Questa nota consiste perlopiù nella traduzione (con alcune integrazioni) da Descriptive statistics di J. Shalliker e C. Ricketts, 2000, University of Plymouth Consideriamo i dati nel file esercizio10_dati.xls. Abbiamo informazioni sul peso del carico di dieci navi mercantili e sul tempo di carico. Ci interessa studiare se c è relazione lineare tra le due variabili e poi ricavare la retta di regressione. Costruzione del diagramma di dispersione Possiamo studiare l esistenza di una eventuale relazione lineare attraverso il diagramma di dispersione (o scatter plot). Dobbiamo innanzitutto decidere qual è la variabile indipendente e quale quella dipendente (nella maggior parte dei casi questo è suggerito dalla logica). Nel nostro esempio peso è la variabile indipendente e tempo di carico è la variabile dipendente. Vediamo come costruire il diagramma di dispersione. - selezionare le celle A1:B11 (queste contengono sia i dati sia i nomi delle due variabili) - cliccare sull icona di Creazione guidata Grafico. Passo 1 - Controllare che la pagina attiva sia Tipi standard - Tra le opzioni in Tipo di grafico selezionare Dispers.(XY) - Selezionare tra le Scelte disponibili nella parte destra della finestra di dialogo la prima, l unica nella prima fila, (ossia Grafico a dispersione. Confronta coppie di valori ) Passo 2 - Controllare che la pagina attiva sia Intervallo dati - Confermare nello spazio sotto il grafico che Intervallo dati e Serie siano in Colonne - Sempre all interno della stessa finestra di dialogo passare alla pagina Serie Troverete i campi già pieni. Dobbiamo controllare che siano state immesse le informazioni corrette in special modo con riferimento ai valori X e ai valori Y. - Controllare che i valori X siano A2:A11. Se così non fosse, cliccare nello spazio accanto a Valori X. Per inserire i valori X, cliccare sulla freccetta rossa alla destra dello spazio accanto alla dicitura Valori X e selezionare le celle A2:A11e premere Invio - Controllare che i valori Y siano B2:B11. Se così non fosse, cliccare nello spazio accanto a Valori Y. Per inserire i valori Y, cliccare sulla freccetta rossa alla destra dello spazio accanto alla dicitura Valori Y e selezionare le celle B2:B11e premere Invio Passo 3 - Sulla pagina Titoli, scrivere il Titolo del grafico (nel nostro esempio Diagramma di dispersione dei tempi di carico); come Asse dei 1
valori (X) scrivere Peso (in migliaia di tonnellate); come Asse dei valori (Y) scrivere Tempi di carico (in ore) - Sulla pagina Assi, confermare che per Asse principale è selezionato Asse dei valori (X) e che per Asse secondario è selezionato Asse dei valori (Y) - Sulla pagina Griglia, deselezionare tutte i tipi di griglie - Sulla pagina Legenda, deselezionare l opzione Mostra legenda - Sulla pagina Etichette dati, assicurarsi che sia selezionato Assente Passo 4 - Posiziona il grafico Come oggetto in, ossia nel foglio di lavoro corrente - Cliccare su Fine Infine il grafico può essere modificato cambiando il colore dello sfondo e togliendo il bordo. Si ottiene il grafico mostrato in Figura 1 Diagramma di dispersione dei tempi di carico Tempo di carico (in ore) 25 20 15 10 5 0 0 10 20 30 40 Peso (in migliaia di tonnellate) Figura 1 Possiamo anche calcolare il coefficiente di correlazione come abbiamo visto nella nota 9. Nel nostro esempio - nella cella A14 scrivere correlazione= - nella cella B14 scrivere la formula =CORRELAZIONE(A2:A11;B2:B11) appare automaticamente il risultato che è 0,95 La retta di regressione Vediamo, ora, come costruire la retta di regressione che rappresenti come il tempo di carico dipende dal peso del carico. Esistono vari metodi per ricavare la retta di regressione. Excel dispone di una funzione che a partire dal diagramma di dispersione: calcola automaticamente la retta di regressione che passa tra i punti della nuvola disegna tale retta nel diagramma di dispersione. Vediamo come usare questa funzione - selezionare uno dei punti del grafico - nella barra dei comandi cliccare su Grafico e nel menu che si apre scegliere Aggiungi linea di tendenza - si apre una finestra di dialogo (dal nome aggiungi linea di tendenza ) che consta di due pagina. Nella pagina Tipo selezionare il grafico Lineare in cui è rappresentata una retta. 2
