Serie Numeriche. Docente:Alessandra Cutrì

Serie Numeriche Docente:Alessandra Cutrì

Definizione di Serie Somma formale di un numero infinito di addendi. È un operazione che è in stretta relazione con quella di integrale improprio. data un successione numerica {a } N dare significato all operazione di a, a R vogliamo a partire da {a } N costruiamo un altra successione {s n } n N definita per ricorrenza: s 0 = a 0 s = a 0 + a s n = a 0 + a + a 2 + + a n = n a s n+ = s n + a n+ successione delle somme parziali o anche s n : ridotta n-ma della serie

la serie a si dice semplicemente convergente se e solo se finito lim n + s n = S Somma della serie S = la serie si dice diverente (o irregolare) se la successione s n è divergente (rispett. irregolare) OSS: spesso invece di partire da zero nella serie, si parte da N 0 N, è evidente che il carattere della serie non cambia, ma il valore della somma S dipende da N 0 =N 0 a = a a (a 0 + a + + a N0 )

Si chiama resto n mo della serie R n = =n+ a a = s n + R n se la serie converge, è evidente che R n = S s n 0 poiché s n S si potrebbe pensare alla serie come ad una successione {s n } n N e applicare a {s n } n N la teoria svolta sulle successioni ma spesso non è possibile determinare esplicitamente s n e questo non consente l applicazione diretta della teoria dei limiti di successioni ma occorrono dei criteri di convergenza ad hoc per lo studio della particolare successione s n = n a e per individuare il suo limite (cioè la somma S)

Serie di Mengoli: esempio di serie telescopica formula esplicita per s n Serie telescopiche: b b + Si può determinare esplicitamente s n e applicare la teoria dei limiti di successioni per calcolare la somma. Infatti, s n =(b 0 b )+(b b 2 )+(b 2 b 3 )+ +(b n b n+ ) = b 0 b n+ s n converge b n converge e S = b 0 lim b n Esempio: Serie di Mengoli: ( + ) = ( + ) = s n = infatti: n ( + ) = 2 + 2 3 + + n n + = n +

Serie geometrica: formula esplicita per s n Un altra serie per cui si può determinare esplicitamente s n è la serie geometrica di ragione q: q = + q + q 2 + q 3 +... In tal caso s n è la progressione geometrica di ragione q { n q n+ s n = q = q q n + q = Quindi s n = n q q q < + q non converge (è irregolare) q Perciò la serie geometrica converge se e solo se q < ed in tal caso la somma q = q

q = qn0 q =N 0 se q < (si parte da N 0 > 0): Infatti il carattere della serie rimane lo stesso ma la somma no, visto che si modificano i primi addendi e dunque la ridotta s n che diventa, per n > N 0, s n = q N 0 + N0+ + + q n = q N 0 [ + q + q 2 + + q n N 0 ] = q N 0 [ qn N 0 + q ] qn 0 q In generale non si riesce ad esplicitare s n ed allora servono criteri ad hoc per le serie.

Condizione necessaria per la convergenza della serie Theorem Condizione Necessaria perché la serie che: a sia convergente, è lim a = 0 + Dim: Poiché la serie converge, s n S quando n +. Essendo s n = s n + a n dal fatto che s n S e s n S, segue che a n = s n s n 0. la condizione non è sufficiente: a = 0 + ma = +

Infatti: a = 0 + ma s n = n (stima di s n ) = + 2 + 3 + + n > n + n + n + + n = + x dx = + = + n n = n + la divergenza dell integrale improprio e della serie sono tra loro collegati

Condizione necessaria e sufficiente per convergenza della serie:criterio di Cauchy Alla successione delle ridotte n-me s n si può applicare il criterio di Cauchy che si esplicita così: Theorem La serie a è convergente se e solo se: ɛ > 0, N > 0 tale che m > N e p 0 (m, p N) a m+ + a m+2 + + a m+p < ɛ Dim: Si applica il criterio di Cauchy alla successione s n che converge se e solo se: ɛ > 0, N > 0 tale che m > N e p 0 (m, p N) s m+p s m < ɛ cioè a m+ + a m+2 + + a m+p < ɛ

La serie armonica è divergente Spesso il criterio di Cauchy è utile per provare la non convergenza di una serie. Consideriamo la serie armonica = + 2 + 3 +... La condizione necessaria per la convergenza della serie è soddisfatta poiché 0 per +. Ma consideriamo s 2n s n = n + + n + 2 + + 2n > n 2n = 2 perciò per n grande se scegliamo ɛ = 2 nel criterio di Cauchy e m = p = n il criterio non è soddisfatto e dunque la serie armonica non converge. Essendo a = > 0, la successione s n è monotona crescente e dunque, visto che la serie non converge, s n +.

