Esercizi svolti. Processi di sole nascite

Esercizi svolti Processi di sole nascite Esercizio 1 I clienti arrivano ad un servizio secondo un processo poissoniano con valor medio λ = 4 clienti all ora. Il servente cessa di funzionare al tempo t = 0, e n(0) = 5. Qual e la probabilita che la coda sia piu lunga di 7 clienti dopo un tempo T = 30 minuti? Il processo degli arrivi e poissoniano. Per T = 30 minuti si ha λt = 2. Dunque si avranno k arrivi in un tempo T con probabilita P k = 2k k! e 2. La probabilita P cercata e pari a P = k=3 P k = 1 e 2 (1 + 2 + 2). Esercizio 2 In una stazione sciistica gli arrivi al minuto a uno skilift sono poissoniani, con valor medio di 5 sciatori al minuto. I ganci dello skilift arrivano ogni 6 secondi. Se c e in quel momento qualche sciatore in coda il gancio viene occupato, altrimenti rimane vuoto. Indichiamo con t i l istante di tempo in cui il gancio i-esimo e disponibile. Si avra che t i = 6i (cioe il gancio 0-esimo parte a t = 0). Supponiamo che il gancio 0-esimo parta vuoto. 1) Qual e la distribuzione dei tempi di interarrivo degli sciatori all impianto? La distribuzione e poissoniana, quindi i tempi di interarrivo sono esponenziali. La densita di probabilita dei tempi di interarrivo, essendo λ = 5 min 1, e dunque f ta (t) = λe λt = 5e 5t min 1. 2) Qual e la distribuzione di probabilita del numero di sciatori che arrivano all impianto tra un gancio e l altro? Il tempo di servizio, in minuti, e t s = 1/10. Gli arrivi tra un gancio e l altro sono distribuiti come una poissoniana di parametro λt s = 1/2. Quindi la probabilita di avere n arrivi tra un gancio e l altro e P n = (1/2)n n! e 1/2 3) Qual e la probabilita che il primo gancio parta pieno, e che mentre parte ci sia gia uno sciatore che attende il gancio successivo? E la probabilita che prima del primo gancio arrivino 2 sciatori. Dunque e P 2 = 1 8 e 1/2 4) Qual e la probabilita che il secondo gancio parta vuoto? Perche il secondo gancio parta vuoto deve esserci al piu un arrivo prima del primo gancio, e nessun arrivo tra il primo e il secondo gancio. La probabilita P richiesta e dunque P = (P 0 + P 1 )P 0 = (1 + 1/2)e 1/2 e 1/2 = 3 2e 1

Processi di sole morti Esercizio 3 Un cliente arriva ad un servizio M/M/1 e trova davanti a se il servente occupato piu 2 clienti in coda. Se il valor medio del tempo di servizio e E(t s ) = 5 minuti, quale sara il valor medio del tempo che deve attendere prima di essere servito? Per essere servito il cliente deve aspettare che siano completati tre servizi esponenziali. Dato che il valore medio e lineare, il cliente dovra attendere in media un tempo pari a 3 E(t s ) = 15 minuti Esercizio 4 Nel momento dell orario di chiusura ci sono in un negozio 4 clienti. I clienti arrivano alla cassa in modo tale che dal momento della chiusura il cassiere non ha momenti di inattivita. Si supponga il tempo di servizio del cassiere distribuito esponenzialmente, con E(t s ) = 3 minuti. 1) Come e distribuito il numero di clienti serviti nei primi 5 minuti di attivita del cassiere? La lunghezza della linea e una poissoniana troncata di parametro µt, con µ = 1/3 min 1 e t = 5 min. dunque il parametro della poissoniana e 5/3 e la distribuzione del numero di clienti in coda dopo i primi 5 minuti e P n = (5/3)4 n (4 n)! e 5/3 per n = 1, 2, 3, 4, e P 0 = 1 3 (5/3) k k=0 k! e 5/3. La probabilita Q n di avere n clienti serviti e ovviamente Q n = P 4 n 2) Qual e il valor medio del tempo che il cassiere dovra attendere per poter esaurire la coda? Per la linearita del valor medio il tempo richiesto sara 4 E(t s ) = 12 minuti 3) Qual e la probabilita che dopo 20 minuti il cassiere sia ancora attivo? La probabilita richiesta ha la forma 1 P 0 in termini della poissoniana troncata di parametro µt, con µ = 1/3 min 1 e t = 20 min. Si ha dunque 1 P 0 = 3 k=0 (20/3) k k! e 20/3 2

