RADIAZIONE SOLARE PERCORSI SOLARI OMBRE PORTATE

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTA' DI INGEGNERIA DIPARTIMENTO DI RICERCHE ENERGETICHE ED AMBIENTALI Viale delle Scienze, 90128 - Palermo. Tel. + 39 91 236111 - Fax + 39 91 484425 Gestione delle Risorse Energetiche per il Territorio A.A. 2007/2008 RADIAZIONE SOLARE PERCORSI SOLARI OMBRE PORTATE a cura di Maria La Gennusa Parte della dispensa è tratta da: F. Calvino, M. La Gennusa, F. Nicoletti, G. Scaccianoce, La Radiazione Solare Extraterrestre. Quaderno di Istituto, Dipartimento di Ricerche Energetiche ed Ambientali (D.R.E.AM.), Palermo, 5 agosto 2001. PALERMO, MARZO 2008

Capitolo 1 - Il Sole 1.1 Caratteristiche fisiche Il sole è la stella più vicina alla Terra ed è sede di reazioni termonucleari a catena. Nella reazione di fusione, durante la quale l idrogeno si combina per formare elio, avviene nel nucleo una conversione di massa in energia. L energia solare (l energia raggiante sprigionata dal Sole per effetto di reazioni nucleari e trasmessa alla Terra sotto forma di radiazione elettromagnetica) è in sostanza l unica forma energetica ad influenzare i moti atmosferici ed il clima terrestre. Il Sole si presenta come un disco dai contorni ben definiti. Il raggio lineare, valutato per una distanza Sole Terra pari ad una unità astronomica (U.A.), è pari a R sole 696.000 km, ed il volume del Sole (volume di una sfera) è pari a: 4 V = π R = 1,41 10 km 3 3 18 3 sole I valori medi della massa e della densità del Sole sono rispettivamente pari a: 30 M sole = 2 10 kg M sole kg ; ρ sole = = 1410 3 V m Il Sole è un corpo sferico completamente gassoso, costituito per lo 70% da idrogeno, per il 29% da elio e nel restante 1% da altri elementi noti, tra i quali azoto, ossigeno, carbonio, magnesio, sodio, calcio, ferro ed altri [8]. La sua struttura è complessa e può essere suddivisa in 7 regioni: il nucleo, zona radiante, zona convettiva, fotosfera, strato d inversione, cromosfera, corona. La pressione negli strati più interni si presenterà più elevata, poiché tale pressione è definita dal peso degli strati sovrastanti; quindi anche la densità aumenterà. Inoltre all interno del Sole deve essere soddisfatta la condizione di equilibrio idrostatico, cioè la differenza di pressione a cui è sottoposto un volume elementare deve essere equilibrata dall attrazione gravitazionale degli strati più interni [8]. sole 2

Figura 1.1. Regioni del Sole [Sito Web] Il nucleo, che si estende tra 0 e 0,23 R Sole, è la regione più densa e più calda del Sole. Esso è composto da gas con densità di 100.000-150.000 kg/m 3 (per un confronto si consideri che la densità del platino è 21.370 kg/m 3 e quella del piombo è 11.300 kg/m 3 ) e una temperatura variabile tra gli 8 10 6 e i 40 10 6 K. La massa del nucleo costituisce il 40% dell intera massa solare, inoltre si ritiene che il 90% dell energia solare venga prodotta in tale zona. L energia solare viene prodotta da diversi tipi di reazioni nucleari, tra le quali le più importanti sono quella protone protone e quella del ciclo del carbonio. L energia generata si propaga per conduzione, convezione ed irraggiamento verso le regioni più esterne, ove le reazioni nucleari non sono praticamente possibili per i troppo bassi valori di pressione e di temperatura. Sopra il nucleo c è la zona radiante che si estende fino a 0,7 R. In essa la temperatura e la densità scendono rispettivamente fino a circa 130.000 K e 70 kg/m 3. Oltre si trova la zona convettiva, che si estende da 0,7 R a 1,0 R, e dove i processi convettivi diventano importanti. In essa la temperatura e la densità scendono rispettivamente fino a circa 5.000 K e a circa 10-5 kg/m 3. La manifestazione osservabile di tale zona è il fenomeno della granulazione, così denominato poiché ricorda chicchi di riso sparsi. Oltre tale strato si trovano gli strati più esterni generalmente denominati con il termine atmosfera solare. La parte principale dell atmosfera solare, chiamata fotosfera, è la sorgente della radiazione che arriva sulla superficie terrestre, tramite trasmissione per irraggiamento. Questa è composta da gas molto poco densi (circa 10-4 volte la densità dell aria a livello del mare) e non omogenei che formano le note macchie solari; presenta una temperatura di circa 4.000 6.000 K. Dopo la fotosfera viene lo strato d inversione, regione composta di vapori, che si estende per poche centinaia di chilometri. Sopra lo strato di inversione si estende per una distanza di circa 10.000 km la cromosfera, che insieme allo strato d inversione formano la vera e propria atmosfera solare. La 3

cromosfera composta principalmente da idrogeno ed elio, ed avente una temperatura superiore a quella della fotosfera, risulta visibile ad occhio nudo durante l eclisse. La regione più esterna del Sole è chiamata corona. La luminosità della corona è un milione di volte più debole di quella della fotosfera, perciò si potrà osservare solo durante la fase totale di eclissi solare. La corona presenta una forma fortemente irregolare e mutevole nel tempo, ma con contorni molto netti. Essa si può dividere in due parti: corona interna, parte più brillante, e corona esterna. Si può inoltre dire che la radiazione coronale non è altro che la luce della fotosfera diffusa. La corona è composta di gas estremamente rarefatti. Si pensa che questi si diffondano in tutto il sistema solare provocando i noti venti solari. Da quanto detto il Sole non ha una fissata dimensione, ma per scopi di calcolo si è considerato un diametro di 1.391.960 km, mentre la sua massa è pari a circa 2 10 30 kg [2; 3]. Il Sole è animato da: a) un moto di rivoluzione attorno al centro della galassia con una velocità lineare di 300 km/s ed un periodo di 200 milioni di anni; b) un moto di rotazione attorno al proprio asse di circa un giro ogni 4 settimane per un osservatore posto sulla Terra, più precisamente bisogna dire che la velocità di rotazione angolare diminuisce allontanandosi dalla zona equatoriale, ove impiega circa 27 giorni per compiere un giro, ed andando verso le zone polari, ove impiega circa 32 giorni per un giro [3; 8]. 1.2 Lo spettro dell irraggiamento solare extraterrestre e la costante solare La distribuzione spettrale all esterno dell atmosfera terrestre è molto importante in applicazioni come ad esempio i sistemi fotovoltaici dei satelliti. Invece la distribuzione spettrale che arriva sulla superficie terrestre, che è funzione non solo della distribuzione spettrale extraterrestre ma anche della composizione atmosferica della Terra, risulta molto importante in numerose applicazioni: fotovoltaico, solare termico, fotosintesi, processi fotochimici ecc. La costante solare è l energia media irraggiata dal Sole nell unità di tempo sull unità di area di una superficie posta ortogonalmente alla direzione di propagazione della radiazione e posta al di fuori dell atmosfera terrestre alla distanza media della Terra dal Sole. La sua costanza non è realmente vera, poiché fluttua leggermente. La determinazione del valore della costante solare risale all inizio del secolo scorso, iniziata con misurazioni effettuate al livello del suolo ed estrapolazione, che tenevano conto dell attenuazione atmosferica, di valori prevedibili esterni all atmosfera terrestre. Successive misurazioni furono effettuate ad alta quota in montagna, cosicché l attenuazione dovuta al pulviscolo atmosferico ed al vapor d acqua presente nell atmosfera risultava praticamente trascurabile. In ogni caso le 4

