Alcuni esercizi richiedono l uso del programma Mathematica/Maxima qualora compaiano equazioni di grado superiore a due. { x y + z = 1 x + y z = 2

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1 Esercizi per la preparazione del Parziale 1 Lab. di Matematica Generale, Prof. Fioresi Questi esercizi sono simili per difficolta a quelli che saranno dati nel parziale 1. Vi ricordo che nel parziale 1 non sono permesse calcolatrici, telefoni cellulari, apparecchiature elettroniche di alcun tipo, libri e appunti. E permesso portare un foglio A4 scritto da un lato solo con al massimo 10 formule e nessuna definizione. Il foglio sara ritirato insieme allo scritto. Gli esercizi segnati con (*) e (**) sono piu difficili degli altri. Alcuni esercizi richiedono l uso del programma Mathematica/Maxima qualora compaiano equazioni di grado superiore a due. Esercizi su rette e piani 1. a) Data la retta r { x = 1 + 2t y = 2 t z = 1 t la si scriva come intersezione di due piani. b) Si stabilisca se la retta r e parallela alla retta r data da { x y + z = 1 x + y z = 2 2. a) Dato il piano π: 2x y + 2z = 4 si determini la retta r ortogonale a π e passante per P = (1, 1, 0). b) Si trovi la distanza di P da π. c) Si scrivano due rette parallele, entrambe ortogonali al piano π e passanti per i punti P = (1, 0, 1) e Q = (1, 2, 0). Si determini inoltre la loro distanza (facoltativo). 4. a) Si trovi l equazione del piano sia in forma parametrica che in forma cartesiana per il punto P = (1, 0, 1) e la retta r x = 1 t, y = 2 + t, z = 1 + 2t. b) Si trovi la distanza del punto P dalla retta r. 5. a) Si dia con chiarezza la definizione di prodotto scalare e prodotto vettoriale in R 3. 1

2 b)(*) Si dimostri che dati due vettori generici in R 3, (u v) u = 0. Esercizi su superfici e curve parametriche 1. a) Si scriva il piano tangente alla superficie 2x 3 xy + 7 = z nel punto di coordinate P = (1, 3, 6). b) Si determini se la retta ortogonale a tale piano, passante per P passa per l origine. 2. a) Data la curva in forma parametrica nel piano, t (t 2, t 3 ) si trovi la retta tangente ad essa nel punto t = 1. b) (**) Si disegni la curva nel piano e si trovi la sua forma come insieme dei punti del piano tali che f(x, y) = Data la curva in forma parametrica t (t, 2t) si calcoli: a) La retta tangente nel punto t = 0. b) La lunghezza della curva quando t varia tra 0 e 3. c) (*) La si disegni nel piano. 4. a) Sia data la superficie: z = axy 2 + be xy. Si calcoli il piano π tangente alla superficie nel punto P = (1, 0). b) Si calcoli la retta perpendicolare a π e passante per il punto Q = (4, 1, 1) e la distanza di π dal punto Q (non e consentito usare una formula preconfezionata per la distanza di un punto da un piano). 5. a) Sia dato il piano π, 2x + ay z = 3. Si trovi la retta r perpendicolare al piano π e passante per il punto P = (1, 1, 2). b) Si trovi, se esiste, un punto sulla curva t (t 2, ( 1/2)at, t) in cui la curva ha retta tangente parallela a r e si scriva l equazione di tale tangente. Esercizi sui limiti e derivate 1. Si dimostri che i seguenti limiti non esistono: 4xy x 2 y lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 xy 2 + ax 2 y 2 lim. (x,y) (0,0) x 3 + y 3 2

3 2. Data la funzione di due variabili f : D R, si dia con chiarezza la definizione di f x (a, b) per (a, b) D e se ne illustri il significato geometrico (non e d obbligo un disegno, ma e gradito). 3. Si calcoli la derivata della funzione composta: f(x, y) = x 2 + y 3, x = cos(t), y = e 2t 4. Si calcoli lo sviluppo di Taylor in due variabili nel punto (0, 0) fino al secondo ordine delle seguenti funzioni: a) f(x, y) = y 2 x 2 b) f(x, y) = e xy c) f(x, y) = ysin(x) Esercizi sul linearizzato e differenziale 1. a) Data la funzione f(x, y) = 3x 2 + xy si determini il suo dominio e si calcoli il differenziale nel punto x = 1, y = 2, lasciando indicati dx e dy. b) Geometricamente tale differenziale che cosa rappresenta? 2. Data la funzione f(x, y) = x + y 2, si calcolino z e dz per i due punti (0, 01, 0.98) e (0, 1) e li si confronti. 3. Si approssimino usando il linearizzato, i seguenti numeri (usando ovviamente funzioni diverse). a) e / b) c) 1.03log(0.98). d) 0.9b Esercizi sul gradiente 1. a) La temperatura in una stanza varia secondo la funzione: T(x, y, z) = 100/(1+x 2 +y 2 +2z 2 ), ove (0, 0, 0) rappresenta il centro della stanza. Se una mosca si trova nel punto P = (1, 1, 1) e vola verso il centro della stanza la temperatura aumenta o diminuisce (per la mosca)? b) Qual e il tasso di variazione della temperatura quando la mosca inizia a volare? c) In che direzione deve volare la mosca affinche la temperatura resti costante? 2.a) Un nave in posizione (a, b) sta uscendo dal porto che si trova in (0, 0). Se la profondita del mare e espressa dalla funzione: z = 10 + x 2 + 4y 3, 3

