Gli effetti di interazione tra campo M e mezzo Si analizzeranno in particolare gli effetti dovuti al campo elettrico e quindi il comportamento della ε. Infatti quasi sempre risulta μ = μ I principali effetti di interazione possono suddividersi in: ffetti di conduzione ffetti di polarizzazione per deformazione ffetti di polarizzazione per orientamento
FFTTO DI CONDUZION È l effetto caratteristico dei mezzi conduttori, cioè di quei mezzi in cui le cariche non sono vincolate nell intorno di una posizione, ma sono libere di spostarsi sotto l azione di un campo elettrico applicato Solitamente viene descritto dal parametro g (J =g) = g sempi: rame, alluminio, argento
FFTTO DI POLARIZZAZION PR ORINTAMNTO Caratteristico dei mezzi dielettrici polari (cariche organizzate in dipoli). Si sovrappone a quello di deformazione Il campo agisce anche sull orientamento medio dei dipoli. L effetto viene ancora descritto tramite la : ε (D = ε ) sempi: acqua distillata Prima Dopo
FFTTO DI POLARIZZAZION PR DFORMAZION Caratteristico dei mezzi dielettrici (cariche vincolate). Il campo provoca uno spostamento medio della distribuzione di carica + rispetto a quella -. Ne consegue la comparsa di un momento di dipolo indotto. L effetto viene descritto tramite la: ε (D = ε ) sempi: vetro, plastica + + + - - + + + + - + - - - + + - + + - + - + + + + - - - - - +- + - + + + - - - - Prima Dopo
ffetti di polarizzazione Consideriamo i due effetti di polarizzazione, come questi influenzano il valore della costante ε e quindi del vettore spostamento (induzione elettrica) attraverso la D=ε Introduciamo a tal fine il vettore P P: momento di dipolo indotto per unità di volume Nel caso di sostanze isotrope ed entro vasti limiti iti della intensità ità del campo elettrico, P è parallelo e semplicemente proporzionale ad P = χε χ : suscettività dieletrica = (grandezza adimensionata) Coulomb m P ε
Il vettore P fornisce una misura del campo indotto nel mezzo per effetto dell azione del campo esistente indipendentemente dal mezzo. Per il campo totale nel mezzo abbiamo quindi: D = ε + χε D si chiama vettore di spostamento proprio perché tiene conto dello spostamento t medio delle cariche. Risulta quindi che: D = ε dove ε = ε ε r = ε (1 + χ ) ε r Il discorso può essere specificato per i due diversi effetti di polarizzazione. Possiamo cioè avere un momento di dipolo indotto per deformazione: P d = χ d ε e un momento di dipolo per orientamento P o = χ o ε quindi, una costante dielettrica relativa data da: ε r = (1 + χ d + χ o )
Analisi in regime complesso L espressione D = ε sarà ora in termini di vettori complessi rappresentativi, anche ε è un numero complesso: ε = ε (ε + jε ) = ε (1+ χ + jχ ) ε + jε : costante dielettrica relativa complessa Ricordiamo che: k ( x) y e j k x
Bilancio energetico V J i J im H dv g V dv j 1 S H H V H n ds dv
dv V im H J J i È il termine di sorgente, la parte reale coincide con la potenza media erogata nell unità di volume e in un periodo dalle sorgenti quella volume e in un periodo dalle sorgenti, quella immaginaria corrisponde a potenza reattiva dv g g V È una quantità reale che coincide con la potenza media in un periodo dissipata per effetto della p p p conducibilità del mezzo Per l integrando di dv j V H H ' ' ' ' ' ' 1 H H H H j
La parte reale del terzo termine del bilancio energetico diventa quindi: 1 V ' ' H H '' dv ssa corrisponde alla potenza media su un periodo dissipata per effetto dei meccanismi di polarizzazione dielettrici e magnetici. La parte immaginaria corrisponderà invece a variazioni dell energia immagazzinata nel campo elettrico e magnetico 1 S H n ds È una quantità in generale complessa, la cui parte reale è la potenza media su un periodo che fluisce attarverso la generica superficie S che contiene le sorgenti e la parte immaginaria è la potenza reattiva in corrispondenza della superficie S
