Prerequisiti di Matematica

Prerequisiti di Matematica Elementi di Logica, insiemi numerici e operazioni Monomi, Polinomi, Frazioni algebriche: operazioni, fattorizzazione eq. e diseq. di 1 o e 2 o grado, razionali sistemi di eq. e diseq. Valore assoluto: proprietà eq. e diseq. con valore assoluto Potenze, esponenziali, logaritmi: denizione e proprietà eq. e diseq. irrazionali, logaritmiche, esponenziali Trigonometria (goniometria): angoli, archi, funzioni trigonometriche e loro proprietà eq. e diseq. trigonometriche Geometria analitica del piano: rette e coniche

Prerequisiti di Matematica Richiami di Logica Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope

Denizione (predicato o proprietà) è una frase che contiene una o più variabili. La sua verità dipende dal valore assunto dalle variabili. Denizione (proposizione) è una frase che aerma una proprietà: essa contiene, oltre alle variabili, i cosiddetti quanticatori. Può essere vera o falsa. Esempio (1. Il numero naturale n è dispari) è un predicato. Possiamo dire se è vera o falsa? Dipende da quale valore attribuiamo a n.

Denizione (predicato o proprietà) è una frase che contiene una o più variabili. La sua verità dipende dal valore assunto dalle variabili. Denizione (proposizione) è una frase che aerma una proprietà: essa contiene, oltre alle variabili, i cosiddetti quanticatori. Può essere vera o falsa. Esempio (2. Esiste un numero naturale dispari) è una proposizione. È vera in quanto il numero naturale 3 è dispari. Esempio (3. Ogni numero naturale è dispari) è una proposizione. È falsa in quanto il numero naturale 2 non è dispari

Denizione (Quanticatori) (per ogni o qualunque) quanticatore universale ; (esiste) quanticatore esistenziale. Quando si vuole provare che una certa proprietà vale per tutti i numeri reali ( x R), bisognerà prendere in considerazione un generico numero x e vedere se tale proprietà è soddisfatta da x. Quando diciamo generico, intendiamo un numero NON noto. Per questo motivo lo chiamiamo x, perché potrebbe essere 3, 2 o π/2 (o qualsiasi altro numero), NON lo sappiamo!

Denizione (Quanticatori) (per ogni o qualunque) quanticatore universale ; (esiste) quanticatore esistenziale. Quando si vuole provare che una certa proprietà vale per tutti i numeri reali ( x R), bisognerà prendere in considerazione un generico numero x e vedere se tale proprietà è soddisfatta da x. Esempio (Tutti i numeri positivi sono maggiori di x 0 = 1) Quest'aermazione è vera poiché x > 0 risulta x > 0 > 1 = x 0.

Denizione (Quanticatori) (per ogni o qualunque) quanticatore universale ; (esiste) quanticatore esistenziale. Quando si vuole provare che una certa proprietà vale per tutti i numeri reali ( x R), bisognerà prendere in considerazione un generico numero x e vedere se tale proprietà è soddisfatta da x. Se si vuol provare che una certa proprietà NON è soddisfatta da tutti i numeri reali basterà far vedere che esiste un numero che non la soddisfa, cioè basterà trovare un numero particolare (scelto da noi, quindi questa volta conosciuto!) che non ha la proprietà in questione.

Denizione (Quanticatori) (per ogni o qualunque) quanticatore universale ; (esiste) quanticatore esistenziale. Quando si vuole provare che una certa proprietà vale per tutti i numeri reali ( x R), bisognerà prendere in considerazione un generico numero x e vedere se tale proprietà è soddisfatta da x. Se si vuol provare che una certa proprietà NON è soddisfatta da tutti i numeri reali basterà far vedere che esiste un numero che non la soddisfa Esempio (Tutti i numeri sono positivi) Quest'aermazione è falsa poiché x = 1 che è negativo.

