state individuate alle distanze z = 1,30 m e z = 2,10 m dall asse del pilastro C1. Aggiungendo per entrambe le estremità la lunghezza di ancoraggio pari a 100 cm, risultano barre di lunghezza totale l = (2,10 1, x 1,00) = 2,80 m arrotondata a 300 cm. La posizione della barra è a z = 0,30 m dall asse del pilastro C1 dunque a z = 0, ,30 = 0,43 cm dal bordo esterno della stessa. T09 momento M (-)pilastro C1 La barra è posizionata a partire dal bordo esterno della trave, sempre garantendo il ricoprimento minimo pari a 3 cm. T momento M (-) su appoggio centrale Le sezioni sono state individuate alle distanze z = 0,50 m dall asse del pilastro C2. Aggiungendo per entrambe le estremità la lunghezza di ancoraggio pari a 75 cm, risultano barre di lunghezza totale l = (2 x 0, x 0,75) = 2,50 m arrotondate a 300 cm. Setto ascensore Viene trattato come l appoggio centrale, garantendo, dal filo setto e verso l interno dello stesso, la lunghezza di ancoraggio di base pari a 75 cm. Risulta una lunghezza totale pari a (0,75 + 0,55 + 0,38) = 168 cm arrotondata a 175 cm. La disposizione delle armature è riportata in figura Fig. 8.4 Esecutivo armature trave T009 T F. Biasioli

123 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 9 CAPITOLO 9 Pilastri 9.1 Sollecitazioni di progetto I pilastri, entrambi a livello di piano terreno, sono: - il pilastro d angolo A1, con area di carico (fig.3.4) limitata ma, soggetto essendo ai vertici del fabbricato, a significativi effetti torsionali legati alla rotazione di piano dovuta alle forze orizzontali; - il pilastro della travata centrale C2 a cui corrisponde la massima area di carico (fig.3.6 e tabella 3.9). Allo stato limite ultimo si considerano due combinazino di carico: - statica : combinazione di carichi verticali e vento (par 2.3) E d = E γg,jg k,j + γq,1q k,1 + γq,iψ0,iqk,i i i > 1 - sismica : combinazione di carichi verticali e sisma (par. 6.6) E d = E E X/Y + G k,j + ψ 2,jQk,j j j Con riferimento alle convenzioni di figura in cui gli assi x,y di ciascun elemento sono paralleli agli assi X,Y globali del fabbricato, le azioni al piede di ciascun pilastro allo SLU sono: CARICHI VERTICALI In tabella 9.1 sono riporati: - le forze assiali N Sd e i momenti M Sd nella combinazione specifica (combinazione statica : γ G = 1,40 γ Q = 1,50; comb. sismica γ G = γ Q = 1,0). I momenti non tengono conto di eventuali ridistribuzione nelle travi. Fig. 9.1 Riferimenti - tagli V Sdx V Sdy legati ai momenti M Sd : possono essere calcolati, in base al modello a semitelaio assunto per il calcolo dei momenti, imponendo un punto di momento nullo a metà di altezza del pilastro, dividendo per l/2 (l = 3,03 m altezza pilastro) i momenti M Sd. rif. tipo Comb. NSd allo SLU M Sd,y V Sd,x [kn] [knm] [kn] A1 C statica ,74 15,93 sismica ,49 11,02 C2 R statica ,82 17,33 sismica ,01 6,05 Tab. 9.1 Carichi verticali FORZE ORIZZONTALI Le azioni al piede di ciascun pilastro allo SLU sono: - tagli V Sdx V Sdy generati dalle forze orizzontali F X F Y dovuti al vento (casi 1x, 1y, 2x, 2y e 4) o al sisma - momenti M Sd dovuti alle forze orizzontali F X F Y ottenuti moltiplicando i tagli V Sd per l/2 (l altezza pilastro); Gli effetti delle forze orizzontali (taglio V Sd e momento M Sd ) vanno calcolati applicando alle loro intensità caratteristiche i coefficienti di combinazione ψ e, nel caso di combinazione sismica, combinando l effetto dovuto al sisma agente in una direzione al 30% dell effetto del sisma nell altra direzione: E X = E Edx + 0,30 E Edy E Y = E Edy + 0,30 E Edx F. Biasioli 9-1

124 CAPITOLO 9 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO In tabella 9.2 sono riportati - le forze orizzontali F X F Y agenti nelle direzioni x,y e i relativi coefficienti di combinazione ψ per cui vanno moltiplicate rispettivamente nella combinazione statica e sismica - i tagli ottenuti applicando i coefficienti di combinazione ψ - i momenti ottenuti applicando il modello shear type (M = V l/2) Ad esempio nel caso di vento agente in direzione X caso 1x - si ottiene V Sd,x = ψ 0 F x = 0,60 0,42 = 0,25 kn M Sd,y = 0,25 3,03/2 = 0,38 knm Sisma agente in direzione X si ottiene: V Sd,x = 1, ,30 0,76 = 1,82 kn M Sd,y = 1,82 3,03/2 = 2,75 knm V Sd,y = 0, ,30 1,59 = 1,24 kn M Sd,y = 1,24 3,03/2 = 1,88 knm Le massime sollecitazioni sono evidenziate con fondo grigio rif. A 1 C 2 tipo C R Comb. statica sismica statica sismica forza orizzontale V Sd M Sd caso Fx Fy x y x y ψ ψ [kn] [kn] [knm] [knm] [knm] [knm] 1x y x y x , y x y x y x ,91 4,41 8, y ,42 Tab. 9.2 Pilastri - forze orizzontali Pilastro A1 Combinazione statica Cumulando le azioni dovute ai carichi verticali (tabella 9.1) e al vento (tabella 9.2) si ottiene N Sd = 671 kn M Sd,x = 0,84 knm M Sd,y = 23,74 + 0,38 = 24,12 knm V Sd,x = 15,93 + 0,25 = 16,18 kn V Sd,y = 0,55 kn Le sollecitazioni risultanti sono M Sd = M Sd,x +M Sd,y = 0, ,12 = 24,14 knm e = M Sd /N Sd = 0,036 m V Sd = V Sd,x + V Sd,y = 16,18 + 0,55 =16,19 kn Combinazione sismica Cumulando le azioni dovute ai carichi verticali (tabella 9.1) e a sisma (tabella 9.2) si ottiene N Sd = 437 kn M Sd,x = 1,88 knm M Sd,y = 16,49 + 2,75 = 19,24 knm V Sd,x = 11,02 + 1,82 = 12,84 kn V Sd,y = 1,24 kn Le sollecitazioni risultanti sono F. Biasioli