osserviamo che anche + dx = + x Anche in questo caso l integrale improprio + x dx e la serie numerica hanno lo stesso andamento. Vediamo un criterio (criterio Integrale) che stabilisce un legame tra convergenza o meno di serie e di integrali impropri. Fornisce una condizione necessaria e sufficiente ma si riferisce a serie a termini non negativi di tipo particolare (quindi è meno generale di quello di Cauchy): a = f () con f 0 e definitivamente decrescente.

Serie a termini (definitivamente) non negativi Consideriamo ora serie a termini non negativi a con a 0 (è sufficiente che a 0 definitivamente per + ). In tal caso s n è monotona non decrescente poiché s n = s n + a n s n Quindi la serie converge se e solo se s n è limitata superiormente, altrimenti la serie diverge a + (non può essere irregolare)

Criterio integrale per serie a termini non negativi Sia K 0 N e f : [K 0, + ) R tale che f 0 f e monotona non crescente Allora =K 0 f () converge (div.) + Dim: (supponiamo K 0 = 0) f () = f (0) + f () + f (2) +... Poiché f è monotona non crescente, f ( + ) f (x) f () x [, + ] Integriamo in (, + ) 0 f (+) = + f (+)dx + K 0 f (x) dx converge (div.) f (x)dx + f ()dx = f ()

Integriamo in (, + ) 0 f (+) = + Sommando su tra 0 e n: n f ( + ) f (+)dx n + + f (x)dx f (x)dx + n f () = s n j := + si ha n f ( + ) = n+ j= f (j) = s n+ f (0). Quindi s n+ f (0) n+ 0 f (x)dx s n f ()dx = f () Quindi, facendo tendere n +, l integrale improprio converge se e solo se la serie numerica converge (basta provare che s n è limitata superiormente visto che è monotona non decrescente)

Serie armonica generalizzata La serie armonica generalizzata: essendo α è convergente α > + dx < + α > x α Il criterio integrale si può applicare poiché f (x) = x > 0 e α monotona decrescente in [, + ) OSS: si recupera il fatto che la serie armonica diverge (α = ) e la serie = +

Criterio del confronto per serie a termini non negativi Consideriamo serie a termini non negativi a con a 0 (è sufficiente che a 0 definitivamente per + ). Se Allora e 0 a b definitivamente per + () b < + a = + a < + b = + Poiché s n = n a n b (se () vale da = 0, altrimenti nella somma si parte da N 0 )

Serie assolutamente convergenti Una serie a si dice Assolutamente convergente se converge (semplicemente) la serie a termini non negativi: Poiché risulta: a a a, una serie che converge assolutamente, converge anche semplicemente. Inoltre alla serie a si possono applicare i criteri validi per serie a termini non negativi che per questo motivo si chiamano Criteri di convergenza assoluta

Criterio del confronto asintotico Dal comportamento della serie armonica generalizzata e dal criterio del confronto segue che se esistono C > 0, α > tali che definitivamente per + a C α (in particolare se ha ordine di infinitesimo α > ) allora a converge assolutamente ( e semplicemente). Se esistono C > 0, β (0, ] tali che definitivamente per + a > C β (in particolare se ha ordine di infinitesimo β ) allora a = + Attenzione: a = o( ) NON implica che la serie converge!

Esempio Consideriamo =2 (log ) β ; β > 0 Si ha a = > 0 (per 2) e a (log ) β = o( ). Il comportamento della serie dipende dal parametro β. Poiché a = f () con f (x) = x(log x) β e f è monotona decrescente per x grande, infatti: f (x) = (log x)β β(log x) β x 2 (log x) 2β < 0 per x >, per il criterio integrale: (log ) β < + =2 cioè se e solo se β >. + 2 x(log x) β <

Esercizio (svolto a lezione) Verificare che =2 α (log ) β ; converge β R se α > e non converge per alcun β R se α (0, ).

Criterio del rapporto per convergenza assoluta Il criterio del rapporto riguarda serie a termini non negativi, quindi si può considerare un criterio di convergenza assoluta per la serie a sia a 0 definitivamente per + q (0, ) tale che a + a q definitivamente per + (2) Allora a converge assolutamente Oss: l ipotesi a 0 definitivamente serve per dare senso al rapporto in (2).