Nelle proposizioni troviamo congiunzioni o disgiunzioni. La congiunzione più usata è e. La disgiunzione più frequente è o. Una proposizione, formata da due frasi legate da e, è vera se e solo se sono vere entrambe le frasi. Una proposizione in cui sono presenti due frasi legate da un o è vera non appena è vera almeno una delle due frasi contenute. Esempio 2 + 2 = 4 e 3 + 3 = 6 è vera 2 + 2 = 4 o 3 + 3 = 6 è vera 2 + 2 = 4 e 3 + 3 = 5 è falsa 2 + 2 = 4 o 3 + 3 = 5 è vera

Una proposizione, formata da due frasi legate da e, è vera se e solo se sono vere entrambe le frasi. Una proposizione in cui sono presenti due frasi legate da un o è vera non appena è vera almeno una delle due frasi contenute. Esempio x è un naturale pari e maggiore di 10. x è un naturale pari o maggiore di 10. x pari: x {2,4,6,...}. x maggiore di 10: x {11,12,13,...}. x è un naturale pari e maggiore di 10: x {2,4,6,...} {11,12,13,...} = {12,14,16,...}. x è un naturale pari o maggiore di 10: x {2,4,6,...} {11,12,13,...} = {2,4,...10,11,12,13,...}.

Una proposizione, formata da due frasi legate da e, è vera se e solo se sono vere entrambe le frasi. L'insieme delle x che vericano il predicato P (x) e il predicato Q(x) è l'intersezione fra le x che vericano P (x) e quelle che vericano Q(x). Una proposizione in cui sono presenti due frasi legate da un o è vera non appena è vera almeno una delle due frasi contenute. L'insieme delle x che vericano il predicato P (x) o il predicato Q(x) è l'unione delle x che vericano P (x) e di quelle che vericano Q(x).

Denizione (Denizione) è una frase che spiega in modo univoco il signicato di una parola o di un concetto. Esempio (Denizione) Un numero razionale è un numero che si scrive come x = p/q con p e q interi, q 0. Denizione (Teorema o enunciato matematico) è formato da almeno due predicati e da una connessione logica. Un predicato, detto ipotesi, svolge il ruolo di causa. L'altro predicato, detto tesi, ne è l'eetto. Esempio (Teorema) Se due bimbi sono gemelli allora sono fratelli

Esempio (Teorema) Se due bimbi sono gemelli allora sono fratelli. Poniamo, per brevità: A : essere gemelli, B : essere fratelli, = l'implicazione logica: allora o implica che. A B La proprietà di essere gemelli implica (causa, ha come consequenza) essere fratelli, se l'ipotesi di essere gemelli viene soddisfatta allora la tesi di essere fratelli sarà vera. essere gemelli è condizione suciente per essere fratelli

Esempio (Teorema) Se due bimbi sono gemelli allora sono fratelli. A B essere gemelli è condizione suciente per essere fratelli Che possiamo dire delle altre implicazioni? B A? Se due bimbi sono fratelli allora sono gemelli"? NO, è possibile che A sia falsa anche se B è vera, cioè essere fratelli non è condizione suciente per essere gemelli, o, anche, essere gemelli è condizione suciente, ma non necessaria per essere fratelli

Esempio (Teorema) Se due bimbi sono gemelli allora sono fratelli. A B essere gemelli è condizione suciente per essere fratelli Che possiamo dire delle altre implicazioni? nonb nona? Se due bambini non sono fratelli allora non sono gemelli? SÍ, se B è falsa, allora anche A è falsa o, anche essere fratelli è condizione necessaria per essere gemelli

Esempio (Teorema) Se due bimbi sono gemelli allora sono fratelli. A B essere gemelli è condizione suciente per essere fratelli Che possiamo dire delle altre implicazioni? nona nonb? cioè Se due bambini non sono gemelli allora non sono fratelli? NO, è possibile che B sia vera anche se A è falsa, di nuovo vediamo che essere gemelli è condizione suciente, ma non necessaria per essere fratelli

Esempio (Teorema) Se due bimbi sono gemelli allora sono fratelli. A B essere gemelli è condizione suciente per essere fratelli In sintesi A B non B nona ma non possiamo concludere, in generale, che B A non A non B Quando anche queste due sono vere, diciamo che A è condizione necessaria e suciente per B.

