Operatori ed equazioni di Schrödinger con potenziali multi-polari di tipo Hardy Veronica Felli Dipartimento di Statistica Università di Milano Bicocca veronica.felli@unimib.it in collaborazione con Elsa M. Marchini e Susanna Terracini Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.1/18
Operatori di Schrödinger con potenziali multi-centro L λ1,...,λ k,a 1,...,a k := k λ i x a i 2, x RN, dove N 3, k N, (λ 1, λ 2,..., λ k ) R k, (a 1, a 2,..., a k ) R kn. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.2/18
Operatori di Schrödinger con potenziali multi-centro L λ1,...,λ k,a 1,...,a k := k λ i x a i 2, x RN, dove N 3, k N, (λ 1, λ 2,..., λ k ) R k, (a 1, a 2,..., a k ) R kn. In ogni polo c è una singolarità 1/ x 2. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.2/18
Operatori di Schrödinger con potenziali multi-centro L λ1,...,λ k,a 1,...,a k := k λ i x a i 2, x RN, dove N 3, k N, (λ 1, λ 2,..., λ k ) R k, (a 1, a 2,..., a k ) R kn. In ogni polo c è una singolarità 1/ x 2. questo tipo di singolarità è critica : la singolarità ha lo stesso grado di omogeneità del laplaciano Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.2/18
Operatori di Schrödinger con potenziali multi-centro L λ1,...,λ k,a 1,...,a k := k λ i x a i 2, x RN, dove N 3, k N, (λ 1, λ 2,..., λ k ) R k, (a 1, a 2,..., a k ) R kn. In ogni polo c è una singolarità 1/ x 2. questo tipo di singolarità è critica : la singolarità ha lo stesso grado di omogeneità del laplaciano potenziali singolari di questo tipo hanno interesse in vari contesti: meccanica quantistica, fisica molecolare, astrofisica... Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.2/18
Bibliografia per problemi con singolarità 1/ x 2 Un polo: Jannelli, Ferrero Gazzola, Ruiz Willem, Baras Goldstein, Vazquez Zuazua, Garcia Azorero Peral, Berestycki Esteban, Smets, F. Schneider, Abdellaoui F. Peral, F. Pistoia, F. Terracini, Brezis-Dupaigne-Tesei, Kang-Peng, Han, Chen, Dupaigne,... Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.3/18
Bibliografia per problemi con singolarità 1/ x 2 Un polo: Jannelli, Ferrero Gazzola, Ruiz Willem, Baras Goldstein, Vazquez Zuazua, Garcia Azorero Peral, Berestycki Esteban, Smets, F. Schneider, Abdellaoui F. Peral, F. Pistoia, F. Terracini, Brezis-Dupaigne-Tesei, Kang-Peng, Han, Chen, Dupaigne,... Più poli: Chen [J. Math. Anal. Appl., 2005], Cao Han [JDE, 2006] Duyckaerts [Bulletin SMF, 2006] Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.3/18
Bibliografia per problemi con singolarità 1/ x 2 Un polo: Jannelli, Ferrero Gazzola, Ruiz Willem, Baras Goldstein, Vazquez Zuazua, Garcia Azorero Peral, Berestycki Esteban, Smets, F. Schneider, Abdellaoui F. Peral, F. Pistoia, F. Terracini, Brezis-Dupaigne-Tesei, Kang-Peng, Han, Chen, Dupaigne,... Più poli: Chen [J. Math. Anal. Appl., 2005], Cao Han [JDE, 2006] Duyckaerts [Bulletin SMF, 2006] F. Terracini [Comm. PDE s, 2006]: equazioni nonlineari con potenziale multi-polare e crescita critica in R N F. Terracini [Calc. Var. PDE s, 2006]: equazioni nonlineari a crescita critica con singolarità disposte secondo particolari simmetrie F. Marchini Terracini [2006, preprint]: proprietà spettrali e positività degli operatori L λ1,...,λ k,a 1,...,a k Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.3/18
Positività Per quali scelte di coefficienti e configurazioni delle singolarità la forma quadratica Q λ1,...,λ k,a 1,...,a k (u) = R N u(x) 2 dx k λ i R N u 2 (x) x a i 2 dx è definita positiva? Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p./18
