Corso di Istituzioni di Matematiche

Corso di Istituzioni di Matematiche Università degli Studi della Basilicata Facoltà di Scienze MM. FF. NN. Corso di laurea in Biotecnologie A.A. 2010/11 dott.ssa Vita Leonessa Elementi di calcolo combinatorio 23 dicembre 2010

Si vedranno alcune tecniche per determinare, senza contarli direttamente, il numero degli elementi di un insieme finito o il numero possibile degli esiti di un esperimento.

Esempio: il lancio di due dadi D 2 = D 2 = 6 2 = 36 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

Esempio: il lancio di due dadi contare gli elementi di una tabella (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) 6 (numero righe) 6 (numero colonne) = 36 elementi

Più in generale... Il conto precedente è un caso particolare del problema seguente: Dato un insieme di n oggetti, contare le sequenze ordinate di k elementi (con k n) in cui un elemento può comparire più volte. Definizione Tali sequenze si dicono disposizioni con ripetizione di n oggetti presi k alla volta. Il loro numero è n k.

Più in generale... L insieme S k = {(s 1, s 2,..., s k ) : s j S, j = 1,..., k} costituito dalle k-uple ordinate di elementi di S ha S k elementi. Se S = n, da cui S k = n k. ( s 1, s 2,..., s k ) n scelte n scelte n scelte }{{} k volte

Più in generale... L insieme S k = {(s 1, s 2,..., s k ) : s j S, j = 1,..., k} costituito dalle k-uple ordinate di elementi di S ha S k elementi. Se S = n, da cui S k = n k. ( s 1, s 2,..., s k ) n scelte n scelte n scelte }{{} k volte - Un elemento di S si può ripetere anche più di una volta. - Le n-uple (s 1, s 2,..., s i, s j,..., s k ) e (s 1, s 2,..., s j, s i,..., s k ) sono distinte per ogni i, j = 1,..., k.

Altri modi di contare Esempi 1 Quante partite diverse si possono giocare con un mazzo di carte napoletane? Ovvero in quanti modi possibili possiamo mettere in sequenza le carte napoletane? 2 Quante sono le possibili classifiche finali di un torneo a 5 squadre escludendo l eventualità che ci sia pari merito?

Altri modi di contare A = {a 1, a 2, a 3,..., a n } n = 1 A = {a 1 } un solo ordinamento possibile; n = 2 A = {a 1, a 2 } 2 possibili ordinamenti a 1 a 2 oppure a 2 a 1 ; n = 3 A = {a 1, a 2, a 3 } 6 possibili ordinamenti: a 1 a 2 a 3, a 1 a 3 a }{{} 2, a 2 a 1 a 3, a 2 a 3 a 1, a }{{} 3 a 1 a 2, a 3 a 2 a 1 3 2; }{{} 2 2 2 n = 4 A = {a 1, a 2, a 3, a 4 } 24 possibili ordinamenti: per il primo elemento ho 4 scelte possibili per il secondo elemento ho 3 scelte possibili per per il terzo elemento ho 2 scelte possibili per il quarto ed ultimo elemento ho 1 sola scelta 4 3 2 1 = 24....

Il fattoriale Definizione Sia n N. Si definisce fattoriale di n, e si indica con il simbolo n!, il numero che si ottiene moltiplicando tutti i numeri compresi tra 1 ed n: n! = n (n 1) (n 2) 3 2 1. Per definizione si pone 0! = 1. 1! = 1 2! = 2 3! = 3 2 = 6 4! = 4 3 2 = 24 5! = 5 4 3 2 = 5 4! = 120 n! = n(n 1)!

Permutazioni Definizione Si dice permutazione un qualsiasi ordinamento di n oggetti distinti. Proposizione Il numero delle permutazioni di n oggetti distinti, in simboli P n, è pari a n! Infatti: base di induzione: P 1 = 1 = 1! passo induttivo: P n 1 = (n 1)! P n = n! P n = n P n 1 = n(n 1)! = n!.