Esercizi di esame svolti Esercizio 5 In una copisteria i lavori da fotocopiare arrivano secondo una distribuzione poissoniana con valor medio di 10 lavori/ora. I lavori in arrivo sono fotocopiati con disciplina FIFO, e il tempo necessario per la fotocopiatura dipende dal numero n di pagine da fotocopiare, ed e pari a t n = αn con α = 0.1 min. La variabile aleatoria n e indipendente per ciascun lavoro, ed e distribuita nel modo seguente: (notare che la distribuzione e normalizzata) p n = (e 1)e n n = 1, 2, 3... 1) Qual e la distribuzione dei tempi di interarrivo dei lavori alla copisteria? Essendo gli arrivi poissoniani i tempi di interarrivo sono esponenziali. Esprimendo λ in minuti si ha λ = 1/6 min 1 e dunque la densita di probabilita dei tempi di interarrivo e f ta (t) = (1/6)e (1/6)t min 1 2) Qual e il modello di coda adatto a descrivere il sistema? E un modello M/G/1, in cui il valor medio del tempo di servizio e pari a E(t s ) = n=1 nαp n = n=1 n(e 1)e n 0.1 min e il valor medio del quadrato del tempo di servizio e E(t 2 s) = n=1 n2 α 2 p n = n=1 n2 (e 1)e n 0.01 min 2. Eseguendo i calcoli si ha E(t s ) = e e 1 0.1 min e E(t2 s) = e2 (e+1) (e 1) 0.01 min 2. 2 3) Qual e il valor medio del tempo di attesa in coda per i clienti della copisteria? Dalla formula di KP si ha W q = L λ = E(t 2 s ) 2E(t s) 2 (1 ρ) 6 min. Eseguendo i calcoli si ha W q = e(e+1) 20(e 1) min. 4) E possibile calcolare la distribuzione dei tempi di interuscita dei clienti dalla copisteria? No, perche i tempi di servizio non sono esponenziali, e dunque il teorema di Burke non e valido. Tuttavia i tempi di servizio sono un esponenziale discreto con un passo molto piccolo rispetto al tempo di interarrivo, e dunque su tempi lunghi rispetto ad α le uscite saranno simili ad una poissoniana. 3

Esercizio 6 La prova orale dell esame di un corso universitario e organizzata nel modo seguente: gli studenti vengono tutti convocati alla stessa ora in un aula. Vengono chiamati secondo la lista di prenotazione da due assistenti, che attraverso un esame orale, che ha una durata descritta da una variabile aleatoria distribuita esponenzialmente con valor medio di 20 minuti, stabiliscono una valutazione. Se la valutazione stabilita dall assistente soddisfa lo studente, l esame viene verbalizzato con disciplina FIFO da un altro assistente con una procedura che richiede un tempo deterministico di 5 minuti. Se la valutazione non e soddisfacente, lo studente puo chiedere di rispondere a un altra domanda posta dal docente titolare del corso. L ulteriore prova orale ha anch essa una durata descritta da una variabile aleatoria distribuita esponenzialmente con valor medio di 20 minuti. Il docente titolare esegue gli esami seguendo una disciplina FIFO. Dopo aver riportato una valutazione definitiva dal docente titolare, gli studenti verbalizzano l esame mettendosi nella stessa fila degli studenti che hanno accettato la valutazione iniziale. Supponendo che il sistema sia in regime stazionario, che non ci siano studenti bocciati e che la probabilita che uno studente decida di sostenere l esame col titolare sia 1/4, si risponda negli spazi alle seguenti domande. 1) Con quale distribuzione di probabilita (arrivi/ora) gli studenti si presentano dal docente titolare per sostenere l esame supplementare? Si presentano con una distribuzione poissoniana, perche i tempi di interarrivo sono le interuscite di un servizio esponenziale divisi per un fattore P = 1/4. Poiche i serventi (gli assistenti) sono due il valor medio del tempo di interarrivo sara di 10 4 min=2/3 h. In ore dunque λ = 3/2 per cui la distribuzione degli arrivi sara P n = (3/2)n e (3/2) n! 2) Con quale distribuzione di probabilita (arrivi/ora) gli studenti si presentano dall assistente per verbalizzare l esame? Il tempo di interarrivo sara pari al tempo di interuscita degli assistenti (perche anche gli studenti che sono passati per il titolare sono usciti secondo un processo poissoniano). Il valor medio del tempo di interuscita e 10 min=1/6 h e dunque si ha P n = 6n n! e 6 3) Quale modello di coda e adatto per descrivere gli esami eseguiti dal docente titolare? M/M/1 4) Quale modello di coda e adatto per descrivere la verbalizzazione degli esami? M/D/1 5) Con quale probabilita ci sono piu di tre studenti in attesa di sostenere l esame con il docente titolare? Questa probabilita e (1 (P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 )) per un M/M/1 con ρ = 1/2, per cui e pari a 1/32 6) Qual e il valore aspettato della lunghezza della coda che si forma davanti al tavolo dell assistente incaricato della verbalizzazione? Dalla Formula di Kintchine-Pollakzeck per tempi di servizio deterministici si ha L = λ2 t 2 s 2(1 ρ) Si ha che in ore λ = 6 µ = 1/t s = 12, per cui L = 1/4 4

