Introduzione alla Fisica Generale I

Introduzione alla Fisica Generale I Corso 50566 R O B E R T O MESSI Schemi delle lezioni Roma, Dicembre 2006

Introduzione alla Fisica Generale I SCHEMA DEL COR SO I. Principalmente: Fisica Classica: 1. Conservazione dell energia. 2. Forze e vettori. 3. Leggi di Newton e gravitazione universale. 4. Lo spazio-tempo e la teoria della relativita speciale. 5. Introduzione all ottica ed ottica geometrica. 2

I I. Accenno di fisica quantistica: 1. Il comportamento quantistico e la dualita onda-particella (opzionale). Bibliografia: Arnold B. Arons: Guida all insegnamento della fisica, Zanichelli, 1992. Richard P. Feynman: Sei pezzi facile, Adelphi, 2000. Richard P. Feynman: La legge fisica, Bollati Boringhieri, 1971. Carlo Bernardini, Che cos e una legge fisica. Dall esperienza alla teoria, senso comune, astrazione e realta. Editori Riuniti, 2006. Richard P. Feynman: La fisica di Feynman, Zanichelli, 2001. Ugo Amaldi: Fisica per temi (vol. 1), Zanichelli, 1995. 3

D. Halliday, R. Resnick, J. Walker: Fondamenti di Fisica (2 vol.), Zanichelli, 2005. 4

1. CONSERVAZIONE DELL ENERGIA S CHEMA DELLA LEZIONE Cos e l energia? L energia meccanica: conservazione e non conservazione I diagrammi della energia potenziale 5

1.1 Cos e l energia? A differenza di molti concetti che si incontrano durante un corso di studi di fisica, l energia è sicuramente uno dei più difficili da capire, soprattutto a causa della sua natura prettamente astratta. Il concetto di energia ha tutte le caratteristiche di uno stratagemma matematico e, in quanto tale, finisce per apparire agli occhi degli studenti più complicato di quanto effettivamente non sia (il carattere puramente matematico dell energia spiega il rifiuto di comprensione da parte di molti studenti). Non possiamo poi non considerare le difficoltà che derivano dalla discordanza, in termini di linguaggio, tra il significato fisico che si da a questa parola e il significato popolare. In generale si tende a identificare il termine energia con la parola forza, soprattutto intesa come forza muscolare, per cui una persona ha più energia se ha più forza nelle braccia. 6

In questo paragrafo cercherò di spiegare cosa si può intendere per energia. Per non creare confusioni vorrei specificare che, almeno per il momento, ogni mio discorso farà riferimento esclusivamente alla meccanica classica newtoniana, per cui non parlerò di principio di conservazione della massaenergia, ma solo del principio di conservazione dell energia, considerando quindi la massa di un corpo come una quantità che si mantiene costante rispetto al moto. Con queste premesse possiamo pensare all energia come ad una etichetta associata ad un qualsiasi corpo. Rimanendo, come evidenziato sopra, nell ambito della meccanica classica, non considero, al momento, l energia come una caratteristica intrinseca di ogni corpo (non prendo cioè in considerazione l equivalenza relativistica tra massa ed energia), ma un numero associato al corpo e che varia a secondo del contesto in cui il corpo si trova. 7

Per esempio se consideriamo uno stesso corpo posizionato in tempi diversi a diverse altezze rispetto ad un livello di riferimento che chiameremo livello zero, allora possiamo dire che a livelli diversi esso possiede energie diverse e l energia sarà maggiore quanto maggiore sarà l altezza rispetto a quella del livello zero. Questo tipo di etichettatura è di tipo posizionale e prende il nome di energia potenziale. Pensando alla meccanica classica, diciamo che l energia è quella cosa che, direttamente o attraverso opportune operazioni, è in grado di produrre energia meccanica, cioè di muovere una massa. Facciamo un semplice esempio. Consideriamo un corpo che dapprima si trova sospeso e fermo ad una certa altezza dal suolo. Esso possiede un certo valore non nullo di energia potenziale, dovuta proprio alla posizione in cui si trova il corpo e all esistenza della forza di gravità. Ora possiamo pensare di lasciar cadere il corpo lungo una guidovia (in assenza di attrito), 8

acquistando velocità esso sarà in grado di sollevare un secondo corpo, agganciando, ad esempio, al termine della discesa una fune a cui è attaccato, tramite un sistema di carrucole, il secondo corpo (figura ). In questo esempio sono presenti diversi mutamenti di energia. L energia che inizialmente era solo di tipo posizionale (il corpo è fermo e possiede solo energia potenziale) si è via via trasformata, durante la discesa, in energia legata alla velocità che il corpo man mano acquistava durante la discesa 9