Permutazioni Esempio Quante partite diverse si possono giocare con un mazzo di carte napoletane? Ovvero in quanti modi possibili possiamo mettere in sequenza le carte napoletane? 40! = 81591583247897734345611269596115894272000000000

Permutazioni Esempio Quante partite diverse si possono giocare con un mazzo di carte napoletane? Ovvero in quanti modi possibili possiamo mettere in sequenza le carte napoletane? 40! = 81591583247897734345611269596115894272000000000 Esempio Quante sono le possibili classifiche finali di un torneo a 5 squadre escludendo l eventualità che ci sia pari merito? 5! = 120

Altri modi di contare Esempi 1 5 atleti si contendono 3 medaglie (oro, argento, bronzo), quante situazioni diverse si possono verificare? 2 Se A = {lettere dell alfabeto latino}, sappiamo che A 4 = 21 4 = 194 481 (insieme di tutte le parole di 4 lettere anche se prive di senso). Quante parole (anche se prive di senso) possiamo scrivere usando sempre 4 lettere diverse?

Altri modi di contare Esempi 1 5 atleti si contendono 3 medaglie (oro, argento, bronzo), quante situazioni diverse si possono verificare? 2 Se A = {lettere dell alfabeto latino}, sappiamo che A 4 = 21 4 = 194 481 (insieme di tutte le parole di 4 lettere anche se prive di senso). Quante parole (anche se prive di senso) possiamo scrivere usando sempre 4 lettere diverse? Insieme atleti {A, B, C, D, E} per il 1 o posto ci sono 5 scelte possibili per il 2 o posto ci sono 4 scelte possibili per il 3 o posto ci sono 3 scelte possibili in totale sono 5 4 3 = 60.

Altri modi di contare Esempi 1 5 atleti si contendono 3 medaglie (oro, argento, bronzo), quante situazioni diverse si possono verificare? 2 Se A = {lettere dell alfabeto latino}, sappiamo che A 4 = 21 4 = 194 481 (insieme di tutte le parole di 4 lettere anche se prive di senso). Quante parole (anche se prive di senso) possiamo scrivere usando sempre 4 lettere diverse? A = {lettere dell alfabeto latino} per la prima lettera ho 21 scelte per la seconda lettera ho 20 scelte per la terza lettera ho 19 scelte per la quarta lettera ho 18 scelte in totale ho 21 20 19 18 = 143 640

Disposizioni semplici Definizione Dato un insieme di n elementi, si chiamano disposizioni semplici D n,k degli n oggetti presi k alla volta (k n) le scelte ordinate di k di essi in modo tale che ogni elemento compaia al massimo una volta. Se k = n le disposizioni semplici non sono altro che le permutazioni e se ne contano n! D n,n = P n

Disposizioni semplici Definizione Dato un insieme di n elementi, si chiamano disposizioni semplici D n,k degli n oggetti presi k alla volta (k n) le scelte ordinate di k di essi in modo tale che ogni elemento compaia al massimo una volta. Se k < n, come nell esempio Insieme atleti {A, B, C, D, E} per il 1 o posto ci sono 5 scelte possibili per il 2 o posto ci sono 4 scelte possibili per il 3 o posto ci sono 3 scelte possibili in totale sono 5 4 3 = 60. dove n = 5 e k = 3, 60 = n(n 1)(n 2) = n(n 1)(n (k 1)) = n(n 1)(n k +1)

Disposizioni semplici Proposizione Il numero delle disposizioni semplici di n oggetti presi k alla volta è pari a Visto che D n,k = n(n 1) (n k + 1). n(n 1) (n k +1) = si ha anche che n(n 1)(n k + 1)(n k)! (n k)! D n,k = n! (n k)! = n! (n k)!

