LA CORRENTE ELETTRICA E LA RESISTENZA

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1 LA COENTE ELETTICA E LA ESISTENZA G. Pugliese 1

2 La conduzione elettrica I materiali conduttori solidi sono costituiti da un reticolo spaziale a cui vertici si trovano gli ioni positivi ed al cui interno si muovono gli elettroni liberi. Nei metalli, per es. nel AME, il numero di elettroni per unità di volume (supponendo un elettrone libero per atomo, l ordine di grandezza è lo stesso per tutti i conduttori metallici): n N Aρ A elettroni/m 3 N A : num di Avogadro (num. di molecole x mole) A : num. di massa (num. di g x mole) ρ : densità (g/m 3 ) G. Pugliese

3 La conduzione elettrica τ m 3 1µm 3 N nτ elettroni Il moto degli e- liberi nel conduttore in equilibrio elettrostatico è disordinato: v m 1 N vi i 0 G. Pugliese 3

4 La corrente elettrica Ø Dati due conduttori carichi isolati tra loro C 1 e C a potenziali V 1 e V (V >V 1 ). Se si mettano in contatto, tramite un conduttore: Ø Fase transitoria: sotto l azione del campo E (dovuto a ΔV) si ha un flusso di elettroni da V 1 a V. Si raggiunge una situazione di equilibrio quando entrambi sono allo stesso V. V 1 V C 1 C Ø La quantità totale di carica non cambia à principio di conservazione della carica à la carica si ridistribuisce in modo che il campo all interno 0. Ø Moto ordinato di elettroni: COENTE ELETTICA. Ø Dura per un tempo molto breve + G. Pugliese 4

5 Il generatore di corrente Per mantenere la differenza di potenziale tra due punti del conduttore occorre un generatore di forza elettromotrice f.e.m.. Ø il generatore primo fu inventato nel 1800 da Alessandro Volta!! Ø il suo funzionamento di basa sul principio che il lavoro necessario per mantenere il moto ordinato di cariche è ottenuto trasformando energia chimica in energia elettrica. G. Pugliese 5

6 La corrente elettrica Sia n il numero di portatori di carica per unità di volume in una certa regione di un conduttore in cui agisca un E I portatori saranno soggetti ad una forza elettrica, quindi si muoveranno con velocità di deriva v d // E, che da origine ad una corrente. Corrente elettrica: è la quantità di carica che attraversa una data superficie Σ all interno del conduttore nel tempo Δt: d Δq i lim Δ t 0 Δt dq dt G. Pugliese 6

7 Modello Classico della conduzione elettrica Analizziamo il moto dei portatori di carica in un metallo da un punto di vista microscopico, secondo il modello di Drude-Lorentz (1906): gli ioni sono fissi gli e - si muovono attraverso il reticolo in modo disordinato nel loro moto gli e - subiscono continue interazioni o urti τ tempo Nel rame o argento: Moto disordinato con urti con gli ioni fissi medio tra due urti n 10 9 ele/m 3 1 vm vi N l :libero i cammino 0 medio G. Pugliese 7

8 Modello Classico della conduzione elettrica In presenza di un E a - e m E Essendo questa piccola rispetto a quella propria degli e, il tempo t tra due urti non cambia: < v d > 1 N Su N urti i v i+1 1 N v i e m i Alla distribuzione casuale ed isostropa della velocità si sovrappone una velocità di deriva: v d Eτ e m v i v Prima i+1 urto Eτ + 1 i Dopo ogni urto la distribuzione della velocità è casuale v d e Eτ m Dopo i urto e τe m G. Pugliese 8

9 La corrente elettrica Ø Ø Consideriamo una superficie infinitesima dσ, la cui normale formi un angolo θ con il campo E. Nel tempo Δt le cariche percorrono una distanza v d Δt Ø la carica che attraversa dσ in Δt è quella contenuta nel volume : dv v d ΔtdΣcosθ i dq dt dq n + edv n + ev d ΔtdΣcosθ di n + ev d dσcosθ G. Pugliese 9

10 La densità di corrente L intensità di corrente: di n + ev d dσcosθ Definiamo il vettore densità di corrente: di J n + ev jdσ cosθ j ndσ d Attraverso una superficie finita Σ i Σ j ndσ Φ Σ ( j) Ø L intensità corrente è pari al flusso del vettore densità di corrente attraverso la superficie Σ G. Pugliese 10

11 La densità di corrente Se S è ortogonale a J i jσ j i Σ Ø La densità di corrente: è la corrente che attraversa l unità di superficie perpendicolare alla direzione del moto delle cariche. J n + ev d G. Pugliese 11

12 La densità di corrente Nei conduttori metallici la corrente è legata agli elettroni liberi (negativi) J -en v - - (J ha sempre verso concorde ad E) Nei fluidi ionizzati o nei semiconduttori la corrente è dovuta sia ai portatori + che -: -en v + en v J Ø Su scala macroscopica non è possibile correlare il verso della corrente con il segno dei portatori di carica: ossia dato un campo gli stessi effetti si hanno se i portatori sono positivi o negativi. Ø Si assume come verso di percorrenza quello delle cariche positive G. Pugliese

13 Unità di misura per la COENTE Nel S.I. l unità di misura della corrente elettrica è l ampere: A (unità di misura fondamentale). Si ha l intensità di corrente di 1 A quando, attraverso una data superficie, passa la carica di 1 C in 1 s. Sottomultipli: 1mA 10-3 A 1µA 10-6 A 1 na 10-9 A Multipli: 1kA 10 3 A 1MA10 6 A A C s La densità di corrente si misura in A/m G. Pugliese 13