Esempio (Proposizione - condizione suciente) Se x = 2 allora x 2 = 4. Nell'ipotesi vengono aermate le condizioni sucienti a garantire che la tesi si avveri. L'essere uguale a due è una condizione suciente per un numero x anché il suo quadrato sia uguale a quattro. NON viene aermato che x 2 è uguale a quattro SOLTANTO se x è uguale a due. (Infatti x 2 = 4 anche quando x = 2.) Essere condizione suciente è DIVERSO dall'essere condizione necessaria.

Esempio (Proposizione - condizione suciente e necessaria) x 2 = 4 se e solo se x = ±2. In questo caso, l'essere uguale a più o meno due è una condizione suciente e necessaria per un numero x anché il suo quadrato sia uguale a quattro. Cioè x 2 è uguale a quattro se e soltanto se x è uguale a 2 o 2. Per indicare la doppia implicazione logica (necessario e suciente) si usa il simbolo

Negazioni NEGARE vuol dire: NEGARE vuol dire P (x) è vera x x per cui P (x) sia falsa P (x) è vera per per un certo x P (x) è falsa x. Per negare il per ogni dobbiamo usare esiste, mentre per negare esiste dobbiamo usare il per ogni. Allo stesso modo se in una proposizione è presente un e nella negazione otteniamo un o e viceversa. Negare: Tutti i sabato vado al cinema e in pizzeria Esiste un sabato in cui non vado al cinema o non vado in pizzeria

Dimostrazione Per Assurdo Si suppone che la tesi non sia vera, con lo scopo di arrivare attraverso passaggi logici all'ottenere che NEANCHE l'ipotesi è vera. Per dimostrare dimostriamo che A B non B nona

Esempio: Proposizione Non esiste un numero razionale il cui quadrato è due. Dimostrazione per Assurdo: Supponiamo che Esistono p, q N primi tra loro, tali che p 2 /q 2 = 2, da cui p 2 = 2q 2 ma allora p deve essere un numero pari, quindi esiste k N tale che p = 2k, da cui p 2 = 4k 2 ; ma allora q 2 = 2k 2, che implica che anche q è pari; il che è assurdo, perché p e q non possono avere divisori in comune; Quindi abbiamo concluso la dimostrazione.

Esercizio Indicare qual è la negazione dell'aermazione Umberto ha almeno un glio biondo A. Almeno un glio di Umberto non è biondo B. Umberto non ha gli oppure ha soltanto gli non biondi C. Tutti i gli di Umberto sono bruni D. Non tutti i gli di Umberto sono biondi E. Umberto ha tutti i gli rossi di capelli

Esercizio Un accogliente cartello all'ingresso del ristorante L'Oca Giuliva recita: Se si è in pochi, si mangia bene Se si è in tanti, si spende poco Il Signor Aquilotto, con la sua mente acuta, ne deduce logicamente che: A. se si è pochi, si spende tanto B. per mangiar bene è necessario andarci in pochi C. se si mangia male non si è in pochi D. per spendere poco bisogna essere in tanti E. se si è in tanti, si mangia male.

Esercizio Un chimico, studiando una soluzione che si era tinta di arancione, constatò che in essa era presente del sodio o del potassio (o entrambi); inoltre osservò che, se NON c'era sodio, c'era ferro, e che, se c'era potassio, c'era anche jodio. Quale di queste situazione si può vericare? A. La soluzione contiene solo potassio e ferro B. La soluzione contiene solo ferro e jodio C. La soluzione contiene sodio e potassio, e non contiene jodio D. La soluzione non contiene né sodio né jodio E. La soluzione contiene solo sodio