DIM: Per (2), esiste K 0 N tale che a + a q K 0 Quindi a a q a 2 q 2... a K0 q K 0 Poiché a K0 q K0 = a K0 q K0 = a K0 =K 0 =K 0 q e la serie geometrica all ultimo membro converge, essendo q (0, ), per il criterio del confronto si ha la convergenza di a.

Se invece a + a definitivamente per + (3) Allora a non converge DIM: Per (3), esiste K 0 N tale che a + a... a K0 > K 0 Quindi lim a a K0 0 + non vale la condizione necessaria di conv.

Se in particolare, allora Se L < Se L > Se L = lim + a + a = L a < + a = + a? Analogamente non si può concludere nulla se a + a < definitivamente Esempio: verifica a + = a α α ( + ) α = L α > 0 ma la serie converge se e solo se α >

Con il criterio del rapporto si può per esempio provare che! < + Infatti o che infatti: 0 < a + a = + 0 = L! < + 0 < a + a = ( + )! ( ) ( + ) +! = = ( + + ) e <

Criterio della radice per convergenza assoluta Il criterio della radice riguarda serie a termini non negativi, quindi si può considerare un criterio di convergenza assoluta per la serie a Se q (0, ) tale che a q definitivamente per + (4) Allora a converge assolutamente Dim: (4) a q con q (0, ), dal teorema del confronto segue la tesi.

Se a per infiniti valori di (5) Allora a non converge Dim: (5) a per infiniti e dunque la condizione necessaria per la convergenza della serie non è soddisfatta OSS: se esiste lim + a = L allora la serie converge assolutamente se L <, non converge se L >, non si sa nel caso L =

Esempio Vediamo un esempio dove il criterio della radice ci permette di determinare la natura della serie mentre quello del rapporto no: ( ) 2 + ( ) In questo caso ( ) 2 + ( ) a = = 5 Quindi 5 { ( 3 ) 5 per pari ( ) 5 per dispari a 3 = q la serie converge 5 facendo a + a = 5 3 per pari 3 + 5 per dispari non si conclude nulla

Serie a termini di segno alterno Abbiamo visto che laconvergenza assoluta di una serie implica la convergenza semplice. È vero anche il viceversa? NO Infatti la serie armonica = + mentre ( ) ( )? converge Come si prova la convergenza di Segue dal criterio di Leibniz che riguarda la convergenza di serie con termini di segno alterno, cioè della forma: ( ) a con a 0

Criterio di Leibniz per convergenza di serie a termini di segno alterno Consideriamo la serie ( ) a con: Esiste K 0 N tale che lim a = 0 + 0 a + a K 0 (cioè a è definitivamente non negativa e decrescente per + ) Allora ( ) a converge semplicemente ed inoltre S = ( ) a verifica: s 2n+ S s 2n se 2n K 0 e S s n = R n a n+ n K 0

DIM: Supponiamo K 0 = 0, quindi a è non negativa, monotona decrescente e tende a zero. Proviamo che s 2n è decrescente e limitata inferiormente da s mentre s 2n+ è crescente e limitata superiormente da s 0 = a 0, infatti: s 0 = a 0 s = a 0 a s 0 s 2 = s + a 2 s (a 2 0) s 2 = s 0 (a a 2 ) s 0 (a a 2 ) s 3 = s 2 a 3 s 2 (a 3 0) s 3 = s + (a 2 a 3 ) s (a 2 a 3 ) s 4 = s 3 + a 4 s 3 (a 4 0) s 4 = s 2 (a 3 a 4 ) s 2 (a 3 a 4 ) Quindi Perciò s 0 s 2 s 4 s 2n s 2n+2... s s 3 s 5 s 2n+ s 2n+3... inf(s 2n ) sup(s 2n+ ) s 2n s 2n+ = a 2n+ 0 s 2n S +, s 2n+ S e S s n a n+

Poiché > 0 è monotona decrescente e tende a zero, per il criterio di Leibniz la serie ( ) converge semplicemente pur non convergendo assolut. Esempio: Studiare la convergenza semplice e assoluta di ( ) 2 + cos Se a := 2+cos, si ha a > 0 per e a = 2 ( + o()) quindi la serie per il criterio del confronto NON converge assolutamente. Per la convergenza semplice dobbiamo vedere se: a 0 vero! e a decrescente (almeno definitivamente). Per questo, consideriamo f (x) = 2x+cos x. Risulta f (x) = 2+sin x < 0 (2x+cos x) 2 quindi f decresce ed anche a = f (). La serie dunque converge semplicemente.

