Politecnico di Milano. Scuola di Ingegneria Industriale e dell Informazione Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria Primi elementi di combinatoria 11 Ottobre 2016 Indice 1 Elementi di combinatoria 2 1.1 Contare tutte le funzioni da un insieme a un altro............... 2 1.2 Contare le funzioni iniettive............................ 2 1.3 Contare i sottoinsiemi. Il coefficiente binomiale................. 3 1.4 Il binomio di Newton................................ 4 1.5 Contare tutti i sottoinsiemi di un insieme finito................. 5 Pag. 1
1 Elementi di combinatoria 1.1 Contare tutte le funzioni da un insieme a un altro Se A e B sono due insiemi, denoteremo con A B l insieme costituito da tutte le funzioni da A a B. Proposizione 1.1. Se M e N sono insiemi finiti con m e n elementi rispettivamente, allora la cardinalità dell insieme M N di tutte le funzioni da N a M è M N = M N = m n Dimostrazione. Supponiamo dapprima che dominio N e codominio M siano entrambi non vuoti. Poniamo: N = {x 1,..., x n }, M = {y 1,..., y m }. Assegnare una funzione f : N M significa assegnare f(x 1,..., f(x n. Per f(x 1 sono possibili m scelte (uno qualunque degli elementi y 1,..., y m. Ognuna di queste m possibili scelte può essere associata a m possibili scelte per f(x 2, dando così origine a m 2 possibilità. A sua volta, ciascuna di queste possibilità può essere associata a m possibili scelte per f(x 3, e così via, fino a un totale di m n possibilità. In definitiva abbiamo provato che se N = n e M = m (n, m > 0, allora M N = m n. Per completare l analisi, osserviamo che dall insieme vuoto a un qualunque altro insieme (vuoto o no c è un unica funzione e da un insieme non vuoto all insieme vuoto non esiste alcuna funzione. Quindi l uguaglianza M N = m n vale anche quando N o M è vuoto, pur di assumere 0 0 = 1. Nella terminologia classica dell analisi combinatoria, le funzioni arbitrarie da un insieme con n oggetti a un insieme con m oggetti sono chiamate disposizioni con ripetizione di n oggetti, presi m alla volta. 1.2 Contare le funzioni iniettive Proposizione 1.2. Il numero delle funzioni iniettive da un -insieme a un n-insieme è n = n(n 1(n 2 (n + 1. Il numero n = n(n 1(n 2 (n + 1 ( e n interi non negativi, con n, si chiama fattoriale decrescente di n di lunghezza. Pag. 2
Dimostrazione. Denotiamo con [] = {1,..., } [n] = {1,..., n} gli insiemi finiti standard con e n elementi e sia f : [] [n] una funzione iniettiva. Il valore f(1 può essere uno qualunque degli n elementi di [n]; il valore f(2 può essere uno qualunque degli n 1 elementi di [n] diversi da f(1, perché, per l iniettività di f, il valore f(1 non può essere più assunto. Le possibili scelte per i valori f(1 e f(2 sono dunque n(n 1. Continuando nello stesso modo, troviamo infine che il numero delle funzioni iniettive da [] a [n] è n(n 1(n 2 (n + 1 ( fattori Si vede facilmente che se un insieme A è finito, allora una funzione da A a A è iniettiva se e solo se è biunivoca. (Vedere gli esercizi. Quindi le permutazioni di A, vale a dire le funzioni biunivoche f : A A, sono in numero di n! = n n = n(n 1(n 2 2 1. 1.3 Contare i sottoinsiemi. Il coefficiente binomiale Definizione 1.3 (Coefficienti binomiali. Per definizione, se n e sono interi non negativi, denotiamo con il simbolo (1.1 il numero dei -sottoinsiemi di un n-insieme (cioè, il numero dei sottoinsiemi con elementi di un insieme con n elementi. Questi numeri si chiamano coefficienti binomiali (perché vedremo che figurano nello sviluppo del binomio (a + b n Cerchiamo ora una formula esplicita per il coefficiente binomiale Proposizione 1.4. Il numero dei -sottoinsiemi di un n-insieme è:. = n! = n(n 1 (n + 1! (1.2 Moltiplicando numeratore e denominatore per (n! il coefficiente binomiale si può scrivere: n! = (1.3!(n! Pag. 3