Esercizio Premesso che: chi ascolta musica rock o blues non è stonato Agenore non è stonato chi ascolta blues non vince al Lotto quale tra le seguenti conclusioni NON si può trarre dalle precedenti premesse? A. Uno stonato non ascolta rock B. È possibile che Agenore non vinca al Lotto C. Chi vince al Lotto non ascolta blues D. È impossibile che Agenore ascolti blues E. Non è escluso che Agenore ascolti rock

Esercizio Un Marziolano, osservando che: metà di tutti i Tondolini sono remissivi metà di tutti i Marziolani sono testardi metà di tutti i Marziolani sono remissivi e tenendo presente che non si può essere insieme remissivi e testardi, deduce che una e una sola delle seguenti aermazioni NON può essere vera. Quale? A. Metà di tutti i Tondolini sono testardi B. Tutti i Tondolini sono Marziolani C. Tutti i Marziolani sono Tondolini e nessun Tondolino è testardo D. Non esistono Tondolini che siano anche Marziolani E. Tondolini e Marziolani sono lo stesso insieme di

Esercizio Il tenente Piccione, nel corso delle sue indagini su un assassinio, ha appurato questi due fatti: se X ha sparato alla vittima, allora X è mancino; se Y ha sparato alla vittima, allora Y è l'assassino. Quale di queste deduzioni è corretta? A. Il tenente Piccione accerta che il signor Bianchi non è mancino e ne deduce che non è l'assassino B. L'assassino ha sparato alla vittima C. Il tenente Piccione accerta che il signor Rossi è mancino e ne deduce che è l'assassino D. Il tenente Piccione accerta che il signor Bianchi non è mancino e ne deduce che non ha sparato alla vittima E. Poiché il signor Rossi è mancino, ha sparato alla

Esercizio Una famosa congettura aerma che i numeri primi q tali che q + 2 è un numero primo sono inniti. Confutare questa aermazione equivale a provare che A. per ogni n N e per ogni numero primo q con q > n il numero q + 2 non è primo B. esistono n N e un numero primo q con q > n tali che il numero q + 2 non è primo C. per ogni n N esiste un numero primo q con q > n tale che il numero q + 2 non è primo D. esiste n N tale che, qualunque sia il numero primo q con q > n, il numero q + 2 non è primo E. esiste n N tale che, per ogni numero m N con m > n, il numero m + 2 non è primo

Esercizio In occasione delle elezioni primarie per la scelta del candidato premier di Burgundia, ciascuno dei sette candidati è sicuro di riuscire a classicarsi fra i tre più votati. Negare questa frase vuol dire aermare che: A. c'è almeno un candidato che teme di rientrare fra i tre meno votati B. c'è almeno un candidato che non è sicuro di rientrare fra i primi tre più votati C. alcuni dei sette candidati sono sicuri di riuscire a classicarsi fra i tre più votati D. ogni candidato è sicuro di non riuscire a classicarsi fra i tre più votati E. ciascuno dei sette candidati teme di rientrare fra i tre

Esercizio Il ministro dell'economia di Matlandia aerma: Se il bilancio non sarà tagliato, allora i prezzi rimarranno stabili se e soltanto se aumenteremo tutte le tasse. Sapendo che il bilancio non fu tagliato, che cosa può essere accaduto a Matlandia? A. Tutte le tasse furono aumentate e i prezzi crebbero B. Le tasse non furono aumentate e i prezzi rimasero stabili C. Furono aumentate le tasse solo sugli stipendi degli impiegati dello Stato e i prezzi rimasero stabili D. Tutte le tasse furono aumentate e i prezzi rimasero stabili E. I prezzi crebbero comunque

Prerequisiti di Matematica Numeri e Algebra Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope

I numeri che servono per contare sono i numeri naturali: Denizione L'insieme dei numeri naturali (N) è denito mediante le proprietà (i) 0 N, (ii) se n N, allora n + 1 N. N = {0,1,2,3,...} I numeri interi servono per fare il bilancio: Denizione L'insieme dei numeri interi (Z) è formato dai numeri naturali e dai loro opposti, cioè k Z se, e solo se, k N oppure k N. Z = { 3, 2, 1,0,1,2,3,...}

