Ingegneria dei Sistemi Elettrici

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1 Ingegneria dei Sistemi Elettrici Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Elettrica Facoltà di Ingegneria-Università di Cagliari A.A. 2009/ ore equivalenti a 6 crediti -II semestre Docente: Prof.ssa Mariangela Usai Ultima modifica(01/03/2010) M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 1

2 Ing. Mariangela Usai Assistant Professor Electrical and Electronics Engineering Dept. University of Cagliari Piazza d'armi Cagliari - Italy Phone: , Fax: + 39 (70) Mobile Phone : E_mail : musai@diee.unica.it Sito di riferimento: M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 2

3 Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 Teoria Teoria è la sintesi delle cognizioni acquisite mediante osservazioni, misure ed elaborazioni matematiche. Storicamente le relazioni circuitali (come la legge di Ohm, principi di Kirchhoff, legge di Joule, teorema di Boucherot etc.) sono state introdotte prima e successivamente con metodo induttivo, esse sono state estese in modo da poterle applicare ai fenomeni più generali che descrivono i campi. Ne consegue che: le relazioni circuitali sono semplicemente espressioni particolari delle equazioni dei campi e possono essere dedotte da esse. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 3

4 Campo In generale un campo è definito come la distribuzione spaziale di una quantità, che può essere o non essere funzione del tempo. Esempi di campi: Campo gravitazionale ad ogni punto del campo si associa l energia immagazzinata ( grandezza scalare) in una massa unitaria, sollevata al disopra della superficie terrestre compiendo su di essa un lavoro. Campo termico espresso in funzione della temperatura (grandezza scalare) misurata in ciascun punto del mezzo. Campo di forze espresse attraverso un vettore definito con modulo direzione, verso e punto di applicazione. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 4

5 La teoria elettromagnetica o l elettromagnetismo èlo studio degli effetti delle cariche elettriche a riposo e in movimento. Le cariche elettriche possono essere positive o negative e entrambe sono sorgenti di campi elettrici. Le cariche in movimento producono una corrente, che fa nascere un campo magnetico. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 5

6 La teoria elettromagnetica è indispensabile per comprendere i principi di diversi fenomeni fisici Sono di seguito riportati alcuni esempi di applicazioni: Oscilloscopi a raggi catodici, Radar e Comunicazione satellitare, Ricezione televisiva, Telerilevamento, Telecomunicazione, Radio astronomia, Dispositivi a microonde, Comunicazione con fibre ottiche, Transitori nelle linee di trasmissione, Problemi di compatibilità elettromagnetica, Sistemi di atterraggio strumentale per la guida del pilota in casi di visibilità limitata, Atom smashers or particle accelerators (subatomic particles), Conversione della energia elettromeccanica. Studio del funzionamento del corpo umano e animale e così via. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 6

7 Un campo elettrico variabile nel tempo è accompagnato da un campo magnetico e viceversa. I campi magnetico ed elettrico tempo varianti sono accoppiati e costituiscono un campo elettromagnetico. In certe condizioni, i campi elettromagnetici tempo dipendenti, producono onde che si irradiano dalla sorgente che li ha generati. I concetti di campi e onde sono essenziali nella spiegazione di azioni a distanza. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 7

8 Il concetto di circuito rappresenta una versione restrittiva o un caso particolare del concetto di elettromagnetismo. L ipotesi che sta alla base del modello circuitale èche: le dimensioni d interesse siano sufficientemente piccole da poter essere trascurate. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 8

9 L ipotesi di assenza di dimensioni è del tutto equivalente a quella di velocità di propagazione del fenomeno elettromagnetico infinita oppure a quella di tempo nullo di trasmissione del fenomeno elettromagnetico da un punto all altro della regione di interesse. Con la teoria circuitale è possibile trattare i sistemi a parametri concentrati con una notevole semplificazione nella risoluzione dei problemi. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 9

10 La formulazione delle ipotesi di costanti concentrate riguarda il tempo impiegato dal campo elettromagnetico per spostarsi da un punto all altro della regione di interesse. Affinché tale tempo possa essere considerato trascurabile, deve essere molto piccolo se confrontato con l entità delle variazioni temporali delle grandezze elettriche tipiche della applicazione considerata. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 10

11 Se f max è la frequenza massima relativa alla banda di frequenza degli spettri delle grandezze elettriche, il minimo intervallo di tempo relativo a una variazione temporale di una grandezza elettrica, che è possibile apprezzare: t = min 2 1 f max mentre il tempo impiegato dal campo per propagarsi da un punto all altro del circuito risulta sempre: L t = v L dimensione massima nella direzione d interesse. 1 v= velocità di propagazione nel mezzo della regione del campo µε M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 11

12 Il tempo impiegato dal campo per propagarsi da un punto all altro del circuito, deve risultare minore del minimo intervallo di tempo relativo a una variazione temporale di una grandezza elettrica che è possibile apprezzare: t<< t min, ossia t L 1 2L << t << f v 2 f v min max << max 1 Se si considera la lunghezza d onda relativa alla frequenza massima deve essere: v 2L << = λ f max max M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 12