Importanza della monotonia della successione nel criterio di Leibniz Nel criterio di Leibniz l ipotesi di monotonia su a almeno definitivamente non si può eliminare. Infatti, consideriamo la serie + ( ) ( ) [ ] qui a = [ +( ) ] 0 per e verifica a 0 se + Però la serie non converge, infatti: + ( ) ( ) [ ] = ( ) + La prima delle due serie converge per il criterio di Leibniz poiché tende a zero decrescendo mentre la seconda è la serie armonica che non converge. Quindi la somma delle due serie non converge. L unica ipotesi che non è soddisfatta è la monotonia di a a = + ( ) in quanto ( ) non è definitivamente decrescente

Esercizi Studiare il comportamento della serie seguente: abbiamo: poiché e(cos )2 ; a = e(cos )2 = e 2 +2 log (cos ) cos = 2 2 + 4! 4 + o( 5 ) log (cos ) = log ( 2 2 + 4! 4 + o( 5 ) = 2 2 + 4! 4 8 4 +o( 4 ) a = e 2 2 +o( 2 ) = ( + o()) 22 e, per il criterio del confronto asintotico, la serie converge (a > 0)

Studiare il comportamento della serie seguente: ( sin )3 abbiamo: a = ( sin )3 = ( 6 2 + o( 3 ))3 osserviamo che definitivamente sin > 0 e quindi a > 0. Per il criterio della radice: a = ( 6 2 + o( 3 )) 2 = e 2 log ( 6 2 +o( 3 )) = e 2 ( 6 2 +o( 2 )) = e 6 (+o()) e 6 < dunque, per il criterio della radice, la serie converge.

Studiare il carattere della serie seguente al variare di α R: ( ) α sin =: ( ) a a = α sin > 0 definitivamente per + poiché a = ( + o()) α se α > cioè α < 0 allora la serie converge assolutamente se α allora a NON tende a zero e la serie NON converge se 0 α < la condizione necessaria è verificata poiché a 0 Inoltre, se 0 α <, a è definitivamente decrescente, infatti: (x α sin x ) = αx α sin x x α 2 cos x = x α 2 ( cos x + αx sin x ) = x α 2 ( + α + o()) < 0 x + per il criterio di Leibniz si ha la convergenza semplice della serie

Studiare il comportamento della serie seguente: x ( + 2 x 2 ( + )x + ( + ) 2 x 2 ) x R x + 2 x 2. Fissato x R,si tratta di una serie telescopica con b = Poiché b 0 se + per ogni fissato x R, si ha convergenza della serie per ogni fissato x R e la somma della serie S = b = x +x 2.

Studiare il comportamento della serie seguente: log (e 2 + 4) 5 2 + log + 3 cos + (3 2 + 3 ) =: La serie non è a termini non negativi né a termini di segno alterno perché l argomento del cos diverge se + ed il cos oscilla. Vediamo se la serie converge assolutamente (questo implica la convergenza semplice). ma per + a K log (e2 + 4) 5 2 + log + 3 =: b b = 2 + log ( + 4e 2 ) 5 2 ( + o()) a 2 + o() = 5 2 ( + o()) C 3 2 e per il criterio del confronto asintotico si ha la convergenza di b e dunque, per il confronto, la convergenza assoluta sella serie a.

Studiare, al variare di x R, il comportamento della serie seguente: 2x + 3 n2 n= La serie è a termini non negativi. Applicando il criterio del rapporto, n! 0 < a n+ a n = 2x + 3 (n+)2 n2 n + = 2x + 3 2n+ n + Quindi a n+ a n { 0 se 2x + 3 + se 2x + 3 > Pertanto la serie converge se e solo se x [ 2, ]

Esempio di funzione non limitata all infinito ma con integrale improprio convergente Se f ammette limite L per x + e l integrale a f (x)dx < + allora L = 0. Altrimenti, se L 0 (per esempio L > 0), si ha definitivamente allora L ɛ < f (x) < L + ɛ x > 0 + + + + = (L ɛ) dx f (x)dx (L + ɛ) dx 0 0 0 Però esistono funzioni definitivamente non limitate, che non ammettono limite per x + ma che hanno integrale improprio all infinito convergente: { n se n x < n + f (x) = n 3 0 altrimenti Si ha + f (x)dx = + n= n+ n 3 n n dx = + n= n n 3 < +