4 quando la nave inizia a muoversi da (a, b), la profondita del mare aumenta o diminuisce? b) Qual e il tasso di variazione della profondita nella direzione in cui la nave si sta spostando? c) Si dia con chiarezza la definizione di derivata direzionale, spiegando geometricamente che cosa rappresenta. 3. La temperatura su di una lastra varia come: T(x, y) = x 2 + xy + b a) Se una formica si trova in (1, 0), come si deve muovere per riscaldarsi il piu rapidamente possibile? E quale e il tasso di riscaldamento quando inizia a muoversi? b) Si determini la curva che la formica deve percorrere per restare a temperatura costante. 4. In una fabbrica la funzione produzione e data da: P(x, y) = ax 2 y 2 ove x e l investimento del capitale e y e il tempo totale di utilizzo della forza lavoro. a) Il produttore vuole espandere la produzione in modo massimo quando l investimento di capitale e 30 e la e il tempo e 24. Se aumenta l investimento di capitale di 10 unita, di quanto deve aumentare il tempo? b) Si dia con chiarezza la definizione di differenziale di una funzione illustrando geometricamente il suo significato. 5. Una tartaruga si trova in un terrario ove la temperatura varia secondo la funzione: T(x, y) = x 2 y + x 2 + 2y 2 a) Se la tartaruga si trova nel punto (1, c), in quale direzione deve muoversi per raffreddarsi il piu rapidamente possibile? Qual e il tasso di raffreddamento in quella direzione? b) Se si muove in direzione perpendicolare alla direzione del punto (a), si raffredda o si riscalda? Motivare accuratamente la risposta. c) Dire se esistono uno o piu punti in cui, qualunque direzione prenda, la tartaruga si riscaldi e si calcolino. 4

5 Esercizi sul massimi e minimi 1. a) Si calcolino massimi e minimi locali delle funzioni (se non si possono calcolare si motivi il perche ): I) x 2 + xy + y 3 II) x 2 e xy III) e xy+z IV) xy + y b) Si calcoli il massimo e il minimo globale delle funzioni nel triangolo di vertici (0, 0), (0, 1), (1, 0). 2. Si considerino le funzioni (a) e (b) dell esercizio precedente e si calcolino i loro massimi e minimi locali e il massimo e minimo globale nella regione del piano delimitata dalla retta y = 1 e dalla parabola y = x a) Si calcolino massimi e minimi locali della funzione f(x, y) = x 2 y +x 2 4y. b) Si calcolino il massimo e il minimo assoluto della funzione di cui sopra nel dominio delimitato dalla parabola y = x 2 + x e dall asse delle x. 4. Data la funzione f(x, y) = x 2 +y 3 si calcolino i suoi massimi e minimi locali e massimo e minimo assoluto nella regione delimitata dall ellisse x 2 +4y 2 = Si calcoli la distanza minima (se esiste) del punto P = (1, 0, 1): a) Dall ellissoide 2x 2 + 3y 2 + z 2 = 2. b) Dal paraboloide iperbolico z = y 2 2x 2. c) Dal paraboloide z = 2x 2 + 5y a) Si calcolino massimi e minimi locali della funzione f(x, y, z) = e ax2 +by 2 cz 2. b) Si calcolino il massimo e il minimo della funzione f(x, y) = x 2 a 2 y 4 soggetta al vincolo x+y = 0 usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. 7. In un azienda i costi x e i ricavi y sono legati dalla relazione x 2 +by 2 = 100. Se il profitto e dato dalla funzione f(x, y) = xy, si chiede di massimizzare il profitto. 8. Si verifichi che il quadrato e il rettangolo di area massima tra quelli con perimetro dato p. 9. Si verifichi che il triangolo di area massima tra quelli con perimetro dato p e equilatero. 5

6 10. a) La funzione di produzione di uno stabilimento e data da: P(x, y) = x y ove x e il costo del lavoro e y il costo del capitale. Si calcolino i massimi e i minimi locali di P (se esistono). b) Si calcolino il massimo e il minimo assoluti della stessa funzione soggetta al vincolo x + y = 1000, usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. 11. Si trovi utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange il punto sulla retta x + y = 1 (nel piano) piu vicino all origine. 12. Si trovino il massimo e il minimo assoluto della funzione f(x, y, z) = x 2y + 5z all interno della regione x 2 + y 2 + z E richiesto il disegno della regione e della funzione. 13. Si determinino il massimo e minimo assoluti di f(x, y) = x 2 y 2 all interno del dominio x 2 + y 2 1, utilizzando per lo studio del bordo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. 6