13 Esempi Premessa In una linea la velocità di propagazione del segnale dipende dal mezzo che circonda i conduttori e in cui si propagano il campo elettrico e magnetico. Le costanti µ 0 e ε 0 del vuoto e la velocità di propagazione nel vuoto c sono rispettivamente uguali a: µ ε o o = 4π 10 = c = c 7 [H/m] µ 36π o 1 8 ε o µ o 3 10 [m/s] [F/m] M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 13

14 Linee aerea Esempi Le costanti µ e ε dell aria si possono considerare uguali a quelle del vuoto per cui la velocità v risulta di trasmissione è uguale a quella del vuoto c o = 3*10 8 m/s 2 L 8 v << = = λ linea aerea f = 6000 km M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 14

15 Quindi, essendo λ si ha che: v f linea aerea per f = 50Hz= = = 6000 km una linea aerea lunga 100 m alimentata in regime sinusoidale a frequenza industriale (50 Hz), può essere studiata con un modello circuitale a parametri concentrati, mentre la stessa linea lunga 100 m, se utilizzata per trasmettere dei segnali a 6MHz deve essere studiata con un modello a parametri distribuiti, infatti: λ v f linea aerea per f = 6MHz= = = 6 50m M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 15

16 Linea in cavo mentre la lunghezza d onda λ è un po più piccola per quelle con dielettrico diverso dall aria v 2 *10 8 m/s. Infatti nei dielettrici, la permettività relativa ε r varia tra 2 5, mentre la permeabilità relativa µ r =1 λ cavo = f v = = 4000 km M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 16

17 Per un circuito audio ad alta fedeltà la frequenza più alta è f max 25 khz audio = v λ circuito = = 12 km f Le dimensioni del circuito sono molto più piccole della lunghezza d onda, si può utilizzare il modello a parametri concentrati Per un circuito a microonde f max =3 GHz 300 GHz v 3 10 λ microonde = = = m f Le dimensioni del circuito sono molto più grandi della lunghezza d onda, per cui si deve usare il modello a parametri distribuiti. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 17

18 Il concetto di circuito rappresenta una versione restrittiva o un caso particolare del concetto di elettromagnetismo. La teoria circuitale tratta soprattutto i sistemi a parametri concentrati e le equazioni risolutive sono equazioni differenziali ordinarie. e La teoria elettromagnetica tratta i sistemi a parametri distribuiti e le equazioni risolutive sono generalmente equazioni differenziali alle derivate parziali. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 18

19 I circuiti sono costituiti da elementi a parametri concentrati come le resistenze, le induttanze e le capacità, mentre le tensioni e le correnti sono le variabili principali del sistema (grandezze concrete o globali) Nei circuiti in corrente continua (cc): le variabili del sistema sono costanti e risultano determinabili con equazioni algebriche. Nei circuiti in corrente alternata (ac): le variabili del sistema sono tempo dipendenti: esse sono quantità scalari e indipendenti dalle coordinate spaziali e le equazioni risolutive sono equazioni differenziali ordinarie. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 19

20 La maggior parte delle variabili introdotte nella teoria elettromagnetica sono funzioni del tempo e delle coordinate spaziali. Per definire la maggior parte di queste variabili si utilizzano le grandezze vettoriali: i vettori e la loro trattazione richiede la conoscenza dell algebra e del calcolo vettoriale. Anche nei casi statici le equazioni risolutive sono generalmente equazioni alle derivate parziali. La finalità della teoria dell elettromagnetismo consiste nel saper creare e trattare un modello elettromagnetico e le relative formule di risoluzione. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 20

21 Equazioni di Maxwell Le leggi fondamentali dell elettromagnetismo sono espresse dalle Equazioni di Maxwell, che descrivono analiticamente come: ogni variazione del campo elettrico o magnetico nello spazio presuppone l esistenza o la variazione nel tempo, di un campo di altro tipo (magnetico o elettrico) nello stesso punto. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 21

22 Le Equazioni di Maxwell, corredate dalle equazioni di continuità che esprimono il principio di conservazione della carica elettrica e dalle relazioni costitutive consentono di studiare e risolvere problemi inerenti i campi, di qualunque natura essi siano. La risoluzione analitica di tale modello matematico presenta notevoli difficoltà per la complessità di risoluzione e l entità dei calcoli. Attualmente si tende risolvere tali problemi con metodi numerici, mediante efficienti e accurati codici di calcolo: (Maxwell, Ansys, FEM, COMSOL e altri). M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 22

23 Il modello matematico per la risoluzione dei campi può essere descritto mediante le seguenti Equazioni di Maxwell in forma differenziale vettoriale e in forma integrale vettoriale E = δ B δ t Legge di Faraday C E dl = dφ d t H = J + δ D δ t Legge di Ampere D t H dl = I + C S d s D = ρ Legge di Gauss S D d s = Q B = 0 B d s = 0 S M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 23

