Potenza elettromagnetica

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1 Potenza elettromagnetica 1

2 Velocità di fase e velocità di gruppo Si definisce fronte d onda di una grandezza che caratterizza il fenomeno della propagazione, ad esempio ത, una superficie nella quale in tutti i suoi punti, in un dato istante, hanno la stessa fase. Per esempio per un onda sinusoidale viaggiante progressiva : z,t cos(ωt z) deve essere x 0 Il fronte d onda serve per rappresentare il movimento di un onda in uno spazio tridimensionale. Nella propagazione di onde si definiscono: la velocità di fase la velocità di gruppo In generale un segnale che trasporta informazione è costituito da più componenti a frequenza diversa, pacchetto d onde. La velocità di gruppo è la velocità con cui si propagano nello spazio le variazioni nella forma dell'ampiezza di un segnale, più precisamente è la velocità di propagazione dell inviluppo del pacchetto d onda. t z A

3 Velocità di fase e velocità di gruppo In un mezzo privo di perdite tz costante / / / z t A u dz dt La velocità di fase u p di un onda piana a singola frequenza è dunque la velocità di propagazione di un fronte d onda equifase. La relazione tra u p e la costante di fase é: p u p m s la costante di fase la velocità di fase dalla frequenza u p è una funzione lineare di 1 risulta una costante indipendente 3

4 Velocità di fase e velocità di gruppo In un mezzo non dispersivo il pacchetto d onde si muove senza cambiare la sua forma con una velocità di gruppo u g coincidente con la velocità di fase u p delle sue componenti del segnale. in un mezzo dispersivo, le diverse componenti dell onda si muovono con velocità di fase diverse. Il segnale si muove con una velocità di gruppo u g diversa dalla velocità di fase u p delle diverse sue componenti, deformandosi al passare del tempo, mentre si trasmette nello spazio. Questo fenomeno fisico si chiama dispersione. M. Usai 6d_AI_ POTNZA LTTROMAGNTICA 4

5 Velocità di fase e velocità di gruppo Nei mezzi dispersivi il rapporto tra pulsazione ω e la costante di fase β, u p =/, non è più costante, la costante di fase β è funzione dalla frequenza e quindi di ω. Per cui onde con frequenza differenti si propagano con velocità di fase diverse, causando una distorsione nella forma d onda del segnale, chiamata dispersione. sempi di propagazione non dissipativa sono: la propagazione della radiazione elettromagnetica nel vuoto la propagazione del suono nell aria sempi di propagazione dispersiva sono: propagazione nei solidi conduttori dove le onde non penetrano oltre gli strati superficiali del conduttore e nei dielettrici propagazione nei fluidi come l acqua e il vetro. 5

6 Velocità di fase e velocità di gruppo spressione generica di un segnale ottenuto combinando onde di pulsazione ω 0 + ω e ω 0 + ω Onda portante con pulsazione ω 0 ( z, t) 0cos t- z cos 0t 0z (z,t) L onda all interno dell inviluppo si propaga con una velocità di fase u p determinabile ponendo: dz ω0t β0z costante u p dt 0 0 Onda modulante con pulsazione ω La velocità di gruppo u g si potrà determinare ponendo l argomento del primo coseno uguale a una costante: dz Δω tδ-zδ costante ug 6 dt Δβ

7 Velocità di fase e velocità di gruppo Si può dimostrare che la velocità di fase e la velocità di gruppo sono legate tra di loro dalla relazione: u p ug du p 1 u d in base alla quale nel caso di mezzo di trasmissione con: a) du p dω = 0 u g=u p nessuna dispersione. La u p è indipendente da a f. p b) du p dω < 0 u g< u p caso di normale dispersione; La u p diminuisce all aumentare di f, le alte frequenze vengono ritardate e il segnale si allarga c) du p dω > 0 u g> u p caso di dispersione anomala. La u p aumenta con f, in questo caso l'impulso viene compresso e il fronte di salita avanza facendo sì che l'inviluppo dell'impulso vada ad una velocità superiore a quella di fase. Questo può accadere vicino ai picchi di assorbimento (risonanze). 7

