Potenza spesa dalla forza per mantenere la carica in moto con velocita` v D. dp dv

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1 Legge di Ohm J E E J 1 resistivita` Potenza spesa dalla forza per mantenere la carica in moto con velocita` v D P F v ee v 2 E D per unita` di volume D dp dv nee v D J E J Energia trasferita agli ioni del reticolo cristallino. umento energia interna. umento temperatura. 2

2 Legge di Ohm + - h J E S Regime stazionario: i J h VV V Eh Jh i V Ri R h R dh Resistenza elettrica 1 1V 1 G 1 R conduttanza

3 lcune considerazioni nche in assenza di un campo elettrico (= deriva collettiva) esiste una corrente elettrica fluttuante in modo casuale (fluttuazione statistica del vettore somma delle velocita` degli elettroni) Questa corrente fluttuante e` una sorgente di rumore Pone un limite alla rivelazione di segnali elettrici molto deboli

4 Limitazioni della legge di Ohm Supponiamo il campo elettrico molto intenso, in modo tale che uno ione tra due urti acquisti una velocita` v vtermica Il tempo medio tra due urti non e` piu` costante: (E) non c e` piu` linearita` Esempio: gas debolmente ionizzato Cammino libero medio l ~ 10-8 m eel ~ kt E ~ kt/el V m

5 Limitazioni della legge di Ohm Se il campo e` molto intenso puo` anche variare il numero dei portatori di carica (es. scarica in un gas) lternativamente, se il campo elettrico varia su una scala temporale molto breve, paragonabile a, la risposta dei portatori sara` come quella di corpi liberi (inerziale)

6 Legge di Ohm. Effetti termici t 20 0 = coefficiente termico > 0 per i metalli puri < 0 per C, Ge, Si (nei semiconduttori diminuisce ~ e T/T0 ) Normalmente nei metalli: (T) 0 per T 0 Superconduttori: (T) 0 per T<T c

7 Resistivita` e coefficiente termico di alcune sostanze

8 Superconduttori Omnes, 1911 Mercurio a T=4.2 K la resistenza R crolla da 0.12 a 10-5 Ohm lla transizione i campi magnetici non penetrano nel materiale (diamagnetismo perfetto). Fenomeno quantistico.

9 Effetto Joule Potenza spesa per fare circolare una corrente i in un conduttore di sezione e lunghezza dh dp 2 dp i dv dh 2 dv dh i 2 Integrando su tutta la lunghezza dh P i Ri S 2 2 P Ri Vi 2 V 2 R

10 Effetto Joule La potenza dissipata produce un aumento della temperatura del conduttore Nell intervallo di tempo tra t 1 e t 2 viene speso il lavoro t2 t2 2 W Pdt Ri dt se la corrente e` costante: t 1 1 t W Ri ( t t ) Ri t

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12 Serie e parallelo di resistori R 1 R 2 C i serie V V R i C 1 V V R i C 2 V V R i R i i 1 2 ( R1 R2) Ri i + - i i 1 i 2 R1 R2 parallelo i i V V i1 i2 R1 R2 V R R R R

13 Collegamento di resistori n resistori in serie: R n i1 R i n resistori in parallelo: R n 1 R 1 i i1

14 Esempio Cilindro di altezza h, raggio r 2 con foro coassiale di raggio r 1 : resistenza tra le 2 superficie? r 2 r 1 h R l Settore cilindrico di raggio r, spessore dr dr dr dr 2 rh Settori in serie somma delle resistenze R r 2 dr r dr ln 2h r 2h r r 1 2 1

15 Esempio Tra due sfere di raggi r 1 e r 2 vi e` un fluido con resistivita`. Calcolare la resistenza. R l Settore sferico di raggio r, spessore dr dr dr dr 4 r 2 Settori in serie somma delle resistenze R r 2 dr 1 1 dr 2 4 r 4 r r 1 r2 1