Esercizi da svolgere Esercizio 7 In un ufficio lavora un unico impiegato, e le pratiche arrivano secondo una distribuzione poissoniana con un valor medio di 1 arrivo all ora. L ufficio sbriga le pratiche seguendo una disciplina FIFO con un tempo di servizio esponenziale di valor medio di 30 minuti. Le pratiche sono poi sottomesse all approvazione di un dirigente. Supponiamo che le pratiche siano visionate dal dirigente secondo una disciplina FIFO con un tempo di servizio esponenziale di valor medio di 20 minuti. Con probabilita 1/3, indipendente dalle pratiche precedenti, ogni pratica non viene approvata, ma viene rimandata all impiegato per essere riscritta. Con probabilita 2/3, invece, la pratica viene approvata ed esce dal sistema. 1) Qual e la distribuzione dei tempi di interarrivo dall esterno delle pratiche all ufficio dell impiegato? 2) Quale modello di coda e adatto per descrivere il lavoro dell ufficio dell impiegato? con quali parametri? 3) Qual e la probabilita che sul tavolo, oltre alla pratica che sta lavorando, l impiegato abbia piu di una pratica? 4) Qual e la distribuzione dei tempi di interarrivo delle pratiche all ufficio del dirigente? 5) Quale modello di coda e adatto per descrivere il lavoro dell ufficio del dirigente? con quali parametri? 6) Qual e il valore aspettato del tempo complessivo che una pratica deve aspettare per essere approvata dal dirigente? 5

Esercizio 8 In una piccola galleria d arte e stata inaugurata una mostra dove vengono esposti alcuni capolavori. La mostra e di grande richiamo, e fino da prima dell apertura della biglietteria si forma una lunga coda davanti alla galleria, e per tutta la giornata la coda non si esaurisce mai. La biglietteria ha un solo inserviente che ha tempi di servizio esponenziali con valor medio di un minuto. La mostra e allestita su cinque sale che ospitano le cinque diverse sezioni della collezione presentata, e che devono essere visitate in un ordine prestabilito. Poiche in ogni sala, per motivi di sicurezza, possono stare contemporaneamente al massimo due visitatori, prima di entrare nella prima sala e tra ogni sala e la successiva sono predisposti degli appositi spazi di attesa che supporremo per semplicita di capacita infinita. Il tempo che ciascun visitatore passa in ogni sala della mostra e distribuito esponenzialmente con valor medio di un minuto e mezzo. Si risponda alle seguenti domande supponendo che il sistema abbia raggiunto il suo stato stazionario. 1) Qual e la distribuzione di probabilita dei tempi di interarrivo nella primo spazio di attesa? perche? 2) Qual e il modello di coda adatto a descrivere ciascuna delle sezioni della mostra? perche? 3) Qual e il valore aspettato del numero di visitatori presenti nella galleria nel suo complesso (escluso il visitatore che sta facendo il biglietto)? 4) Supponendo che alla fine le borse dei visitatori vengano controllate per motivi di sicurezza, e che la procedura di controllo duri un tempo deterministico pari a 1/2 minuto, qual e il valore aspettato della lunghezza della coda dei visitatori in attesa di avere la borsa controllata? 6

Esercizio 9 In uno stand di una fiera viene proposta ai bambini la costruzione di marionette di carta. I bambini arrivano allo stand secondo una distribuzione poissoniana di valor medio pari a 10 bambini all ora. Entrato nello stand ogni bambino attende eventualmente che si esaurisca la coda davanti all unico operatore, poi l operatore gli illustra la costruzione della marionetta impiegando un tempo distribuito esponenzialmente con valor medio pari a 3 minuti. Successivamente il bambino prende i suoi materiali su di un tavolo, ritaglia alcuni particolari della marionetta con le forbici, e poi la costruisce. Si supponga che il tavolo per la costruzione delle marionette abbia capacita illimitata, ma sia disponibile un solo paio di forbici per cui i bambini, dopo la spiegazione dell operatore, devono eventualmente attendere che si liberino le forbici per iniziare la lavorazione della marionetta. Si supponga che questa operazione preliminare di ritaglio della marionetta richieda un tempo deterministico di 5 minuti, e che la successiva costruzione abbia una durata deterministica di 15 minuti. 1) Qual e la distribuzione di probabilita dei tempi di interarrivo dei bambini allo stand? 2) Quale modello di coda e adatto per descrivere la spiegazione dell operatore? Con quali parametri? 3) Qual e la probabilita che davanti all operatore si formi una coda di piu di un bambino? 4) Qual e la distribuzione di probabilita dei tempi di interarrivo dei bambini al tavolo dove vengono costruite le marionette? Perche? 5) Quale modello di coda e adatto per descrivere l operazione di ritaglio delle sagome della marionetta? Con quali parametri? Come si puo rappresentare la successiva costruzione della marionetta? 6) Qual e il valore aspettato del tempo complessivo trascorso da ciascun bambino nello stand? Formulario Relazioni fondamentali: N = λw L = λw q W = W q + 1 µ M/M/1: P i = ρ i (1 ρ) N = ρ 1 ρ M/G/1: L = ρ2 +λ 2 σ 2 2(1 ρ) 7

