5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO (ultima modifica 3//7) Campi variabili nel tempo e quazioni di Maxwell Il modello elettrostatico è stato definito con il vettore intensità del campo elettrico, e il vettore densità di flusso elettrico (spostamento dielettrico) D. Le equazioni differenziali fondamentali sono: D Per i mezzi lineari e isotropi (non necessariamente omogenei), vale la relazione costitutiva: M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO D D
Il modello del campo elettrico è stato definito con il vettore intensità del campo elettrico, e il vettore densità di di corrente Le equazioni differenziali fondamentali sono: La I relazione rappresenta la legge delle tensioni in forma locale. La II relazione rappresenta la legge delle correnti in forma locale Per i mezzi lineari e isotropi (non necessariamente omogenei), vale la relazione costitutiva: M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO
Il modello magnetostatico è stato definito con il vettore densità di flusso magnetico B e il vettore intensità del campo magnetico H. Le equazioni differenziali fondamentali sono: H B Per i mezzi lineari e isotropi, vale la relazione costitutiva: H B B H M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 3
Il modello del campo elettrostatico D Il modello del campo elettrico D D Il modello del campo magnetostatico H B H B B H è un campo irrotazionale e la sua circuitazione H H non è un campo irrotazion ale e la circuitazione e B equivale a dire che e B sono solenoidali il loro flusso attraverso una superficie chiusa è uguale a zero D ρ equivale a dire D non è solenoidale M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 4
Ossia in condizioni statiche le grandezze del modello elettrostatico e D non sono legate alle grandezze del modello magnetostatico H e B e alle grandezze del modello elettrico e. Ma in un mezzo conduttore, possono coesistere un campo elettrico e un campo magnetico, che insieme costituiscono un campo elettromagnetico. In un mezzo conduttore un campo elettrico statico causa un flusso costante di correnti di densità, e questo genera a sua volta un campo magnetico statico H che non varia nel tempo e non può generare f.e.m indotte, per cui il campo elettrico statico è indipendente dal campo magnetico statico generato H, che non interferisce con esso. Gli effetti cambiano se il campo elettrico non è statico. Per comprendere questi effetti si intende studiare come una variazione di campo elettrico generi una variazione di campo magnetico e viceversa. M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 5
Per comprendere i fenomeni elettromagnetici in regime tempovariante, è necessario introdurre un modello elettromagnetico nel quale le grandezze relative al modello elettrostatico e D e quelle relative al modello magnetostatico B e H e quelle del campo elettrico e siano propriamente correlate. Legge di Faraday della induzione elettromagnetica Michael Faraday nel 83, scoprì sperimentalmente che in una spira conduttrice viene indotta una forza elettromotrice (f.e.m.) quando varia il flusso magnetico concatenato con la spira. La relazione quantitativa tra la f.e.m. indotta e la velocità di variazione del flusso concatenato, basata su dati empirici, è nota come legge di Faraday e costituisce un postulato fondamentale. M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 6
Postulato fondamentale della induzione elettromagnetica L intensità del campo elettrico in una regione dove la densità del flusso magnetico B varia con il tempo è non conservativa e non può essere espressa con il gradiente di un potenziale scalare, ma è valida la legge di Faraday in forma differenziale: B V t Facendo l integrale superficiale su una superficie aperta delimitata da un contorno C e applicando il Teorema di tokes, si ottiene la legge di Faraday in forma integrale: d s C dl B t d s M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 7
Legge di Faraday in un campo magnetico costante e il campo magnetico è costante, in forma differenziale e integrale. le equazioni precedenti diventano: C B Ciò dimostra la generalità delle equazioni dalle quali sono state ottenute. t B t B dl d s t dl B cos t C M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 8
La variazione della induzione B può essere dovuta a: una variazione delle correnti che generano il campo o a uno spostamento del conduttore nel campo magnetico. Per determinare l espressione generale della legge di Faraday, indicando con u la velocità di spostamento del conduttore si esamineranno i seguenti tre casi:. circuito fisso u in un campo magnetico variabile nel tempo B. conduttore in movimento u in un campo magnetico statico B cos t B 3. circuito in movimento u in un campo magnetico variabile nel tempo B (sovrapposizione degli effetti dei casi e ). M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 9
