MATEMATICA e MATEMATICA FINANZIARIA a.a. 7-8 Corso di laurea in Economia Aziendale Fascicolo n. Limite di funzioni e applicazioni. Limite di una funzione Funzioni continue Calcolo dei iti Asintoti Prof.ssa Carla Fiori Prof. Carlo Alberto Magni Università di Modena e Reggio Emilia
LIMITE di una funzione DEFINIZIONE. Si dice R è punto di accumulazione per un insieme R in ogni intorno di esiste almeno un elemento di A diverso da. Empio Il numero 6 è punto di accumulazione per l insieme dei numeri reali, perché in ogni intorno di 6 esiste almeno un numero reale diverso da 6. Esso non è però punto di accumulazione per l insieme dei numeri naturali, perché, ad empio, l intorno (5.5, 6.5) non contiene nessun numero naturale diverso da 6. Dire che è un punto di accumulazione per un insieme A vuole dire che esistono punti di A vicini a quanto si vuole. La nozione di punto di accumulazione si estende anche a e - (che non sono numeri reali). In ogni intorno di e in ogni intorno di - esiste almeno un elemento di R perché ne esistono mpre infiniti, quindi essi sono punti di accumulazione per R. Ricordiamo che I(, r): r, ) e I ( L, ε ): ( L ε, L ε ) ( r e che c I ( L, ε ) c L < ε L ε < c < L ε Si consideri ora la funzione f(. Il campo di esistenza della funzione è R e è punto di accumulazione per R. Cosa accade a f( quando si avvicina (tende) a? tende a da sinistra tende a da destra.9.99.999.9999.... f(.9.99.999.9999 5. 5. 5. 5. Il valore a cui tende f( quando si avvicina a, sia da destra che da sinistra, è 5. Questo valore è detto ite. Si scrive 5 si legge il ite di f( per che tende a è uguale a 5.
8 Si consideri la funzione Il campo di esistenza della funzione è R e è punto di accumulazione per R. La funzione non esiste in ma quando si ha tende a da sinistra tende a da destra.9.99.999.9999.... f(..9.99.999 non definito.6.6.6.6 8 e pertanto DEFINIZIONE. Sia f una funzione definita nell insieme R, sia un punto di accumulazione per A. Si dice che f ha come ite R per che tende a, e si scrive L per ogni intorno I ( L, ε ) si può determinare in corrispondenza un intorno I(, r) tale che risulti I ( L, ε ) per tutti gli distinti da e appartenenti a I(, r) Intuitivamente - f( assume valori prossimi a L quanto si vuole in corrispondenza di tutti gli abbastanza vicini a. r 5 R
Nella ricerca del ite, si possono prentare le guenti situazioni: il ite esiste ed è finito (la funzione è convergente) il ite esiste ed è oppure (la funzione è divergente) il ite non esiste (la funzione è indeterminata) Senza darne dimostrazione, riportiamo i principali teoremi sui iti. TEOREMA (unicità del ite). Se il ite esiste, esso è unico. TEOREMA (permanenza del gno).. Sia g( L >. Allora esiste > tale che >!" #, Ossia: per la funzione tende a un numero positivo, allora esiste un intorno di dove la funzione assume mpre valori positivi. (Analogamente per L < esiste un intorno di dove la funzione assume mpre valori negativi).. Siano : R,. Si supponga che esista g( L. Se esiste > tale che!" #, '(( '. Ossia: in un intorno di la funzione assume valori non negativi, la funzione tende a un numero L non negativo per. TEOREMA (del confronto). Siano h(, f(, g( tre funzioni definite nello stesso dominio R escluso al più. Se in ogni punto, A si ha h( g( e h( g( L, allora L. Se si considera solo un intorno destro o un intorno sinistro di, allora si parla rispettivamente di ite a destra e di ite a sinistra di le cui definizioni si ottengono dalla definizione di ite imponendo la restrizione > (per il ite destro) e < (per il ite sinistro) e si usano i simboli