Esercizio 10 In una libreria che vende libri scolastici lavorano quattro commesse. I clienti che arrivano per la prima volta alla libreria sono serviti da due commesse, che cercano i libri richiesti dai clienti, e scrivono su una lista i libri non disponibili. I clienti possono prenotare i libri non disponibili al momento e venirli a ritirare successivamente. La terza commessa consegna i libri ai clienti che vengono a ritirare i libri che avevano prenotato in precedenza. I clienti che comprano i libri, sia che arrivino per la prima volta sia che ritirino i libri in precedenza prenotati, devono poi rivolgersi alla quarta commessa, che gestisce la cassa. Si supponga che le prime due commesse lavorino in parallelo, con tempi di servizio esponenziali di valor medio pari a 10 minuti, la terza commessa abbia anch essa tempi di servizio esponenziali di valor medio pari a un minuto, e che la cassiera abbia tempi di servizio distribuiti uniformemente tra 2 e 4 minuti. Si supponga poi che gli arrivi dei clienti alle prime due commesse siano poissoniani di valor medio pari a 10 clienti all ora, che ogni cliente che arriva alle prime due commesse abbia probabilita pari a 1/2 di non trovare nemmeno un libro gia diponibile, e quindi di dover ordinare l intera lista dei libri richiesti senza rivolgersi successivamente alla cassiera, e che gli arrivi alla terza commessa siano anch essi poissoniani di valor medio pari a 12 clienti all ora. 1) Qual e la distribuzione di probabilita dei tempi di interarrivo dei clienti alle prime due commesse? e alla terza commessa? 2) Quale modello di coda e adatto per descrivere il servizio fornito dalle prime due commesse? Con quali parametri? 3) Quale modello di coda e adatto per descrivere il servizio fornito dalla terza commessa? Con quali parametri? 4) Qual e la probabilita che davanti alle prime due commesse non ci sia coda? 5) Quale modello di coda e adatto per descrivere il servizio fornito dalla cassiera? Con quali parametri? 6) Qual e il valore aspettato del tempo complessivo trascorso nel sistema dai clienti che arrivano alla libreria per ritirare i libri in precedenza prenotati? Relazioni fondamentali: N = λw L = λw q W = W q + 1 µ M/M/1: P i = ρ i (1 ρ) N = ρ 1 ρ M/M/2: ρ = λ 2µ P 0 = 1 ρ 1+ρ P i = 2P 0 ρ i M/G/1: L = ρ2 +λ 2 σ 2 2(1 ρ) 8

Esercizio 11 In un canale, per superare un dislivello, le imbarcazioni devono passare per una chiusa. Ogni imbarcazione in arrivo viene registrata da un unico addetto, che ritira anche il pedaggio. Questa operazione richiede un tempo distribuito esponenzialmente, con valor medio pari a 10 minuti. Successivamente l imbarcazione passa per la chiusa vera e propria, dove nella vasca che contiene l imbarcazione viene pompata acqua in modo tale da alzare l imbarcazione al livello della parte successiva del canale. Questa operazione viene effettuata in un tempo deterministico pari a 15 minuti. Poi la vasca viene riportata al livello originale, in un tempo deterministico pari a 5 minuti. La vasca non viene svuotata fino a che una nuova imbarcazione, gia registrata, non si presenta alla chiusa. Le imbarcazioni arrivano secondo una distribuzione poissoniana di valor medio 2 imbarcazioni all ora. 1) Qual e la distribuzione di probabilita dei tempi di interarrivo delle imbarcazioni all addetto? 2) Quale modello di coda e adatto per descrivere l operazione di registrazione e pagamento? Con quali parametri? 3) Qual e la probabilita che davanti all addetto si formi una coda di piu di una imbarcazione? 4) Qual e la distribuzione di probabilita dei tempi di interarrivo delle imbarcazioni alla chiusa vera e propria? Perche? 5) Quale modello di coda e adatto per descrivere il funzionamento della chiusa vera e propria? Con quali parametri? 6) Qual e il valore aspettato del tempo complessivo trascorso nel sistema da ciascuna imbarcazione? Formulario Relazioni fondamentali: N = λw L = λw q W = W q + 1 µ M/M/1: P i = ρ i (1 ρ) N = ρ 1 ρ M/G/1: L = ρ2 +λ 2 σ 2 2(1 ρ) 9