) Circuito fisso u in un campo magnetico variabile nel tempo B Per un circuito fisso con un contorno C e una superficie si può scrivere: C dl d dt B d s essendo v C dl [V] la f.e.m. v indotta nel circuito con contorno C e B d s si ottiene che : Wb il flusso magnetico attraverso la superficie d v dt V M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO
La legge di Faraday è diventata: d v dt V ssa stabilisce che: la forza elettromotrice indotta v in un circuito chiuso stazionario è uguale alla velocità di incremento (o decremento) del flusso magnetico che concatena il circuito, cambiata di segno, perché è tale da opporsi alla f.e.m. che ha generato il flusso. Ossia, il segno negativo sottolinea che la f.e.m. indotta v causerà una corrente in un circuito chiuso che sarà percorso in direzione tale da opporsi alla direzione del flusso magnetico concatenato. Questa asserzione è nota come legge di Lenz. u tale fenomeno è basato il funzionamento del trasformatore. M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO
) Conduttore in movimento u in un campo magnetico statico B Quando un conduttore si muove con velocità u in un campo magnetico statico ( che non varia nel tempo) B, una forza magnetica F m causerà il libero movimento degli elettroni nel conduttore che saranno trascinati verso una estremità del conduttore, lasciando l altra estremità carica positivamente. Questa separazione delle cariche positive e negative crea una forza Coulombiana di attrazione tra le cariche di segno diverso F e... dl.. Il processo di separazione delle cariche --... continua sino a quando le forze F e F elettriche F e e le forze magnetiche F m m. F u si bilanciano l una con l altra e si m B. F e ++ raggiunge, in un tempo molto breve,... uno stato di equilibrio... M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO
Per un osservatore in movimento con il conduttore non si ha un movimento apparente, e la forza magnetica per unità di carica: F m u B q può essere interpretata per analogia con i campi elettrostatici F e q come un campo elettrico indotto agente lungo il conduttore che produce una tensione: V u B dl In generale se il conduttore in movimento è una parte di un circuito chiuso C, la fem generata nel circuito con contorno C è: V' u B dl V C Per le proprietà del prodotto vettoriale solo la parte del circuito che si muove in direzione non parallela al campo magnetico, contribuisce alla fem V. M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 3
3) Circuito in movimento u in un campo magnetico variabile nel tempo B Quando una carica q si muove con velocità u in una regione dove esistono sia un campo elettrico e un campo magnetico B, la forza elettromagnetica F su q, come risulta da misurazioni effettuate in laboratorio, è data dalla equazione della forza di Lorenz, secondo la quale la forza totale agente sulla carica q è pari alla somma della forza elettrica e della forza magnetica : F e F F e F m q( u B) q ' Per un osservatore che si muove con la carica q, non c è alcun movimento apparente e la forza sulla carica q può essere interpretata come dovuta a un campo elettrico equivalente ', dove: F m ' u B ( o ' u B). M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 4
Quindi se un conduttore con un contorno C e una superficie, si muove con una velocità u in un campo, B, si ottiene la relazione, valida per un circuito in movimento in un campo magnetico che varia nel tempo, che rappresenta la forma generale della legge di Faraday : C ' dl B t d s u Bdl V C B d s t u B C C ' d l d l f.e.m. indotta nel conduttore in movimento in un campo di induzione variabile B f.e.m. indotta dovuta alla variazione della induzione B nel tempo f.e.m. mozionale dovuta al movimento del circuito all interno di un campo di induzione B. M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 5
Oltre alle considerazioni fatte sulle interazioni dei campi elettrici e magnetici, occorre tenere presente che deve essere sempre verificato il principio di conservazione della carica, secondo il quale : A 3 t m ossia, quando la densità di carica varia nel tempo e il modello magnetostatico: H deve essere modificato in condizioni di campo elettrico variabile adattandolo, affinchè risulti coerente con il principio di conservazione della carica e si ottiene (vedi pag. successiva *) : H H D t M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 6