8 Potenza elettromagnetica Le onde elettromagnetiche trasportano potenza elettromagnetica. L energia é trasportata attraverso lo spazio nei punti distanti di ricezione per mezzo di onde elettromagnetiche. Per mezzo del teorema di Pointyng é possibile scrivere un bilancio energetico in termini di grandezze di campo. Per dimostrare il teorema, si consideri che attraverso le equazioni rotoriche di Maxwell è possibile ricavare una relazione tra la velocità di trasferimento di tale energia e l intensità del campo elettrico e magnetico associati ad un onda elettromagnetica trasmessa: B t J D t 8

9 9 Moltiplicando la I relazione per il campo magnetico la II per il campo elettrostatico e sommando membro a membro si ha: J t D t B t D J t B Per il primo membro si può verificare facilmente la seguente identità: Potenza elettromagnetica

10 Potenza elettromagnetica In un mezzo semplice, i cui parametri costitutivi, e non variano con il tempo, gli addendi del secondo membro si possono esprimere : B 1 1 t t t t D 1 1 t t t t J f (x) g(x) h(x) f (x) g(x) h(x) h(x) g(x) x x x f(x) g(x) se f (x) g(x) g(x) g(x) x x quindi posso scrivere: g(x) 1 f (x) 1 ( g(x) g(x)) g(x) x x x 10

11 Potenza elettromagnetica Quindi l equazione B t D t J si può scrivere con la relazione puntuale in funzione di e : 1 1 t - La forma integrale si ottiene integrando il primo e il secondo membro su un volume V e applicando al primo membro il teorema della divergenza per convertire l integrale volumico nell integrale superficiale sulla superficie S che delimita il volue V: 1 1 dv d s - dv dv t V S V V 11

12 Potenza elettromagnetica 1 1 d s dv dv t - S V V saminando la forma integrale della relazione trovata si vede come: il primo e il secondo termine a secondo membro rappresentano la variazione nel tempo della energia immagazzinata nel campo elettrico e magnetico rispettivamente l ultimo termine é la potenza ohmica dissipata nel volume V dovuta al flusso della densità della corrente di conduzione in presenza del campo elettrico. Per essere coerente con la legge della conservazione della energia, la somma dei tre termini a secondo membro deve essere uguale alla potenza che lascia il volume V, o potenza trasmessa, attraverso la sua superficie S che delimita tale volume. Ossia il flusso nella superficie S della densità di potenza. 1

13 Vettore di Poynting Quindi la quantità é un vettore che rappresenta il flusso di potenza trasmessa per unità di area : P W m essa é nota come vettore di Poynting, ossia la densità di potenza vettoriale associata al campo elettromagnetico. Dalla relazione si vede come non ci può essere trasporto di energia in presenza del solo campo elettrostatico o del solo campo magnetostatico. In regime stazionario la potenza che fluisce dentro un volume chiuso coincide con quella dissipa per effetto ohmico dentro il volume stesso. In regime non stazionario, se il mezzo è privo di perdite (=0) la potenza ohmica si annulla e la potenza che fluisce dentro un volume è uguale al tesso di variazione dell energia accumulata nei campi elettrici e 13 magnetici.

14 Teorema di Poynting L equazione in forma integrale può essere scritta nella seguente forma che esprime il teorema di Poynting, ossia la potenza trasmessa attraverso la superficie S: P d s w w dv p dv e m σ t S V V dove 1 1 w e ε ε * densità di energia elettrica 1 1 wm μ μ * densità di energia magnetica p σ J / * J J * / densità di potenza ohmica 14

15 Se oltre alle forze elettriche indotte vi sono forze elettriche impresse di altra origine ( chimica, termica etc.), le equazioni rotoriche di Maxwell diventano: i Teorema di Poynting B D t t t i J J da cui facendo i passaggi analoghi si ottiene una espressione più generale del bilancio energetico in funzione delle grandezze di campo: i 1 1 t i P ε μ essendo P il vettore di Poynting 15

16 Teorema di Poynting Il teorema di Poynting in forma generale, dice che 1 1 P i t ε μ σ ossia, la potenza che fluisce attraverso una superficie chiusa S che delimita una regione spaziale di volume V, è in ogni istante è legata al lavoro compiuto per unità di volume e per unità di tempo dalle forze elettriche impresse di natura non elettromagnetica Alle variazioni delle energia elettrostatica e magnetica immagazzinate (nulle in condizioni statiche) alla potenza ohmica dissipata all interno del volume (nulla per i mezzi privi di perdite). Per mezzo di questo teorema é possibile scrivere un bilancio energetico in termini di grandezze di campo. 16