24 Le grandezze vettoriali basilari per lo studio dei campi E Campo elettrico [V/m] B Induzione magnetica [T] H Campo magnetico [A/m] D Spostamento elettrico [C/m 2 ] J Densità di corrente [A/m 2 ] Tali grandezze sono grandezze puntuali ed esprimibili vettorialmente. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 24

25 Tali grandezze vettoriali sono inoltre legate tra loro dalle seguenti equazioni costitutive del mezzo, determinate dalle proprietà del mezzo: D = ε E B = µ H J = γ E dove: permettività [F/m] ε permeabilità magnetica [H/m] µ conducibilità elettrica [S/m] γ densità volumica [C/m 3 ] ρ del mezzo della regione spaziale in cui si manifestano i campi. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 25

26 ε = ε 0 ε r èlapermettività assoluta permettività relativa ε r ε 0 permettività nel vuoto ossia la costante di proporzionalità fra la densità di flusso elettrico e l intensità del campo elettrico E nel vuoto: µ= µ 0 µ r èlapermeabilità magnetica assoluta µ R permeabilità relativa D = µ 0 permeabilità nel vuoto, ossia la costante di proporzionalità fra la densità di flusso magnetico e l intensità del campo magnetico H nel vuoto: 1 H = Bo µ ε o o M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 26 E D B

27 Nel modello elettromagnetico ci sono tre costanti universali: ε o µ o e c dove c è la velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche (compresa la luce) e c = 1 ε µ o o [m/s] I valori di ε o e di µ o sono: definiti dalla scelta del sistema di unità di misura e non sono indipendenti. Nel Sistema Internazionale (SI): µ ε o o = 4π 10 = c 7 [H/m] µ 36π o [F/m] M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 27

28 Esistono due approcci fondamentali per lo studio dei campi e dell elettromagnetismo: Approccio induttivo: si parte da leggi sperimentali che vengono generalizzate per essere poi sintetizzate nella forma delle equazioni di Maxwell, Approccio deduttivo: partendo dalle equazioni di Maxwell, si identifica ciascuna equazione con una appropriata legge sperimentale e si adattano le equazioni generali a condizioni o a situazioni statiche o tempo varianti M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 28

29 In generale per lo studio un fenomeno scientifico attraverso la definizione di un modello ideale, sono previsti tre fasi fondamentali: I fase: definizione di alcune grandezze fondamentali pertinenti al fenomeno in studio; II fase: specificazione delle formule matematiche di queste grandezze; III fase : definizione delle relazioni fondamentali con postulati o leggi M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 29

30 Per lo studio della teoria dell elettromagnetismo attraverso la definizione di un modello ideale elettromagnetico, sono previsti tre fasi fondamentali: I fase: definizione delle grandezze fondamentali dell elettromagnetismo; II fase: specificazione delle formule matematiche che legano queste grandezze (algebra e calcolo vettoriale ed equazioni alle derivate parziali); III fase : definizione dei postulati fondamentali per i campi magnetici statici, campi magnetici permanenti e campi elettromagnetici M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 30

31 I postulati e le leggi sono basati su numerose osservazioni sperimentali acquisite in condizioni controllate e efficacemente sintetizzate. Le grandezze del modello matematico possono essere suddivise grossolanamente in due categorie: Le grandezze sorgenti ( cariche elettriche invariabili: fisse o in movimento) e Le grandezze del campo generato dalle sorgenti. La carica elettrica si indica con la lettera q o Q. Essa è una proprietà fondamentale della materia ed esiste come multiplo positivo o negativo della carica elettrica elementare di un elettrone e e = [C] M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 31

32 Il principio della conservazione della carica elettrica è un postulato o legge fondamentale della fisica che stabilisce che la carica elettrica è conservativa, cioè che non può essere ne creata ne distrutta. Tale principio deve essere soddisfatto sempre e in qualunque circostanza ed è rappresentato matematicamente attraverso l equazione di continuità. Il primo principio di Kirchhoff della teoria circuitale afferma la proprietà di conservazione della carica elettrica, ossia che non c è accumulo di cariche in una connessione. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 32

33 Si definisce densità di carica volumica ρ: q 3 ρ = lim [C/m ] v 0 v dove ρ è la quantità di carica in un volume molto piccolo v. In alcune situazioni fisiche una quantità di carica q può essere identificata con un elemento di superficie s o di linea l, in questi casi si definisce la densità di carica superficiale ρ s : ρ s o la densità di carica lineare ρ l : ρ l = = lim s 0 lim l 0 q s q l [C/m 2 [C/m] ] M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 33

34 Le densità di carica definite variano generalmente da punto a punto con le coordinate spaziali. La corrente I è velocità della variazione della carica rispetto al tempo, cioé: dq I = [C/s] o [A] dt In elettromagnetismo di definisce la densità di corrente che misura la quantità di corrente che fluisce attraverso l unità di superficie normale alla direzione del flusso di corrente. J è un vettore di ampiezza pari alla corrente per unità di superficie [A/m 2 ] la cui direzione e verso sono quelle del flusso di corrente. J M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 34