(*) Infatti calcolando la divergenza del primo e del secondo membro della relazione il modello magnetostatico, per l identità nulla, dovrebbe essere: H H ma H e ssendo quando la densità di carica varia nel tempo, per rendere coerente la relazione H : essendo: = t t l equazione adattata e valida quando le grandezze di campo variano nel tempo diventa: H t M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 7
Poiché D l equazione adattata per i campi variabili nel tempo: H t diventa: D H H t D t M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 8
Per essere coerenti con l equazione di continuità e le condizioni di funzionamento con le grandezze variabili nel tempo, entrambe le equazioni rotoriche valide per l elettrostatica e per la magnetostatica sono state opportunamente generalizzate: B t H H D t Con le due equazioni generalizzate, si hanno complessivamente quattro equazioni differenziali coerenti, note come equazioni di Maxwell che possono essere espresse anche in forma integrale, applicando il teorema di tokes e il teorema della divergenza. M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 9
M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO Queste equazioni generalizzate sono valide per qualunque punto dello spazio e in particolare quando le grandezze di campo non variano nel tempo, le relazioni si riducono a quelle valide per i modelli elettrostatici ed magnetostatici. se: t B D t D H B t D t B D H B
Il modello matematico per la risoluzione dei campi può essere descritto mediante le seguenti quazioni di Maxwell in forma differenziale vettoriale e in forma integrale vettoriale δ B δ t Legge di Faraday C dl db ds d t H δ D δ t Legge di Ampere D t H dl C ds D Legge di Gauss Dds V ρ dv B B d s M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO
quazioni d onda convenzionali in funzione delle grandezze di campo Le equazioni di Maxwell sono equazioni differenziali alle derivate parziali con più variabili che generalmente presentano difficoltà di risoluzione. Un metodo comune per ridurre la complessità matematica è quello di formulare il problema in termini di equazioni d onda, nelle quali in ogni equazione differenziale compare una sola grandezza di campo. Per ottenerle si calcola il rotore del primo e del secondo membro delle equazioni di Maxwell rotoriche: H D t M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO B t
quazioni d onda convenzionali (in funzione delle grandezze di campo) a) Calcolando il rotore della prima equazione: si ottiene: H D t H D t Nella ipotesi di un mezzo omogeneo ed isotropo: e D in funzione di e D B H ma : con B H t t se il primo addendo del secondo membro è nullo M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 3
Quindi in generale si ha: H H t B B t δ t B ma : t essendo : B μ H H H μ t H μ t i è ottenuta così una equazione differenziale in una sola grandezza di campo incognita*** ***(DO quazione Differenziale Ordinaria o OD Ordinary Differential quations) M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 4
b) Analogamente partendo dalla espressione del rotore B del campo : t calcolando il rotore del rotore si ottiene: B H t t t poichè : H D t D t t per un mezzo lineare ed isostropo : D t e D da cui : t t se il primo addendo a secondo membro è nullo M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 5
quazioni d onda convenzionali In definitiva si ottiene che : H H H t t t t Per le proprietà dei vettori: x x x H x H H H H H H t t t t M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 6
H H H H t t t δ t da cui H H H t t t t H si ottiene H H H t t t δ t B H essendo B essendo D essendo D M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 7
quazioni d onda convenzionali in presenza di sorgenti Questa è la forma delle equazioni convenzionale delle equazioni delle onde elettromagnetiche valide per una regione omogeneea ed isotropa in presenza di sorgenti ( e ): H H δ t δ t H δ t δ t La prima equazione dell onda magnetica H è omogenea, mentre la seconda equazione del campo elettrico al contrario non lo è. Questo implica che tutti i fenomeni elettromagnetici siano generati di da una distribuzione di cariche ρ. M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 8
quazioni d onda convenzionali per una regione priva di sorgenti La forma delle equazioni convenzionale delle onde elettromagnetiche valide per una regione omogeneea ed isotropa priva di cariche fisse e in movimento diventa: ( e ) H H H t t t t d entrambe le equazioni diventano omogenee: H H t t H u u t H t u / με velocità di trasmissione nel mezzo M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 9