Nella pagina Opzioni: verificare che per nome della linea di tendenza sia selezionato Automatico; verificare che Imposta intercetta non sia selezionato; selezionare Visualizza l equazione sul grafico; selezionare Visualizza il valore R quadrato sul grafico. - Cliccare OK. Verrà mostrata la retta di regressione ed apparirà nel grafico anche la sua espressione e R 2. Se la formula della retta e R 2 vengono mostrate in una posizione scomoda (ad esempio nascondendo o la retta o uno degli assi ), possono essere spostate cliccandoci sopra e trascinando fuori dell area del tracciato. Alla fine si ottiene il grafico mostrato nella Figura 2. Diagramma di dispersione dei tempi di carico Tempo di carico (in ore) 25 20 15 10 5 0 y = 0.4859x + 3.9676 R 2 = 0.8965 0 5 10 15 20 25 30 35 Peso (in migliaia di tonnellate) Figura 2 Calcolo dei valori teorici e dei residui Se vogliamo calcolare i valori teorici (ossia usare la retta di regressione per derivare i tempi di carico assumendo che dipendano linearmente dai pesi del carico nel modo descritto dalla retta) oppure se vogliamo effettuare delle previsioni (ossia calcolare i tempi di carico in corrispondenza di pesi di carichi non osservati) possiamo utilizzare altre funzioni di Excel. Vediamo alcuni metodi per calcolare i valori teorici 1) possiamo calcolare l intercetta e la pendenza della retta di regressione usando le due omonime funzioni implementate in Excel. - nella cella A15 scrivere Intercetta= - nella cella B15 scrivere la formula =INTERCETTA(B2:B11;A2:A11) - nella cella A16 scrivere Pendenza= - nella cella B16 scrivere la formula =PENDENZA(B2:B11;A2:A11) - nella cella C1 scrivere Y teorici - nella cella C2 scrivere la formula =$B$15+$B$16*A2 Si può verificare l esattezza del calcolo effettuato sommando i valori Y teorici e verificando che tale somma coincida con la somma dei valori Y osservati. 2) Possiamo calcolare direttamente i valori teorici con la funzione PREVISIONE - nella cella D1 scrivere Y teorici - nella cella D2 scrivere la formula =PREVISIONE(A2;B$2:B$11;A$2:A$11) la formula può essere poi trascinata nelle celle sottostanti fino a coprire D11. 3
Altrimenti la formula può essere inserita una volta per tutte nella cella D2 usando la metodologia matriciale (come visto per la funzione FREQUENZA) ossia: selezionando le celle D2:D11 (quelle cioè in cui si vuole che appaiano i risultati) e inserendo la formula =PREVISIONE(A2:A11;B2:B11;C2:C11) e poi cliccando insieme /Ctrl/Invio. 3) Possiamo calcolare direttamente i valori teorici anche con la funzione TENDENZA - nella cella E1 scrivere Y teorici - nella cella E2 scrivere la formula =TENDENZA(B$2:B$11;A$2:A$11;A2) la formula può essere poi trascinata nelle celle sottostanti fino a coprire E11. 1 Altrimenti la formula può essere inserita una volta per tutte nella cella E2 usando la metodologia matriciale (come visto per la funzione FREQUENZA) ossia: selezionando le celle E2:E11 ) e inserendo la formula =TENDENZA(B2:B11;A2:A11;A2:A11) e poi cliccando insieme /Ctrl/Invio. Nel file esrcizio10_dati.xls i valori in E2:E11 sono stati calcolati usando la modalità matriciale. I tre metodi appena illustrati sono stati qui applicati per ricavare i valori teorici. I tre metodi possono essere anche applicati per effettuare delle previsioni. Supponiamo ci interessi estrapolare il tempo di carico per un peso di 20 migliaia di tonnellate. Nella cella A13 scriviamo 20. Calcoliamo il tempo di carico previsto con il metodo 1) usando la formula =B15+B16*A13 2) usando la formula =PREVISIONE(A13;B2:B11;A2:A11) 3) usando la formula =TENDENZA(B2:B11;A2:A11;A13) In tutti i casi si ottiene il valore 13,69 Una volta calcolati i valori teorici, il calcolo dei residui è molto semplice; questi sono, infatti, definiti come differenza tra i valori Y effettivamente osservati e i valori Y teorici. - nella cella F1 scrivere Residui - nella cella F2 scrivere la formula =B2-C2 e trascinare la formula fino a coprire la cella F11. Avendo a disposizione i valori teorici e i residui possiamo anche calcolare la varianza di queste quantità. A partire da queste possiamo anche calcolare il coefficiente di determinazione R 2 (che abbiamo già ottenuto automaticamente come output di Aggiungi linea di tendenza). Si ricordi la definizione de coefficiente di determinazione: 1 La funzione TENDENZA è più generale della funzione PREVISIONE. Infatti TENDENZA consente anche di trattare il caso in cui ci sia più di una variabile indipendente e il caso in cui si voglia imporre che l intercetta sia uguale a 0. 4