misurazioni effettuate al disotto dell atmosfera erano soggette a errori molto grandi a causa della sconosciuta composizione dell atmosfera terrestre. Studi relativamente più recenti, si sono serviti di misurazioni effettuate ad alta quota con aerei, palloni aerostatici, sonde spaziali, così da rendere minima l attenuazione atmosferica. In Tabella 1.1 si riporta un excursus storico dei diversi valori della costante solare ricavata da diversi autori, effettuato da Thekaekara e riportata successivamente da Iqbal [2]. Tabella 1.1. Storia dei valori della costante solare [2] La NASA (National Aeronautics and Space Administration), tra il 1968 ed il 1971, valutò la costante solare sulla media pesata di alcuni valori, ricavando il valore di 1353 Wm -2, il cui errore stimato era del ±1,5%. Questo valore fu adottato nel 1971 e denominato NASA design standard. Inoltre la NASA determinò la distribuzione spettrale dell irraggiamento solare extraterrestre alla distanza Sole Terra, che fu accettata dall ASTM (American Society for Testing and Materials) come standard. Questo standard rimase in vigore per molti anni. Studi successivi effettuati con strumenti più precisi hanno portato Fröhlich ed altri studiosi (WRC) ad una migliore valutazione della costante solare e della distribuzione spettrale dell irraggiamento solare extraterrestre. Questi ricavarono un valore medio della costante solare pari a I =1367 W m cs -2, con una deviazione standard di 1,6 Wm -2. 5

Questo valore, denominato costante solare del WRC (World Radiation Center), insieme allo spettro dell irraggiamento solare riportato in Tabella 1.5, sarà preso in considerazione in questa dispensa. Si riportano di seguito alcune tabelle riportanti valori dell irraggiamento solare per alcune bande significative. Tabella 1.2. Divisioni approssimate dello spettro solare in varie bande di colore [2] Colore λ [µm] Banda di Percentuale irraggiamento rispetto alla I cs Viola 0,390 0,455 108,85 7,96 Blu 0,455 0,492 73,63 5,39 Verde 0,492 0,577 160,00 11,70 Giallo 0,577 0,597 35,97 2,63 Arancione 0,597 0,622 43,14 3,16 Rosso 0,622 0,770 212,82 15,57 Tabella 1.3. Divisioni approssimate dello spettro solare in bande di colore più larghe [6] Colore λ [µm] Banda di Percentuale irraggiamento rispetto alla I cs Ultravioletto < 0,380 109,81 6,4 Visibile 0,380 0,780 634,40 48,0 Infrarosso > 0,78 634,40 45,6 Tabella 1.4. Divisioni approssimate dello spettro solare in intervalli d energia [2] Energia [%] λ [µm] 1,2 < 0,3 95,0 0,3 2,4 3,6 > 2,4 In Tabella 1.5 si riporta la distribuzione dello spettro solare con risoluzione del 0,002 µm nella regione del visibile. 6

Tabella 1.5. Valori della distribuzione spettrale extraterrestre [2] 7

1.3 Confronto tra corpo nero e Sole Un corpo che si trovi a temperatura diversa dallo zero assoluto, a causa delle agitazioni molecolare ed atomica che sussistono al suo interno, emette radiazioni elettromagnetiche: irraggiamento termico. Lo spettro delle onde elettromagnetiche comprende i raggi γ, raggi X, l ultravioletto, il visibile, l infrarosso, le onde radio e le onde dei radar. Figura 1.2. Spettro della radiazione elettromagnetica [4] Il fenomeno di propagazione delle onde elettromagnetiche può essere interpretato con la teoria ondulatoria o con la teoria corpuscolare (fotoni) [4]. Generalmente le due teorie coesistono poiché servono l una a compensare le deficienze dell altra. Le grandezze che caratterizzano le radiazioni elettromagnetiche secondo la teoria ondulatoria sono: - Velocità di propagazione: viene indicata con c, rappresenta la velocità della luce, il cui valore dipende dal mezzo nel quale si propaga la radiazione. La sua unità di misura è il metro al secondo [m/s]. Questa è massima nel vuoto ed è pari a c 0 = 2,998 10 8 m/s. Nei mezzi diversi dal vuoto, la velocità di propagazione è data in termini di indice di rifrazione n, dove n è il rapporto tra la velocità della luce nel vuoto e la velocità della luce nel mezzo in esame. Per i gas, l indice di rifrazione è molto vicino all unità, ma comunque sempre superiore. - Lunghezza d onda: viene indicata con λ, e rappresenta la distanza, lungo l asse x, percorsa durante un oscillazione completa (oppure distanza tra due fronti d onda aventi la stessa fase). La sua unità di misura è il metro [m]. - Frequenza: viene indicata con ν, e rappresenta la misura fisica del numero di oscillazioni nell unità di tempo (oppure numero oscillazioni che si hanno nell unità di tempo). La sua unità di misura è Hertz [Hz]. L inverso della frequenza è il periodo T che si misura in secondi [s]. 8