Disposizioni senza ordine Esempio Ad un colloquio si presentano 8 persone. Tutte risultano valide ma possiamo sceglierne solo 3. Quante possibili scelte abbiamo sapendo che non è importante l ordine con cui scegliamo? n = 8 e k = 3 Se scegliessimo le 3 persone dando importanza all ordine, avremmo costruito una disposizione semplice, ovvero avremmo 8!/5! = 336 possibili scelte. Visto che non siamo interessati all ordine, per ogni terna di persone ce ne saranno altre 5 ad essa equivalenti (perché 6=3! sono le permutazioni possibili di 3 elementi). Allora il numero di combinazioni possibili è dato da 336 6 = 56 = 8! 3!5! = n! k!(n k)!.

Combinazioni Definizione Si chiama combinazione semplice ogni scelta, indipendente dall ordine, di k elementi in un insieme di n elementi e si indica con il simbolo C n,k. Proposizione Il numero di combinazioni di n oggetti in gruppi di k è ( ) n! n C n,k = k!(n k)! = k ( ) n dove il numero si chiama coefficiente binomiale e si legge k n su k.

Calcolo del coefficiente binomiale

Calcolo del coefficiente binomiale ( ) n k = 1 n! k! (n k)! = n(n 1) (n k + 1) k!

Calcolo del coefficiente binomiale C n,k = ( ) n k = 1 n! k! (n k)! = n(n 1) (n k + 1) k! = D n,k P k

Calcolo del coefficiente binomiale ( ) n k C n,k = = 1 n! k! (n k)! ( ) 5 = 5 4 2 2 = 10 ( ) 10 = 10 9 8 7 6 5 = 210 6 6 5 4 3 2 = n(n 1) (n k + 1) k! = D n,k P k

Calcolo del coefficiente binomiale ( ) n = n k n! (n k)!(n (n k))! = n! (n k)!k! = ( ) n k

Calcolo del coefficiente binomiale ( ) n n! = n k (n k)!(n (n k))! = n! (n k)!k! = ( ) ( ) 5 5 = 10 = 2 3 ( ) ( ) 10 10 = 210 = 6 4 ( ) n k

Combinazioni Nel campionato italiano 20 squadre si incontrano l una contro l altra. Nel girone di andata quante partite vengono giocate? ( ) 20 = 20! 20 19 18! = = 190 2 2!18! 2!18! 190 : 10 = 19 settimane

Interpretazione insiemistica delle combinazioni Dato un insieme di n elementi, scegliere una combinazione di k di essi equivale a scgliere un sottoinsieme di k elementi. Il numero di sottoinsiemi di k elementi è ( ) n k Lanci ripetuti In 4 lanci di una moneta, in quanti modi distinti si realizza l esito 3 volte testa e 1 volta croce?

Interpretazione insiemistica delle combinazioni Dato un insieme di n elementi, scegliere una combinazione di k di essi equivale a scgliere un sottoinsieme di k elementi. Il numero di sottoinsiemi di k elementi è ( ) n k Lanci ripetuti - Lanciare una moneta 4 volte equivale a lanciare una volta 4 monete - S = {M 1, M 2, M 3, M 4 } insieme di 4 monete - Se T esce 3 volte, questo risultato si descrive come un sottoinsieme di S in cui su 3 delle 4 monete c è T - ( 4 3) = 4 sottoinsiemi di cardinalità 3 di S: {M 1, M 2, M 3 }, {M 1, M 2, M 4 }, {M 1, M 3, M 4 }, {M 2, M 3, M 4 } - ( 4 3) è anche il numero delle sequenze ordinate di T e C in cui T compare 3 volte: T T T C, T T CT, T CT T, CT T T

Coefficienti binomiali e binomio di Newton La potenza n-sima del binomio (x + y) n = (x + y)(x + y) (x + y) si ottiene moltiplicando ogni fattore del binomio per tutti gli altri (compreso se stesso) in tutti i modi possibili.