Il esiste esistono i iti destro e sinistro e questi sono uguali: Empio. Si consideri la funzione: > < Risulta ( ) 5, non esiste. y 5 L empio sopra illustrato aiuta ad introdurre ed illustrare una prima applicazione del concetto di ite. Funzioni Continue DEFINIZIONE. Si dice che una funzione f( è continua nel punto del suo dominio f ( ). Intuitivamente. Una funzione è continua in un intervallo [a, b], in questo intervallo il grafico della funzione non prenta buchi o salti. 5
Empio La guente funzione è non continua nel punto ma continua per. f( < Empio.La funzione f( 5 è continua per ma discontinua in. y 5 y Empio. Le funzioni elementari considerate nel loro campo di esistenza sono funzioni continue. Empio. La funzione è continua nel punto perché 6 8 f () ( ) La funzione è discontinua in? No, la funzione in non è definita. Enunciamo infine due importanti teoremi sulle funzioni continue di cui il condo è immediata conguenza del primo. TEOREMA I dei valori intermedi. Una funzione, definita e continua in un intervallo chiuso e itato -',./, assume almeno una volta tutti i valori compresi tra '.. TEOREMA degli zeri. Sia una funzione definita e continua in un intervallo chiuso e itato -',./ e tale che ' e. abbiano gno opposto, cioè '. <. Allora, ammette almeno uno zero in ',., cioè esiste almeno un punto ',. tale che. 6
Calcolo di iti Per calcolare il ite di una funzione, di norma, non si utilizza la definizione di ite ma si applicano teoremi operativi. Valgono infatti le guenti uguaglianze (mpre che esistano i iti indicati nei condi membri e l uguaglianza non perda di significato). Inoltre il teorema 5 vale sotto l ipotesi che e siano continue. ) ( g( ) g( ) λ λ ) g( g( ) g( g( 5) ( ( 5 6 6) 7 8 9 :;< 7 7:>? :;< -7:>?/ 7 :;< 7 7
Regole operative Per calcolare il ite di una funzione f, nell espressione analitica di f(, alla variabile si sostituisce il valore a cui tende e si egue il calcolo. E pertanto necessario estendere le usuali operazioni definite nell insieme R, all insieme R dei numeri reali a cui sono stati aggiunti e. L estensione delle operazioni a R è così definita : k k R : ± k, k, ± k, k,, k k R, k : k k k,,, ( ± ) ( ± ),, A. il gno di infinito è determinato con l usuale regola dei gni. Ma si possono prentare anche i guenti casi :,,,,,,, detti forme indeterminate perché non si può dire nulla sul risultato, per determinare quanto valgono si deve procedere caso per caso (vedremo qualche empio). Attenzione - è forma indeterminata solo quando la ba indica una quantità che tende a. Se la ba è costante, la quantità non è una forma indeterminata perché e A. ESEMPI di calcolo di iti Empio. 8
Empio. e e e Empio. Empio. 5 ( ( ) 5 5() 5 Empio 5. 8 8 Empio 6. - - 6 ( ) Empio 7. A da un certo punto in poi, < e pertanto A A Empio 8. Empio 9. AE F AG HI :;< F AG JE ln5f AG ln- 5F AG / ln Empio. Empio. F F :>N OP :;< F :>N R R 9
Calcolo di Forme Indeterminate Se nel calcolare il ite di una funzione si ottiene una forma indeterminata, occorre cercare un artificio che permetta di superare la forma indeterminata. Empio OT J U J V U N N N N N N 6 O N N X N N Y G N N 6 G N Per il calcolo delle forme indeterminate sono di aiuto alcune osrvazioni e alcuni teoremi di guito riportati: infiniti e infinitesimi, iti notevoli, teoremi di De l Hopital. Infiniti e Infinitesimi Se la f si dice infinito. Se la f si dice infinitesimo. Spesso per risolvere le forme indeterminate che coinvolgono infiniti e/o infinitesimi è molto utile considerare la velocità con cui le funzioni tendono a oppure a. Ad empio per la funzione N va a più velocemente della funzione G e pertanto dovessimo calcolare, vince N e quindi mentre.