Mezzi dielettrici polari (Acqua distillata) Ci proponiamo di trovare il valore della costante dielettrica relativa complessa ε r = (1 + χ d + χ o ) In particolare focalizziamo l analisi sulla χ o e a tal fine consideriamo un modello elettrodinamico puramente macroscopico del materiale. Quali sono gli effetti che dobbiamo considerare nel modello? Le azioni i del campo elettrico Fenomeni inerziali: resistenza della massa delle cariche a cambiare posizione ffetti di smorzamento,,proporzionali p alla velocità degli spostamenti di cui sono oggetto i complessi di cariche in virtù dell azione del campo elettrico. A questi effetti sono legate le trasformazioni di energia (dissipazioni) Azioni di richiamo: tendono a riportare il mezzo (i dipoli) nello stato iniziale
Alle frequenze alle quali risulta apprezzabile la rotazione dei dipoli, i fenomeni inerziali risultano trascurabili rispetto agli altri. Possiamo quindi considerare l espressione che esplicita l equilibrio dei momenti. Sotto l azione del campo elettrico i dipolini tendono a orientarsi lungo il campo. Si può supporre tuttavia un certo angolo medio α di disallineamento tra il campo e i dipolini Proiettando sulla normale al piano di e Pi momenti delle forze agenti collettivamente sul dipolo e considerando il loro equilibrio abbiamo: M()= Ms +Mc M() è il momento risultante dall azione del campo elettrico: M( ) r ( t) rsen t α r
Se le frequenze considerate sono anche sufficientemente elevate, i dipoli del materiale, frenati dalla viscosità, compiono piccole oscillazioni i i rispetto all orientamento t individuato id dall angolo α M s s dpo ( t) dt ( t ) t M() = cost (t) = b (t) È il momento dovuto all effetto di smorzamento (viscosità) che si oppone all orientamento dei dipoli, provocando dissipazione di energia M c c P (t) o È il momento dovuto alle collisioni, che, per È il momento dovuto alle collisioni, che, per l effetto dell agitazione termica, tendono a riportare al disordine iniziale l orientamento dei dipoli
Abbiamo quindi: s dpo (t) t dt c P o ( t) b ( t) Per le proprietà della trasformata di Fourier: Se Ã(ω) è la trasformata di A(t) jωã(ω) è la trasformata di d A( t) dt Nel dominio complesso avremo quindi: jωspo + cpo = b P P o c b j s
Ora ricordiamo che: P Quindi: o b ( c j s) 1 1 s j c s c tempo di rilassamento o b c 1 1 j
Torniamo alla ε r = (1 + χ d + χ o ) Alle frequenze considerate χ d può considerarsi reale e indipendente da ω χ d reale ε d = 1+ χ d reale ε r = (1 + χ d + χ o ) = ε d + χ o Utilizzando il risultato precedente abbiamo allora che r a 1 j d con a b c MODLLO DI RILASSAMNTO DI DBY
È interessante valutare separatamente la parte reale e immaginaria di ε r. Razionalizzando a (1 j ) a (1 j ) 1 1 r d a a 1 1 Il tempo di rilassamento dipende dalla temperatura Il comportamento dielettrico dei materiali compositi deriva dalla sovrapposizione degli effetti dei diversi costituenti. Per l acqua liquida abbiamo un rilassamento principale intorno ai GHz e uno secondario intorno ai 6 GHz j Modello a doppio rilassamento di Debye
Una formula empirica più accurata è dovuta ai fratelli Cole r a d 1 1 j con < α < 1 (α = Debye) Il significato fisico di α è quello di tener conto di uno spread di distribuzione dei tempi di rilassamento. All interno del materiale abbiamo popolazioni diverse che rispondono con tempi differenti. α, detto anche parametro di distribuzione, è una misura dell allargamento della zona di rilassamento