Provadiprova 2 - aggiornamento 7 giugno 2013

Università di Trento - Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Analisi matematica 2 - a.a. 2012-13 - Prof. Gabriele Anzellotti Provadiprova 2 - aggiornamento 7 giugno 2013 La seconda provetta si terrà il giorno martedì 11 giugno, convocazione alle 15.30, e avrà la durata di 2 ore e 15 minuti. La prova consisterà di 4 esercizi sugli argomenti sotto indicati. Ogni esercizio vale 9 punti. La sufficienza nella seconda prova si ottiene con 18 punti. La sufficienza anche solo nella seconda prova consentirà di essere ammessi alla parte orale dell esame. Rappresentazione di semplici insiemi nel piano e nello spazio. In particolare: grafici e sottografici di funzioni di una e due variabili; retta nel piano o nello spazio passante per due punti dati, oppure ortogonale a un piano dato o a due vettori dati; segmenti, triangoli, parallelogrammi, parallelepipedi di vertici assegnati; palle di raggio r e centro P dati; cilindri, coni e piramidi di base e asse o vertice assegnato (in situazioni semplici); superfici e solidi ottenuti ruotando un semplice insieme intorno a un asse. Curve e superfici di livello di funzioni di due o tre variabili. Calcolo dell area o del volume o calcolo di integrali di semplici funzioni su insiemi del tipo sopra indicato (ad esempio: calcolo del baricentro); per tale calcolo potrà essere necessario utilizzare opportunamente le formule di riduzione e potrà essere necessario utilizzare opportuni cambiamenti di variabili dei seguenti tipi: coordinate affini (anche per parametrizzare insiemi piani nello spazio), coordinate polari (e cilindriche), coordinate sferiche. Potranno essere chiesti integrali su insiemi illimitati o di funzioni illimitate. Flusso di un campo di vettori attraverso una curva (nel piano) o attraverso una superficie (nello spazio). Integrale di una funzione o di un campo di vettori lungo una curva. Formule di Green, teorema della divergenza (detto talvolta di Gauss), teorema di Stokes (detto talvolta del rotore). Per la rappresentazione degli insiemi e per il calcolo degli integrali sopra indicati, potranno essere utili: il linguaggio dei vettori, delle matrici e dell algebra lineare; il prodotto scalare e il prodotto vettoriale; le forme quadratiche. Potrà essere chiesto di calcolare il gradiente di una particolare funzione f a valori in R o la matrice jacobiana Dψ o lo jacobiano Jψ di una particolare funzione ψ : A R k, dove A R n e n, k = 1, 2, 3. Non sarà richiesto di trovare primitive di funzioni di una variabile che richiedono procedure complesse e calcoli lunghi, in quanto questo non è obiettivo del corso. Si ricordi che lo svolgimento di ciascun esercizio è previsto in un uno spazio di circa una facciata A4 ed è richiesto di motivare sinteticamente i risultati. Gli studenti avranno a disposizione fogli di minuta che non dovranno essere consegnati. Ciascuno studente potrà portare un foglio A4 sul quale, su una sola facciata, potrà scrivere qualunque cosa egli ritiene utile per svolgere la prova scritta. Su questo foglio si può scrivere in piccolo e accumulare molte informazioni, ma si suggerisce di non eccedere. Chi lo desidera può utilizzare una calcolatrice. Non è consentito l uso di cellulari o altri strumenti di comunicazione. Seguono diversi esempi di esercizi del tipo di quelli che si troveranno nella prova. 1