Positività Per quali scelte di coefficienti e configurazioni delle singolarità la forma quadratica Q λ1,...,λ k,a 1,...,a k (u) = R N u(x) 2 dx k λ i R N u 2 (x) x a i 2 dx è definita positiva? Introduciamo lo spazio funzionale D 1,2 (R N ) := C c (R N ), u = u L 2. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p./18
Definizioni Q λ1,...,λ k,a 1,...,a k si dice semidefinita positiva se Q λ1,...,λ k,a 1,...,a k (u) 0 u D 1,2 (R N ). Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.5/18
Definizioni Q λ1,...,λ k,a 1,...,a k si dice semidefinita positiva se Q λ1,...,λ k,a 1,...,a k (u) 0 u D 1,2 (R N ). Q λ1,...,λ k,a 1,...,a k si dice definita positiva se ε > 0: Q λ1,...,λ k,a 1,...,a k (u) ε u(x) 2 dx R N per ogni u D 1,2 (R N ). Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.5/18
Nel caso di un solo polo...... il problema della positività non è altro che il problema della miglior costante nella disuguaglianza di Hardy: u 2 (x) ( 2 ) 2 R x 2 dx u(x) 2 dx u D 1,2 (R N ) N 2 N R }{{} N ottimale e non raggiunta Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.6/18
Nel caso di un solo polo...... il problema della positività non è altro che il problema della miglior costante nella disuguaglianza di Hardy: u 2 (x) ( 2 ) 2 R x 2 dx u(x) 2 dx u D 1,2 (R N ) N 2 N R }{{} N ottimale e non raggiunta Ottimalità della costante la forma quadratica Q λ,0 è positiva se e solo se λ < ( N 2 2 ) 2 Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.6/18
Nel caso di più poli...... la positività dipende dalle masse e dalla collocazione delle singolarità: Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.7/18
Nel caso di più poli...... la positività dipende dalle masse e dalla collocazione delle singolarità: condizione sufficiente sui coefficienti perché la forma quadratica sia definita positiva per ogni scelta della configurazione a 1, a 2,..., a k è k λ + i < Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.7/18
Nel caso di più poli...... la positività dipende dalle masse e dalla collocazione delle singolarità: condizione sufficiente sui coefficienti perché la forma quadratica sia definita positiva per ogni scelta della configurazione a 1, a 2,..., a k è k λ + i < d altra parte, se k λ+ i > (N 2)2, allora esistono a 1, a 2,..., a k t.c. la forma quadratica non è definita positiva. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.7/18
Nel caso di più poli...... la positività dipende dalle masse e dalla collocazione delle singolarità: condizione sufficiente sui coefficienti perché la forma quadratica sia definita positiva per ogni scelta della configurazione a 1, a 2,..., a k è k λ + i < nel caso k = 2, se λ i <, i = 1,2, e λ 1 + λ 2 <, allora Q λ1,λ 2,a 1,a 2 è definita positiva per ogni scelta dei poli a 1, a 2. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.8/18
Condizione necessaria sulle masse per l esistenza di almeno una configurazione di poli per cui la forma quadratica sia definita positiva è λ i < k λ i < i = 1,..., k ( ) Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.9/18
Condizione necessaria sulle masse per l esistenza di almeno una configurazione di poli per cui la forma quadratica sia definita positiva è λ i < k λ i < i = 1,..., k ( ) Teorema 1 [F.-Marchini-Terracini] ( ) è anche sufficiente. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.9/18
La classe V Si possono ottenere operatori positivi sommando operatori multi-singolari positivi, traslati opportunamente in modo da indebolire le interazioni tra i poli? Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.10/18
