«l arte di contare senza contare»
Numero di oggetti disponibili Numero di oggetti che costituiscono una sola estrazione Regole per costruire le estrazioni: se si possono utilizzare tutti gli oggetti o solo una parte, se lo stesso oggetto può essere utilizzato una sola volta o più volte, se conta o meno l ordine degli oggetti nelle estrazioni.
Se una scelta può essere fatta in r modi diversi, per ciascuno dei quali una seconda scelta può essere fatta in s modi diversi, e per ciascuno dei modi in cui sono state effettuate le prime due scelte una terza scelta può essere fatta in t modi diversi, la successione di tutte le scelte potrà compiersi in r*s*t* modi diversi. Questo è quello che viene chiamato principio di moltiplicazione.
Sia n il numero di elementi «disponibili» e k il numero di elementi contenuti in una certa estrazione, cioè la numerosità dell estrazione. I due criteri principali che caratterizzano il conteggio dei raggruppamenti che si possono formare sono l ordine e la possibilità di ripetizioni. A seconda che l ordine venga considerato o meno si parla di disposizioni o di combinazioni, a seconda che vi sia possibilità di ripetizioni o meno, le disposizioni e le combinazioni saranno semplici o con ripetizione.
Si tratta di scegliere un elemento tra n disponibili e prenderlo come primo elemento della lista di k elementi che vogliamo formare. Il successivo verrà scelto tra n-1, e così via fino al k-esimo elemento che verrà scelto tra n-(k-1) elementi. Il numero di possibili raggruppamenti (allineamenti di oggetti distinti presi a gruppi di k ciascuno) che si possono comporre è dunque: D n,k = n n 1 (n (k 1)) con k n. Se k > n, D n,k = 0
Il numero D n,k si può anche esprimere in questa forma: D n,k = n k! dove il fattoriale di un numero naturale n è così definito: n! = n n 1 n 2 3 2 1, dove per definizione si pone 0!=1 e vale: n + 1! = n + 1 n! Il fattoriale di n è il prodotto di tutti i naturali in ordine decrescente compresi tra 1 e n. n!
Il caso particolare delle disposizioni semplici in cui i raggruppamenti contengono k=n elementi è detto permutazioni semplici di n elementi, che si indicano con la notazione P n. Sostituendo n al posto di k nella formula delle disposizioni si ottiene: P n = n n 1 n n 1 = n n 1 1 = n! Sono gli allineamenti che si ottengono scambiando di posto gli n elementi.
Una disposizione con ripetizione di n oggetti distinti presi k alla volta è un possibile modo di scegliere k oggetti, eventualmente ripetuti, tra gli n e ordinarli: D n,k r = n k Esempio: quanti numeri di 3 cifre si possono scrivere con le cifre 1,4,5,6,7 eventualmente ripetendo ciascuna cifra? Sono 5 3 = 125 numeri.
Una permutazione di n oggetti di cui h uguali fra loro e diversi dai precedenti, k uguali fra loro e diversi dai precedenti,,p uguali fra loro e diversi dai precedenti, con h+k+ +p=n è: n! P n,h,k, p r = h! k! p! Esempio: quanti numeri posso formare con le cifre 1,1,2,2,2,3? Sono 6 elementi, di cui l uno ripetuto due volte e il due ripetuto tre volte. Quindi:P 6,2,3,1 r = 6! 2! 3! 1! = 60.
Le combinazioni di n oggetti presi a gruppi di k sono il numero di campioni non ordinati di numerosità k. Non conta l ordine, diversamente dal caso delle disposizioni. Si indicano con C n,k e rappresentano il numero di sottoinsiemi di k elementi che si possono estrarre da un insieme di n elementi. Rispondono alla domanda: dati n oggetti, in quanti modi ne posso scegliere k?
Il numero C n,k si indica anche con il simbolo n (si legge «n su k» o «n sopra k»), chiamato k coefficiente binomiale in quanto essi sono i coefficienti dello sviluppo delle potenze di un binomio, ossia di (a + b) n. Infatti: Vale: (a + b) n = n k=0 C n,k = n k = D n,k k! n k = a n k b k n! k! n k!
E una combinazione che può avere la ripetizione di uno stesso elemento. Sono tutti i possibili raggruppamenti che si possono formare con n oggetti, presi k alla volta, considerando diversi due raggruppamenti che differiscono per qualche elemento o per il numero di volte in cui un oggetto viene ripetuto. In questo caso k può essere maggiore, minore o uguale a n. C n,k r = n+k 1! = n+k 1 k! n 1! k