PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Bittanti, BIO A-K) 7 Gennaio 9 Cognome Nome Matricola............ Verificare che il fascicolo sia costituito da 8 pagine. Scrivere le risposte ai singoli esercizi negli spazi che seguono ogni domanda. Non consegnare fogli addizionali. Non scrivere sul retro. Non si possono consultare libri, appunti, dispense etc. La chiarezza e precisione nelle risposte saranno oggetto di valutazione =============================================================================================================== 1. Si consideri il seguente sistema dinamico lineare a tempo continuo: x 1() t = 11 x1() t 5 x() t u() t x () t = x1() t x() t x 3() t = x1() t yt () = x1() t 18 x() t 5 x3() t 1.a Si verifichi che la funzione di trasferimento del sistema, dall ingresso u(t) all uscita y(t), è s 8s 5 Gs () =. (si giustifichi accuratamente la risposta). ss ( 6) 1.b Il sistema è asintoticamente stabile? Perché? 1
1.c Si determini l espressione analitica della risposta forzata (cioè per x 1 () = x () = x 3 () = ) y(t) del 4t 4t u() t = e cos 3 t sca() t e sin 3 t sca() t. Si giustifichi sistema in corrispondenza di un ingresso ( ) ( ) accuratamente la risposta.. Si consideri il seguente sistema retroazionato: d(t) y (t) _ R(s) G(s) y(t) ( 6s 9) ss con Gs () =, Rs () = 1. (9 s)( s 1).a Facendo uso della carta semilogaritmica sotto riportata, si traccino i diagrammi di Bode asintotici, del modulo e della fase, associati alla funzione d anello Ls (). Si giustifichi la risposta.
Bode Diagram Phase (deg) Magnitude (db) 1-1 -1 1 1 1 1 1 3 1 4 Frequency (rad/s).b Si definisca che cosa si intende per pulsazione critica ω c della funzione d anello Ls (). Si indichi chiaramente tale pulsazione sul diagramma di Bode del modulo di Ls () tracciato al punto.a, specificandone almeno un valore approssimato. Si calcoli poi la fase critica ϕ c di Ls (). Infine, si determini, mediante il criterio di Bode, se il sistema in anello chiuso sia asintoticamente stabile oppure no. Si giustifichi accuratamente la risposta. 3
.c Si consideri ora il sistema d(t) G(s) y (t) R(s) G(s) y(t) Si determini il valore a transitorio esaurito, ossia per t, di y(t) quando y () t = sin( ω t) (si ricordi che il valore di ω c è stato determinato al punto.b) e dt () = rampt (). Si giustifichi opportunamente la risposta. c 3. Si consideri questo sistema dinamico: d(t) y (t) e(t) G(s) y(t) R(s) 4
ss ( 6s 9) Si assuma, come nell esercizio, che Gs ( ) =, Rs ( ) = 1. (9 s)( s 1) 3.a Si consideri la funzione d anello Ls ( ) del sistema. Usando il metodo dei vettori, di determinino i valori L( j ), L( j ), L( j ), L( j ). Poi, in base ad opportune considerazioni svolte con tale metodo e/o servendosi dei diagrammi di Bode tracciati nell esercizio.a, si determini quale sia, tra i seguenti A, B, C, D, il diagramma di Nyquist di Ls ( ). Si giustifichi la risposta. Si evidenzi anche, sul grafico designato, il diagramma polare di Ls ( ). 3 A 3 B 1-1 1-1 - - -3-1 1 3 4 5 3 1-1 - C -3-5 -45-4 -35-3 -5 - -15-1 -5-3 -5-4 -3 - -1 1 6 4 - -4 D 5 15 1 5-5 -1-15 3 1 - -1-5 -5 5 1 15 5 3 35 4 45 - -3-1 1 3 4 5-6 - 4 6 8 1 5
3.b. Sia F(s) la funzione di trasferimento in anello chiuso dal segnale y (t) al segnale e(t). In base al diagramma di Bode del modulo di L(s), si determini una possibile approssimazione per il diagramma di Bode del modulo di F(s) e la si tracci sulla carta semilogaritmica qui sotto riportata. Si giustifichi opportunamente la risposta. Magnitude (db) 1-1 -1 1 1 1 1 1 3 1 4 1-1 -1 1 1 1 1 1 3 1 4 Frequency (rad/sec) 1 3.c Si assuma ora che Rs () = (e G(s) rimanga la stessa di prima). Si enunci il criterio di Nyquist e lo 1 si applichi in questo caso per determinare se il sistema in anello chiuso sia asintoticamente stabile oppure no. 6
4. Si consideri un sistema dinamico lineare a coefficienti costanti a tempo discreto con funzione di trasferimento Zeta z 3z β α Gz ( ) =, 3 zz ( α) con i parametri α, β R. 4.a Si dica per quali valori di α e β il sistema sia asintoticamente stabile, giustificando la risposta. 4.b Si consideri il caso particolare α = e β =. Si dica se una possibile descrizione del sistema nel dominio del tempo sia o no la seguente: yt ( 4) ut ( ) 3 ut ( 1) ut ( ) = ut ( ) 4.c Si consideri ancora il caso particolare α = e β =. Si verifichi che, in tal caso, con il metodo della lunga divisione si possono determinare tutti i campioni (cioè da t = a t = ) di y(t) quando ut () = scat (). Si scriva quanto vale ciascun campione di y(t) in tal caso. 7
5. Si consideri un sistema lineare a coefficienti costanti a tempo continuo a singolo ingresso u(t) e a singola uscita y(t) con funzione di trasferimento G(s). Si descriva con precisione come si possono calcolare, in base ad opportuni teoremi che legano il dominio del tempo al dominio della trasformata di Laplace, i valori y(), y (), y(), y() dell uscita e delle sue derivate quando l ingresso e uno rampa e lo stato iniziale nullo. 8