125 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO M Sd = M Sd,x +M Sd,y = 1,88 +19,24 = 19,33 knm e = M Sd /N Sd = 0,044 m V Sd = V Sd,x + V Sd,y = 12,84 +1,24 = 12,90 kn Dal confronto la combinazione più severa risulta essere quella statica. Pilastro C2 - SLU Statico Combinazione statica Cumulando le azioni dovute ai carichi verticali (tabella 9.1) e al vento (tabella 9.2) si ottiene N Sd = 2785 kn M Sd,x = 1,62 knm M Sd,y = 25,82 + 1,19 = 27,01 knm V Sd,x = 17,33 + 0,79 = 18,12 kn V Sd,y = 1,07 kn Le sollecitazioni risultanti sono M Sd = M Sd,x + M Sd,y = 1, ,01 = 27,06 knm e = M Sd /N Sd = 0,01 m V Sd = V Sd,x + V Sd,y = 18,12 +1,07 = 18,15 kn Combinazione sismica Cumulando le azioni dovute ai carichi verticali (tabella 9.1) e a sisma (tabella 9.2) si ottiene N Sd = 1623 kn M Sd,x = 4,41 knm M Sd,y = 9,01 + 8,43 = 17,44 knm V Sd,x = 6,05 + 5,56 = 11,61 kn V Sd,y = 2,91 kn Le sollecitazioni risultanti sono M Sd = M Sd,x +M Sd,y = 4,41 +17,44 =18,0 knm e = M Sd /N Sd = 0,011 m V Sd = V Sd,x + V Sd,y = 11,61 + 2,91 = 11,97 kn Dal confronto la combinazione più severa risulta essere quella statica. QT4 9.2 SLU di pressoflessione Pilastro A1 SLU STATICO Eccentricità del I ordine Il pilastro circolare con diametro D = 300 mm è in diretto contatto con l ambiente esterno. La distanza del baricentro delle armature longitudinali dalla superficie del calcestruzzo (tab. 3.5) vale d = 45 mm. Per tener conto delle incertezze sulla posizione del punto di applicazione della forza assiale N Sd = 671 kn, le eccentricità dovute ai momenti flettenti devono in ogni caso essere almeno pari a e e = max (D/30; 20 mm) = max(10 mm; 20 mm) = 20 mm. Nel caso specifico l eccentricità risulta e e = 0,036 m = 36 mm > 20 mm. Per ottenere l eccentricità totale del primo ordine all eccentricità dovuta ai carichi si somma l eccentricità dovuta alle imperfezioni geometriche e 1 = (e e + e i ) l0 l0 1 L eccentricità e i vale: ei =θ i =θ0αhαm θ 0 = rad α h = = = 1,14 > 1 α h = 1 α m = 0,5 1 + m = 1 α m = 1 l 3,03 m 2007 F. Biasioli 9-3

126 CAPITOLO 9 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO l e i= θαα 0 h m = 1 1 = 8 mm All eccentricità totale e tot = (e e + e 1 ) = (36 + 8)= 44 mm corrisponde il momento di calcolo M Sd = N Sd e tot = = 29,5 knm. Eccentricità del II ordine Per valutare se sono da prendere in conto anche gli effetti del II ordine si deve stimare l armatura longitudinale. Nel caso di sezioni circolari devono essere disposte barre di diametro minimo 12 mm in un numero minimo di 6 con area A s,min = (6 113) = 678 mm 2. A tale valore corrisponde il rapporto meccanico: A s fyd ω = = = 0,20 A c fcd ,4 20 A B C La snellezza limite ha espressione λ lim = i cui i termini sono: ν 3 NSd forza assiale ridotta ν = = = 0,52 A c fcd ,4 1 1 M01 A = = = 0,70 B = 1+ 2ω= ,20 = 1,18 C =1,7 - = 1,7 + 1 = 2,7 1+ 0,2ϕ 1+ 0,2 2 M eff 20 A B C 20 0,70 1,18 2,7 λ lim = = = 62 ν 0,52 Assumendo come lunghezza libera di inflessione l 0 l altezza di interpiano è l 0 = 3030 mm. r l ρ min = = 150 mm λ= = = 20 < 62 =λlim : non vanno presi in conto gli effetti del II ordine 2 ρ 150 Calcolo capacità portante min Per un pilastro circolare la pressoflessione è sempre retta. Sul diagramma di interazione dimensionale tracciato per una sezione circolare di calcestruzzo C28/35 armata con 6 φ12 il punto di coordinate N Sd = 671 kn, M Sd = 29,5 knm risulta all interno del dominio resistente. La sezione è verificata (fig. 9.2). 02 Fig. 9.2 Diagramma di interazione sez. circolare, presso flessione retta F. Biasioli

127 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO Pilastro C2 SLU STATICO Eccentricità del I ordine Il pilastro, di forma rettangolare e dimensioni (300 x 400) mm è posto in ambiente interno. La distanza del baricentro delle armature longitudinali dalla superficie del calcestruzzo è d = 36 mm. Le eccentricità della forza assiale N Sd = 2785 kn deve in ogni caso risultare almeno pari a e e = max (b/30; h/30; 20 mm) = max (13 mm; 20 mm) = 20 mm. Nel caso specifico l eccentricità risulta e e = 0,01 m = 10 mm < 20 mm. Si assume e = 20 mm. L eccentricità e i dovuta alle imperfezioni geometriche è uguale a quella del caso precedente (8 mm). L eccentricità totale risulta pertanto e tot = (e e + e 1 ) = (20 + 8)= 28 mm e si considera presente in entrambe le direzioni x, y. Pertanto M Sd,x = M Sd,y = N Sd e tot = = 78 knm Effetti del II ordine Per sezioni rettangolari di dimensioni (300 x 400) mm devono essere disposte barre di diametro minimo φ = 12 mm in numero minimo di 6. Si dispongono 16 barre φ 18 con area totale A s = (16 254) = 4064 mm 2 a cui corrisponde il rapporto geometrico A s fyd ω = = = 0,72 A f ,4 c cd 20 A B C Per la snellezza limite λ lim = A = 0,70 B = 1+ 2ω= ,72 = 1,56 C = 2,7 ν 3 NSd A B C 200,701,562,7 ν = = = 1,26 λ lim = = = 53 A c fcd ,4 ν 1,26 0 La snellezza del pilastro per l 0 = l e ρ b l min = 35 lim 12 λ= ρ = 300 = <λ Calcolo capacità portante Per elementi soggetti a pressoflessione deviata è possibile effettuare due verifiche a pressoflessioni rette) secondo ciascuna delle due direzioni principali x,y se sono soddisfatte entrambe le condizioni: λy e/h y 0,5 2 0,20 λ e/b oppure e/b x 0,20 e/h x x La prima condizione λ y /λ x = h/b = 400/300= 1,33 < 2 è soddisfatta, la seconda, essendo le due eccentricità del primo ordine e y = e x = 28 mm uguali, non lo è ed occorre effettuare la verifica in pressoflessione deviata. Sul diagramma di interazione dimensionale di figura 9.3 per una sezione rettangolare di calcestruzzo C28/35 armata con 16 φ18, il punto di coordinate N Sd = 2785 kn, M Sdx = 78 knm si trova sulla frontiera del dominio resistente. La sezione è verificata. min y Fig. 9.3 Dominio di resistenza sez. rettangolare, pressoflessione deviata 2007 F. Biasioli 9-5