La lunghezza d onda, la frequenza e la velocità di propagazione sono in relazione secondo la seguente espressione: c 0 λ 0 c λ = = = ν n ν n Poiché stiamo considerando come unica causa eccitatrice la temperatura, si può osservare che al crescere della temperatura cresce anche l energia E f emessa in media con un singolo fotone (teoria corpuscolare) secondo l espressione: (1.1) E = h ν [ J] (1.2) f dove h è la costante di Planck pari a -34 6,6262 10 [J s]. Da questa inoltre si può dedurre che al crescere della temperatura cresce anche la frequenza media della radiazione emessa [4]. La prima legge fondamentale della radiazione è la legge di Kirchhoff, che afferma l esistenza di una relazione quantitativa, valevole per tutti i corpi, tra le proprietà relative all emissione e quelle relative all assorbimento. La legge di Kichhoff asserisce che il rapporto tra l energia emessa e quella assorbita da uno stesso corpo è funzione solo della lunghezza d onda e della temperatura, essendo invece indipendente dalla natura del corpo [1]. E em = f ( λ, T ) (1.3) E ass dove E em è l energia emessa nell unità di area del corpo [J]; E ass è la frazione di energia incidente che viene assorbita dal corpo [J]; T è la temperatura del corpo [K]; λ è la lunghezza d onda della radiazione [m]. Il corpo nero è caratterizzato dall avere E ass pari ad 1, in altre parole un corpo nero assorbe tutta l energia che incide su di esso. Ne segue che un corpo nero possiede un alto valore emissivo a qualsiasi lunghezza d onda rispetto ad altri corpi. La seconda legge fondamentale della radiazione è la legge di Planck, che fornisce la distribuzione spettrale energetica della radiazione del corpo nero, per radiazioni nel vuoto o comunque in un mezzo con indice di rifrazione unitario. Questa legge risponde alla seguente relazione: 9

dove C ε = λ 5 1-3 [W/m ] C2 T e λ 1 (1.4) 2 C1 = 2 π h c = 3,7420 10 [W µm 4 m -2 ] h c 4 C 2 = =1,4395 10 [µm K] k 8 λ la lunghezza d onda [µm] ε è la potenza emisferica spettrale emessa. con h la costante di Planck, c la velocità di propagazione (nel vuoto 2,998 10 8 m/s) e k la costante di Boltzmann pari a -23 1,380 10 [J/K]. 1,E+14 1,E+12 1,E+10 1,E+08 1,E+06 T = 373 K T = 1000 K T = 3000 K T = 5779 K 1,E+04 1,E+02 1,E+00 0,E+00 2,E-06 4,E-06 6,E-06 8,E-06 1,E-05 1,E-05 1,E-05 2,E-05 2,E-05 2,E-05 Figura 1.3. Confronto tra distribuzioni spettrali di corpi neri a varie temperature Dalla legge di Planck può essere ricavata la legge dello spostamento o legge di Wien, dalla quale si osserva che lunghezza d onda dove si ha la massima emissione spettrale è inversamente proporzionale alla temperatura assoluta, secondo la seguente relazione: A λ max = (1.5) T dove A è una costante empirica pari a 2,9 10-3 K m. Considerando il Sole equivalente ad un corpo nero ed assumendo la sua temperatura pari a 5779 K, si ha: 3 2,9 10 7 λmax = = 5,018 10 [ m] (1.6) 5779 In ultimo, ma non meno importante, la legge di Stefan-Boltzmann che fornisce la totale energia emessa dall unità di superficie nell unità di tempo da un corpo nero: Eem 4-2 = σ T [W m ] (1.7) 10

dove σ è la costante di Stefan-Boltzmann pari a -8-2 -4 5,67 10 [Wm K ]. Anch essa si può dedurre dalla legge di Planck, poiché non altro che un integrazione della potenza emisferica spettrale emessa estesa a tutte le lunghezze d onda. In molte applicazioni pratiche è importante conoscere la percentuale di radiazione propagante in una data direzione. Questo viene descritto in termini di intensità. L intensità di radiazione di una superficie è la percentuale di energia che si propaga in una data direzione per unità di angolo solido e per unità di area perpendicolare all asse dell angolo solido. Essa è espressa dalla seguente relazione: df -2-1 i = [Jm sr ] (1.8) dω da cosφ dove df è l energia emessa da un elementino di superficie da all interno di un angolo solido dω espresso in steradianti [sr]. φ è l angolo tra l asse dell angolo solido e la normale alla superficie. L angolo solido è definito come il rapporto tra l area ds di una superficie sferica ed il quadrato del suo raggio R: ds dω = [sr] (1.9) 2 R Si ricorda che l intensità di radiazione emessa da un corpo nero è indipendente dalla direzione, cioè è perfettamente isotropo e diffondente. Inoltre, sempre per un corpo nero, la relazione che intercorre tra energia emessa ed intensità di un area elementare da posta al centro di una semisfera di raggio R è la seguente: E em = π i (1.10) 2500 Spettro solare Corpo nero a T=5779 K 2000 Irraggiamento monocromatico [W m -2 µm] 1500 1000 500 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 λ [µm] Figura 1.4. Distribuzione spettrale della radiazione solare extraterrestre e di un corpo nero a T = 5779K Adesso possiamo calcolare la temperatura del Sole utilizzando la legge di Stefan-Boltzmann, sapendo che il flusso radiante totale sulla superficie esterna del Sole è pari a: 11

2 2 149.500.000-2 1.367 63.253 [kwm ] dm φ = Ics = = R 695.000 dove con d m è la distanza Sole Terra e R il raggio del Sole. Dalla legge di Stefan-Boltzmann si ricava la temperatura del Sole: (1.11) T 1 1 φ 4 63.253 4 11 = = = 5779,3 [ K] σ 5,67 10 (1.12) dove σ è la costante di Stefan-Boltzmann. In Tabella 1.6 si riportano i diversi valori della temperatura esterna del Sole, ricavati con metodologie differenti. Tabella 1.6. Temperature degli strati esterni del Sole fornite da metodi differenti [8] Metodo Risultato T [K] Parametro caratteristico della temperatura Massimo della radiazione solare 6750 - Flusso totale di radiazione (Legge di Stefan-Boltzmann) 5770 Temperatura effettiva Intensità della radiazione monocromatica (Formula di Planck): λ = 1000 Å 4500 Temperatura λ = 2500 Å 5000 di brillanza λ = 5500 Å 6400 λ = 1 m 1000000 Distribuzione relativa dell energia nell intervallo: Temperatura λλ da 4300 a 4700 Å 6500 di colore λλ da 4700 a 5400 Å 8000 La quantità di energia irradiata dal Sole nell unità di tempo si può calcolare moltiplicando la costante solare per la superficie di una sfera avente raggio pari alla distanza Sole Terra: 3 2 23 I cs (4π dm )=1367 [4 3,1415 (149.500.000) ] = 3,84 10 [kw] (1.13) Quindi la quantità di energia solare incidente sulla superficie terrestre è pari a 1,743 10 14 kw. Se poi teniamo conto che circa il 70% di questa energia viene intercettata dagli oceani, l energia solare annua incidente sul suolo è pari a circa 5,23 10 13 kw, che costituisce comunque un valore piuttosto grande, tanto da superare di molto il fabbisogno energetico mondiale. 12