R ( ) ( ) n 2 n 2 * * * * Dev 2 ( Y ) yi µ Y yi µ Y n Var = = i= 1 = i= 1 = Dev n ( Y ) 2 n 2 Var ( yi µ Y ) ( yi µ Y ) n i= 1 i= 1 ( Y ) ( Y ) - nella cella A17 scrivere Var(Residui)= - nella cella B17 scrivere la formula =VAR.POP(F2:F11) - nella cella A18 scrivere Var(Y teorici)= - nella cella B18 scrivere la formula =VAR.POP(C2:C11) - nella cella A19 scrivere Var(Y)= - nella cella B19 scrivere la formula =VAR.POP(B2:B11) - nella cella A20 scrivere R^2= - nella cella B20 scrivere la formula =B18/B19 vediamo che otteniamo R 2 uguale a quello mostrato nella Figura 2. Grafici dei residui Come ultima cosa possiamo costruire i grafici dei residui. Rappresentiamo i residui: rispetto ai valori Y teorici rispetto ai valori X. Entrambi questi grafici si costruiscono come diagramma di dispersione. Vediamo il primo in dettaglio. - selezionare le celle F1:F11 (queste contengono sia i residui, titolo incluso) - cliccare sull icona di Creazione guidata Grafico. Passo 1 - Controllare che la pagina attiva sia Tipi standard - Tra le opzioni in Tipo di grafico selezionare Dispers.(XY) - Selezionare tra le Scelte disponibili nella parte destra della finestra di dialogo la prima, l unica nella prima fila, (ossia Grafico a dispersione. Confronta coppie di valori ) Passo 2 - Controllare che la pagina attiva sia Intervallo dati - Confermare nello spazio sotto il grafico che Intervallo dati e Serie siano in Colonne - Sempre all interno della stessa finestra di dialogo passare alla pagina Serie - cliccare nello spazio bianco accanto a Valori X. Per inserire i valori X, cliccare sulla freccetta rossa alla destra dello spazio accanto alla dicitura Valori X e selezionare le celle C2:C11e premere Invio - Controllare che i valori Y siano F2:F11. Se così non fosse, cliccare nello spazio accanto a Valori Y. Per inserire i valori Y, cliccare sulla freccetta rossa alla destra dello spazio accanto alla dicitura Valori Y e selezionare le celle F2:F11e premere Invio Passo 3 - Sulla pagina Titoli, scrivere il Titolo del grafico (nel nostro esempio Grafico dei residui rispetto ai valori teorici); come Asse dei 5
valori (X) scrivere Valori teorici; come Asse dei valori (Y) scrivere Residui - Sulla pagina Assi, confermare che per Asse principale è selezionato Asse dei valori (X) e che per Asse secondario è selezionato Asse dei valori (Y) - Sulla pagina Griglia, deselezionare tutte i tipi di griglie - Sulla pagina Legenda, deselezionare l opzione Mostra legenda - Sulla pagina Etichette dati, assicurarsi che sia selezionato Assente Passo 4 - Posiziona il grafico Come oggetto in, ossia nel foglio di lavoro corrente - Cliccare su Fine Si ottiene il seguente grafico (Figura 3) Grafico dei residui rispetto ai valori teorici 2.00 1.00 Residui 0.00 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00-1.00-2.00-3.00 Valori teorici Figura 3 Da questo grafico vediamo che i residui sembrano essere distribuiti casualmente sia sopra sia sotto l asse X e non si riscontra nella nuvola nessuna struttura che possa suggerire l esistenza di una relazione tra residui e valori teorici. Costruiamo il secondo grafico dei residui in modo del tutto analogo con la differenza che i residui vengono rappresentati insieme ai valori della variabili dipendente. Quindi nel passo 2 della procedura i valori X da inserire sono A2:A11 e l asse X viene chiamato Peso. Si ottiene il grafico nella Figura 4. questo grafico, come il precedente, suggerisce che la relazione lineare sia una buona scelta per modellare la relazione tra tempo di carico e peso del carico. 6
Grafico dei residui rispetto alla variabilie Peso 2.00 1.00 Residui 0.00 0 5 10 15 20 25 30 35-1.00-2.00-3.00 Peso Figura 4 7