La classe V Si possono ottenere operatori positivi sommando operatori multi-singolari positivi, traslati opportunamente in modo da indebolire le interazioni tra i poli? Consideriamo la classe V := V = k λ i χ B(ai,r i ) x a i 2 + λ χbc R x 2 + W : k N, r i, R R +, a i R N distinti, < λ i, λ < (N 2)2, W L N 2 (R N ) L (R N ) Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.10/18
La classe V Si possono ottenere operatori positivi sommando operatori multi-singolari positivi, traslati opportunamente in modo da indebolire le interazioni tra i poli? Consideriamo la classe V := V = k λ i χ B(ai,r i ) x a i 2 + λ χbc R x 2 + W : k N, r i, R R +, a i R N distinti, < λ i, λ < (N 2)2, W L N 2 (R N ) L (R N ) Disuguaglianze di Hardy e Sobolev = V V µ(v ) = inf u D 1,2 u 0 R N ( u 2 V u 2 ) R N u 2 >. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.10/18
Criterio di positività nella classe V D 1,2 L 2,2 = se V L N/2,, la forma quadratica associata a V è positiva non appena V + L N/2, = sup X R N misurabile X V + X 1 2 N è piccola. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.11/18
Criterio di positività nella classe V D 1,2 L 2,2 = se V L N/2,, la forma quadratica associata a V è positiva non appena V + L N/2, = sup X R N misurabile X V + X 1 2 N è piccola. I potenziali in V stanno in L N/2,, ma la loro norma in L N/2, non è piccola. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.11/18
Criterio di positività nella classe V D 1,2 L 2,2 = se V L N/2,, la forma quadratica associata a V è positiva non appena V + L N/2, = sup X R N misurabile X V + X 1 2 N è piccola. I potenziali in V stanno in L N/2,, ma la loro norma in L N/2, non è piccola. Criterio di positività in V. Dato V V, µ(v ) > 0 ε > 0 e ϕ D 1,2 (R N ), ϕ positiva e regolare in R N \ {a 1,..., a k }, tale che ϕ(x) V (x)ϕ(x) > ε V + (x)ϕ(x) a.e. in R N. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.11/18
Quali operazioni conservano la positività degli operatori? Perturbazione all infinito: sia V = X k λ i χ B(ai,r i ) x a i 2 W L (R N ), W(x) = O( x 2 δ ), δ > 0, per x. + λ χ Bc R x 2 + W V, Se µ(v ) > 0 e λ + γ < ` N 2 2 2 = R > R t.c. µ V + γ «x χ 2 R N \B(0, R) > 0. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.12/18
Quali operazioni conservano la positività degli operatori? Perturbazione all infinito: sia V = X k λ i χ B(ai,r i ) x a i 2 W L (R N ), W(x) = O( x 2 δ ), δ > 0, per x. + λ χ Bc R x 2 + W V, Se µ(v ) > 0 e λ + γ < ` N 2 2 2 = R > R t.c. µ V + γ «x χ 2 R N \B(0, R) > 0. Somma + separazione: per j = 1, 2, siano V j = k 1 X λ j i χ B(a j i,rj i ) x a j i 2 + λ j χ B c R j x 2 + W j V. Se µ(v 1 ), µ(v 2 ) > 0 e λ 1 + λ 2 < ` N 2 2 2 = µ (V1 + V 2 ( y)) > 0 per y grande. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.12/18
Idea della dimostrazione I due operatori positivi associati ai potenziali dati danno luogo a soprasoluzioni positive φ 1 e φ 2 per le corrispondenti equazioni di Schrödinger. La funzione φ 1 + φ 2 ( y) fornisce la soprasoluzione positiva che stiamo cercando per il potenziale V 1 + V 2 ( y). Se y è grande, allora l interazione tra i potenziali è trascurabile. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.13/18
Idea della dimostrazione I due operatori positivi associati ai potenziali dati danno luogo a soprasoluzioni positive φ 1 e φ 2 per le corrispondenti equazioni di Schrödinger. La funzione φ 1 + φ 2 ( y) fornisce la soprasoluzione positiva che stiamo cercando per il potenziale V 1 + V 2 ( y). Se y è grande, allora l interazione tra i potenziali è trascurabile. Il controllo di tale interazione si basa sullo studio del comportamento asintotico vicino ai poli delle soluzioni delle equazioni di Schrödinger con potenziali singolari [F. Schneider, Adv. Nonlinear Stud. (2003)]. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.13/18