Capitolo 2 - Interazione Sole Terra 2.1 Distanza Sole Terra La Terra ruota attorno al Sole percorrendo un orbita di tipo ellittica, con il Sole posto su uno dei due fuochi. L eccentricità dell orbita terrestre è molto piccola, tanto da poter considerare l orbita molto simile ad una circonferenza. Di fatto, la minima distanza tra la Terra ed il Sole si ha al perielio che cade approssimativamente il 3 gennaio, mentre la massima distanza si ha al afelio che avviene approssimativamente il 4 luglio. Queste distanze hanno valore rispettivamente: 6 d p=d m(1 - e)=147,1 10 km = 0,983 AU (2.1) 6 d a=d m(1 + e)=152,1 10 km = 1,017 AU (2.2) dove d m è il semiasse maggiore dell orbita terrestre ed e l eccentricità dell orbita terrestre (pari a 0,01673). La distanza media della Terra dal Sole d m è stata definita come la metà della somma delle distanze che si hanno al perielio ed all afelio, corrispondenti a d m nelle espressioni su indicate. Il suo valore è pari a 149.597.890 km (±500 km), e si verifica approssimativamente il 4 aprile ed il 5 ottobre. Inoltre, questo valore rappresenta l unità di riferimento per la misura delle distanze cosmiche, ed è denominato Unità Astronomica (A.U. = Astronomical Unit). Figura 2.1. Moto della Terra intorno al Sole [2] Sono state proposte diverse funzioni matematiche per la determinazione del valore della distanza Sole Terra in funzione del tempo. Queste generalmente si basavano sullo sviluppo in serie di Fourier. Spencer sviluppò un espressione che calcola il quadrato del rapporto tra la distanza media e la distanza vera, rapporto chiamato fattore di correzione dell eccentricità. Tale espressione presenta un errore massimo di 0,0001 e la sua espressione è la seguente: 13

ε θ θ θ θ (2.3) 2 0=(d m/d) =1,000110+0,034221cos +0,001280cos +0,000719cos2 +0,000077sen2 dove si è indicato con θ l angolo giornaliero, così definito: θ =2 π (n g -1)/365 (2.4) con n g si è indicato il numero del giorno dell anno, che ha valore pari a 1 il 1 gennaio e valore uguale a 365 il 31 dicembre. In queste trattazioni, il mese di febbraio è sempre considerato di 28 giorni. Per applicazioni ingegneristiche, dove non si pretende un elevata accuratezza, si può utilizzare la seguente espressione proposta da Duffie e Beckman per il calcolo del fattore di correzione dell eccentricità: 2 d m n ε0 1 0,033 cos 2π g = = + d 365 (2.5) 2.2 Declinazione solare Per un osservatore che dalla Terra osservi il cielo, il percorso del Sole sulla volta celeste assume la forma di un arco che varia sia durante il corso dell anno che con la latitudine del luogo. Il percorso apparente del Sole attorno alla Terra viene denominato eclittica, dunque il piano di rivoluzione della Terra attorno al Sole viene denominato piano dell eclittica. La Terra oltre ad avere un moto di rivoluzione attorno al Sole, ha anche un moto di rotazione attorno ad un proprio asse, l asse polare, che presenta un inclinazione rispetto alla normale del piano dell eclittica di 23,5. Il moto di rotazione causa la variazione giornaliera della radiazione solare (il giorno), mentre il moto di rivoluzione causa la variazione stagionale della radiazione solare (l anno). L angolo tra l asse polare e la normale al piano dell eclittica rimane sempre costante, così pure l angolo formato dal piano equatoriale ed il piano dell eclittica. Invece varia giornalmente, o più esattamente istantaneamente, l angolo formato dalla congiungente il centro della Terra ed il centro del Sole con il piano equatoriale. Questo angolo denominato declinazione solare è definito come l angolo che la direzione dei raggi solari forma a mezzogiorno, sul meridiano considerato, con il piano equatoriale; risulta anche pari all angolo che i raggi solari formano a mezzogiorno con la direzione dello zenit sull equatore e coincide inoltre con la latitudine geografica alla quale in un determinato giorno dell anno il Sole a mezzogiorno sta sullo zenit; è positivo quando il Sole sta al di sopra del piano equatoriale ed è negativo quando il Sole è al di sotto di esso [3]. 14

Figura 2.2. Definizione della declinazione solare [3] Esso ha valore nullo in corrispondenza dell equinozio autunnale e primaverile, ed ha approssimativamente un valore pari a +23,5 al solstizio estivo e circa 23,5 al solstizio invernale. Questo è vero per l emisfero superiore, mentre risulta invertito per l emisfero inferiore. In Figura 2.3 è rappresentato il moto apparente del Sole nella sfera celeste e l angolo di declinazione solare. Figura 2.3. Sfera celeste che mostra l'apparente percorso del Sole e l'angolo di declinazione solare [2] L intersezione del piano equatoriale della Terra con il piano di rivoluzione apparente del Sole attorno alla Terra, l eclittica, formano come detto un angolo di circa 23,5. Dunque, la posizione relativa del Sole sul piano equatoriale della sfera celeste descrive la declinazione solare. La principale causa di variazione del valore della declinazione solare è il leap year cycle (il ciclo dell anno bisestile), che durante i quattro anni può causare al più una variazione di 10 di grado in corrispondenza degli equinozi e meno di 1 di grado in corrispondenza dei solstizi. Durante un giorno, la massima variazione della declinazione solare è meno di 0,5. Quindi, se si suppone costante la declinazione solare durante un giorno l errore che si commette nel calcolo dell angolo dello zenit e quello dell azimut è al più di 0,5. Spencer ha ricavato la seguente espressione della declinazione solare: 15

δ =0,006918-0,399912cos θ+0,070257senθ-0,006758cos2 θ+ +0,000907sen2θ-0,002697cos3 θ+0,00148sen3 θ [rad] (2.6) che presenta un errore massimo di 0,0006 rad (meno di 3 ). Se gli ultimi due termini vengono omessi si commette al più un errore di 0,0035 rad (circa 12 ). L angolo θ è dato dall equazione 2.4. Esistono espressioni più semplici e più comunemente utilizzate, ma meno precise, come: δ=arcsen{0,4sen[2 π (n -82)/365]} [gradi] (2.7) g proposta da Perrin de Brichambaut, e la seguente relazione: δ=23,45sen[2 π (n +284)/365] [gradi] (2.8) g proposta da Cooper. La declinazione solare può anche essere ricavata graficamente dal diagramma, riportato in Figura 2.4. Figura 2.4. Diagramma dell andamento della declinazione solare [3] 2.3 Ora solare reale e convenzionale L ora solare dipende dalla rotazione della Terra attorno al proprio asse, ma anche dal moto di rivoluzione della Terra intorno al Sole. Il giorno solare è l intervallo di tempo che occorre perché il Sole riappari a completamento di un ciclo ad uno osservatore stazionario posto sulla Terra. Questo intervallo non è costante, ma varia durante l anno a causa di due ragioni. La prima ragione è che la velocità angolare della Terra attorno al Sole non è costante; se ci si rifacesse alla legge di Keplero si troverebbe che la massima velocità si avrebbe al perielio, mentre la minima velocità si avrebbe all afelio; da ciò si può dedurre che la massima durata del giorno si ha quando il Sole attraversa il meridiano prossimo all afelio. La differenza tra questi periodi ed il giorno medio solare è chiamata equazione del tempo dovuta all eccentricità (curva 1 di Figura 2.5). La seconda ragione è dovuta al fatto che il piano dell eclittica è inclinata rispetto all equatore della volta celeste o meglio che la posizione dell asse della Terra è inclinato rispetto al piano dell eclittica. Questo angolo è approssimativamente pari a 23 27 8,2. La differenza tra la reale 16