128 CAPITOLO 9 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO 9.3 Verifiche allo SLU per taglio QT Pilastro A1 COMBINAZIONE STATICA La verifica a taglio di un pilastro circolare può essere condotta considerando la larghezza b di una sezione rettangolare, inscritta all interno della sezione (fig. 9.4) avente rapporto tra i lati b = 5/7 h, rapporto per cui risulta massima l inerzia della sezione Risulta D= b +h = h +h =1,23 h da cui 7 h = 0,81 D = 0, = 244 mm b = (5/7) h = 174 mm Il taglio sollecitante vale V Sd = 16,2 kn Con d = 45 mm è d = h d = = 255 mm. Fig. 9.4 sezione di calcolo Per la disposizione delle staffe le indicazioni di norma sono: - strutture in zona non sismica: passo massimo s max min (10 φ l, 250 mm) = min (160; 250) = 160 mm - strutture in zona sismica: nelle zone di estremità estese a 1/3 della semialtezza netta (nel caso in esame, espete per 0,33 (2700/2) = 450 mm): s max min (5 φ l 100 mm) = 80 mm; al di fuori di tale zona valgono le regole per zona non sismica. Con staffe circolari φ8 disposte con passo s = s max = 80 mm è A sw = 100 mm 2. Utilizzando il metodo tabellare a tale armatura corrispondono l armatura a taglio ridotta e il taglio adimensionale ω wη Asw fyd = = =0,21 b s ν f ,7 18,4 w 1 cd η = 0,370 < 0,450 Di conseguenza V Rd = η b w d ν 1 f cd = 0, ,7 18, = 214 > 16,2 kn Si mantiene la disposizione con passo 80mm fino a 450 mm dai fili superiore e inferiore del solaio. Nelle zone intermedie del pilastro il passo delle staffe è raddoppiato al valore s = 160 mm. COMBINAZIONE SISMICA Essendo le sollecitazioni minori di quelle in condizioni di SLU statico, la verifica si considera soddisfatta Pilastro C2 COMBINAZIONE STATICA La sollecitaziona massima V Sd = 18,15 kn è di modesta entità ed è automaticamente soddisfatta se si rispettano le disposizioni minime d armatura previste in normativa (staffe φ8/80 mm nei primi 450 mm dal filo solaio, φ8/160 nelle zone intermedie) Disposizioni costruttive In zona sismica la prima staffa non deve distare più di 50 mm dal estremità del pilastro (filo interno del solaio): si suggerisce di adottare tale accorgimento anche in zona non sismica, in quanto facilita il confinamento del calcestruzzo compresso esercitato dalle staffe chiuse. Le staffe DEVONO essere chiuse e terminare con ganci piegati a F. Biasioli

129 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 10 CAPITOLO 10 Elementi di controvento Nuclei e setti OR Premessa Gli elementi di controvento, catalogati come pareti strutturali semplici o complesse, sono verificati nella condizione di carico di SLU sismico. Possono essere considerate pareti gli elementi che sopportano le sole azioni orizzontali per le quali la forza assiale ridotta NSd ν = 0,40 A f c cd La condizione limite n = 0,40 rappresenta la condizione di momento resistente massimo per una forza normale assegnata. Le pareti devono avere uno spessore s 150 mm. Gli elementi composti sono costituiti da elementi rettangolari disposti in modo da formare elementi a C, U, ecc. come i vani ascensore. Nel seguito per le verifiche di flessione e taglio dei vani ascensore e dei setti si utilizzano le prescrizioni contenute nell OPCM Nuclei Sollecitazioni Le azioni cui sono soggetti i controventi sono ottenute come combinazione degli effetti delle azioni veriticali e orizzontali calcolate in tab. 4.3 per N Sd (carichi verticali) e 6.10 (SLU) e 6.14a (sisma) per M e F (azioni orizzontali). Nd Mi,y Mi,x FiX FiY Mz,i [kn] [knm] [knm] [kn] [kn] [knm] vento sisma lungo x sisma lungo y , ,2 Tab Sollecitazioni di base - nuclei Applicando le regole di combinazione contenute nei capitoli 2.3 e 6.7 a livello del primo impalcato si ha NSd MSd,y MSd,x VSd,x VSd,y TSd [kn] [knm] [knm] [kn] [kn] [knm] vento , ,4 177,9 116,4 sisma lungo x ,6 835 sisma lungo y Tab Sollecitazioni di calcolo - nuclei 2007 F. Biasioli 10-1

130 CAPITOLO 10 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Verifiche di compatibilità Nella fase di predimensionamento degli elementi di controvento si è assunto che questi siano in condizioni non fessurate sotto la combinazione di carico di SLU. Per validre tale ipotesi si esegue la verifica di fessurazione, considerando l eccentricità del carico rispetto al nocciolo del vano ascensore. Se l eccentricità dovuta ai carichi di SLU risulta interno al nocciolo del vano ascensore, l elemento risulta interamente compresso e la verifica risulta soddisfatta. Applicando le formule della Scienza delle Costruzioni si ha: 2 11 x i 7, e y,1 = = = 612 mm yg ix 7, e y,2 = = = 479 mm h - yg i 11 y 8, e x = = = 626 mm x 1000 G Le eccentricità risultano: e x = 638, /4302 = 148 mm e y = /4302 = 441 mm La struttura può risultare non completamente compressa per alcune direzioni dell azione del vento, ma le tazioni risultano di modestissima entità. La verifica approssimata eseguita con il programma di calcolo (fig. 10.1) conferma, infatti, che la deformazione di trazione non è tale da pregiudicare l ipotesi inziale, ossia ε el 0,02 La struttura è pertanto in condizioni non fessurate. Fig Verifica di compatibilità F. Biasioli