Osservazione Positivi sono i numeri maggiori di zero, cioè {1,2,3,...}, Negativi sono i numeri minori di zero, cioè { 1, 2, 3,...}. 0 non è né positivo né negativo! Chiamiamo numeri nonnegativi {0,1,2,3,...} Osservazione Con i numeri interi possiamo fare ogni sorta di addizione e sottrazione, ad esempio: 4 + ( 7) = 4 7 = 3 4 ( 7) = 4 + 7 = 11 Con i numeri interi non possiamo fare ogni sorta di divisione, ad esempio: 4 : 2 = 2 ok 5 : 2 = 2,5 non è un num. intero

Tutti i possibili risultati delle divisioni fra numeri interi, cioè le frazioni, formano l'insieme dei numeri razionali: Denizione Q = { a = a : b : a,b Z, b 0} b il numero a si dice numeratore b denominatore Osservazione Ogni numero intero è anche un numero razionale, il cui denominatore (sottinteso) è uguale a 1. Ad esempio 7 = 7 1

Tutti i possibili risultati delle divisioni fra numeri interi, cioè le frazioni, formano l'insieme dei numeri razionali: Denizione Q = { a = a : b : a,b Z, b 0} b il numero a si dice numeratore b denominatore C'è una certa libertà sulla scelta dei segni di numeratore e denominatore. Ad esempio 7 3 = 7 3 = 7 3 Denizione Un numero razionale è e 7 3 = 7 3 positivo se num. e den. hanno lo stesso segno (a b > 0) negativo se num. e den. hanno segno discorde (a b < 0)

Tutti i possibili risultati delle divisioni fra numeri interi, cioè le frazioni, formano l'insieme dei numeri razionali: Denizione Q = { a = a : b : a,b Z, b 0} b il numero a si dice numeratore b denominatore C'è libertà sulla scelta di numeratore e denominatore. 10 Ad esempio 5 = 6 3 = 2 Denizione Due numeri razionali a b e c d si dicono equivalenti se a d = b c

Nell'esempio si ha 10 3 = 5 6 (sicché 10 5 = 6 3 ) e anche 10 1 = 2 5 (sicché 10 5 = 2) e anche 6 1 = 2 3 (sicché 6 3 = 2) Possiamo scegliere una frazione fra tutte quelle equivalenti. Quale scegliamo? La più semplice: quella il cui numeratore non ha fattori comuni con il denominatore. Ricordatevi di semplicare!

Denizione (somma di numeri razionali) a b + c d = a d + c b b d La somma di numeri razionali gode delle proprietà: ( a associativa: b + c ) + e d f = a ( c b + d + e ) f a commutativa: b + c d = c d + a b a esistenza elemento neutro (0): b + 0 = a b esistenza inverso ( a b ): a ( b + a ) = 0 b L'inverso (o opposto) di a b si indica con il simbolo a b. Si ha a b = a b = a b

Denizione (prodotto di numeri razionali) a b c d = a c b d Il prodotto di numeri razionali gode delle proprietà ( a associativa: b c ) e d f = a ( c b d e ) f a commutativa: b c d = c d a b a esistenza elemento neutro (1): b 1 = a ( b a ) 1 a ( a ) 1 esistenza inverso : b b = 1 se a 0 b L'inverso (o reciproco) di a esiste solo se a 0. ( b a ) 1 ( a ) 1 b Si indica con il simbolo e vale = b b a

Denizione (prodotto di numeri razionali) a b c d = a c b d Il prodotto di numeri razionali gode delle proprietà ( a distributiva: b + c ) e d f = a b e f + c d e f legge di annullamento del prodotto: a b c d = 0 se e solo se a b = 0 o c d = 0

A partire dal prodotto deniamo Denizione (divisione fra numeri razionali) a b : c d = a ( c ) 1 b a = d b d se c 0. c Esempio 9 14 : 6 7 = 9 14 7 6 = 3 2 1 2 = 3 4