Esempio di Prova n.1 { i. Si rappresenti graficamente l insieme E = (x,y) R 2 y } 0 x 2 2 ; 0 y 2 ii. Si rappresenti il grafico della funzione f (x,y) = 1 sull insieme E. 1 + y 1 iii. Si calcoli l integrale 1 + y dxdy R. 5 2 log e 3 1 E 2. Nel piano R 2 si considerino le coordinate xy. i. Si disegni il parallelogramma H di vertici P 0 = ( 2,1), P 1 = (2,2), P 2 = (1, 3), P 3 = (5, 2). ii. Si scriva una parametrizzazione affine di H dal quadrato Q = {(x,y) 0 < x < 1 ; 0 < y < 1}. iii. Si determinino le coordinate del baricentro di H. iv. Si calcoli l integrale (x + y)dxdy R. 19 H 3. Si consideri lo spazio R 3 con le coordinate xyz. i. Si disegni la superficie S ottenuta ruotando intorno all asse x il grafico della funzione g(x) = ex + e x sull intervallo [0,1]. ii. Si scriva una opportuna parametrizzazione ψ di S in termini di x e dell angolo di rotazione θ e si scrivano la matrice jacobiana Dψ e lo jacobiano Jψ. iii. Si calcoli l area di S. R. π 4 ( e 2 e 2 + 4 ) = π 2 (sinh(2) + 2) 2 4. Si consideri il piano R 2 con le coordinate xy e in questo piano si consideri l insieme A = {(x,y) R 2 0 < x < π, 0 < y < 3 + sinx} ossia il sottografico della funzione h(x) = 3 + sinx sull intervallo [0,π]. i. Si rappresenti l insieme A, mettendo in evidenza il bordo A di A e in particolare il grafico Γ della funzione h sull intervallo [0,π]. ii. Si scriva e si rappresenti graficamente il versore ν ortogonale al bordo di A, diretto verso l esterno. iii. Si rappresenti graficamente il campo di vettori F(x,y) = (x, y) in R 2 su A. iv. Utilizzando il teorema della divergenza per l aperto A, si calcoli il flusso del campo F attraverso la curva Γ orientata da ν. 2

Esempio di Prova n.2 i. Si descriva e si rappresenti il grafico della funzione f (x,y) = e x y sull insieme Q = { (x,y) R 2 0 < x < 1, 0 < y < 1 }. ii. Si rappresenti graficamente l insieme A = { (x,y) R 2 0 < x < y 2, 0 < y < 1 } iii. Si mostri che la funzione f è limitata sull insieme A. iv. Si calcoli l integrale f (x,y)dxdy R. 1 2 A 2. Si consideri l insieme E = {(x,y,z) R 3 : y 2 + z 2 1,z 0,0 x 2 z}. i. Si rappresentino le proiezioni dell insieme E sui piani coordinati xy, xz, yz. ii. Per ogni t R si descriva l insieme E t ottenuto intersecando E con il piano z = t, si disegnino le proiezioni di E t sui tre piani coordinati e si calcoli l area di E t. iii. Si calcoli il volume dell insieme E. [R: π 2 3 ] 3. Si consideri la funzione h(x,y) = x 2 y 2, definita sul piano R 2, e per ogni t R sia D t l insieme dei punti (x, y) tali che h(x, y) > t. i) Si disegni uno schizzo del grafico della funzione h sul cerchio B 1 di raggio 1 e centro nell origine. ii) Si disegnino gli insiemi D 0 B 1 e D 1 B 1. iii) Si calcoli l area del grafico della funzione h sull insieme U = D 0 B R. [R. π 12 [(4R2 + 1) 3/2 1] ] 4. Si consideri l aperto Ω = {(x,y) R 2 1 > y > x 2, x > 0} e il campo di vettori F(x,y) = (x,2y). Sia ν il vettore normale al bordo di Ω, di lunghezza unitaria e diretto verso l esterno. i. Si disegni l aperto Ω e si metta in evidenza il bordo A di A. ii. Si scriva il vettore normale ν nelle diverse parti del bordo di Ω e lo si rappresenti sul disegno. iii. Si calcoli l integrale divfdxdy. Ω iv. Si calcoli l integrale F ν ds e si verifichi che vale il teorema della divergenza per il campo F su Ω. Ω 3

Esempio di Prova n.3 i. Si rappresenti graficamente l insieme E = {(x,y) y 2 1 x y + 1}. ii. Si calcoli l area di E. iii. Si trovino il valore massimo e il valore minimo della funzione f (x,y) = xy su E. 2. Sia R > 0 e si consideri l insieme F = {(x,y,z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 R 2, x + y + z R} i. Disegnare l insieme F per il valore R = 3. ii. Calcolare il volume dell insieme F in funzione di R. iii Determinare le coordinate del baricentro G dell insieme F in funzione di R. 3. i. Si rappresenti graficamente il triangolo S in R 3 di vertici P 1 = (0, 1,0), P 2 = (0,0,5), P 1 = ( 5,0,0). ii. Si mostri che il triangolo S è isoscele e se ne calcoli l area come modulo del prodotto vettoriale di due vettori opportuni. iii. Si scriva una parametrizzazione affine del triangolo S, a partire dal triangolo standard T in R 2. iv. Si trovino le coordinate del baricentro B del triangolo S. 4. i. Si descriva a parole e si rappresenti graficamente l insieme A = {(x,y) R 2 1 < x 2 + y 2 < 4, y > x 3 }. ii. Si descriva a parole e si rappresenti graficamente il campo di vettori F(x,y) = ( y,x) definito su R 2. iii. Si verifichi che sull insieme A vale il teorema della divergenza per il campo F. 4