Esercizi d esame su modelli di costo e code con priorita Esercizio 12 Un call center svolge servizio di assistenza per la rete telematica di due grossi clienti, una banca e una compagnia di assicurazioni. Quando uno sportello della banca o un ufficio della compagnia hanno problemi di rete telefonano al call center. Qui lavorano due tecnici, che rispondono solamente alle chiamate. Il centralino del call center puo tenere in attesa un numero illimitato di clienti. Per ogni chiamata in arrivo, il tecnico che risponde tenta di risolvere il problema direttamente. Quando questo non e possibile viene mandato un altro tecnico, che risolve il problema sul posto. Si supponga che: le chiamate dalla banca arrivino secondo un processo poissoniano di valor medio 20 chiamate l ora; le chiamate dalla compagnia di assicurazioni arrivino secondo un processo poissoniano di valor medio 10 chiamate l ora; il tempo necessario per i tecnici che lavorano al telefono per lavorare ogni telefonata, indipendente dal tipo di cliente che chiama, sia una variabile aleatoria distribuita esponenzialmente con valor medio pari a 3 minuti; la disciplina di servizio dei tecnici che lavorano al telefono sia FIFO. Si supponga poi che indipendentemente dal tipo di cliente, ogni chiamata abbia probabilita 1/10 di essere inoltrata al terzo tecnico, e che il tempo complessivo (trasporto piu intervento) necessario al tecnico per eseguire ogni intervento sia distribuito esponenzialmente con un valor medio pari a 14 minuti per i clienti della banca e 20 minuti per i clienti della compagnia assicurativa. Si supponga poi che per contratto il call center si sia impegnato a far si che il valor medio del tempo di attesa del tecnico sul posto, quando esso sia richiesto, sia minore di un ora per la banca e minore di tre ore per la compagnia di assicurazioni. 1) Qual e la distribuzione di probabilita dei tempi di interarrivo delle telefonate al centralino? Si presentano con una distribuzione esponenziale. Il parametro dell esponenziale e la somma delle due velocita degli arrivi, λ 1 = 20 arrivi/ora e λ 2 = 10 arrivi/ora. Dunque scrivendo λ in minuti si ha f ta (t) = (1/2)e (1/2)t min 1 2) Quale modello di coda e adatto a descrivere il servizio telefonico dei tecnici? E un M/M/2 di parametri λ = 1/2 min 1, µ = 1/3 min 1, e dunque ρ = λ 2µ = 3/4 < 1 3) Qual e la probabilita che una telefonata in arrivo al call center non venga messa in attesa? E la probabilita che ci sia almeno un servente libero in un servizio M/M/2. Detta P la probabilita richiesta si ha P = P 0 + P 1 = 1 ρ (1 + 2ρ) = 5/14 1 + ρ 4) Quale modello di coda e adatto a descrivere il servizio del tecnico che esegue le riparazioni sul posto? Questo dipende dalla disciplina di servizio. Se il tecnico adotta la disciplina FIFO il servizio e un M/G/1. Se invece decide di servire prima una classe di clienti e un M/M/1 con priorita senza interruzione. Gli arrivi sono comunque memoryless per il teorema di Burke. 5) E possibile tenere fede all impegno contrattuale sul valor medio del tempo di attesa del tecnico che effettua le riparazioni sul posto? Svolgendo i calcoli nel caso della disciplina FIFO si ottiene che il servizio M/G/1 ha λ = 1/20 min 1, E(t s ) = 16 min, dunque ρ = 4/5 < 1, e E(Ts 2 ) = 528 min 2. Quindi l attesa media in coda e di 66 minuti per tutte e due le classi di clienti, e il contratto non e rispettato per la banca. Servendo invece prioritariamente i clienti della banca si ha che λ 1 = 1/30 min 1, λ 2 = 1/60 min 1, µ 1 = 1/14 min 1, µ 2 = 1/20 min 1 e dunque W q (1) = 99/4 25 min, W q (2) = 495/4 124 min e dunque tutti e due i contratti sono rispettati. 10

Esercizio 13 In un aeroporto arrivano due tipi di aeromobili. Gli aeromobili leggeri arrivano secondo un processo poissoniano con valore medio pari a 10 aerei all ora, e impiegano per atterrare un tempo distribuito esponenzialmente con valor medio pari a 2 minuti. Gli aeromobili pesanti arrivano secondo un processo poissoniano con valore medio pari a 10 aerei all ora, e impiegano per atterrare un tempo distribuito esponenzialmente con valor medio pari a 3 minuti. La pista di atterraggio puo far atterrare un aereo alla volta, e gli eventuali aeromobili in attesa di atterraggio sorvolano l aeroporto. Il costo da sostenere per tenere in volo un aeromobile leggero e di 300$ al minuto, mentre il costo da sostenere per tenere in volo un aeromobile pesante e di 500$ al minuto. 1) Qual e la distribuzione di probabilita dei tempi di interarrivo degli aerei all aeroporto? 2) Supponendo una disciplina FIFO per gli atterraggi, qual e il modello di coda adatto a descrivere la pista di atterraggio? con quali parametri? 3) Supponendo una disciplina FIFO per gli atterraggi, qual e il costo medio al minuto che bisogna sostenere per mantenere gli aerei in coda sopra l aeroporto? 4) Se si suppone ora di servire prioritariamente uno dei due tipi di aeroplano, qual e il modello di coda adatto a descrivere il sistema? con quali parametri? 5) Qual e la disciplina di servizio piu conveniente? 11