16 Forza elettromotrice Legge di Ohm per un conduttore di resistenza R nel tratto V V E dx Ri Per un circuito chiuso resistenza totale f. e. m. E dx RT i 0 non puo` essere un campo elettrostatico a fare circolare le cariche

17 Generatori di f.e.m. conduttore +q -q E * generatore Campo elettrostatico diretto da a sia ext che int E dx ( E dx) ( E dx) 0 es es ext es int

18 Generatori di f.e.m. conduttore +q -q E * generatore Quindi il passaggio di carica da un polo all altro non puo` avvenire per effetto di Deve esistere un campo elettromotore di natura non elettrostatica all interno del generatore: E *

19 Generatori di f.e.m. conduttore +q -q E * generatore E E * E es E es all'interno del generatore all'esterno del generatore

20 Generatori di f.e.m. conduttore ε E * dx +q -q caratteristica del generatore f.e.m. ε E * generatore La f.e.m. di E coincide con la tensione del campo elettromotore E * calcolata tra e * * es es E dx E dx E E dx E dx

21 Generatori di f.e.m. +q -q E * Scollegando il circuito esterno, il campo all interno del generatore e` nullo (dopo il transiente dello spostamento delle cariche i due campi interni si equilibrano),int E dx * Ees E dx,int 0,int * E dx Ees dx V V 0 0 La forza elettromotrice di un generatore e` uguale alla differenza di potenziale ai capi del generatore quando questo non eroga corrente

22 Generatori di f.e.m. conduttore +q -q Dentro al generatore una carica dq viene spostata da verso da una forza df * che deve battere la forza elettrostatica df es =dq * df E dq * E * generatore * E Ees * ( E Ees ) dx 0

23 Generatori di f.e.m. conduttore +q -q E * generatore Dentro al generatore circola la stessa corrente i che circola all esterno * ( es ) E E dx ri resistenza interna del generatore

24 Generatori di f.e.m. conduttore +q -q E * generatore Ri ri ( R r) i RT i La corrente e` data dal rapporto tra la f.e.m. e la resistenza totale V V Ri ri Se nel circuito circola corrente la d.d.p. tra i poli e e` minore della f.e.m. del generatore

25 Generatori di f.e.m. La f.e.m. e` la somma delle cadute di potenziale (o cadute di tensione) ai capi delle resistenze interna ed esterna Ri ri ( R r) i RT i V ri caratteristica tensione-corrente di un generatore reale Ri i una pila si consuma quando r diventa grande

26 Esempio Un circuito esterno resistivo (resistenza R) e` collegato ad un generatore di f.e.m. La potenza dissipata nel generatore per effetto Joule e` ri 2 quanto vale i? La potenza dissipata e` uguale al lavoro per unita` di tempo del campo elettromotore: P = i Vale anche: P=(r+R)i 2 i R r

27 Esempio Collegamento in serie di N generatori uguali r r r r circuito aperto V V N r ' Nr La f.e.m. (o tensione) totale e` la somma delle tensioni di ciascun singolo generatore

28 Esempio Collegamento in parallelo di N generatori uguali circuito aperto V V r r ' N circuito aperto V V 1.5 V Il generatore parallelo ha resistenza inferiore Eroga una corrente piu` elevata Puo` sostenere il passaggio di corrente per un tempo N volte maggiore

29 Esempio Una pila di f.e.m. V e resistenza interna r alimenta un circuito resistivo di resistenza R. Per quale valore di R vi e` il massimo trasferimento di potenza dal generatore alla resistenza esterna R? i V R r V ( ) 2 2 P Ri R R r 2 dp ( ) 2 ( ) V R r R R r r R dr ( R r) ( r R) V 4 3 dp dr 0 r R dp 0 R r dr 0 R r