0.1 Esercizi di vario tipo Esercizio 0.1 Siano a, b, c numeri maggiori di zero e sia consideri l insieme E = {(x,y,z) R 3 x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 1} Per ogni t R fissato, sia E t l insieme ottenuto come intersezione dell insieme E con il piano x = t. i. Nel caso in cui a = 3, b = 2, c = 1, si descriva in formule e si rappresenti graficamente l insieme E 2. ii. Si calcoli l area dell insieme E t in funzione di a,b,c,t. iii. Si calcoli il volume dell insieme E affettando con i piani x = t. iv. Si ricalcoli il volume di E, pensando all insieme E come immagine di una palla in R 3 (il volume della palla si assume noto) attraverso una opportuna trasformazione lineare. Esercizio 0.2 i. Nel piano xy si rappresentino graficamente le curve γ { x = t cost, y = t sint }; σ {x = 2t cost, y = 2t sint } e si rappresenti inoltre l insieme E dei punti con coordinata y > 0, che stanno fra le due curve. ii. Si rappresenti l insieme H nel piano delle coordinate polari ρ,θ che corrisponde all insieme E. iii. Si calcoli l area dell insieme E. Esercizio 0.3 i. Nel piano xy si rappresenti graficamente l insieme E = {(x,y) R 2 1 < xy < 2, x < y < 2x}. ii. Si consideri la funzione ϕ : (x,y) (u,v) definita da u = xy, v = y x e si trovi la funzione inversa ψ = ϕ 1 scrivendo le funzioni x = x(u,v), y = y(u,v). iii. Si scriva la matrice jacobiana Dψ(u,v) e si trovi lo jacobiano Jψ = det Dψ(u,v). iv. Si trovi l area dell insieme E scrivendolo come immagine di un opportuno insieme H attraverso la parametrizzazione ψ. [R. 2 1 ln2] Esercizio 0.4 Sia A la piramide in R 3 che ha come base il quadrato [0,2] [0,2] nel piano xy e ha il vertice nel punto V = (1,1,1). i. Si rappresentino graficamente l insieme A e le sue proiezioni sui piani coordinati xy, xz, yz. ii. Si calcoli l integrale zdxdydz. R. 1 3 A iii. Si trovi il valore massimo della funzione f (x, y, z) = x + y sull insieme A Esercizio 0.5 i. Nel piano xz si rappresenti l insieme M = {(x,z) x z < 0}. ii. Nel piano yz si rappresenti l insieme C = {(y,z) y 2 + (z 1) 2 = 1}. iii. Nello spazio xyz si rappresenti l insieme E = {(x,y,z) y 2 + (z 1) 2 = 1, x z < 0} iv. Al variare di t R si descriva l insieme E t ottenuto come intersezione dell insieme E con il piano z = t. v. Si calcoli il volume dell insieme E, affettando con i piani z = t. vi. Si dia una giustificazione geometrica elementare del risultato ottenuto. Esercizio 0.6 i. Si rappresenti l insieme U in R 3 che si ottiene come intersezione della palla di raggio 1 e centro l origine con il semispazio x 1 + z. ii. Si calcoli il volume di U. iii. Si descriva la funzione f (x,y,z) = x 2z, rappresentando le sue superfici di livello. iv. Si trovino il valore massimo e il valore minimo su U della funzione f. Esercizio 0.7 Si consideri la funzione f (x,y) = e x2 y 2 e per ogni k > 0 si consideri l insieme E k = {(x,y) R 2 y > kx}. i. Si rappresenti il grafico della funzione f. ii. Si rappresenti il campo di vettori f. iii. Si rappresenti l insieme E 1 e si calcoli l integrale f (x,y)dxdy. E 1 iv. Si calcoli l integrale f (x,y)dxdy E k per k generico. 5