Esercizio 14 In un ufficio comunale le pratiche vengono accettate da due sportelli, uno per le carte di identita e l altro per i certificati. I tempi di interarrivo a entrambi gli sportelli sono esponenziali, con valor medio pari a 30 minuti per le carte di identita e 6 minuti per i certificati. I tempi di servizio per entrambi gli sportelli sono esponenziali, con valor medio pari a 10 minuti per le carte di identita e 2 minuti per i certificati. Una volta accettate, le pratiche vengono poi lavorate da due addetti. I tempi di lavorazione degli addetti sono distribuiti uniformemente tra 10 e 20 minuti per le carte di identita e tra 4 e 6 minuti per i certificati. Si hanno due possibili discipline di servizio: seguendo la prima disciplina un addetto si occupa solo di carte di identita e uno si occupa solo di certificati. Seguendo la seconda disciplina ogni pratica che esce dall ufficio di accettazione ha probabilita 1/2 di andare da ciascuno dei due addetti, e gli addetti lavorano indifferentemente entrambe le pratiche. Discutere l efficienza del sistema nelle due discipline alternative. 12

Esercizio 14 L entrata in una filiale bancaria e organizzata come segue: da un piccolo atrio si puo accedere a due porte: la prima e la porta che permette di entrare nel disimpegno in cui e posto il servizio Bancomat. In questo disimpegno i clienti possono accedere uno alla volta. La seconda porta e una porta di sicurezza, cioe un dispositivo costituito da una successione di due porte, che non possono essere aperte contemporaneamente, tra le quali vi e uno spazio sufficiente a contenere una sola persona. Da questa porta di sicurezza si accede alla filiale vera e propria. Assumiamo che i clienti arrivino alla banca con tempi di interarrivo esponenziali, di valor medio pari a 1 minuto, e che ogni cliente con probabilita pari a 1/3 indipendente dagli altri clienti si voglia servire del Bancomat, e con probabilita 2/3 voglia entrare nella filiale. Supponiamo poi che i tempi di servizio del Bancomat siano esponenziali di valor medio pari a 2 minuti, mentre la porta di sicurezza permetta l accesso dei clienti alla filiale in un tempo deterministico pari a 20 secondi. Si risponda alle seguenti domande supponendo il sistema in condizioni stazionarie. 1) Qual e la distribuzione di probabilita del numero di arrivi al minuto al servizio Bancomat? 2) Quale modello di servizio e adatto a descrivere il Bancomat? con quali parametri? Quale modello di servizio e adatto a descrivere la porta di sicurezza? con quali parametri? 3) Assumiamo che un cliente a sia arrivato alla coda per entrare nella porta di sicurezza nell istante in cui un cliente b sta entrando e un altro cliente c attende in coda. Quale sara la distribuzione di probabilita del numero di clienti in coda nel momento in cui il cliente a entrera nella porta di sicurezza? 4) Qual e il valor medio del tempo atteso in coda per entrare nella porta di sicurezza? 5) Qual e la probabilita che nell atrio non ci sia nessuno in attesa? 13