30 Leggi di Kirchoff Equazioni che traducono nei circuiti due risultati fondamentali conservazione della carica elettrica condizione di campo elettrico conservativo Rete elettrica: serie di nodi e rami Nodo: confluenza di tre o piu` rami di un circuito I rami collegano i nodi. Ci possono essere elementi attivi (es. generatori) e passivi (es. resistori) Maglia: insieme di rami che formano un circuito chiuso

31 Leggi di Kirchoff (corrente continua) L intensita` di corrente che circola in un ramo e` uguale al rapporto tra la d.d.p. (tensione) ai capi del ramo e la resistenza del ramo (incluse le resistenze interne dei generatori) Legge dei nodi ( = conservazione della carica elettrica) in un nodo la somma delle correnti entranti e uscenti (segno opposto) e` nullo ik 0 N nodi N-1 condizioni nodo 1 corrente va in almeno 2 nodi Legge delle maglie ( = il campo elettrico e` conservativo) la somma delle f.e.m. nell ordine in cui si susseguono in una maglia (inizio e fine in uno stesso nodo) e` zero E dx 0. maglia Ri k k maglia k R rami R-(N-1)=R-N+1 maglie indipendenti

32 Leggi di Kirchoff (corrente continua) L intensita` di corrente che circola in un ramo e` uguale al rapporto tra la d.d.p. (tensione) ai capi del ramo e la resistenza del ramo (incluse le resistenze interne dei generatori) Legge dei nodi ( = conservazione della carica elettrica) in un nodo la somma delle correnti entranti e uscenti (segno opposto) e` nullo ik 0 N nodi N-1 condizioni nodo 1 corrente va in almeno 2 nodi Legge delle maglie ( = il campo elettrico e` conservativo) la somma delle f.e.m. nell ordine in cui si susseguono in una maglia (inizio e fine in uno stesso nodo) e` zero E dx 0. Vk 0 maglia R rami R-(N-1)=R-N+1 maglie indipendenti

33 Leggi di Kirchoff Si scelgono M maglie indipendenti Si associa ad ogni maglia una corrente e un verso di percorrenza (arbitrariamente) Si scrivono le M equazioni alle maglie Le soluzioni forniscono le correnti incognite Se una corrente e` negativa, significa che il suo verso arbitrariamente scelto era opposto a quello effettivo

34 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r, r G Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r r G

35 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r, r G Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r r i G 1

36 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r, r G i 2 Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r r G

37 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r, r G Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r r G i G

38 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r, r G i 2 Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r r G Maglia con il generatore ( R R ) i r 1 2 2

39 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r, r G Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r r i G 1 Maglia con il generatore ( R R r ) i ( R R ) i

40 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r, r G Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r r G i G Maglia con il generatore ( R R r ) i ( R R ) i R i G

41 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r, r G Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r r i G 1 Maglia con le 4 resistenze ( R R R R ) i x 1

42 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r, r G i 2 Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r r G Maglia con le 4 resistenze ( R R R R ) i ( R R ) i x

43 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r, r G Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r r G i G Maglia con le 4 resistenze ( R2 R R3 Rx ) i1 ( R1 R ) i R2 Rx ig ( ) 0

44 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r, r G Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r r G i G Maglia triangolare ( R R r ) i 2 x G G

45 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r, r G i 2 Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r r G Maglia triangolare ( R R r ) i R 2 x G G 2i2

46 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r, r G Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r r i G 1 Maglia triangolare ( R R r ) i Ri ( R R ) i 0 2 x G G 2 2 x 2 1

47 Esempio: ponte di Wheatstone ( R2 R1 ) i1 ( R1 R2 r ) i2 R2iG ( R2 R1 R3 Rx) i1 ( R1 R2 ) i2 ( R2 Rx) ig 0 ( Rx R2) i1 R2i2 ( R2 Rx rg) ig 0 ( R1 R2 ) ( R1 R2 r ) 1 ig ( R1 R2 R3 Rx ) ( R1 R2 ) 0 D ( R R ) R 0 2 x 2 R1 Rx R2 R3 D RR 2 3 Rx se ig 0 R1