Procedimento più intuitivo (per ottenere le stesse espressioni delle equazioni d onda in una regione priva di sorgenti) ****************************************************** quazioni d onda in una regione priva di sorgenti i intende ora risolvere problemi di propagazione che riguardano la propagazione di onde elettromagnetiche in una regione dello spazio priva di cariche libere dove e sono entrambi uguali a zero. In altri termini si vuole studiare non solo come sono originate le onde magnetiche, ma come si propagano focalizzando questo ultimo aspetto. M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 3
quazioni d onda in una regione priva di sorgenti e l onda si propaga in un mezzo non conduttore (con conducibilità = o γ=), lineare, isotropo e omogeneo caratterizzato da e le equazioni di Maxwell diventano: δ B δ t D H t D B H e D e D δ H δ t H t B B H H M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 3
i sono ottenute delle equazioni differenziali del primo ordine nelle due variabili e H. sse possono essere combinate per ottenere equazioni differenziali del secondo ordine nella sola o H. Infatti calcolando il rotore del rotore della equazione: essendo: δ μ δ t δ H μ δ t δ δ t H μ si ottiene: u t con u / με M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 3
In modo analogo si ottiene una equazione in H. Le equazioni così ottenute sono chiamate: quazioni d onda vettoriali omogenee : H u u t H t con u / In coordinate cartesiane ciascuna di esse equivale a tre equazioni d onda scalari unidimensionali, omogenee. Ciascuna componente delle due grandezze di campo di campo ( x, y, z e H x, H y, H z ), deve soddisfare equazioni del tipo: U U Le soluzioni di queste equazioni descrivono come si propagano le grandezze di campo in mezzi non conduttori e sono le quazioni delle le onde elettromagnetiche. M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 33 R t με
quazioni d onda vettoriali omogenee convenzionali (in funzione delle grandezze di campo) u H u t H t u / με Queste equazioni si chiamano equazioni della diffusione essendo analoghe (formalmente identiche) alle equazioni utilizzate per risolvere problemi di diffusione del calore. sse servono per determinare la distribuzione del campo in mezzi non conduttori, in funzione del tempo e dello spazio, in una regione dello spazio priva di cariche libere dove e sono entrambi uguali a zero. M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 34
Funzioni potenziale scalare V e vettoriale A Il concetto di potenziale vettore magnetico é stato introdotto per la solenoidalità del vettore B : B per cui per le proprietà degli operatori vettoriali, esso é esprimibile come: B B A T nella forma differenziale, in base alla legge di Faraday: B A A t t t B A si ottiene una relazione tra il campo elettrico e il vettore potenziale A in forma compatta: M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 35
M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 36 Poiché la somma delle due quantità vettoriali tra parentesi risulta irrotazionale, essa può essere espressa come il gradiente di un potenziale scalare per le proprietà del calcolo vettoriale ossia: dalla quale si ottiene la relazione generale del campo elettrico : In condizioni statiche:, essendo: V potenziale elettrico scalare e potenziale magnetico vettoriale. V t A m V t A V m V V - t A t B A t A
Quindi nel caso più generale di campi variabili con il tempo: V A t V m l intensità del campo elettrico dipende sia: dalle concentrazioni di carica attraverso il termine V, sia dai campi magnetici tempo-variabili attraverso il termine A t Per ottenere un modello esaustivo dei campi elettromagnetici variabili nel tempo non possono essere trascurati gli effetti di ritardo temporale dovuti alla velocità di propagazione finita (non infinitamente grande). M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 37
Campi in condizioni quasi statiche olo quando la e variano molto lentamente nel tempo (con frequenze molto basse) e la regione di interesse del campo, ha dimensioni piccole rispetto alla lunghezza d onda λ, é possibile utilizzare le formule valide per le condizioni di funzionamento statiche per determinare V e A ottenibili dalle equazioni di Poisson: V ρ ε A μ che sostituite nella relazione : consentono di risolvere i campi in condizioni quasi statiche. M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 38 V A V 4πε μ 4π V' A t V' R ρ R dv' V m dv'
I Campi quasi statici sono approssimazioni e la loro definizione consente di risolvere i problemi elettromagnetici con la Teoria dei circuiti ma quando la frequenza f della sorgente è alta e le dimensioni della regione di interesse non sono molto più piccole della lunghezza v d onda (v=velocità di trasmissione nel mezzo, f=frequenza), f le soluzioni quasi statiche non sono valide. Campi variabili nel tempo Devono essere presi in considerazione gli effetti dei ritardi temporali e le emissione di radiazioni elettromagnetiche dalle antenne. M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 39