131 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 10 OR OR Progetto/verifica delle armature Armature longitudinali Una parete è un elemento per il quale la forza assiale normalizzata N ν ν < 3 Sd = 0,4 = = 0,10 0,4 A c fcd ,4 Una parete composta di più elementi rettangolari tra loro collegati viene progettata considerando reagenti sia gli elementi che si allungano nella direzione considerata del sisma sia le eventuali ali, con dimensioni di calcolo massime definite come (H altezza del fabbricato): sisma direzione x: l f,eff = min {l f ; i/2; 0,25 H} = min {2000; n.a.; 5208} = 2000 mm direzione y: l f,eff = min {l f ; i/2; 0,25 H} = min {800; 900; 5208} = 800 mm OR OR Fig sezione effettiva Si considera quindi resistente l intero vano ascensore. Nella zona di base della parete si individua una zona critica in cui si concentrano le deformazioni anelastiche in condizioni di SLU (fig. 10.4) la cui altezza h cr vale h cr = max { b; l; H/6} min { h; 2b; 2l} ï max { 2000, 2200; 3472} min { 3030; 4000; 4400} = 3030 mm Nella zona critica di base l armatura viene calcolata con criteri differenti a seconda che sia disposta in una zona confinata o non confinata : le zone confinate sono in figura 10.3 e hanno spessore s e lunghezza confinata l c pari a l c = 0,20 l 1,5 s ï 0, = 440 mm > 1,5 200 = 300 mm ï l c = 440 mm comunque non superiori alla dimensioni effettive. All interno di tali zone il rapporto geometrico di armatura ρ deve risultare 1% ρ 4% Pertanto A s,min = 0, = 880 mm 2 A s,max = 0, = 3520 mm 2 Nelle zone non non confinate il rapporto geometrico di armatura ρ > 0,2%, ossia Fig Zona confinata A s,min = 0, ( ) = 528 mm 2 Nelle otto zone confinate sono presenti 58φ16, con un area totale A s = mm 2. In ogni zona è ρ < 4%. Nelle zone esterne a quelle confinate si dispongono 18φ12, con area A s = 2034 mm 2 (fig. 10.6). Sfruttando un programma di calcolo 1 si ottiene il diagramma di interazione in figura 10.5, Nella figura a sinistra è riportata la condizione di sisma in direzione x, in quella a destra lungo y. Fig Vano ascensore zona critica 1 Il programma utilizzato è VcaSLU, sviluppato dal prof. P. Gelfi, liberamente disponibile sul sito F. Biasioli 10-3

132 CAPITOLO 10 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Fig Vano ascensore disposizione delle armature e diagrammi di interazione QT5 3. Armature trasversali La verifica a taglio del vano ascensore è condotta allo SLU considerando un comportamento a traliccio, con fomazione di bielle compresse (calcestruzzo) e bielle tese (acciaio). Il progetto delle armature a taglio deve essere effettuato per due direzioni (x, y) tra loro ortogonali. Dalla tabella 10.2 risulta V Sd,x = 427 kn; V Sd,y = 485 kn, T Sd = 835 knm. È possibile trattare i due tagli in maniera separata, attribuendo a ciascuna membratura che si allunga nella direzione del taglio in esame la resistenza completa delle forze di taglio nella medesima direzione. Sostanzialmente, per le forze di taglio agenti in direzione x si considera resistente la sola parete di fondo del vano ascensore (l unica intercettata dall asse neutro nel caso di flessione reta attorno all asse y), mentre per il taglio in direzione y si considera che entrambe le pareti resistano congiuntamente al taglio di progetto. Il momento torcente T Sd = 835 knm viene distribuito sui singoli elementi in maniera semplificata in base al rapporto tra la rigidezza torsionale della singola parete e la rigidezza torsionale totale. Sulla bese dele formule in appendice al cap. 5 si ha: GJt,i GJt parete di fondo: k θ = vano ascensore k θ = l l poiché G e l z sono costanti, la ripartizione risulta z T Sd,i = T Sd J t,i /J t z F. Biasioli

133 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 10 QT5 4.2 OR J t,i = = 5 10 J t = = 16,2 10 3,20 3,89 3,23 3,20 Da cui T Sd,i = / 16,2 = 258 knm La condizione peggiore risulta quella relativa al solo taglio in direzione x. A tale sollecitazione si deve sommare il contributo dovuto alla torsione (QT5). La sezione tubolare equivalente ha spessore t ef = ( )/ 2 ( ) = 91 mm e comunque non minore di t min = 2 36 = 72 mm. Per uno spessore di progetto t d = 90 mm si ha z 1 = /2 = 1910 mm z 2 = /2 = 110 mm A k = = mm 2 da cui V T = T z i /2 A k = / = 1,17 kn Il taglio di progetto su ogni parete della sezione tubolare risulta V Sd = 428 /2 + 1,17 = 215,2 kn La verifica alla compressione dell anima risulta: V Sd,x V Rd,2 con V Rd,2 = 0,4 (0,7 f ck /200) f cd b w z z braccio delle forze interne, valutabile come 0,8 l = 0, = 1600 mm viene V Rd,2 =0,4 (0,7 29/200) 18,4) = 588 kn > V Sd,x = 215,2 kn Per il calcolo dell armatura trasversale si considerano staffe φ8 mm a due braccia, per le quali su ogni parete è A sw = 50 mm 2. Il passo a cui devono essere disposte risulta ( ) A z f 50 0, V = V s = = = 145 mm arrotondato a 140 mm sw ywd Sd,x Rd,s max 3 VSd,x 215,2 10 Il passo risulta accettabile poiché s < s max = min { 10φ l ; 250 mm} = min { 10 16; 250} = 160 mm. Assumendo il passo s = 140 mm nella direzione ortogonale (y) risulta A sw V Rd,s = z f ywd = ( 0,8 2000) = 447 kn > V Sd = 215,2kN s 140 Al di sopra della zona critica è possibile aumentare il passo delle staffe e ridurre le armature longitudinali, ricordando che per le barre la distanza massima è 300 mm, mentre per le staffe le distanze da rispettare sono le medesime previste per il caso non sismico. Pertanto s max = 0,75 d (1 + cot α) = 0,75 ( ) = 1269 mm 3 staffe/metro s = 333 mm per s = s max = 333 mm è A 100 s 333 ( ) sw V Rd,s = z f ywd = 0, = 188 kn Poiché il contributo alla foza di taglio è costante per tutti i piani, e pari a 485 /5 = 97 kn/piano, la disposizione minima delle armature può essere prevista solamente per l ultimo livello. La disposizione delle armature è riportata in figura F. Biasioli 10-5