Dimostrazione. Sia S un insieme con n elementi. Per trovare il numero dei - sottoinsiemi di S, procediamo nel modo seguente. Consideriamo l insieme M ono([], S di tutte le funzioni iniettive dall insieme [] = {1, 2,..., } a S. Si osservi che: a Poiché le funzioni in M ono([], S sono iniettive, le loro immagini sono -sottoinsiemi di S; b Per ogni -sottoinsieme Y di S, esistono esattamente! funzioni iniettive da [] a S la cui immagine è Y. Ripartiamo ora l insieme M ono([], S in classi, mettendo due funzioni iniettive [] f S e [] gs nella stessa classe se Im (f = Im (g. Il numero di tali ( classi è uguale al n numero dei -sottoinsiemi di S, vale a dire, per definizione, è uguale a ; e in ciascuna di queste classi, ci sono! funzioni (per l osservazione b di sopra. Dunque la cardinalità di Mono([], S è: n =! (1.4 da cui ricaviamo: = n! = n(n 1 (n + 1! 1.4 Il binomio di Newton Proposizione 1.5 (Binomio di Newton. Se a, b sono numeri e n è un intero 0, allora: (a + b n = n =0 a n b (1.5 Dimostrazione. Per sviluppare (a + b n = (a + b (a + b (n fattori si usa la proprietà distributiva e poi la proprietà commutativa. Lo sviluppo consisterà alla fine nella somma di termini del tipo a n b. Per ogni fissato = 0, 1, 2,..., n, i termini a n b sono tanti quanti i modi di scegliere volte il termine b (e quindi n volte il termine a negli n fattori (a + b, cioè tanti quanti i -sottoinsiemi di un insieme con n elementi. Il numero di tali sottoinsiemi è, per definizione,. Di qui la tesi. Pag. 4
1.5 Contare tutti i sottoinsiemi di un insieme finito Proposizione 1.6. Se A è un insieme finito con n elementi, allora l insieme P(A dei sottoinsiemi di A ha 2 n elementi. Di questo teorema, diamo tre dimostrazioni. Prima dimostrazione. Denotiamo con Ω = {0, 1} l insieme (con due elementi dei valori di verità: 0 è il Falso e 1 il Vero. Proviamo che I sottoinsiemi X A sono tanti quante le funzioni A ϕ Ω. Dimostriamo questa affermazione definendo una funzione invertibile dall insieme P(A (di tutti i sottoinsiemi di A all insieme Ω A (di tutte le funzioni da A all insieme con due elementi Ω dei valori di verità, nel modo seguente. Al sottoinsieme X A associamo la funzione A ϕ X Ω definita da: ϕ X (x = { 0 se x / X 1 se x X Questa funzione ϕ X si chiama la funzione caratteristica del sottoinsieme X A. 2 Viceversa, a una funzione A ϕ Ω associamo il sottoinsieme X = {x A ϕ(x = 1}. In questo modo si viene a definire una corrispondenza biunivoca tra l insieme P(A delle parti di A e l insieme Ω A di tutte le funzioni da A a Ω. Dunque, questi due insiemi hanno la stessa cardinalità: P(A = Ω A Poiché sappiamo che l insieme Ω A delle funzioni da A a Ω ha cardinalità 2 n, dove n = A è il numero di elementi di A, possiamo concludere che P(A = 2 n Si noti che questa formula vale anche quando n = 0 (cioè quando A è l insieme vuoto. Infatti, l insieme vuoto ha un unico sottoinsieme (che è l insieme vuoto, e 2 0 vale proprio 1. Seconda dimostrazione. Pag. 5
Un altro modo di ottenere il numero F n dei sottoinsiemi di un n-insieme si ottiene notando che possiamo trovare tutti i sottoinsiemi di {1,..., n + 1} prendendo tutti i sottoinsiemi di {1,..., n} ed estendendo ciascuno di essi nei due modi possibili: non aggiungere nulla, oppure aggiungere l elemento n + 1. Così F n+1 = 2F n (1.6 Questa è una relazione ricorsiva che, unita alla condizione iniziale F 0 = 1, permette di trovare F n per ogni n. Per l equazione 1.6 si trova subito la soluzione in forma chiusa: F n = 2 n F 0 = 2 n. Terza dimostrazione. Ricordiamo che il coefficiente binomiale è il numero dei sottoinsiemi con elementi di un insieme con n elementi. Dunque il numero complessivo di tutti i sottoinsiemi di un insieme con n elementi è dato da ( ( ( ( ( n n n n n + + + + + 0 1 2 n 1 n (perché questo è il numero dei sottoinsiemi con 0 elementi, più il numero dei sottoinsiemi con 1 elemento, più il numero dei sottoinsiemi con 2 elementi, eccetera, fino al numero dei sottoinsiemi con n elementi. Ma, per la formula della potenza del binomio, abbiamo 2 n = (1 + 1 n = 0 + 1 + 2 + + n 1 + Quindi, il numero totale di tutti i sottoinsiemi di un insieme con n elementi è 2 n. n Pag. 6