Esercizi risolti degli anni precedenti Corso di modelli di sistemi di servizio 1. A.A. 2003/2004 I compito di esonero risolto Compito n. 1 Una porta di sicurezza e un dispositivo che permette l accesso dei clienti a un servizio uno alla volta, e che contemporaneamente svolge la metal detection. E costituita da una successione di due porte, che non possono essere aperte contemporaneamente, tra le quali vi e uno spazio sufficiente a contenere una sola persona. Un dispositivo di questo genere e spesso utilizzato nei servizi in cui e previsto un rilevante flusso di denaro. Un piccolo ufficio postale ha istallato due porte di sicurezza, una per l entrata e una per l uscita dei clienti. I tempi di interarrivo all ufficio sono esponenziali, con valore medio pari a 2 minuti. Arrivando i clienti si mettono in coda per accedere all ufficio attraverso la porta di sicurezza di entrata. Supponiamo che i tempi di attraversamento della porta di sicurezza di entrata siano esponenziali (per via del fatto che a volte e richiesto all utente di liberarsi degli oggetti metallici) con valore medio pari a 30 secondi. All interno dell ufficio sono aperti due sportelli, uno per le raccomandate e uno per il pagamento dei conti correnti. Supponiamo che con probabilita 1/2 i clienti debbano spedire una raccomandata e con probabilita 1/2 debbano pagare un conto corrente. Nessun cliente, dunque, deve effettuare entrambe le operazioni. Supponiamo che i tempi di servizio degli sportelli siano esponenziali, con un valor medio pari a 2 minuti per le raccomandate e 3 minuti per i conti correnti. Dopo aver usufruito del servizio i clienti escono dall ufficio attraverso la porta di sicurezza di uscita, in un tempo deterministico pari a 20 secondi. Si risponda negli spazi alle seguenti domande supponendo il sistema in condizioni stazionarie. 1) Qual e la distribuzione di probabilita del numero di arrivi per ora all ufficio postale? E una poissoniana. In ore λ = 30, t = 1 quindi P n = 30n n! e 30 2) Supponiamo che a partire da 10 minuti prima dell orario di apertura comincino a arrivare gli utenti con i tempi di interarrivo specificati nel testo. Con quale probabilita nel momento dell apertura dell ufficio ci saranno 5 clienti gia in fila? E la probabilita di avere n = 5 in un processo di sole nascita con λ = 1/2 e t = 10. Quindi e P 5 = 55 5! e 5 3) Quali modelli di coda sono adatti per descrivere rispettivamente la porta di ingresso, i due sportelli e la porta di uscita? con quali parametri? Rispettivamente: un modello M/M/1 con λ = 1/2 e µ = 2, un modello M/M/1 con λ = 1/4 e µ = 1/2, un modello M/M/1 con λ = 1/4 e µ = 1/3, un modello M/D/1 con λ = 1/2 e µ = 3 4) Qual e il valore aspettato del tempo complessivo (porte + sportello) passato nel sistema dai due tipi di clienti? Per la porta di entrata si ha W 1 = 2/3min, per i due sportelli si ha rispettivamente W 2 = 4min e W 3 = 12min 14

(applicando la formula W = 1 ρ λ 1 ρ ) Mentre per la porta di uscita si ha W 4 = 11/30min. Complessivamente dunque il tempo per le raccomandate e W r = 151/30min e quello dei conti correnti e W c = 391/30min 5) Con quale probabilita si forma una coda davanti alla porta di uscita? La probabilita richiesta e 1 P 0 P 1 = 1 (1 ρ)e ρ = 1 (5/6)e 1/6 6) (facoltativa) Supponiamo ora che i due sportelli possano svolgere entrambe le operazioni (conti correnti e raccomandate) e che il loro tempo di servizio sia sempre esponenziale di valor medio 2.5 minuti. Supponiamo anche che il flusso in entrata vada con probabilita 1/2 da ciascuno dei due sportelli, e che non siano possibili cambi di fila di attesa. Discutere l efficienza del servizio. Da semplici calcoli si vede che il tempo passato da un generico utente dentro al servizio e pari a W = 231/30min, ed e quindi minore del valor medio dei tempi del punto 4). Inoltre l eventuale assenza temporanea di uno dei due serventi non pregiudica completamente nessun servizio. Dunque la soluzione proposta e anche piu affidabile. Chiaramente questa soluzione comporta un peggioramento del servizio per gli utenti delle raccomandate. Compito n. 2 Subito prima di una barriera autostradale predisposta per il ritiro del biglietto e situata la rampa di uscita da un area di servizio. L autostrada ha un traffico distribuito in modo poissoniano con un valor medio di 4 vetture al minuto. Le vetture che escono dalla rampa di uscita dell area di servizio giungono alla autostrada anch esse secondo un processo poissoniano con valor medio pari a 1 vettura al minuto. Le vetture, prima di inserirsi nell autostrada, si fermano al segnale di stop per un tempo distribuito esponenzialmente con un valor medio pari a 20 secondi. Si trascuri il tempo necessario alla macchina eventualmente in coda per portarsi al segnale di stop una volta che questo sia stato liberato dalla macchina precedente. Il flusso di traffico composto dalle vetture che provengono dall autostrada piu quelle che provengono dall area di servizio si presenta poi alla barriera. Nella barriera e aperto un casello per le macchine dotate di telepass e un casello per il ritiro del biglietto tradizionale. Il tempo di attraversamento del casello telepass e di 4 secondi, mentre il casello tradizionale ha un tempo di attraversamento anch esso deterministico ma pari a 15 secondi. Si supponga che ogni vettura che arriva abbia una probabilita di essere dotata di dispositivo telepass pari a 1/3. Si risponda negli spazi alle seguenti domande supponendo il sistema in condizioni stazionarie. 1) Qual e la distribuzione di probabilita del tempo di interarrivo delle vetture provenienti dall area di servizio al segnale di stop? F ta (t) = 1 e λt = 1 e t, t in minuti. 2) Supponiamo che in un istante in cui il casello tradizionale e vuoto l erogatore automatico di biglietti si inceppi, e sia riparato in un tempo pari a 2 minuti. Con quale probabilita nel momento della riapertura del casello ci saranno 5 vetture in fila? La velocita degli arrivi globale alla barriera e λ = 5 arrivi/min. Al casello tradizionale la velocita e dunque λ = 5 2/3 = 10/3 arrivi/min. Il tempo di osservazione e 2 minuti quindi P 5 = (20/3)5 e (20/3) 5! 15