(questa forma di energia si chiama energia cinetica) e a sua volta, è stata trasferita gradualmente al secondo corpo, trasformandosi in energia cinetica e potenziale. Alla fine del processo, non considerando alcun tipo di attrito, l energia potenziale posseduta all inizio dal primo corpo, dopo diverse trasformazioni, si è trasferita sul secondo corpo: quest ultimo ha acquistato energia potenziale grazie all azione di sollevamento operata dal primo corpo. 1.1.1 L energia si trasforma e si conserva Dall ultimo esempio fatto nel precedente paragrafo possiamo intuire come l energia può trasformarsi ed avere varie forme, pur mantenendo il suo carattere astratto di numero, quello che, come esempio, abbiamo considerato scritto su una sorta di etichetta. 10

Un grande premio nobel per la fisica, lo statunitense Richard P. Feynman per descrivere qualitativamente questo modo di trasformarsi e conservarsi dell energia ha raccontato questa storiella: Immaginate che un bambino, il solito Pierino, abbia dei blocchi per le costruzioni, cubi assolutamente indistruttibili e indivisibili, tutti uguali. Supponiamo ne abbia ventotto. Sua madre li ripone in una stanza alla mattina; alla sera, curiosa, li conta e scopre una legge fenomenale: qualunque cosa Pierino abbia fatto con i blocchi, ce ne sono ancora ventotto! Questo si ripete per un certo numero di giorni, finché un bel giorno la mamma ne trova solo ventisette; fa una piccola ricerca, e ne scova uno sotto il tappeto: bisogna cercare ovunque per assicurarsi che il numero sia sempre quello. Una sera, tuttavia, il numero sembra cambiato davvero: ce ne sono solo ventisei. Un accurata indagine rivela che la finestra era aperta, e guardando nel giardino si scoprono i due blocchi mancanti, che Pierino aveva gettato via dalla finestra. 11

Un altro giorno ce ne sono trenta! Questo provoca un notevole sconcerto, finché non so scopre che l amico Gianni era venuto a far visita a Pierino portando con sé le sue costruzioni, e ha dimenticato qualche pezzo nella stanza. La mamma getta via i blocchi in più, chiude la finestra, non lascia più venire Gianni a giocare, e così per un certo tempo tutto funziona, finché una sera ne trova solo venticinque. Però nella stanza c è uno scatolone per i giocattoli; la mamma fa per aprirlo ma il bambino comincia a strillare: Non aprire la mia scatola!. Così la mamma non può controllare cosa c è dentro, ma, essendo molto curiosa e anche ingegnosa, si fa venire in mente un piano. Sapendo che ogni cubo per le costruzioni pesa circa un etto, pesa la scatola dei giochi una sera in cui vede tutti i ventotto cubi, e scopre che, vuota, pesa 500 grammi. La prossima volta, per controllare se ci sono dentro dei cubi, dovrà togliere dal peso (P) della scatola 500 grammi e dividere per 100. In questo modo scopre quanto segue: 12

n cubi visibili + (P 500 g) / 100 g = costante Poi trova qualche discordanza, ma uno studio accurato mostra che il livello dell acqua nel lavandino è salito. Il bambino getta i cubi nell acqua, e la mamma non li vede perché l acqua è torbida, ma può scoprire quanti ce ne sono aggiungendo un altro termine alla formula. Poiché prima l altezza (H) dell acqua era 15 centimetri e ogni cubo fa alzare il livello di 6 millimetri, la nuova formula sarà: n cubi visibili + (P 500 g) / 100 g + (H - 15 cm) / 0.6 cm = costante Via via che aumenta la complessità del suo ambiente, la donna scopre un intera serie di termini, che rappresentano modi di calcolare quanti cubi ci sono in posti in cui non può guardare. Il risultato è una formula complessa, una quantità da calcolare che rimane sempre la stessa in ogni situazione. 13

Tutto questo significa che l energia si conserva in una particolare situazione, cioè all interno di quello che in fisica si chiama sistema isolato. Ed ora qualche formula... 1.2 L energia meccanica : conservazione e non conservazione Dato un sistema di corpi soggetti solo all'azione di forze conservative si chiama energia meccanica totale del sistema la somma delle energie cinetiche e delle energie potenziali relative a ciascun componente del sistema: dove E = U + E (k) 14

U = ½ Σ U(ij) E(k) = Σ E(k,i) Quando però la distinzione tra interno ed esterno non è eliminabile o conveniente saremo costretti, nel calcolo del lavoro, a tenere distinto il lavoro delle forze esterne e a valutare la capacità di tale lavoro di influenzare l energia dei costituenti interni del sistema. Ciò ci porterà ad introdurre il concetto di energia interna di un sistema e alla nozione di quantità di calore (prossimo corso ). 15

1.2.1 SE AGISCONO SOLO FORZE CONSERVATIVE L ENERGIA MECCANICA SI CONSERVA Se sul corpo agiscono solo forze conservative si ha che Lnc= 0 (lavoro dovuto alle forze non conservative) e dunque: Δ E = 0 o anche E = costante L'energia meccanica di un corpo soggetto solo all'azione di forze conservative rimane costante. Questa è la ragione per la quale le forze conservative hanno avuto questo nome che, apparentemente, non ha a che fare con la definizione. Se l energia meccanica del corpo considerato si conserva significa che le due componenti, di cui è costituita, variano mantenendo però costante la loro somma. Si avranno pertanto perdite di energia cinetica a favore dell energia potenziale e viceversa. 16