134 CAPITOLO 10 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Fig Vano ascensore - disposizione schematica delle armature F. Biasioli

135 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO Setti Sollecitazioni di verifica Le azioni di progetto, cumulate come descritto precedentemente sono rif NSd Mi,y Mi,x FiX FiY [kn] [knm] [knm] [kn] [kn] sisma lungo x ,50 16,6 D 11 sisma lungo y Tab Sollecitazioni di calcolo - setti I momenti torcenti non vengono presi in considerazione per la loro modestissima entità Progetto/verifica delle armature Il progetto dele armature è condotto nel medesimo modo utilizzato per i vani ascensore. QT4 7.7 N ν ν < A f ,4 3 Sd = 0,4 = = 0,16 0,4 c cd h cr = max { l; H/6} min { h; 2l} ï max { 1200; 3472} min { 3030; 2600} = 2600 mm. l c = 0,20 l 1,5 s ï 0, = 240 mm < 1,5 200 = 300 mm ï l c = 300 mm Limiti d armatura A s,min = 0, = 600 mm 2 A s,max = 0, = 2400 mm 2 Utilizzando 4φ16 per ogni zona confinata si ha A s = 804 mm 2, cui corrisponde ρ = /( ) = 1,34%. La sezione del setto è rettangolare. Per sollecitazioni di presso flessione deviata è possibile il calcolo in presso flessione retta se risulta Sisma lungo x e y = 221/696 = 0,31 m = 31 mm e x = 33/696 = 0,05 m = 5 mm Sisma lungo y e y = 423/696 = 0,60 m = 60 mm e x = 16/696 = 0,02 m = 2 mm e/h y 0,20 e/b oppure e/b x 0,20 e/h x y da cui 5/31 = 0,16 < 0,20 presso flessione retta da cui 2/60 = 0,03 < 0,20 presso flessione retta 2007 F. Biasioli 10-7

136 CAPITOLO 10 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO Il diagramma di interazione che si ottiene risulta: Fig Setto diagramma di interazione La zona intermedia non viene considerata reagente; si dispongono barre φ12 a distanza massima 300 mm, secondo lo schema riportato in fig Armature trasversali Il taglio sollecitante di progetto V Sd = 32 kn La verifica alla compressione della biella compressa al taglio risulta V Rd, max = 0,4 (0,7 f ck /200) f cd b w z = 0,4 (0,7 29/200) 18, , = 784 kn > V Sd Le staffe devono avere diametro minimo φ = 8 mm e passo non maggiore di s max = min { 10φ l ; 250 mm} = min { 10 16; 250} = 160 mm. Adottando staffe f8 a due bracci risulta A sw = 100 mm 2 e la resistenza per s min è V Rd,s = 0, = > V Sd = 32 kn nella zona critica Al di fuori della zona critica è possibile aumentare il passo delle staffe fino al limite previsto per le zone non sismiche con un limite di 3 staffe al metro: s = 333 mm. 160 V Rd,s = 235 = 113 kn 333 > V Sd= 32 kn F. Biasioli

137 QT8 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 10 OR Scorrimento lungo i piani La verifica dei setti allo scorrimento (sliding) è V Rd,s = V dd + V fd + V id V Sd con V dd = 0,25 f yd ΣA si effetto spinotto di progetto (dowel) V fd = 0,25 f cd ξ l b 0 V id = ΣA si f yd cos φ effetto di attrito (friction) effetto delle barre inclinate di un angolo φ rispetto al piano orizzontale (inclination) Il calcolo del rapporto ξ = x/l tra la profondità x dell asse neutro e l altezza l della sezione del setto può essere effettuata attraverso un programma di calcolo che consideri la presenza dell armatura in zona compressa. Si ottiene ξl = 242 mm (fig. 10.9). L area ΣA si = = 1608 mm 2 è quella delle barre verticali che attraversano il piano dell impalcato e da tale sezione risultano debitamente ancorate. L armatura inclinata in questo caso è nulla. Il contributo dei vari termini risulta V dd = 0, = 157 kn V fd = 0,25 18, = 223 kn V id = 0 V Rd,s = = 360 kn > 32 kn. La verifica è soddisfatta. Fig Setto disposizione schematica delle armature 2007 F. Biasioli 10-9

138 PROGETTARE CON IL METODO DEGLI STATI LIMITE FRANCESCO BIASIOLI CARLO DOIMO QUADERNI TECNICI STRUMENTI DI CALCOLO SEMINARIO TECNICO LE STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO - PROGETTO ED ESECUZIONE ALLA LUCE DELLA NUOVA NORMATIVA Forlì 22 giugno 2007 EDIZIONE FUORI COMMERCIO

139 Stampato da: CS Riproduzione e Stampa snc - Corso Orbassano 226 Torino Riservati per tutti i paesi i diritti di riproduzione, memorizzazione elettronica, traduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo. Gli aggiornamenti di questo volume e i programmi citati nel testo sono disponibili sul sito

