[SeLP] Cenni di geometria algebrica degli l-gruppi Dipartimento di Matematica Università degli studi di Salerno Fisciano, SA 06/06/2014
Algebra Universale Componenti di base (A, τ) - Struttura algebrica T (α) - Polinomi (o termini) su τ con α variabili V - Varietà (classe equazionale di algebre) W (α) = T (α)/i V - Algebra libera
Geometria Algebrica Classica Concetti fondamentali Campo K algebricamente chiuso Spazio affine K n Anello dei polinomi su K con n indeterminate Ideali di K[x 1,..., x n ] Vengono poi studiati: Insiemi algebrici Z(U) K n con U K[x 1,..., x n ] Algebre coordinate K[x 1,..., x n ]/I (A) con I (A) ideale
Geometria Algebrica Universale (Plotkin) Nuovi concetti fondamentali Campo K Algebra H Spazio affine K n Hom(W (n), H) Polinomi su K Algebra libera W (n) (con costanti in H) Ideali di K[x 1,..., x n ] Congruenze su W (n) Prendiamo H in una varietà cosi da poter considerare gli omomorfismi e l algebra libera (teorema HSP di Birkhoff). Nota Consideriamo Hom(W (n), H) come punti di H n.
Geometria Algebrica Universale (Plotkin) Algebre coordinate Sistemi di equazioni Insiemi Algebrici Soluzioni di sistemi di equazioni
Geometria Algebrica Universale (Plotkin) Algebre coordinate (Punti Polinomi) Consideriamo A Hom(W (n), H) e definiamo: U = ϕ(a) = µ A Kerµ dove U è la congruenza generata da A. Mentre W (n)/u è la nostra algebra coordinata. Intuitivamente vedremo A H n e U = ϕ(a) = {p W (n) p(a) = 0 a A} come sistema massimale che ha per soluzione tutti i punti di A.
Geometria Algebrica Universale (Plotkin) Insiemi Algebrici (Polinomi Punti) Consideriamo U W (n) e definiamo: A = ψ(u) = {µ : W (n) H U Kerµ} e chiameremo A insieme algebrico H-chiuso. Intuitivamente avremo A = ψ(u) = {a H n p(a) = 0 p U} visto come insieme delle soluzioni del sistema U. Nota La coppia (ψ, ϕ) formano una corrispondenza di Galois.
Varietà algebrica degli l-gruppi Diremo che G è un l-gruppo se (G, +,, 0,, ) è un gruppo abeliano strutturato come un reticolo, cioè soddisfacente i seguenti assiomi: 1 a, b, c G a + (b + c) = (a + b) + c ; 2 a G a + 0 = a = 0 + a ; 3 a G a + ( a) = 0 = a + a ; 4 a, b G a + b = b + a ; 5 a, b G a b = b a ; 6 a, b G a b = b a ; 7 a, b, c G a (b c) = (a b) c ; 8 a, b, c G a (b c) = (a b) c ; 9 a, b G a (a b) = a ; 10 a, b G a (a b) = a ; 11 a, b, c G c + (a b) = (c + a) (c + b) ; 12 a, b, c G c + (a b) = (c + a) (c + b).
Geometria algebrica degli l-gruppi l-gruppo libero FAl(n) = {f = i j f ij : R n R f ij hom Z (R n, R)} dove hom Z (R n, R) sono le funzioni lineari omogenee a coefficienti interi z 1 x 1 + z 2 x 2 +... + z n x n con z i Z.
Geometria algebrica degli l-gruppi Congruenze Nella varietà degli l-gruppi le congruenze si identificano con gli l-ideali. Un l-ideale di un l-gruppo è un sottogruppo J di G tale che se x J e y x allora y J.
Geometria algebrica degli l-gruppi Congruenze Nella varietà degli l-gruppi le congruenze si identificano con gli l-ideali. Un l-ideale di un l-gruppo è un sottogruppo J di G tale che se x J e y x allora y J. l-omomorfismi f : G H è un omomorfismo di l-gruppi se e solo se per definizione: f è un omomorfismo di gruppi; f è un omomorfismo di reticoli.
Geometria algebrica degli l-gruppi Categoria K l Insiemi algebrici Categoria C l Algebre coordinate
Categoria degli Insiemi Algebrici Oggetti (X, A, H) X insieme finito di variabili ( X = n X ) A insieme algebrico in Hom(FAl(n X ),H) H l-gruppo
Categoria degli Insiemi Algebrici Morfismi ([s] δ, δ) : (X, A, H 1 ) (Y, B, H 2 ) 1 Siano δ : H 1 H 2 e s : FAl(n Y ) FAl(n X ) 2 consideriamo il diagramma commutativo FAl(n Y ) s FAl(n X ) ν ν H 2 δ H 1 3 (s, δ)(ν) = ν ammissibile (insiemi algebrici in insiemi algebrici) (s, δ) si dirà ammissibile rispetto A e B se ν B per ogni ν A 4 La coppia ([s] δ, δ) sarà il morfismo (X, A, H 1 ) (Y, B, H 2 ) e definiamo la composizione di due morfismi nel seguente modo ([s ] δ, δ )([s] δ, δ) = ([ss ] δ δ, δ δ) : (X, A, H 1 ) (Z, C, H 3 )
Categoria delle algebre coordinate Oggetti (FAl(n X )/U, H) X insieme finito di variabili U ideale H-chiuso H l-gruppo Morfismi σ : FAl(Y )/U 2 FAl(X )/U 1 σ(p(x)/u 2 ) = s(p(x))/u 1 con s ammissibile rispetto ad U 1 e U 2.
Dualità Proposizione 1 La mappa F : K l Gr C l Gr tale che: (i) F ((X, A, H)) = (FAl(n X )/ϕ(a), H); (ii) F (([s] δ, δ)) = (σ s, δ); è un funtore controvariante. Proposizione 2 La mappa G : C l Gr K l Gr tale che: (i) G((FAl(n)/U, H)) = (X n, ψ(u), H); (ii) G((σ, δ)) = ([s σ ], δ); è un funtore controvariante.
Dualità Lemma 1 Il funtore composto GF è il funtore identità della categoria degli Insiemi Algebrici.
Dualità Lemma 1 Il funtore composto GF è il funtore identità della categoria degli Insiemi Algebrici. Lemma 2 Il funtore composto FG è il funtore identità della categoria delle Algebre Coordinate.
Dualità Lemma 1 Il funtore composto GF è il funtore identità della categoria degli Insiemi Algebrici. Lemma 2 Il funtore composto FG è il funtore identità della categoria delle Algebre Coordinate. Teorema La categoria degli Insiemi Algebrici è dualmente isomorfa alla categoria delle Algebre Coordinate.
Applicazioni Attraverso il funtore di Mundici l u Gruppi MValgebre Logica di Lukasiewicz Si possono ottenere informazioni sulla logica definita sui modelli algebrici della logica di Lukasiewicz. Principali Applicazioni Logiche della Geometria Algebrica Decidibilità delle teorie Equivalenza elementare
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