durata del giorno ed il giorno solare medio, dovuta a quest ultima ragione, è chiamata equazione del tempo dovuta all obliquità (curva 2 di Figura 2.5). Queste due equazioni del tempo portano a definire la equazione del tempo complessiva E T (curva 3 di Figura 2.5). Figura 2.5. Equazione del tempo E T [1] Comunque, in generale, l ora solare può essere ottenuta conoscendo l ora convenzionale e la longitudine del punto di osservazione: h sole 4( ) E L L T mr oss = h + (2.9) conv 60 dove h conv è l ora data dall orologio, L mr è la longitudine del meridiano di riferimento, L oss è la longitudine del punto di osservazione. E T rappresenta una correzione, variabile nel corso dell anno, chiamata appunto equazione del tempo. Il valore di E T fluttua poiché la velocità della terra attorno al sole non è costante durante l anno. Il valore della correzione può essere ricavato dalla Figura 2.5 o dalla seguente relazione: 2n 31 n g g E 10,1sen 360 + = 6,9sen 360 T (2.10) 366 366 Altri studi, tuttavia, hanno considerato un andamento dell equazione del tempo opposto a quello riportato in Figura 2.5, e che viene oggi maggiormente utilizzato. La Figura 2.5-bis riporta l equazione del tempo maggiormente utilizzata. 17

Figura 2.5-bis. Andamento dell'equazione del tempo in minuti nell'arco di un anno [6] Oltre a poter ricavare il valore dell equazione del tempo dalla Figura 2.5-bis, Spencer sviluppò un espressione matematica dell equazione del tempo con una serie interpolante: E =(0,000075+0,001868cosθ -0,032077sen θ + T 0,014615cos2θ-0,04089sen2 θ) (229,18) (2.11) In questa equazione il primo termine a destra, posto in parentesi, rappresenta l andamento di E T espresso in radianti, mentre il secondo termine posto tra parentesi (229,18) rappresenta il fattore di conversione da radianti a minuti. Tale equazione interpolante presenta un errore massimo di 0,0025 rad (35 s). Molto spesso i dati sulla radiazione solare sono dati in ora solare vera (TST true solar time o LAT local apparent time), mentre i dati relativi alla temperatura dell aria, alla velocità del vento sono generalmente dati in ora convenzionale. Risulta conveniente poter convertire l ora convenzionale in ora solare vera o viceversa. Ma per fare ciò bisogna conoscere la longitudine del meridiano di riferimento e la longitudine del luogo in esame. Tutti i meridiani internazionali standard sono multipli di 15 ad est o ad ovest del meridiano di Greenwich (Inghilterra), e tutte ore convenzionali sono multipli interi positivi o negativi del ora di Greenwich (GMT Greenwich mean time). Le longitudini vanno considerate positive se poste a est del meridiano di Greenwich. Il meridiano di riferimento per l Italia è quello passante per Monte Mario (anche passante per l Etna) avente longitudine 15. L equazione di conversione tra l ora solare vera e l ora convenzionale è la seguente: ora solare vera = ora convenzionale + 4' (longitudine del luogo + - longitudine del meridiano di riferimento) + E T (2.12) 18

dove la longitudine del luogo è la longitudine della località considerata. Per esempio: Si vuole conoscere l ora solare vera a Palermo (longitudine 13,35; latitudine 38,12) a mezzogiorno (12h 00min) il 28 dicembre (n g = 362 giorno dell anno). L angolo del giorno è pari a: θ = 2 π (n g 1) / 365 = 6,2143 rad Dalla formula di Spencer il valore dell equazione del tempo risulta pari a E T = -1,08 min Quindi si trova che: ora solare vera = 12h + 4 (13,35 15) 1,08 = 11 52 19,2 19

Figura 2.6 Fusi orari 20

2.4 Posizione relativa Sole Terra Per poter calcolare la radiazione solare che si ha su un piano sulla superficie terrestre, si deve conoscere la posizione relativa del Sole sulla volta celeste e le coordinate del piano. La posizione del Sole è definita se viene specificato il sistema di riferimento. Per il moto di Rivoluzione che la Terra compie in un anno intorno al Sole, ad un osservatore che sta sulla Terra il Sole sembra spostarsi ogni giorno di circa 1 lungo l Eclittica, da Ovest ad Est. L inclinazione dell Asse Terrestre rispetto all Asse dell Eclittica è di 23 27, per cui anche i rispettivi Piani ad essi perpendicolari, cioè quello dell Equatore celeste e dell Eclittica, si intersecano tra loro mantenendo lo stesso angolo. Si supponga un osservatore posto sulla Terra e la sfera celeste logicamente concentrica alla Terra. Ad un dato istante, l osservatore presenterà una posizione nella volta celeste identificata dal suo zenit, che non è altro che il punto corrispondente all intersezione della volta celeste con la normale della superficie terrestre ove è posto l osservatore. Sulla sfera celeste, in posizione opposta allo zenit, c è il nadir. L orizzonte dell osservatore è invece la circonferenza ricavata dall intersezione della sfera celeste con il piano passante per il centro della Terra e ortogonale alla linea congiungente il centro della Terra con lo zenit. L angolo zenitale (θ z ) è l angolo formato dalla direzione dello zenit con la congiungente l osservatore con il Sole (praticamente l angolo letto sulla sfera celeste congiungente lo zenit con il Sole). Questo angolo può al più variare tra 0 e 90. La posizione del Sole rispetto ad un punto sulla Terra è determinata dall angolo di altezza solare, α, e dall angolo azimutale, γ. L altezza solare o altitudine solare (α) è l angolo formato dalla direzione dei raggi solari (intendendo quelli diretti verso la Terra) con il piano orizzontale (orizzonte). L angolo azimutale o azimut solare (γ) è l angolo formato tra la proiezione sul piano orizzontale dei raggi solari e la direzione sud; è positivo se la proiezione cade verso est (prima del mezzogiorno solare) ed è negativa se la proiezione cade verso ovest (dopo il mezzogiorno) [3]. Esso può variare tra 0 e ±180. 21

