Lezione 7 Collisioni
Collisioni Il teorema di conserazione dell impulso e particolarmente utile per studiare l azione di forze impulsie. Esistono fenomeni meccanici in cui la forza e applicata a un corpo, per un tempo molto bree t ed in seguito il moto del corpo prosegue senza forze applicate.. In questi casi, uno studio diretto della forza e difficile. E piu facile misurarla studiandone effetti sul moto di un corpo prima e dopo l azione della forza, utilizzando i teoremi di conserazione dell energia e della quantità di moto Un esempio tipico di forza impulsia e la collisione (o urto) tra due corpi, come quella che la mazza applica alla palla da golf. Si dice elastico un urto fra due corpi, in cui l energia totale dei corpi che si urtano e conserata. Si dice anelastico un urto in cui l energia totale dei due corpi non e conserata. Quello che succede e che, in generale, in una collisione, i corpi si deformano e una parte della energia meccanica e spesa nella deformazione del materiale. In un urto elastico l energia spesa nella deformazione del corpo iene restituita come energia meccanica. Nell urto anelastico una parte dell energia cinetica dei corpi non iene restituita come energia cinetica ma trasformata e contribuisce a ariare l energia interna dei corpi. Questo e un primo esempio di processo di trasformazione di energia
Collisioni perfettamente anelastiche Nel caso di collisioni perfettamente anelastiche la quantità di moto e conserata ma non c è restituzione di energia meccanica dopo l urto. I due corpi rimangono deformati e si propagano compenetrati Condizioni prima della collisione m m Condizioni dopo la collisione (m + m ) L impulso si consera: m + m = m + ) ( m E k, in = m + m m + m = ( m + m ) L energia cinetica non si consera. Infatti prima dell urto é: e si può dimostrare matematicamente che e sempre : E k dopo l urto è:, = ( m + m) ( m + m ) < 0 Il laoro compiuto a spese dell energia cinetica iniziale per deformare il corpo non e recuperato, perché le forze interne che si siluppano durante l urto non sono conseratie. ( m + m E k, = ( m + m) = < Ek, in ( m + m) )
Esempio di urto anelastico Un punto di massa m e elocità urta in modo anelastico un corpo di massa m fermo Calcolare la elocità dopo l urto, la ariazione di energia cinetica e il rapporto tra energia cinetica iniziale e ale. Dato che = 0 Direzione e erso del moto sono nella stessa direzione del moto del corpo di massa m Energia cinetica del sistema iniziale Energia cinetica del sistema ale Se l ostacolo fisso ha massa trascurabile (m >> m ) il moto di m e praticamente indisturbato Nel caso di uguali masse si perde la metà dell energia cinetica Se inece m >> m (collisione con un ostacolo di grande massa, ad esempio contro un ostacolo fisso) praticamente tutta l energia e spesa nella deformazione
Esempio di collisioni anelastiche Nello scontro tra un auto e un ostacolo fisso la maggior parte dell energia cinetica si trasforma in energia interna ed e spesa in un tempo breissimo proocando delle altissime decelerazioni che sono in generale non tollerate dal corpo umano. Si cerca in generale di rendere le collisioni il più possibile anelastiche, per eitare collisioni multiple e ribaltamenti della ettura Si cerca inoltre di allungare i tempi di decelerazione applicati al guidatore costruendo il frontale dell auto deformabile, con l uso di air bag, in modo la maggior parte dell energia cinetica sia assorbita da parti dell auto dierse dal corpo del guidatore, e proteggendolo in una capsula rigida, attaccandolo solidamente con le cinture alla parte posteriore della ettura in modo da ridurre al minimo trasferimenti di energia cinetica.
Pendolo balistico II pendolo balistico, utilizzato per misurare la elocità di un proiettile, consiste in un blocco di legno, appeso erticalmente. Un proiettile di massa m, che iaggia orizzontalmente con elocità, urta il pendolo rimanendoi conficcato. Poiché il tempo di collisione (I0-4 s) è piccolo rispetto al periodo di oscillazione del pendolo, il filo che sostiene la massa M resta praticamente erticale durante l'urto. Nessuna forza esterna orizzontale agisce sul sistema e pertanto la componente orizzontale della quantità di moto si consera. Terminata la collisione, (figura 8.9b), il pendolo con il proiettile incluso inizia ad oscillare raggiungendo un'altezza massima h, misurata rispetto alla posizione di equilibrio, tale che l'energia potenziale corrispondente eguaglia l'energia cinetica del sistema subito dopo l'urto. Si può pertanto risalire al alore della elocità del sistema (M+m) e quindi a quella del proiettile prima dell'urto.