Coefficienti binomiali e binomio di Newton La potenza n-sima del binomio (x + y) n = (x + y)(x + y) (x + y) si ottiene moltiplicando ogni fattore del binomio per tutti gli altri (compreso se stesso) in tutti i modi possibili. n = 2 (x + y) 2 = (x + y)(x + y) = xx + xy + yx + yy = x 2 + 2xy + y 2

Coefficienti binomiali e binomio di Newton La potenza n-sima del binomio (x + y) n = (x + y)(x + y) (x + y) si ottiene moltiplicando ogni fattore del binomio per tutti gli altri (compreso se stesso) in tutti i modi possibili. n = 3 (x + y) 3 = (x + y)(x + y)(x + y) = xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3

Coefficienti binomiali e binomio di Newton La potenza n-sima del binomio (x + y) n = (x + y)(x + y) (x + y) si ottiene moltiplicando ogni fattore del binomio per tutti gli altri (compreso se stesso) in tutti i modi possibili. n qualsiasi... x n compare una sola volta x n 1 y compare n volte ( ) n x n 2 y 2 compare volte 2 x n k y k compare ( ) n volte k

Binomio di Newton (x + y) n = ( n + 3 n = k=0 ( ) n x n + 0 ) x n 3 y 3 +... + ( ) n x n k y k k Osserviamo che ( ) n = 0 ( ) ( ) n n x n 1 y + x n 2 y 2 1 2 ( ) n x 2 y n 2 + n 2 ( ) n = 1. n ( ) n xy n 1 + n 1 ( ) n y n n

Triangolo di Tartaglia Permette di determinare i coefficienti binomiali, ovvero i coefficienti dello sviluppo del binomio (x + y) n. Ogni numero (tranne l 1 al vertice) è la somma dei due sovrastanti. In particolare per x = y = 1 2 n = n k=0 ( ) n k

Sushruta Samhita 6 gusti fondamentali: amaro, aspro, salato, dolce, piccante e astringente Figure: Trattato medico indiano del VI sec a.c. si possono ottenere 63 sensazioni differenti combinando i gusti fondamentali

Sushruta Samhita Combinazioni di 6 gusti: 1 = ( 6 6) (tutto l insieme) Combinazioni di 5 gusti: ( 6 5) (sottoinsiemi di 5 elementi) Combinazione di 4 gusti: ( 6 4) (sottoinsiemi di 4 elementi) Combinazione di 3 gusti: ( 6 3) (sottoinsiemi di 3 elementi) Combinazione di 2 gusti: ( 6 2) (sottoinsiemi di 2 elementi) Combinazione di 1 gusti: ( 6 1) (sottoinsiemi di 1 elemento) Combinazione di 0 gusti: 1 = ( 6 0) (l insieme vuoto) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 6 6 6 6 6 + + + + + + = 2 6 = 64 6 5 4 3 2 1 0 Il numero dei sottoinsiemi (o numero delle parti) di un insieme di n elementi è pari a 2 n.

Combinazioni con ripetizione Definizione Si chiama combinazione con ripetizione ogni scelta, indipendente dall ordine, di k elementi in un insieme di n elementi, potendo un elemento comparire più volte fino ad un massimo di k volte. Il numero di tali combinazioni corrisponde a ( ) n + k 1 C n+k 1,k = k Una combinazione con ripetizione non corrisponde più ad un sottoinsieme dell insieme di partenza.

Combinazioni semplici e con ripetizione Esempio Determinare il numero delle combinazioni semplici e con ripetizione di 2 oggetti dell insieme A = {,, } ed elencarle esplicitamente. - Combinazioni semplici: C 3,2 = ( 3 2) = 3 {, }, {, }, {, } - Combinazioni con ripetizione: C 3+2 1,2 = ( 4 2) = 6 {, }, {, }, {, } {, }, {, }, {, }

Formula di Liebniz Siano n, k N con n = n 1 + n 2 +... + n k. Allora ci sono n! M = n 1!n 2! n k! modi per dividere un insieme di n elementi in k sottoinsiemi affinché ce ne siano n 1 nel primo, n 2 nel secondo e così via. Esempio In quanti modi possibili possiamo dividere 10 pecore in 4 recinti in modo tale che nel primo recinto ce ne siano 2, nel secondo ce ne siano 3, nel terzo ce ne siano 4 e nel quarto le restanti? M = 10! = 11 600 2!3!4!1!