Idea della dimostrazione I due operatori positivi associati ai potenziali dati danno luogo a soprasoluzioni positive φ 1 e φ 2 per le corrispondenti equazioni di Schrödinger. La funzione φ 1 + φ 2 ( y) fornisce la soprasoluzione positiva che stiamo cercando per il potenziale V 1 + V 2 ( y). Se y è grande, allora l interazione tra i potenziali è trascurabile. Il controllo di tale interazione si basa sullo studio del comportamento asintotico vicino ai poli delle soluzioni delle equazioni di Schrödinger con potenziali singolari [F. Schneider, Adv. Nonlinear Stud. (2003)]. Risultati analoghi per potenziali meno singolari : Simon, 1980: potenziali con supporto compatto; Pinchover, 1995: potenziali nella classe di Kato. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.13/18
Dimostrazione del teorema 1: per induzione sul numero dei poli k. Supponiamo che λ 1 λ 2 λ k verifichino ( ), cioè λ i <, i = 1,..., k, kx λ i <. ( ) Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.1/18
Dimostrazione del teorema 1: per induzione sul numero dei poli k. Supponiamo che λ 1 λ 2 λ k verifichino ( ), cioè λ i <, i = 1,..., k, kx λ i <. ( ) 1. Se k = 2, l asserto è vero per ogni scelta di a 1, a 2. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.1/18
Dimostrazione del teorema 1: per induzione sul numero dei poli k. Supponiamo che λ 1 λ 2 λ k verifichino ( ), cioè λ i <, i = 1,..., k, kx λ i <. ( ) 1. Se k = 2, l asserto è vero per ogni scelta di a 1, a 2. 2. Supponiamo l asserto vero per k 1. Sia λ k > 0. Se λ 1,..., λ k verificano ( ), allora lo stesso vale anche per λ 1,..., λ k 1. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.1/18
Dimostrazione del teorema 1: per induzione sul numero dei poli k. Supponiamo che λ 1 λ 2 λ k verifichino ( ), cioè λ i <, i = 1,..., k, kx λ i <. ( ) 1. Se k = 2, l asserto è vero per ogni scelta di a 1, a 2. 2. Supponiamo l asserto vero per k 1. Sia λ k > 0. Se λ 1,..., λ k verificano ( ), allora lo stesso vale anche per λ 1,..., λ k 1. w Ipotesi diinduzione {a 1,..., a k 1 } t.c. Q λ1,...,λ k 1,a 1,...,a k 1 > 0. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.1/18
Dimostrazione del teorema 1: per induzione sul numero dei poli k. Supponiamo che λ 1 λ 2 λ k verifichino ( ), cioè λ i <, i = 1,..., k, kx λ i <. ( ) 1. Se k = 2, l asserto è vero per ogni scelta di a 1, a 2. 2. Supponiamo l asserto vero per k 1. Sia λ k > 0. Se λ 1,..., λ k verificano ( ), allora lo stesso vale anche per λ 1,..., λ k 1. w Ipotesi diinduzione {a 1,..., a k 1 } t.c. Q λ1,...,λ k 1,a 1,...,a k 1 > 0. Inoltre V 1 (x) = k 1 X λ i x a i 2 V, V 2(x) = λ k x 2 V, µ(v 1) > 0, µ(v 2 ) > 0, e λ 1 + λ 2 = k 1 X λ i + λ k < N 2 2 2 quindi esiste a k R N t.c. µ (V 1 + V 2 ( a k )) > 0. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.1/18
Se le singolarità sono localizzate vicino ai poli... a 1,..., a k B R0, < λ 1,..., λ k, λ < (N 2) 2 /, Lemma di separazione: δ > 0 t.c. la forma quadratica associata a è definita positiva. k λ i χ B(ai,δ)(x) x a i 2 λ χbc x 2 R 0 Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.15/18
Se le singolarità sono localizzate vicino ai poli... a 1,..., a k B R0, < λ 1,..., λ k, λ < (N 2) 2 /, Lemma di separazione: δ > 0 t.c. la forma quadratica associata a è definita positiva. k λ i χ B(ai,δ)(x) x a i 2 λ χbc x 2 R 0 Osservazione. Estendendo il risultato precedente al caso di infinite singolarità su una struttura reticolare, possiamo produrre esempi di potenziali con norma L N/2, infinita che danno luogo a forme quadratiche definite positive. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.15/18