quazioni d onda non omogenee per campi variabili nel tempo Potenziale vettore magnetico A In elettrostatica conviene definire un potenziale elettrico scalare V che presuppone che il campo sia irrotazionale. Non si può fare lo stesso per i campi magnetici, perché in generale il loro rotore è diverso da zero. Le equazioni risolutive sono complesse, ma si possono ottenere molte semplificazioni sfruttando la seguente identità vettoriale: v In base a tale identità l equazione: B si definisce un vettore A tale che : B è sempre soddisfatta se A Per definire A in modo univoco occorre aggiungere un altra condizione. A tal fine useremo la convenzione di Coulomb: A M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 4
i può ora esplicitare A calcolando il rotore di B : B A A A avendo assunto la convenzione di Coulomb si ottiene: B A essendo: B H H D t B D A t Dalle due espressioni di B si ottiene: A ma anche: t D che presenta delle analogie con l equazione di Poisson V ma a differenza di quest ultima A è funzione di grandezze vettoriali. Per la similitudine formale A é chiamato potenziale vettore magnetico. M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 4
M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 4 In coordinate cartesiane l equazione equivale a tre equazioni scalari: La risoluzione della equazione vettoriale di equivale alla soluzione di un sistema di tre equazioni scalari: una equazione per ciascuna componenti: A x, A y e A z. z z z y y y x x x D t A D t A D t A A
M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 43 Riassumendo nel caso più generale di campi variabili con il tempo l intensità del campo elettrico dipende da V ma anche da il potenziale vettore magnetico è espresso con l equazione: che, in coordinate cartesiane, equivale a tre equazioni scalari: z z z y y y x x x D t A D t A D t A D t A m Wb A e [V] V con m V t A V A
quazioni d onda non omogenee in funzione del potenziale vettore A e del potenziale scalare V Per la legge di Ampere o per la II equazione di Maxwell: e per le relazioni costitutive: si può scrivere: essendo: B μ B A A H μ H e ε t με t δ D δ t V M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 44 B μ e V D A t A t ε
Ma il rotore del rotore di un vettore può essere espresso come: per cui: A A A με A A t A μ A μ μ με t με V Poiché la definizione di un vettore richiede la specificazione sia del rotore che della divergenza, essendo il rotore di A già definito: B A possiamo scegliere opportunamente il valore della sua divergenza. M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 45 V t A A A t με t V με t A o
La divergenza di A è quindi definita con la condizione di Lorentz per i potenziali (coerente con l equazione di continuità): A V με t per campi statici da cui si ottiene l equazione dell onda non omogenea per il potenziale vettore A : A V A με μ A με t t A i chiama equazione d onda perché le sue soluzioni sono onde che viaggiano ad una velocità pari u= / M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 46 i A με t μ A
L equazione d onda non omogenea corrispondente per il potenziale scalare V può essere ottenuta dalla relazione: V A t e dalla equazione di Maxwell si ottiene: D che per costante diventa: D A t ε ε -V - V, essendo t A V t A D ε M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 47
Per ottenere una relazione espressa in funzione della sola grandezza V, si utilizza la condizione di Lorentz : A με V t A με V t ostituendo nella relazione : V t A si ottiene l equazione d onda non omogenea per il potenziale scalare V V με t V M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 48
Nel caso di campi statici e quasi statici: A V e t t le quazioni d onda non omogenee per campi variabili nel tempo si riducono alle quazioni di Poisson. Riassumendo: quazioni d onda non omogenee A A με μ t V V με t quazioni di Poisson e soluzioni A μ V ρ ε A V μ 4π V' 4πε R V' dv' ρ R dv' V potenziale elettrico scalare e A potenziale magnetico vettoriale. M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 49
Condizioni elettromagnetiche al contorno Per risolvere problemi elettromagnetici che interessano regioni con parametri costitutivi, e diversi, é necessario conoscere le condizioni al contorno che le grandezze, D, B e H devono soddisfare nelle interfacce. Le condizioni al contorno si ottengono applicando le equazioni di Maxwell nella forma integrale in una piccola regione nella interfaccia tra i due mezzi e, analogamente a quanto fatto per ottenere le condizioni al contorno per i campi elettrostatici e magnetostatici. M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 5