Figura 2.7. Angolo di altezza solare (α) ed angolo azimutale (γ) Questi due angoli dipendono a loro volta dalla declinazione δ, dalla latitudine ϕ e dall angolo orario ω. L angolo orario (ω) è definito come la distanza angolare tra il Sole e la sua posizione a mezzogiorno lungo la sua traiettoria apparente sulla volta celeste; è anche pari all angolo di cui deve ruotare la terra affinché il Sole si porti sopra il meridiano locale. Tale angolo è nullo a mezzogiorno, positivo nelle ore antimeridiane e negativo nelle ore pomeridiane. Esso risulta dato dalla seguente relazione: ω = 15 (12 - orario) [gradi] (2.13) Figura 2.8. Sfera celeste e coordinate del Sole relative ad un osservatore posto nel punto C [4] 22

Definite queste grandezze, l altezza (α) del Sole alle 12 in un punto di latitudine ϕ può essere ricavata, ai solstizi ed agli equinozi, dalla seguente Figura 2.9: Figura 2.9. Angolo di altezza solare alle ore 12, per una località posta ad una latitudine ϕ ai solstizi ed agli equinozi La Figura 2.10 mostra la posizione della Terra attorno al Sole in corrispondenza degli equinozi e dei solstizi. Figura 2.10. Moto della Terra attorno al Sole 23

All Equinozio di primavera (21 Marzo), il Sole ha declinazione 0. Per l osservatore di una qualunque località della Terra, esso sembra spostarsi, nel suo percorso diurno, lungo l Equatore celeste nel cielo, da Est a Ovest in senso orario verso Sud nell Emisfero boreale, in senso antiorario verso Nord in quello australe. I raggi del sole arrivano perpendicolari all asse terrestre, per cui il dì è uguale alla notte in tutte le località della terra, tranne ai Poli, dove rimane sull orizzonte tutto il giorno in quanto l Equatore celeste coincide col piano dell orizzonte (Figura 2.11). Figura 2.11. Posizione del Sole agli equinozi Dall Equinozio di primavera al Solstizio d estate (21 Giugno), il Sole si sposta lungo il ramo ascendente dell Eclittica, fino a raggiungere la sua massima declinazione positiva di +23 27 ; pertanto nel cielo di ogni località percorre archi diurni quasi paralleli all Equatore celeste, sempre più spostati verso Nord. Nell emisfero boreale il dì è via via più lungo della notte mentre succede il contrario nell emisfero australe (Figura 2.12). Figura 2.12. Posizione del Sole al solstizio d estate 24

Dal Solstizio d estate all Equinozio d autunno (21 Settembre), il Sole si sposta in senso inverso sul ramo ascendente dell Eclittica fino a raggiungere la declinazione 0 ; ripercorre quindi a ritroso le sue posizioni nel cielo precedenti il solstizio estivo. Dall Equinozio di autunno al Solstizio d inverno (21 Dicembre), il Sole si sposta lungo il ramo discendente dell Eclittica, fino a raggiungere la sua minima declinazione negativa di -23 27 ; percorre sempre archi diurni quasi paralleli all Equatore celeste di ogni località, di giorno in giorno più spostati verso Sud; nell emisfero boreale il dì è progressivamente più corto rispetto alla notte, mentre succede il contrario nell emisfero australe (Figura 2.13). Figura 2.13. Posizione del Sole al solstizio d inverno Dal Solstizio invernale all Equinozio di primavera, il Sole si sposta in senso inverso al percorso precedente, sul ramo discendente dell Eclittica; di nuovo sembra tornare indietro rispetto alle sue posizioni nel cielo, con archi diurni sempre più spostati verso Nord nel nostro emisfero fino a raggiungere la posizione dell Equinozio di primavera. E il ciclo annuale del sole ricomincia. Ricapitolando: il Sole agli Equinozi percorre l Equatore celeste di un luogo; nel semestre estivo percorre archi diurni spostati, rispetto all Equatore celeste, verso Nord di un angolo uguale alla declinazione del sole, nel semestre invernale percorre archi diurni spostati, rispetto all Equatore celeste, verso Sud sempre di un angolo uguale alla declinazione del sole. Definiti questi angoli, si può affermare che per data località, quindi per data posizione geografica, in assenza di rifrazione dovuta all atmosfera terrestre (cosa che per scopi pratici sarà trascurata, perchè tale ipotesi porta ad una leggera sottostima dell altezza solare reale di al più 34 all orizzonte), la posizione del Sole in ogni istante dell anno può essere ottenuta dalle seguenti relazioni trigonometriche: 25

cos θ = sen α = sen δ sen ϕ + cos δ cos ϕ cos ω (2.14) z cos( γ ) = sen( α) sen( ϕ) sen( δ) cos( α) cos( ϕ) (2.15) dove con ϕ si è indicata la latitudine della località. Qualche volta viene usata la seguente equazione per ricavare l angolo azimutale: cos( δ ) sen( ω) sen( γ ) = (2.16) cos( α) che dovrebbe essere evitata o usata con accortezza, poiché dà valori inesatti per γ > 90. L equazione (2.14) può essere utilizzata per trovare l angolo orario dell alba, h a ; infatti, questa si verifica per θz = 90, cioè α = 0, quindi ponendo cos θz = 0, si ha: sen( ϕ) sen( δ ) cos( h a ) = = tan( ϕ) tan( δ ) (2.17) cos( ϕ) cos( δ) Osservando che l angolo orario del tramonto differisce da quello dell alba solo per il segno, si può facilmente affermare che la durata del giorno è pari a 2 volte h a. Volendola esprimere in ore si ha: N d 2 arccos[( tan( ϕ) tan( δ )] = (2.18) 15 É opportuno fare alcune osservazioni: nelle regioni polari, in inverno, il Sole non sorge mai, quindi non si può parlare di durata del giorno. Ugualmente durante l estate il Sole non tramonta per sei mesi. all equatore, ϕ = 0, perciò ω = 90, quindi la durata del giorno è indipendente dalle stagioni (cioè dalla declinazione solare) ed è sempre pari a 12 ore. all equinozio, δ = 0, perciò ω = 90, quindi la durata del giorno è indipendente dalla latitudine ed è sempre pari a 12 ore. Per una più agevole determinazione dell ora del tramonto, si può utilizzare il nomogramma di Whillier, come illustrato di seguito (Figura 2.14): 26