Collisioni perfettamente elastiche Nel caso di collisioni perfettamente elastiche la quantità di moto e conserata e c é c è restituzione completa di energia meccanica dopo l urto. I due corpi si muoono indipendentemente dopo la collisione Condizioni prima della collisione m,in m in Condizioni dopo la collisione m, m, m, in + m, in = m, + m, m in m, in m, m, + = +, Risolendo il sistema di due equazioni si ottengono le elocità dopo l urto in funzione di masse e elocità prima dell urto (edi dimostrazione nella diapositia seguente:, ( m = m ) m, in + m + m, in Se si prende come positio il segno di, dee essere preso con segno positio o negatio a seconda che e concorde o discorde con. Egualmente il segno delle elocità ali calcolate e positio o negatio a seconda che siano concordi o discordi con, m =, in + ( m m + m m ), in
Dimostrazione m. + m. m.in.in + m.in m.in.in + m.in.in m. V. + m. V ( ) ( ) m..in + m..in 0 m..in + m..in 0 ( ) m..in (..in ) m m (..in ) (. +.in ) + m (..in ) (. +.in ) 0 sostituendo in si ottiene: 3. +..in +.in che, insieme con la 3 m. + m. m.in.in. +..in +.in + m.in costituisce un sistema di due equazioni in due incognite con determinante m m m + m che risolto per.. dà come risultato ( ).in + ( ) m m. m + m m.in. ( ).in m.in + m m m + m Le elocità calcolate con queste equazioni assumono che,in coordinate) e una quantità positia ( concorde con l asse delle
Esempio di urto elastico Calcolare le elocità ali di un urto perfettamente elastico tra due masse m ed m supponendo che a) m = m ; b) m >> m ;c) m << m con le elocità prima dell urto dirette come in figura, ( m = m ), in m + m =,,in,, in + m, in, m =, in + ( m m + m = I corpi si scambiano le elocità m ), in, =,in,, in, in = Il moto di m è indisturbato m acquista una elocità maggiore di m +, =, in, in,, in = Il moto di m è indisturbato m prosegue con elocità maggiore se, in <,in torna indietro jn caso contrario Al limite se in = 0 e m >>m (caso di un ostacolo fisso) la elocità di m cambia segno, = m,in oero il corpo m rimbalza contro l ostacolo fisso
Trasferimento di energia mediante urti elastici Una particella di massa m urta elasticamente una particella di massa m ferma. Calcolare la frazione di energia f trasferita nell'urto alla seconda particella in funzione del rapporto delle masse m /m delle due particelle. Energia trasferita Energia rimasta al neutrone La funzione f è riportata in figura 8.. Il trasferimento massimo è ottenuto con m = m (f =, f = 0); si ossera che si ottiene un trasferimento di energia superiore al 90% nell'interallo (0.5 < m /m, < ). Questa proprietà è sfruttata nei reattori nucleari a fissione, in cui neutroni engono prodotti in un processo di dissociazione, dell'isotopo 35 U prodotta da un neutrone. neutroni prodotti nella fissione sono eloci, con elocità = I0 7 m/s e deono essere rallentati o a elocità dell'ordine di I0 3 m/s per poter innescare con maggiore probabilità altri eenti di fissione e instaurare la reazione a catena su cui si fonda il funzionamenti di un reattore. i :
Collisioni elastiche nucleari I neutroni engono rallentati facendo passare attraerso una sostanza liquida o solida chiamata moderatore. Come moderatore enia utilizzata, specialmente nei primi reattori, l'acqua pesante D O; i nuclei leggeri di deuterio di massa m D ~ m n fungono da bersaglio, (figura 8.3,) per neutroni eloci, per cui in un urto singolo si ha una frazione di energia trasferita ai nuclei di deuterio di circa f = 8/9 dell energia del neutrone, a cui rimane una frazione f ~ /9 Se la elocità del neutrone dee essere degradata di un fattore 0 4 la sua energia cinetica dee, in N urti, diminuire di un fattore 08. Dee essere pertanto: ( N 8 f ) = log( f ) = 8 0 N N = 8. 3 Facendo collidere i neutroni con materiali pesanti (esempio acciaio) si sfrutta il fenomeno della riflessione elastica per contenere i flussi di neutroni eloci
Esempi di urti non perfettamente elastici x Nella figura e mostrato un semplice esempio di urto elastico in due dimensioni = x u x + y u y : Nella collisione la componente in direzione x non cambia. La componente della elocità lungo y inece cambia segno. Il risultato ale e una riflessione speculare del corpo (θ in = θ out). y θ in θ out Caso di un rimbalzo di un corpo non perfettamente elastico Il moto e parabolico come studiato nelle lezioni precedenti. La figura mostra che l energia cinetica non e conserata del rimbalzo oero l urto del corpo non e completamente elastico. Calcoliamo il coefficiente di restituzione della collisione: Come prima la componente della elocità orizzontale non cambia La componente della elocità in direzione erticale e in = gh cambia segno dopo l urto contro l ostacolo fisso. Se il rimbalzo non e perfettamente elastico e il corpo risalirà ad una < in altezza massima tale che = gh Il coefficiente di restituzione e h e = = h Nel rimbalzo mostrato in in figura circa metà dell energia cinetica iene restituita. La rimanente iene trasformata in calore y x h h