Le condizioni di continuità al contorno per le componenti tangenziali e normali di e di H, con il Teorema di tokes, si ottengono dalle equazioni rotoriche di Maxwell espresse in forma integrale: δ B δ D H δ t δ t ds d B d s ; d t dl H d s H dl C C D d s t t V t an m H H A m Le equazioni sono analoghe a quelle trovate per i campi elettrostatici e magnetostatici in quanto il contributo della integrazione dei termini B D e risulta trascurabile. t t M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 5
Analogamente le condizioni al contorno per le componenti tangenziali e normali di D e di B, con il Teorema della Divergenza, si ottengono dalle equazioni di Maxwell nelle quali compare l operatore divergenza in forma integrale : V D dv Dd s ρ dv ; B dv Bds V C m D D ρ Bn B n an Le equazioni sono analoghe a quelle trovate per i campi elettrostatici e magnetostatici, perché ricavate dalla stesse equazioni della divergenza i Maxwell. V M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 5
Per le condizioni al contorno in un campo elettromagnetico valgono le seguenti condizioni generali: la componente tangenziale di un campo é continua attraverso l interfaccia: la componente tangenziale di un campo H é discontinua attraverso l interfaccia dove é presente una corrente superficiale, e la variazione é determinabile con l equazione: a H H a H H se n n La componente normale del campo D é discontinua attraverso una interfaccia dove esiste una carica superficiale e la discontinuità è determinabile con l equazione: a D D ρ se ρ a D D n a n n v t t la componente normale del campo l interfaccia: Bn Bn. é continua attraverso M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 53 B
M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 54 Interfaccia tra due mezzi lineari privi di perdite Un mezzo lineare privo di perdite può essere specificato dalla permettività la permeabilità, ponendo =. Generalmente non ci sono ne cariche libere, ne correnti nella interfaccia tra i due mezzi privi di perdite. Nelle equazioni generali che esprimono le condizioni al contorno si pone ; ottenendo le condizioni al contorno tra due mezzi privi di perdite. e ρ n n n n n n n n t t t t t t t t H μ H μ B B ε ε D D μ μ B B H H ε ε D D
M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 55 Interfaccia tra un dielettrico e un conduttore perfetto upponendo il mezzo dielettrico e il mezzo conduttore perfetto, le equazioni generali per una interfaccia diventano: essendo t t t t H a H essendo H H a n t n n n n ρ a ρ D a ρ D D a n D essendo essendo n n n n B B B B
Interfaccia tra un dielettrico e un conduttore perfetto Un conduttore è perfetto se ha una conducibilità infinita. In realtà esistono solo buoni conduttori con una conducibilità dell ordine di 7 [/m] come l argento, il rame l oro e l alluminio. sistono materiali superconduttori che a temperature di utilizzo molto basse (temperature criogeniche) hanno una conducibilità che può superare [/m]. i tratta di materiali ceramici. Nella risoluzione di problemi di campi, per quanto riguarda le condizioni al contorno, si ottengono risultati approssimati accettabili, se si considerano i buoni conduttori come conduttori perfetti. M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 56
All interno del conduttore il campo elettrico é nullo, e le cariche presenti si distribuiscono solo sulla superficie. Le interrelazioni (, D) e ( B, H ) attraverso le equazioni di Maxwell comportano che anche B e H siano nulli all interno del conduttore in condizioni di funzionamento tempo variante. e si considera una interfaccia tra un dielettrico privo di perdite (mezzo ) e un perfetto conduttore (mezzo ), per il mezzo conduttore si può subito scrivere:, D, B, H M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 57
Nella interfaccia tra un dielettrico privo di perdite e un perfetto conduttore, le condizioni al contorno diventano: dal lato del mezzo (dielettrico) a a B t n n n H D ρ dal lato del mezzo (conduttore perfetto) H D B t t n n a n il versore normale é uscente dal mezzo. é normale uscente dalla superficie del conduttore, se la superficie è caricata positivamente é normale entrante nella superficie del conduttore, se la superficie é caricata negativamente. M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 58
Inoltre dalle precedenti relazioni: a n H Ht an D ρ Dn si può dedurre che: ρ H H t e Le correnti nei mezzi con conducibilità finita sono espresse in termini di densità di corrente volumica, e le densità di corrente superficiali, definite come correnti che fluiscono attraverso uno spessore infinitesimale, sono nulle. Ciò consente di ritenere che la componente tangenziale di H sia continua attraverso l interfaccia con un conduttore avente conducibilità finita. n ρ ε M. Usai 5f_AI CAMPI VARIABILI NL TMPO 59