140 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: DURABILITÀ, RITIRO E VISCOSITÀ STRUMENTI 1 Nessun rischio di corrosione o di attacco X0 DURABILITÀ Calcestruzzo privo di armatura o inserti metallici: tutte le esposizioni eccetto dove c è gelo/disgelo, abrasione o attacco chimico. Calcestruzzo con armatura o inserti metallici molto asciutto. 2 Corrosione indotta da carbonatazione XC1 XC2 XC3 XC4 Asciutto o permanentemente bagnato Bagnato, raramente asciutto Umidità moderata Ciclicamente bagnato e asciutto 3 Corrosione indotta da cloruri Tab Classi di esposizione ambientale Calcestruzzo all interno di edifici con umidità dell aria molto bassa. Calcestruzzo all'interno di edifici con bassa umidità relativa. Calcestruzzo costantemente immerso in acqua Superfici di calcestruzzo a contatto con acqua per lungo tempo. Molte fondazioni Calcestruzzo all'interno di edifici con umidità dell'aria moderata oppure elevata. Calcestruzzo esposto all'esterno protetto dalla pioggia Superfici di calcestruzzo soggette al contatto con acqua, non nella classe di esposizione XC2 XD1 Umidità moderata Superfici di calcestruzzo esposte a nebbia salina XD2 XD3 Bagnato, raramente asciutto Ciclicamente bagnato ed asciutto 4 Corrosione indotta da cloruri presenti nell'acqua di mare XS1 Esposto a nebbia salina ma non in contatto diretto con acqua di mare Piscine. Calcestruzzo esposto ad acque industriali contenenti cloruri Parti di ponti esposte a spruzzi contenenti cloruri Pavimentazioni stradali e di parcheggi Strutture prossime oppure sulla costa XS2 Permanentemente sommerso Parti di strutture marine XS3 Zone esposte alle onde, agli spruzzi oppure alle maree Parti di strutture marine 5 Attacco di cicli gelo/disgelo XF1 XF2 XF3 XF4 6. Attacco chimico Moderata saturazione d acqua, senza impiego di agente antigelo Moderata saturazione d'acqua, con uso di agente antigelo Elevata saturazione d'acqua, senza antigelo Elevata saturazione d'acqua, con antigelo oppure acqua di mare Superfici verticali di calcestruzzo esposte alla pioggia e al gelo Superfici verticali di calcestruzzo di strutture stradali esposte al gelo e nebbia di agenti antigelo Superfici orizzontali di calcestruzzo esposte alla pioggia e al gelo Strade e impalcati da ponte esposti agli agenti antigelo Superfici di calcestruzzo esposte direttamente a nebbia contenente agenti antigelo e al gelo XA1 Ambiente chimico debolmente aggressivo Suoli naturali ed acqua del terreno XA2 Ambiente chimico moderatamente aggressivo Suoli naturali ed acqua del terreno XA3 Ambiente chimico fortemente aggressivo Suoli naturali ed acqua del terreno Cond. ambientali Descrizione Classe di esposizione Ordinarie Tutte le situazioni, escluse le successive X0 Aggressive Ambiente aggressivo per cause naturali, caratterizzato da elevata umidità o XC soleggiamento nullo Molto aggressive Ambiente molto aggressivo per cause antropiche caratterizzato da presenza di XD XS liquidi o di aeriformi particolarmente corrosivi; ambiente marino. Tab Correlazione NT EC F. Biasioli C. Doimo ST 1

141 STRUMENTI STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: DURABILITÀ, RITIRO E VISCOSITÀ SPECIFICA DEL CALCESTRUZZO PREZZO/PRESTAZIONI Tab. 2.1 Esempio di listino calcestruzzo preconfezionato ST F. Biasioli C. Doimo

142 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: DURABILITÀ, RITIRO E VISCOSITÀ STRUMENTI DURABILITÀ - COPRIFERRI Classe di Copriferro c min,dur [mm] esposizione ambientale XC1 C25/30, 0.60, 300 XC2 C25/30, 0.60, 300 XC3 C28/35, 0.55, 320 XC4 C32/40, 0.50, 340 XD1 C28/35, 0.55, 320 XD2 C35/45, 0.45, 360 XD3 C35/45, 0.45, 360 XS1 C28/35, 0.55, 320 XS2 C35/45, 0.45, 360 XS3 50 anni 100 anni XF1 C28/35, 0,50, 320 XF2 XF3 C25/30, 0,50, 340 XF4 C28/35, 0,45, 360 XA1 C28/35, 0,55, 320 XA2 C32/40, 0,50, 340 XA3 C35/45, 0,45, 360 Tab Copriferro c min e caratteristiche di composizione del calcestruzzo (EN206-1 ed EC2) C35/45, 0.45, 360 cnom = max (cmin,b, cmin,dur) + 10 (mm) 20 mm c min,b = φ n b n b numero di barre di un eventuale gruppo di barre; per barra singola n b = 1. d' h d d' φ long /2 φ staffe cnom d' Altezze d e d 2007 F. Biasioli C. Doimo ST 3

143 STRUMENTI STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: DURABILITÀ, RITIRO E VISCOSITÀ RITIRO h 0 k h β ds (t-ts) per (t-ts) = [mm] Tab. 5.1 Relazione tra h 0 e k h e β ds (t-ts) Classe R ck RH% [N/mm 2 ] C20/ C25/ C28/ C32/ C35/ C40/ C45/ Tab 5.2 Ritiro nominale ε cd,0 ( ) per h 0 = 100 mm per cementi di classe N Nota: per cementi S moltiplicare i valori di tabella per 0,80; per cementi R per 1,40 EVOLUZIONE DELLA RESISTENZA NEL TEMPO t 0 β cc (t) = f cm (t)/f cm (28) E cm (t)/e cm (28) [giorni] S N R S N R Tab. 6.1 Coefficienti di variazione di f cm e E cm in funzione di t ST F. Biasioli C. Doimo

144 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: DURABILITÀ, RITIRO E VISCOSITÀ STRUMENTI t 0 VISCOSITÀ C25/30 - R ck = 30 N/mm 2 RH = 45% RH = 65% RH = 85% h 0 h 0 h 0 [giorni] [mm] [mm] [mm] t 0 C28/35 - R ck = 35 N/mm 2 RH = 45% RH = 65% RH = 85% h 0 h 0 h 0 [giorni] [mm] [mm] [mm] t 0 C32/40 - R ck = 40 N/mm 2 RH = 45% RH = 65% RH = 85% h 0 h 0 h 0 [giorni] [mm] [mm] [mm] Tab. 7.1 Coefficienti di viscosità φ (,t 0 ) 2007 F. Biasioli C. Doimo ST 5

145 STRUMENTI STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: DURABILITÀ, RITIRO E VISCOSITÀ h 0 [mm] RH = 45% (t-t 0 ) [giorni] h 0 [mm] RH = 65% (t-t 0 ) [giorni] h 0 [mm] RH = 85% (t-t 0 ) [giorni] Tab. 7.2 βc (t-t 0 ) per 30 N/mm 2 R ck 40 N/mm 2 ST F. Biasioli C. Doimo

146 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: STATI LIMITE DI ESERCIZIO STRUMENTI VERIFICA DELLE TENSIONI Condizioni ambientali Classe di esposizione Combinazione di carico Calcestruzzo Acciaio Rara Q. permanente Rara Ordinarie X0 0,57 fck 0,45 fck Aggressive XC 0,54 fck 0,42 fck 0,80 fyk Combinazione di carico Molto aggressive XD XS 0,50 fck 0,40 fck Tab Rapporti limite di tensione per ambiente, materiale e combinazione di carico Destinazione d uso DM NS ψ 0 ψ 1 ψ 2 ψ 0 ψ 2 Abitazioni, uffici 0,50 0,20 0,30 Uffici aperti al pubblico, 0,60 0,30 0,60 negozi, scuole 0,70 Autorimesse 0,70 0,70 0,60 0,60 Tetti e coperture con neve 0,20 0,00 0,35 Vento QUASI PERMANENTE 0,20 0,00 0,00 0,00 Magazzini, archivi n.d n.d n.d 1,00 0,80 ψ Tab. 2.2 Coefficienti di combinazione ψ Qk/Gk RARA Combinazione di carico QUASI PERMANENTE ψ Tab Rapporti σ c /f ck Qk/Gk RARA Tab Rapporti σ s /f yk σ f c ck QK 1+ ψ GK 0,68 Q 1,40 + 1,50 G K K QK 1+ ψ σs GK 0,93 f Q yk K 1,40 + 1,50 G K 2007 F. Biasioli C. Doimo ST-7