A partire dal prodotto deniamo Denizione (divisione fra numeri razionali) a b : c d = a ( c ) 1 b a = d b d se c 0. c Si può anche indicare con una linea di frazione, cioè a b c = a b : c d = a b d c. d Esempio 3 14 3 = 3 14 2 3 = 1 7 1 1 = 1 7

Abbiamo detto che un numero razionale a b è positivo (ovvero maggiore di zero) se i numeri interi a e b hanno ugual segno, ovvero se a b > 0 Denizione (ordine fra numeri razionali) Si dice che a b > c d se, e solo se, a b c d > 0 ovvero se i numeri interi ad bc e bd hanno ugual segno, cioè (ad bc) bd > 0 Si dice poi che a b c d se a b > c d oppure a b = c d Nella pratica, ci riporteremo sempre nella situazione in cui b e d sono entrambi positivi. a In tal caso b > c se, e solo se, ad > bc. d

La relazione d'ordine gode delle proprietà: riessiva: transitiva: se a b c d e c d a b, allora a b = c d se a b c d e c d e f, allora a b e f compatibilità con somma: se a b c d, allora a b + e f c d + e f compatibilità con prodotto: a se a b c d, allora b e f c d e f a b e f c d e f a totale: b c d oppure c d a b per ogni e f se e f 0, se e f 0

Esercizio Calcolare ( 3 4 1 5 + 1 6 : 2 3 ) 7 12 6 5. Esercizio Mettere in ordine crescente i numeri razionali: 1 2, 1 4, 3 7, 5 2, 7 3, 1 2

Esercizio Ci sono cinque persone con diverse situazioni patrimoniali. Oronzo è più ricco di Rocco, le cui ricchezze sono più modeste di quelle di Silvio, e quest'ultimo a sua volta è più danaroso di Piero. Quirino è meno benestante di Piero, ma più agiato di Oronzo. Chi è il terzo in ordine di ricchezza? A. Piero B. Rocco C. Oronzo D. Silvio E. Quirino

Esercizio Giocando a Risiko Giulio Cesare ha vinto più di suo nipote Augusto, ma non di Napoleone. Alessandro Magno ha vinto meno di Carlo Magno, ma più di Napoleone. Chi ha vinto di meno? A. Carlo Magno B. Alessandro Magno C. Napoleone D. Augusto E. Giulio Cesare

Finalmente possiamo fare tutte le operazioni fondamentali e dunque abbiamo tutti i numeri che ci servono! NO! A titolo di esempio, non sappiamo calcolare la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato 1. Il teorema di Pitagora aerma che tale lungezza è data dalla radice quadrata della somma di due quadrati costruiti sui lati, cioè l = 1 2 + 1 2 = 2. In altre parole, il numero l elevato al quadrato deve fare 2. Ma non esiste alcun numero razionale il cui quadrato faccia 2!

Per colmare questa lacuna dei numeri razionali (e molte altre...) si introducono i numeri reali (R). Per i nostri scopi, è suciente dire che i numeri reali sono tutti i numeri che possiamo scrivere come allineamento decimale (sia esso nito, innito, periodico...). Esempio 5 2 = 2,5 allineamento decimale nito 1 3 = 0,333333 = 0, 3 allineamento decimale innito periodico 2 = 1.4142135623 allineamento decimale innito non periodico

Sui numeri reali si assegnano somma, prodotto e relazione d'ordine in modo che valgano tutte le proprietà che abbiamo riconosciuto per i numeri razionali. Ma allora qual è la dierenza? L'assioma di continuità: l'insieme dei numeri reali non ha buchi. Possiamo misurare ogni lunghezza! C'è una corrispondenza fra i numeri reali e la retta. La relazione d'ordine fra i numeri dà un orientamento.

Nella pratica per maneggiare i numeri reali è suciente applicare le regole. Esempio Quanto vale x 1 3 2y? 2 Non serve sapere esattamente chi sono i numeri x e y, basta applicare le regole per calcolare ( x 1 3 2y = x 2 ) 3 1 2y = x 2 x y 2y 2y = 3 3 2y 2