Figura 2.14. Nomogramma di Whiller per la determinazione dell'ora del tramonto [2] Nel caso si voglia considerare la posizione relativa tra il Sole ed un piano comunque inclinato, bisogna conoscere la pendenza del piano rispetto all orizzontale, 0 β 180, e l angolo azimutale o azimut a w del piano, cioè l angolo formato dalla proiezione della normale alla superficie sul piano orizzontale con la direzione Sud nell emisfero settentrionale (Nord nell emisfero meridionale): positivo se la proiezione è rivolta verso est, negativo verso ovest. Si farà distinzione tra piano rivolto verso l equatore e piano rivolto verso est o ovest (Figura 2.15). Figura 2.15. Posizione del Sole relativa ad un piano inclinato [3] 2.4.1 PIANO RIVOLTO VERSO L EQUATORE Se consideriamo la Figura 2.16, possiamo osservare che due piani posizionati rispettivamente alle latitudini ϕ e ϕ β, con il primo piano avente pendenza β, avranno stesso angolo di incidenza della radiazione solare se il secondo è disposto orizzontalmente. Infatti secondo Liu e Jordan i due piani risultano paralleli. 27

Figura 2.16. Equivalenza piano inclinato - piano orizzontale [2] Poiché l angolo di incidenza del piano disposto alla latitudine ϕ coincide con quello del piano orizzontale disposto alla latitudine ϕ β, allora, dalla relazione (2.14), possiamo scrivere: cos(z 0β ) = sen( δ ) sen( ϕ - β) + cos( δ) cos( ϕ - β) cos( ω) (2.19) Dalla precedente relazione si può ricavare l angolo orario della prima radiazione sul piano inclinato. Quest angolo è chiamato angolo dell alba per un piano inclinato. Per un piano inclinato, l alba o il tramonto si hanno quando l angolo di incidenza della radiazione sul piano è pari a z 0 = 90. L angolo dell alba h a è dato dalla seguente relazione: ' sen( δ ) sen( ϕ β) cos( h a ) = = tan( δ ) tan( ϕ β) (2.20) cos( δ) cos( ϕ β) Per tutti i piani inclinati orientati verso l equatore, l angolo orario del sorgere del Sole coincide con l angolo orario del tramonto ad eccezione del segno. Si considerino i tre seguenti casi: a) All equinozio, δ è nullo, allora dall equazione (2.20) si ha h a = 90, che è l angolo del sorgere del Sole indipendente dall inclinazione del piano e dalla latitudine del posto. b) Durante l estate (nell emisfero settentrionale), δ > 0, che implica h a > h a.. Cioè il Sole sorge prima su una piano orizzontale che su un piano inclinato. c) Durante l inverno (nell emisfero settentrionale), δ < 0. Questo potrebbe indurre ha pensare che h a < h a. Ma questo è fisicamente impossibile, allora si potrebbe scrivere la seguente espressione: ' h a =min{arccos[- tan( δ ) tan( ϕ)]; arccos[- tan( δ) tan( ϕ- β )]} (2.21) Quest ultima relazione può essere applicata indistintamente sia nel punto b) che in c). 2.4.2 PIANO COMUNQUE ORIENTATO Per superfici comunque orientate rispetto al meridiano locale, la relazione che fornisce l angolo di incidenza z iβ è stata fornita da Benrod e Block, Kondratyev, e in dettaglio da Coffari. Questa relazione si presenta nella seguente maniera: 28

cos z iβ = [sen( ϕ)cos( β) - cos( ϕ)sen( β)cos(a w)] sen( δ) + [cos( ϕ)cos( β) + sen( ϕ)sen( β)cos(a w )] cos( δ)cos( ω) (2.22 a) + cos( δ)sen( β)sen(a )sen(h) oppure w cos z iβ = cosβcos θz + senβsenθzsen( γ - a w) (2.22 b) Per piani rivolti verso l equatore (a w = 0), si può notare che queste due equazioni si riducono alla (2.19). È anche molto utile scrivere l equazione dell angolo d incidenza per pareti verticali, cioè β=90 : cos z i= - cosϕcos(a w)sen δ + senϕcos(a w)cosδcos ω + cosδsen(a w)senω (2.23) È utile, inoltre, calcolare il periodo di tempo durante il quale il piano vede il Sole. Se si indica con h a e con h t i rispettivi angoli orari del sorgere e del calare del Sole, questo periodo sarà dato dalla loro differenza. Questi due angoli non sono uguali neanche in valore assoluto. Ognuno di questi angoli deve essere calcolato singolarmente per superfici orientate verso est o verso ovest. Inoltre bisogna tenere presenti due possibili situazioni: 1) l angolo orario dell alba del piano inclinato è maggiore di quello di un piano orizzontale; 2) l angolo orario del tramontare del Sole per un piano inclinato è più grande del corrispondente di un piano orizzontale. L angolo orario dell alba h ia può essere ottenuto in maniera numerica dall equazione (2.22a) ponendo z iβ = 90. Si presentano delle espressioni esplicite sia nel caso di superficie orientata ad est che per quelle orientate ad ovest. Tenendo in mente che l angolo orario del sorgere o del tramontare del Sole per una superficie inclinata non potrà mai essere maggiore di quello di una superficie orizzontale, i due angoli per piani orientati verso est (a w > 0) sono: 2 2 " x y x y + 1 h = a min ha ;arccos (2.24) 2 x + 1 h " t = min ht;arccos x y x y 2 2 + + x 2 + 1 1 mentre per piani orientati verso ovest (a w < 0) sono: (2.25) h " a = min ha;arccos 2 2 + + x y x y x 2 + 1 1 (2.26) h " t = min ht;arccos dove si è posto 2 2 + x y x y x 2 + 1 1 29 (2.27)

cos( ϕ) sen( ϕ) x = + sen( a ) tan( β ) tan( a ) w w sen( ϕ) cos( ϕ) y = tan( δ ) + sen( aw) tan( β ) tan( aw) e h a e h t rappresentano rispettivamente l angolo orario dell alba e del tramonto su un piano orizzontale. 30

2.5 Percorsi solari È possibile rappresentare graficamente il moto apparente del Sole nella volta celeste mediante i diagrammi dei percorsi solari, ovvero delle carte solari proiettate sul piano orizzontale (diagramma polare) o sul piano verticale (diagramma cilindrico). In questi diagrammi, tracciati per fissato valore della latitudine, si riportano l altezza solare, α, e l angolo azimutale, γ, nei vari periodi dell anno. Il valore degli angoli (α) e (γ) dipende dall ora del giorno, dal giorno dell anno e dalla località in esame. Devono, dunque, essere noti, rispettivamente: la latitudine ϕ, cioè l angolo misurato tra l equatore terrestre e la località in esame (da 0 a 90 nord per l emisfero settentrionale); la declinazione δ, ovvero l angolo tra la posizione del sole al mezzogiorno solare ed il piano equatoriale (da 23,45 al solstizio d inverno a +23,45 al solstizio d estate); l angolo orario ω, cioè l angolo formato dal piano meridiano passante per l osservatore con il piano meridiano passante per il sole. Questi angoli possono essere calcolati utilizzando le equazioni precedentemente riportate e di seguito riassunte: Angolo orario: ω = 15 ( t 12) (Equazione 2.13) { 0.4 2 82 / 365 } Declinazione: δ = arcsen sen π ( n g ) (Equazione 2.7) Altezza solare: α = arcsen(cosϕ cosδ cosω+ senϕ sen δ) (Equazione 2.14) Angolo azimutale: senα senϕ senδ γ = arccos cosα cosϕ (Equazione 2.15) L angolo orario ω, come abbiamo già detto, varia nel corso della giornata con una velocità costante di quindici gradi all ora, visto che la rotazione completa della terra avviene in 24 ore; esso assume valore nullo al mezzogiorno solare e aumenta di 15 gradi ogni ora a partire dal mezzogiorno, con valori positivi la mattina e negativi di pomeriggio. Nella determinazione dell angolo orario si dovrebbe tener conto delle perturbazioni dell orbita e delle variazioni della velocità di rotazione della terra, mediante l equazione del tempo, e della differenza tra la longitudine del meridiano della località considerata e quella del meridiano di riferimento del fuso orario. Quest ultimo per l Italia, come già accennato, è il meridiano 15 E (Monte Mario). In pratica per passare dall ora standard (civile) all ora solare occorre sommare al valore dell ora standard la correzione che si determina dall equazione del tempo (con il proprio 31