147 STRUMENTI STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: STATI LIMITE DI ESERCIZIO STATO LIMITE DI FESSURAZIONE Classe di esposizione wk (mm) X0, XC1 0,4 XC2-3-4, XD, XS 0,3 Tab Ampiezza ammissibile delle fessure σ s (N/mm 2 ) φ max (mm) i max (mm) Tab. 3.2 Valori limite φ max i max imax imax φmax Interferro massimo i max STATO LIMITE DI DEFORMAZIONE Travi semplicemente appoggiate Sistema strutturale Piastre semplicemente appoggiate mono o bidirezionali (in base alla luce minore) Campata terminale di travi continue o di piastre continue monodirezionali di piastre bidirezionali continue su un lato lungo (in base alla luce minore) Campata intermedia di travi continue Campata intermedia di piastre mono o bidirezionali (in base alla luce minore) Piastre non nervate sorrette da pilastri senza travi (in base alla luce maggiore) k 1,0 1,3 1,5 1,2 Mensole 0,4 Tab. 4.1 Sistema strutturale: valori k ST F. Biasioli C. Doimo

148 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: STATI LIMITE DI ESERCIZIO STRUMENTI STATO LIMITE DI DEFORMAZIONE C20/25 ρ 0 = 0,46%5 ρ As'/ As (%) C25/30 ρ 0 = 0,50%5 ρ As'/ As (%) C28/35 ρ 0 = 0,54%5 ρ As'/ As (%) C35/40 ρ 0 = 0,58%5 ρ As'/ As (%) C40/45 ρ 0 = 0,61%5 ρ As'/ As (%) C45/50 ρ 0 = 0,64%5 ρ As'/ As (%) b eff b d d' h f A' s A s b w ρ b eff A s = b w d A s ρ= b d w 3b w d d' A' s A s A ρ = s bd A ρ = s bd Tab Rapporti (l/d) 0 per k = F. Biasioli C. Doimo ST-9

149 STRUMENTI STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: STATI LIMITE DI ESERCIZIO [PAGINA BIANCA] ST F. Biasioli C. Doimo

150 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: FLESSIONE E PRESSOFLESSIONE STRUMENTI COEFFICIENTI β ε c β 1 β 2 ( ) ,10 0,049 0,335-0,20 0,097 0,336-0,30 0,143 0,338-0,40 0,187 0,339-0,50 0,229 0,341-0,60 0,270 0,343-0,70 0,309 0,344-0,80 0,347 0,346-0,90 0,383 0,348-1,00 0,417 0,350-1,10 0,449 0,352-1,20 0,480 0,354-1,30 0,509 0,356-1,40 0,537 0,359 C - 1,50 0,563 0,361 A - 1,60 0,587 0,364 M - 1,70 0,609 0,366 P - 1,80 0,630 0,369 O - 1,90 0,649 0,372-2,00 0,667 0,375-2,10 0,683 0, ,20 0,697 0,382-2,30 0,709 0,385-2,40 0,722 0,388-2,50 0,733 0,391-2,60 0,744 0,394-2,70 0,753 0,397-2,80 0,762 0,400-2,90 0,770 0,402-3,00 0,778 0,405-3,10 0,785 0,407-3,20 0,792 0,410-3,30 0,798 0,412-3,40 0,804 0, a - 3,50 0,810 0,416 f cd c 2 c A h ε c ε ci β 1 β 2 ( ) ( ) - 3,50-0,00 0,810 0,416-3,45-0,07 0,822 0,423-3,40-0,13 0,834 0,429-3,35-0,20 0,846 0,435-3,30-0,27 0,857 0,440-3,25-0,33 0,868 0,446 C - 3,20-0,40 0,878 0,450 A - 3,15-0,47 0,888 0,455 M - 3,10-0,53 0,898 0,459 P - 3,05-0,60 0,907 0,463 O - 3,00-0,67 0,915 0,467-2,95-0,73 0,924 0,470-2,90-0,80 0,931 0, ,80-0,93 0,946 0,480-2,70-1,07 0,959 0,485-2,60-1,20 0,970 0,489-2,50-1,33 0,979 0,492-2,40-1,47 0,986 0,495-2,30-1,60 0,992 0,497-2,20-1,73 0,997 0,499-2,10-1,87 0,999 0,500-2,00-2,00 1,000 0,500 x 3 7 h ε c2 ε ci c =-2 ε c h x β 1 A = f cd ε c 2007 F. Biasioli C. Doimo ST 11

151 STRUMENTI STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: FLESSIONE E PRESSOFLESSIONE FLESSIONE SEZIONE RETTANGOLARE Acciaio B450C εsyd = 1,96 ξ μ ω 0 δ' (k' = 1) C40/ C35/ C33/ C30/ C28/ C25/ C20/ C A M P O ξ μ ω 0 δ' (k' = 1) C A M P O C A C40/50 M C35/45 P O C30/ C28/ C25/ C20/25 d o b A' s A s cd d' x M d b d f A so fyd = bdf x ξ = μ = ω d ' δ= d ε s Sd 2 cd ε' s c ST F. Biasioli C. Doimo

152 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: FLESSIONE E PRESSOFLESSIONE STRUMENTI PRESSOFLESSIONE DIAGRAMMI DI INTERAZIONE 2007 F. Biasioli C. Doimo ST 13

153 STRUMENTI STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: FLESSIONE E PRESSOFLESSIONE PRESSOFLESSIONE DIAGRAMMI DI INTERAZIONE ST F. Biasioli C. Doimo

154 STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: FLESSIONE E PRESSOFLESSIONE STRUMENTI PRESSOFLESSIONE DEVIATA DIAGRAMMI DI INTERAZIONE h d' d' d' A A b y, M N d A A dx d' x, Mdy ACCIAIO B450C d' h A tot=4a ν μ x = = 0.10 N d bhf M bh f cd dx 2 cd d' b ω μ y 0.10 = = A tot f bhf cd Mdy hb f yd cd μ y ω = 1 ω = 0,5 ω = 0 ν = 0, μ x 0.60 μ y ν = 0, ω = ω = 0, ω = μ x μ y μ y ν = 0,4 ν = 0, ω = ω = 0, ω = μ x ω = ω = 0, ω = μ x F. Biasioli C. Doimo ST 15