Se le singolarità sono localizzate vicino ai poli... a 1,..., a k B R0, < λ 1,..., λ k, λ < (N 2) 2 /, Lemma di separazione: δ > 0 t.c. la forma quadratica associata a è definita positiva. k λ i χ B(ai,δ)(x) x a i 2 λ χbc x 2 R 0 Corollari. Operatori di Schrödinger con potenziali in V sono perturbazioni compatte di operatori positivi. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.15/18
Se le singolarità sono localizzate vicino ai poli... a 1,..., a k B R0, < λ 1,..., λ k, λ < (N 2) 2 /, Lemma di separazione: δ > 0 t.c. la forma quadratica associata a è definita positiva. k λ i χ B(ai,δ)(x) x a i 2 λ χbc x 2 R 0 Corollari. Operatori di Schrödinger con potenziali in V sono perturbazioni compatte di operatori positivi. Operatori di Schrödinger con potenziali in V sono semi-limitati: ν 1 (V ) := inf u H 1 (R N )\{0} RR N ` u 2 V u 2 RR N u 2 >. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.15/18
Essenziale autoaggiunzione Per ogni V V, consideriamo l operatore V, D( V ) = Cc (R N \ {a 1,..., a k }). Se λ i (N 2) 2 / 1, i = 1,..., k, allora V ammette un unica estensione autoaggiunta data dall estensione di Friedrichs: { [Kalf-Schmincke-Walter-Wüst] per 1 polo, [F.-Marchini-Terracini] per più poli ( V ) F : u u V u D ( ( V ) F) = {u H 1 : u V u L 2 }. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.16/18
Essenziale autoaggiunzione Per ogni V V, consideriamo l operatore V, D( V ) = Cc (R N \ {a 1,..., a k }). Se λ i (N 2) 2 / 1, i = 1,..., k, allora V ammette un unica estensione autoaggiunta data dall estensione di Friedrichs: { [Kalf-Schmincke-Walter-Wüst] per 1 polo, [F.-Marchini-Terracini] per più poli ( V ) F : u u V u D ( ( V ) F) = {u H 1 : u V u L 2 }. Se λ i > (N 2) 2 / 1 per qualche i, V ammette più estensioni autoaggiunte, tra le quali ( V ) F è l unica il cui dominio è incluso in H 1. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.16/18
Spettro dell estensione di Friedrichs V V: ( σ ess ( V ) F ) = [0,+ ); ( se ν 1 (V ) < 0 allora σ discreto ( V ) F ) consiste in un numero finito di autovalori negativi. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.17/18
inf dello spettro essenziale Teorema. Siano (λ 1,..., λ k ) R k t.c. ( ) valga. Allora k λ + i > e k λ i < 1, è condizione necessaria e sufficiente per l esistenza di almeno una configurazione di poli (a 1,..., a k ) R Nk, a i a j per i j, per cui 0 sia un autovalore dell estensione di Friedrichs di L λ1,...,λ k,a 1,...,a k, Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.18/18
inf dello spettro essenziale Teorema. Siano (λ 1,..., λ k ) R k t.c. ( ) valga. Allora k λ + i > e k λ i < 1, è condizione necessaria e sufficiente per l esistenza di almeno una configurazione di poli (a 1,..., a k ) R Nk, a i a j per i j, per cui 0 sia un autovalore dell estensione di Friedrichs di L λ1,...,λ k,a 1,...,a k, cioè per l esistenza di u H 1 (R N ) \ {0} t.c. L λ1,...,λ k,a 1,...,a k u = 0. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.18/18
inf dello spettro essenziale Teorema. Siano (λ 1,..., λ k ) R k t.c. ( ) valga. Allora k λ + i > e k λ i < 1, è condizione necessaria e sufficiente per l esistenza di almeno una configurazione di poli (a 1,..., a k ) R Nk, a i a j per i j, per cui 0 sia un autovalore dell estensione di Friedrichs di L λ1,...,λ k,a 1,...,a k, cioè per l esistenza di u H 1 (R N ) \ {0} t.c. L λ1,...,λ k,a 1,...,a k u = 0. L insieme delle configurazioni per cui 0 è autovalore disconnette R Nk \ Σ, dove Σ := {(a 1,..., a k ) R Nk : a i = a j for some i j}. Convegno Nazionale Metodi e Problemi Matematici in Meccanica Quantistica, Modena, 5 ottobre 2006 p.18/18