3) Quali modelli di coda sono adatti per descrivere rispettivamente l ingresso nell autostrada delle macchine provenienti dall area di servizio, il casello telepass e il casello tradizionale? Rispettivamente: un modello M/M/1 con λ = 1 e µ = 3, un modello M/D/1 con λ = 5/3 e µ = 15, un modello M/D/1 con λ = 10/3 e µ = 4 4) Qual e il valore aspettato del tempo complessivo necessario a immettersi nell autostrada per le macchine provenienti dall area di servizio? Qual e il valore aspettato del tempo complessivo necessario per prendere il biglietto tradizionale al casello? Rispettivamente: W 1 = 1/2min e W 2 = 7/8min 5) Con quale probabilita si crea coda davanti al casello telepass? La probabilita richiesta e 1 P 0 P 1 = 1 (1 ρ)e ρ = 1 (8/9)e 1/9 6) (facoltativa) Supponiamo ora che i due caselli siano entrambi caselli tradizionali, con lo stesso tempo di servizio specificato sopra. Supponiamo anche che il flusso in entrata vada con probabilita 1/2 da ciascuno dei due caselli, e che non siano possibili cambi di fila di attesa. Discutere l efficienza del servizio. Da semplici calcoli si vede che il tempo passato da un generico utente della barriera e pari a W = 11/24min, ed e quindi minore del valor medio dei tempi del punto 4), che e W = (2/3)(7/8) + (1/3)(17/240). Inoltre l eventuale assenza temporanea di uno dei due serventi non pregiudica completamente nessun servizio. Dunque la soluzione proposta e anche piu affidabile. Chiaramente questa soluzione comporta un peggioramento del servizio per gli utenti del telepass. 16

Esercizi svolti del primo esonero 2003-04 Domanda n. 1 I clienti arrivano ad un servizio secondo un processo poissoniano con valor medio λ clienti all ora. Il servente cessa di funzionare al tempo t = 0, e n(0) = n. Qual e la probabilita che la coda sia piu lunga di n + k clienti dopo un tempo T? Risposta La domanda si puo riformulare nel modo seguente: qual e la probabilita P >k che durante un intervallo di tempo [0, T ] arrivino al servizio piu di k clienti? La risposta e evidentemente dove P >k = 1 P i = k i=0 P i (λt )i e λt i! Domanda n. 2 Un cliente arriva ad un servizio M/M/1 e trova davanti a se il servente occupato piu k clienti in coda. Se il valor medio del tempo di servizio e E(t s ) = 1/µ, quale sara il valor medio W k del tempo che deve attendere prima di essere servito? Risposta Il valor medio e una operazione lineare, quindi il valor medio di una somma di tempi di servizio e la somma dei valori medi. Un cliente che trova un cliente servito piu una coda di k clienti dovre attendere k + 1 servizi prima di essere servito. Dunque la formula risolutiva e W k = k + 1 µ Domanda n. 3 Due macchine lavorano in parallelo. Ognuna si rompe dopo ogni riparazione in un tempo distribuito esponenzialmente, con un valor medio di tale tempo pari a 1 γ. Un tecnico le ripara, una alla volta, con un tempo di servizio distribuito esponenzialmente con valor medio pari a 1 µ. Durante una giornata lavorativa di 8 ore, quante ore lavora in media il tecnico? Questo servizio e evidentemente un M/M/1//2. Il valore medio T s del tempo lavorato ogni giorno e pari a T s = 8(1 P 0 ) con P 0 = 1 1 + 2γ µ + 2γ2 µ 2 Domanda n. 4 Un servizio M/M/1/2 ha arrivi poissoniani di valor medio pari a γ arrivi all ora e tempi di servizio esponenziali di valor medio pari a E(t s ) = 1/µ. Quanti clienti in media servira in un ora? Se γ e espresso in ore il numero N di clienti serviti in media in un ora e dato dalla formula N = γɛ = γ 1 1 ( ) 2 γ µ ( ) 3 γ µ 17

Domanda n. 5 In un servizio gli arrivi sono possoniani con valor medio λ arrivi al minuto. Il tempo di servizio vale k minuti con probabilita P 1 e 2k minuti con probabilita P 2 = 1 P 1. Qual e la lunghezza media della coda? L e data dalla formula di Kinchine Pollakzeck L = λ 2 E(t 2 s) 2(1 λe(t s )) con E(t s ) = P 1 k + (1 P 1 )2k E(t 2 s) = P 1 k 2 + (1 P 1 )4k 2 18