155 STRUMENTI STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: FLESSIONE E PRESSOFLESSIONE y, M dx h d' d' d' A A N d A A b d' x, Mdy ACCIAIO B450C d' h A tot=4a ν μ x = = 0.10 N d bhf M bh f cd dx 2 cd d' b ω = μ y 0.10 = A tot f bhf cd Mdy hb f yd cd μ y ν = 0, μ y ν = 0, ω = ω = 0,5 ω = 0, ω = 0 ω = ω = μ x μ x ST F. Biasioli C. Doimo

156 LE STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: TAGLIO E TORSIONE STRUMENTI TAGLIO SEZIONI RETTANGOLARE E A T α = 90 α = 60 α = 45 θ cot θ η ω wη η ω wη η ω wη ,56 2,000 0,360 0,200 0,464 0,231 0,540 0,283 27,10 1,954 0,365 0,208 0,473 0,240 0,552 0,293 27,65 1,908 0,370 0,215 0,482 0,249 0,564 0,305 28,22 1,863 0,375 0,224 0,491 0,258 0,576 0,316 28,81 1,819 0,380 0,232 0,501 0,268 0,589 0,328 29,41 1,774 0,385 0,241 0,510 0,278 0,602 0,341 30,00 1,732 0,390 0,250 0,520 0,289 0,615 0,354 30,69 1,685 0,395 0,261 0,530 0,301 0,629 0,368 31,37 1,640 0,400 0,271 0,541 0,313 0,644 0,383 32,08 1,595 0,405 0,282 0,552 0,326 0,659 0,399 32,83 1,550 0,410 0,294 0,563 0,339 0,675 0,416 33,63 1,504 0,415 0,307 0,574 0,354 0,691 0,434 34,48 1,456 0,420 0,320 0,587 0,370 0,708 0,453 35,41 1,407 0,425 0,336 0,599 0,388 0,727 0,475 36,43 1,355 0,430 0,353 0,613 0,407 0,747 0,499 37,58 1,299 0,435 0,372 0,628 0,430 0,770 0,526 38,95 1,237 0,440 0,395 0,645 0,456 0,796 0,559 40,73 1,162 0,445 0,426 0,666 0,492 0,828 0,602 42,30 1,099 0,448 0,453 0,683 0,523 0,856 0,641 43,09 1,069 0,449 0,467 0,691 0,539 0,869 0,660 45,00 1,000 0,450 0,500 0,710 0,577 0,900 0,707 b w A sw A sl b w η ω ν Sd = b w d ν1 f cd wη 1 w V Asw fywd = b s ν f 1 cd = 0,7 per Rck < 70 N/mm F. Biasioli C. Doimo ST 17

157 STRUMENTI LE STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: TAGLIO E TORSIONE TORSIONE SEZIONI COMPATTE θ cot θ ζ ω wζ ω lζ ,56 2,000 0,800 0,200 0,800 27,10 1,954 0,811 0,208 0,792 27,65 1,908 0,822 0,215 0,785 28,22 1,863 0,833 0,224 0,776 28,81 1,819 0,844 0,232 0,768 29,41 1,774 0,856 0,241 0,759 30,00 1,732 0,866 0,250 0,750 30,69 1,685 0,878 0,261 0,739 31,37 1,640 0,889 0,271 0,729 32,08 1,595 0,900 0,282 0,718 32,83 1,550 0,911 0,294 0,706 33,63 1,504 0,922 0,307 0,693 34,48 1,456 0,933 0,320 0,680 35,41 1,407 0,944 0,336 0,664 36,43 1,355 0,956 0,353 0,647 37,58 1,299 0,967 0,372 0,628 38,95 1,237 0,978 0,395 0,605 40,73 1,162 0,989 0,426 0,574 42,30 1,099 0,996 0,453 0,547 43,09 1,069 0,998 0,467 0,533 45,00 1,000 1,000 0,500 0,500 d' tef,i/2 sl T tef,i 2d' tef,i 2d' u A sw d' u At tef,i T A sl ζ T Ed = t ef,i A kν f cd A f ω wζ = t s νf ef,i A f ω lζ = A νf t sw ywd sl yld cd cd f ck ν= 0, ST F. Biasioli C. Doimo

158 QT6 - STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PUNZONAMENTO STRUMENTI R ck f ck f cd Classe ν ρ min cls (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) % C20/ ,8 13,1 1,0 0,55 3,6 0,081% C25/ ,9 15,8 1,2 0,54 4,3 0,089% C28/ ,1 18,4 1,2 0,53 4,9 0,096% C32/ ,2 21,0 1,3 0,52 5,5 0,102% C35/ ,4 23,7 1,4 0,51 6,0 0,109% C40/ ,5 26,3 1,5 0,50 6,6 0,115% f ctd v Rd,max Tabella 1 - v Rd,max ρ min Classe cls f ck (N/mm 2 ) f cd1 f cd2 (N/mm 2 ) per ρ l = (N/mm 2 ) 0,3% 0,6% 0,8% 1% 1,2% 1,4% 1,6% 1,8% 2,0% C20/25 20,8 7,2 1,16 1,47 1,61 1,74 1,85 1,95 2,03 2,12 2,19 C25/30 24,9 8,5 1,24 1,56 1,72 1,85 1,96 2,07 2,16 2,25 2,33 C28/35 29,1 9,8 1,30 1,64 1,81 1,95 2,07 2,18 2,28 2,37 2,45 C32/40 33,2 11,0 1,36 1,72 1,89 2,03 2,16 2,28 2,38 2,47 2,56 C35/45 37,4 12,1 1,42 1,78 1,96 2,12 2,25 2,37 2,47 2,57 2,67 C40/50 41,5 13,2 1,47 1,85 2,03 2,19 2,33 2,45 2,56 2,67 2,76 Tabella 2 - f cd1 f cd2 d (mm) η pc,max tab. 3a tab. 3a 0,360 0,352 0,344 0,338 0,332 0,327 0,316 0,307 0,294 0,284 f ywd,ef Tabella 3 - η pc,max, f ywd,ef Classe cls η pc,max per d < 200 mm e ρ l = 0,3% 0,4% 0,5% C20/25 0,387 0,360 0,360 C25/30 0,399 0,363 0,360 C28/35 0,410 0,372 0,360 C32/40 0,419 0,381 0,360 C35/45 0,427 0,388 0,360 C40/50 0,435 0,395 0,367 Tabella 3a - η pc,max per d 200 mm 2007 F. Biasioli C. Doimo ST-19