1.3 I diagrammi dell'energia potenziale 1.3.1 LA BUCA DI POTENZIALE Capita spesso che una particella sia vincolata a muoversi seguendo una curva determinata, per esempio lungo l'asse delle ascisse. In tale caso la sua energia potenziale viene a dipendere da una sola variabile e cioè la sua energia potenziale può essere scritta come U = f(x). Il diagramma che illustra la dipendenza della energia potenziale dalla posizione è ditto diagramma dell'energia potenziale. L'analisi di tale diagramma fornisce molte informazioni sul comportamento di una particella soggetta alla interazione descritta dalla energia potenziale. 17

Consideriamo, per esempio, il moto di una particella di massa m soggetta ad una forza elastica. Nella posizione x0 la molla si trova in condizioni di riposo e la forza agente sulla particella è nulla. Quando la particella si sposta dalla posizione di riposo risulta soggetta ad una forza Fx = k(x x0). Si osservi che quando x > x0 la forza è negativa (attrazione dovuta alla trazione), mentre quando x < x0 la forza è positiva (repulsione dovuta alla compressione). L energia potenziale della particella vale: 18

Essa è rappresentata nel diagramma in figura da una parabola con il vertice in x = x0.. L energia meccanica della particella E = E k + U rimane costante ed è rappresentata da una retta parallela all'asse delle ascisse. 19

Dal diagramma, si osserva in primo luogo che la energia cinetica è pari alla lunghezza del segmento verticale che va dal generico punto della parabola alla retta dell'energia perché E k = E U. L'energia cinetica raggiunge il suo valore massimo in x0 perché in quel punto si ha U = 0 e dunque E k,max = E. Nei punti x1 e x2 la energia cinetica si annulla mentre si ha U max = E. È ancora evidente dal diagramma che la particella è vincolata a muoversi tra x1 e x2 perché la energia cinetica non può diventare negativa e di conseguenza la energia potenziale deve sempre essere minore o eguale dell'energia meccanica totale. In una situazione come quella indicata si dice 20

che la particella si trova in una buca di potenziale di coordinate comprese tra x1 e x2. 1.3.2 IL LEGAME TRA FORZA ED ENERGIA POTENZIALE I diagrammi della energia potenziale sono lo strumento correntemente utilizzato, non solo in fisica, per evidenziare i sistemi legati e per descrivere le caratteristiche del legame. 21

Supponiamo dunque che sia noto l andamento della energia potenziale riferita ad una dimensione, cioè riferita ad una particolare coordinate spaziale. Poiché il lavoro elementare vale δl = Fxδx, mentre δl = δu si ha: Fxδx = δu, o anche: Dunque la inclinazione della retta tangente al diagramma della energia, cambiata di segno, fornisce il valore della componente della forza in quel punto. 22

23

Pertanto, preso un δx > 0 (allontanamento), possiamo affermare che la forza ha verso contrario al segno di δu il quale è positivo nei tratti in cui la funzione è crescente e negativo quando è decrescente. Quando la energia potenziale aumenta, Fx< 0 e la forza si oppone allo spostamento. Quando la energia potenziale diminuisce, Fx> 0 e la forza agevola lo spostamento. 24

Infine, in corrispondenza dei punti di massimo e minimo la forza si annulla perché in tal caso la retta tangente diventa orizzontale e la sua inclinazione è nulla. Dunque i massimi e i minimi di energia potenziale sono dei punti di equilibrio. Che differenza c'è tra un massimo e un minimo? I massimi sono punti di equilibrio instabile mentre i minimi sono punti di equilibrio stabile. Un corpo si trova in equilibrio quando la risultante delle forze applicate ad esso è uguale a zero. I punti di equilibrio corrisponderanno ai massimi e minimi della curva dell'energia potenziale perché, solo in corrispondenza di essi, la forza si annulla. Ma i punti di massimo non sono equivalenti a quelli di minimo. In un punto di massimo lo spostamento verso destra corrisponde a inclinazione negativa cioè a forza positiva. Lo spostamento verso sinistra corrisponde invece a forze negative. In entrambi i casi la forza ha lo stesso segno dello spostamento e dunque lo agevola: pertanto l equilibrio si 25

distrugge permanentemente. Si tratta dunque di un punto di equilibrio instabile. Nei punti di minimo accade il contrario e dunque, una particella collocate in un punto di minimo, quando subisce uno spostamento, tende a ritornare nel punto iniziale sospinta dalla forza. Se ne conclude che la esistenza di un punto di minimo fa da condizione per l'equilibrio stabile. 26