Quando per consideriamo la funzione potenza Z [!! N, la funzione logaritmo ( ^ [! ' >, e la funzione esponenziale ',' >, si dimostra che valgono le guenti gerarchie. ) In una funzione polinomiale il termine più veloce è quello di grado massimo e quindi basta considerare questo termine. ) La funzione potenza è più veloce della funzione logaritmo (!,. N,' > n b b (log, (loga n a. ) La funzione esponenziale è più veloce della funzione potenza! N,' > n a,. n a In sintesi: Quando, l esponenziale (con ba maggiore di ) è più veloce della potenza (con esponente positivo) la quale è più veloce del logaritmo (con ba maggiore di ). Queste gerarchie permettono di risolvere subito alcune forme indeterminate. Empio. 5 5 7 Empio. 5 5 5 5 Empio. ln e ln e
Limiti delle funzioni polinomiali per ± In un polinomio il termine più veloce è quello di grado massimo, perché ' _ ' J _AJ ' ' ' J ' ' _ ' J _AJ ' ' ' J ' _ ' Per calcolare il delle funzioni polinomiali intere e fratte, basta pertanto considerare il termine di grado massimo dei polinomi. Risulta: a b a J baj a b c a > a < si procede in modo analogo tenendo conto della regola dei gni. r a a b s b r s L a L b r s a b r > s r > s r s r < s e e a b a b > < si procede in modo analogo tenendo conto della regola dei gni. Empio. Il guente ite risulta una forma indeterminata. ma 7 7
Empio. 5 7 5 Empio. Empio. Empio 5. 5-5 - 7 7 5-5 Empio 6. 6-5 - ATTENZIONE Quanto sopraddetto vale solo per. Ad empio ( )( ) 7 ( )( 5) 5 Limiti notevoli Quando nel calcolare il ite di una funzione si ottiene una forma indeterminata, un artificio è quello di riportare il calcolo del ite al calcolo di un ite già noto. Per questo sono fondamentali alcuni iti detti iti notevoli; ricordiamone alcuni: e, a a a e, ln a n, Empio. e e
Empio. Calcolare. Ponendo t, si ha t per e pertanto e. t t t Empio. Calcolare. Si ha Ponendo t ( ), si ha t per e pertanto t t t t t t ( t) t t t t t t t t e e. Empio. Sia Si ha r R, calcolare ponendo r ( ). r t si ottiene r r t r r e. t ± t r r r Empio 5. Calcolare Ponendo (. t t si ottiene ( ( ) e t. loga( Empio 6. Calcolare. loga ( \ loga ( loga ( ln( in particolare per ',. \ log a e ln a
Empio 7. Calcolare tg. tg sin cos sin cos. cos Empio 8. Calcolare. ( cos ( cos ( cos ( cos cos sin ( cos ( ) cos sin cos sin cos. Empio 9. Calcolare ( ) e Empio. Calcolare e e e 5
Asintoti Nello studio delle funzioni elementari si è osrvato che alcune di es hanno un grafico che si avvicina infinitamente ad una o più rette. Le rette che, rispetto al grafico di una funzione, hanno un comportamento di questo tipo sono dette asintoti e poiché sono rette possono risultare verticali, orizzontali, oblique. La retta è un asintoto verticale ± asintoto verticale destro ± asintoto verticale sinistro ± La retta retta e h è un asintoto orizzontale h R asintoto orizzontale destro g R asintoto orizzontale sinistro g R A La retta y m q è un asintoto obliquo esistono h, i R tali che m, q ( m. asintoto obliquo a destra m, q ( m asintoto obliquo a sinistra m, q ( m NOTA Sia l asintoto orizzontale che l asintoto obliquo possono esistere solo dove il dominio va a oppure a e pertanto dove si trova un asintoto orizzontale è inutile cercare un asintoto obliquo. L asintoto verticale va cercato negli eventuali punti di accumulazione in cui la funzione non è definita. Empio. 6 5 Poichè m 6 5 la retta y è un asintoto orizzontale destro e sinistro per la funzione j kga AG j Ak 6
Empio. Poiché log log la retta è un asintoto verticale per la funzione log. Grafico di log Ercizio. Si verifichi l esistenza di eventuali asintoti orizzontali e verticali per la funzione ( ( ) Soluzione Il campo di esistenza della funzione è (, ) U (, ). Poiché ± ± la retta y è asintoto orizzontale destro e sinistro. La retta è asintoto verticale destro e sinistro perché 8 ( ) ( ), 8 ( 6) ( ). Ercizio. Determinare gli eventuali asintoti della funzione Soluzione Il campo di esistenza della funzione è (, ) U (, ) U (, ). 7
, allora la retta è asintoto verticale destro e sinistro., allora la retta è asintoto verticale destro e sinistro., allora la retta e è asintoto orizzontale destro e sinistro. Poiché c è un asintoto orizzontale sia a destra che a sinistra, non possono esrci asintoti obliqui. Ercizio. Determinare gli eventuali asintoti della funzione, U (, ) U, Soluzione Il campo di esistenza della funzione è ( ) ( )., allora la retta è asintoto verticale destro e sinistro., allora la retta e è asintoto orizzontale destro e sinistro. ( ) ( ), ( )( ) ( )( ) allora in non c è un asintoto, è solo un punto di discontinuità. Ercizio. Determinare gli eventuali asintoti della funzione 8, U (, ) U, Soluzione Il campo di esistenza della funzione è ( ) ( ). 8 8, allora in asintoto verticale destro e sinistro. 8
8 8, allora in asintoto verticale destro e sinistro. 8 allora a destra non ci sono asintoti orizzontali, cerco obliqui: 8 8, ( ) allora e è asintoto obliquo a destra. 8 allora a sinistra non ci sono asintoti orizzontali, cerco obliqui: 8 8, ( ) allora e è asintoto obliquo a sinistra. 9