segno) e 4 volte la differenza fra la longitudine del meridiano della località in esame e la longitudine del meridiano di riferimento del fuso orario (Equazione 2.12). Con un foglio di calcolo elettronico (Microsoft Excel ) si può implementare l equazione del tempo di Spencer (Equazione 2.11) e valutare, quindi, giorno per giorno il valore assunto da tale equazione; le correzioni dovute all equazione del tempo per il tracciamento dei percorsi solari possono essere solitamente trascurate. Il diagramma solare polare è una proiezione delle traiettorie del Sole sul piano orizzontale, ottenibile riportando graficamente i valori dell altezza solare e dell azimut, calcolati con le equazioni (2.14) e (2.15) per la località considerata, in funzione del tempo solare vero e della declinazione. Si consideri la seguente Figura 2.17. Figura 2.17. Costruzione di un percorso solare [2] La proiezione della traiettoria solare di raggio unitario (1 A.U.) sul piano orizzontale descrive il percorso solare. Nella figura (2.17) possiamo notare il punto a ottenuto dall azimut solare all ora del sorgere del Sole, il punto b rappresentante qualsiasi ora del giorno dato dall azimut solare e dalla distanza Ob. Tale distanza coincide, per le ipotesi fatte, con il valore di cos α. Nei diagrammi polari l osservatore è posizionato al centro del diagramma. Le circonferenze concentriche rappresentano gli angoli di altezza solare costante sopra l orizzonte, con incrementi di 10 gradi. Il cerchio di raggio massimo che limita il diagramma è quello caratterizzato da altezza solare α=0, corrispondente dunque al sorgere o al tramontare del Sole. Per α=40, ad esempio, il cerchio da considerare è quello evidenziato in grassetto in Figura 2.18. 32

Figura 2.18. Altezza solare α = 40 costante nel diagramma solare polare Dal punto centrale del diagramma partono poi una serie di raggi che rappresentano gli angoli azimutali (γ) costanti, con incrementi di 10. In Figura 2.19 è evidenziata la linea di angolo azimutale γ=30 costante. Figura 2.19. Angolo azimutale γ = 30 costante nel diagramma solare polare Ogni percorso solare è identificato da un valore di latitudine ϕ. Quest ultima determina sul diagramma una fascia di possibili posizioni del Sole, delimitata dalle tracce corrispondenti ai due solstizi d inverno e d estate. Ogni mese, caratterizzato da una declinazione media, è rappresentato sul diagramma mediante archi simmetrici rispetto all asse nord-sud che si spostano verso nord a mano a mano che si va dal solstizio d inverno al solstizio d estate e viceversa. Questi archi sono solcati da linee che rappresentano l ora. Nel diagramma polare il reticolo originato dall incrocio fra circonferenze concentriche e i segmenti radiali consente di trasferire la posizione del sole dalla volta celeste alla carta solare e 33

l incrocio tra una linea della data e una linea dell ora corrisponde ad una coppia di valori di (α) e (γ) (Figura 2.20). Figura 2.20 Una volta noti gli angoli dell altezza solare e dell angolo azimutale si può stabilire la posizione del sole nel cielo e collegando i punti che rappresentano le posizioni del sole nelle diverse ore del giorno, si può tracciare il percorso solare in quel giorno (Figura 2.21). Figura 2.21. Percorso solare di un dato giorno nel diagramma solare polare Il percorso del sole si può così tracciare per ogni giorno dell anno. Le linee rappresentano il percorso del sole per il ventunesimo giorno di ciascun mese. Il percorso è più lungo durante i mesi estivi quando esso raggiunge la sua massima altezza sorgendo e tramontando con i massimi angoli azimutali misurati dal sud geografico. Durante i mesi invernali il sole è molto più basso sull orizzonte sorgendo e tramontando con i minimi angoli azimutali (Figura 2.22). 34

Figura 2.22. Percorso solare nel solstizio d inverno (curva più bassa) e nel solstizio d estate (curva più alta) Se si collegano le ore del giorno su ciascun percorso solare si ottiene una linea, generalmente raffigurata tratteggiata, che rappresenta le ore del giorno (Figura 2.23). Figura 2.23 Il diagramma solare risultante fornisce giorno per giorno e ora per ora la posizione del Sole. In Figura 2.24 è riportato il diagramma polare dei percorsi solari relativo alla latitudine di 40 Nord. 35

Figura 2.24. Diagramma polare dei percorsi solari alla Latitudine di 40 N [2] Riassumendo, questo diagramma è così costituito: il cerchio esterno rappresenta l orizzonte, mentre il centro rappresenta lo zenit; i cerchi interni rappresentano i vari valori dell altezza solare α, che sono egualmente spaziate l una dall altra; le linee radiali indicano l azimut γ, diagrammate a passi di 10 ; le linee intersecanti i percorsi solari per le varie date indicate, rappresentano l ora locale vera. Inoltre i diagrammi polari ottenuti per una certa latitudine (per esempio 40 N) possono essere usati per la relativa latitudine opposta (allora 40 S), semplicemente ruotando il diagramma di 180. Alternativamente al diagramma polare si può utilizzare un diagramma cilindrico della posizione del Sole. I diagrammi in coordinate cartesiane danno una proiezione verticale del percorso solare così come sarebbe visto da un osservatore posto sulla terra. Per il diagramma cilindrico le linee orizzontali rappresentano gli angoli di altezza solare sopra l orizzonte, distanziati a passi di 10 gradi. In Figura 2.25 è evidenziata la linea ad altezza solare α = 40 costante. Le linee verticali rappresentano gli angoli azimutali costanti, con incrementi di 15 gradi (Figura 2.26). 36