17 Resistore rettilineo Si consideri un tratto l di un resistore rettilineo omogeneo indefinito di sezione circolare S di raggio r, percorso dalla corrente costante I. Il campo elettrico vale: I J I S l e il campo magnetico nella superficie vale: (r) I JS r r S I due vettori e sono diretti come riportati in figura e il vettore P È, in ogni punto della superficie del resistore, un vettore centripeto che vale: P =. P 17

18 Resistore rettilineo Applicando il teorema di Poynting per la superficie cilindrica chiusa di altezza l e base S: d s dv dv t S V V In questo caso i primi due termini a secondo membro sono nulli, perciò: ( ) rl= ( J ) Sl Il flusso del vettore P entrante dalla superficie che delimita il conduttore è uguale alla potenza dissipata nel conduttore. Dalle relazioni precedenti posso scrivere: ( l) (r )= VI Perciò detto flusso coincide con il prodotto della differenza di potenziale V= l per la corrente I = r. 18

19 Cavo coassiale Il circuito sia costituito da un generatore di f.e.m, di resistenza R i che attraverso un cavo coassiale di conducibilità infinita, alimenta una resistenza R. V ntro il cavo il campo é radiale e vale in modulo: r mentre il campo magnetico vale: + R i P (r) I r I V r ln r 1 R 19

20 Il vettore di Poynting é diretto come in figura e vale, essendo il seno di 90 del prodotto vettoriale uguale a uno : P Cavo coassiale V I P r r ln r r il flusso di attraverso la sezione normale al cavo vale : r VI Pds rdr VI r S r 1 r ln r1 Applicando il teorema di Poynting per una superficie chiusa che tagli il cavo normalmente all asse e racchiuda il generatore: tenendo conto che P è nullo fuori dal cavo coassiale, si ottiene: I=R i I +VI, che esprime il bilancio energetico, ossia il flusso del vettore di Poynting attraverso la sezione considerata è uguale alla potenza che viene 0 trasferita dal generatore all utilizzatore. 1

21 Potenza istantanea nei campi armonici Quando le onde elettromagnetiche sono armoniche nel tempo, é conveniente utilizzare la notazione fasoriale in base alla quale i campi elettrico e magnetico possono essere così espressi: j z z a xx z a x0e 0 z j z a y y z a y e e e in funzione del tempo si avrà: z con θ angolo di fase della impedenza intrinseca del mezzo η η e jtz, Re j t z z t z e a x0e Re e a x z 0e cos t z jt 0 z j 0 z z, t Re z e a y e Re e a e cos t z z y 1 jθ

22 Potenza istantanea nei campi armonici Dalle relazioni precedenti l espressione del vettore di Poynting o del vettore densità di potenza in funzione del tempo diventa: jt jt P z, t z, t z, t Re z e Re z e z 0 z 0 z a x0e cost z a y e cost z n a z e cos t zcos t z n= = a e cos cos t z 0 z z n n Oppure scritto in termini vettoriali abbiamo: jt jt P z, t z, t z, t Re ze Re z e (**) (**) Re 1 jt * jt 1 jt jt Re z e z e ze ze * (***) 1 Re jt z z z z e 1 cos(a) cos( B) [cos(a B) cos(a B)] e C C C e C e D C C D D C D C D C D C D e C D e C D 4 4 ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] (*) * * * * * * * *

23 Potenza media nei campi armonici La trasmissione di potenza per mezzo di onde elettromagnetiche é caratterizzata significativamente al suo valore medio, per tale motivo si definisce il valore medio nel tempo del vettore di Poynting per un onda che si propaga nella direzione z. Se ci calcoliamo il valor medio sul periodo T=π/ω dell espressione (**) della slide precedente otteniamo T 1 W n m 0 0 z Pav z P z, t dt e cos T Se invece calcoliamo l espressione il valor medio sul periodo T=π/ω dell espressione (***) otteniamo: T 1 1 * W Pav z P z, t dt Re z z T m 0 3