14 Curiosità: Calcoliamo la velocità di deriva per un conduttore cilindrico di rame di raggio r 0.5 cm attraversato da una corrente 1 A uniformemente distribuita sulla sua sezione. j i Σ i 1.7A / cm πr n ele / m ele / cm 3 v d J ne cm / s Confrontiamo questa velocità media con la velocità quadratica media di agitazione termica (assumendo che il gas elettronico si comporti come un gas perfetto) v qm 3 kt m e m / s

15 La corrente stazionaria Consideriamo una regione di spazio di volume τ delimitato dalla superficie chiusa, Σ. La carica totale che passa nell unità di tempo attraverso: j nd Per il principio di conservazione della carica: i Σ j ndσ > 0 q+ che esce o q j ndσ < q che entra o q j ndσ i q int t 0 + Σ che entra che esce Se l integrale è positivo la carica all interno diminuisce e quindi derivata negativa G. Pugliese 15

16 La corrente stazionaria Conduttore percorso dalla densità di corrente J, - i 1 S1 j1 n 1 ds S1 S i S j n ds I 1 I In condizioni stazionarie l intensità di corrente è la stessa attraverso ogni sezione del conduttore. Se il conduttore ha sezione variabile à la densità di corrente sarà maggiore dove la sezione è minore. G. Pugliese 16

17 Legge di Ohm della conduzione elettrica Ø Legge di Ohm della conduttività elettrica: sperimentalmente si osserva che, in regime stazionario, in un conduttore sottoposto ad una differenza di potenziale: Dove σ: conduttività elettrica (caratteristica del mezzo) E J σe ρj Ø ρ è la resistività del mezzo: ρ 1 σ Ø I conduttori che soddisfano la legge di ohm sono detti conduttori Ohmici! G. Pugliese 17

18 Modello Classico (Legge di Ohm) Ø σ è la conduttività del mezzo (dipende dalla natura del conduttore). Ø Ø J -en- vd v d e τe m J σe e J σ // E -en Ø Legge di ohm della conduzione elettrica J σ ne m ne m τ E σe - v d τ G. Pugliese 18

19 Conduttori metallici Conduttore metallico cilindrico percorso da una corrente in regime stazionario V V a - V b d.d.p. ai capi del conduttore E ρj i J S (E/ρ) S à E (ρ/s) i V V A V B B A E d l Eh resistenza del conduttore V ρ S ih V i G. Pugliese 19

20 Legge di ohm per conduttori metallici Se la sezione del conduttore è variabile: dv E ds dh ρ S i E (ρ/s) i Integrando su tutto il conduttore: V B A E ds V A V B i i POSTO: (i è la stessa in ogni sezione del conduttore, essendo la corrente stazionaria) B A dh ρ S G. Pugliese 0

21 Legge di ohm per conduttori metallici Legge di Ohm per i conduttori metallici: in regime stazionario il rapporto tra la d.d.p applicata ai capi di un conduttore metallico e l intensità di corrente è pari alla resistenza del conduttore, che dipende solamente dalla natura del conduttore e dalle sue dimensioni. V I ρh S Unità di misura: 1. La resistenza:. Le resistività: [] (ohm) Ω V/A S Ωm ρ Ωm h m G. Pugliese 1

22 esistenza e Temperatura La resistività (e quindi la resistenza) di conduttori, semiconduttori e isolanti dipende dalla temperatura: Ø La resistività di un conduttore metallico è piccola e generalmente cresce linearmente con la temperatura. La resistività, nelle tabelle, è riportata a 0 C, può essere quindi convertita ad altre temperature con una semplice espressione. ρ ρ α 0 1 ρ (1 + αδt) dove Δt t 0 C α : coefficiente termico 0 Δρ Δt G. Pugliese

23 esistenza e Temperatura Condu)ori Semi - condu)ori isolan/ G. Pugliese 3

24 esistenza e Temperatura Ø La grande resistività dei semiconduttori decresce per riscaldamento. Ø In alcuni metalli (x es. il mercurio) la resistività decresce fortemente in vicinanza dello zero assoluto, saltando ad un valore approssimativamente nullo, al di sotto di un temperatura detta critica, T C : si è in condizioni di superconduttività. Più recentemente questo fenomeno è stato osservato anche con alcune ceramiche a temperature più elevate (100 K) (superconduttività ad alta temperatura). Ø molto piccole à corren; I alte a parità di V.. G. Pugliese 4

25 Effetto Joule Va Vb Per spostare la carica dq da A e B, viene compiuto il lavoro: dw ΔV dq ΔV i dt La potenza spesa dal campo per far circolare la corrente i à P dw / dt ΔV i Se vale le legge di ohm: P I ΔV / Ø A causa degli urti gli elettroni cedono l energia acquistata al conduttore, dando luogo ad un aumento di temperatura. Ø L effetto di riscaldamento di un conduttore percorso da corrente si chiama effetto Joule G. Pugliese 5

26 Effetto Joule Il lavoro compiuto per far passare una corrente i attraverso un conduttore metallico per un tempo t: W t Pdt 0 t 0 i dt Se i è costante: W i t I superconduttori hanno una resistività molto bassa, quasi nulla. Hanno il grosso vantaggio che non occorre spendere questa potenza per mantenere la corrente (ma bisogna mantenere i cavi a bassissime temperature!!) G. Pugliese 6

27 Circuiti elettrici Nei circuiti elettrici vengono impiegati i resistori, ossia, conduttori ohmici caratterizzati da un determinato valore della resistenza e dal valore massimo della potenza che può essere dissipata. Più resistori possono essere collegati insieme: 1. In serie. In parallelo G. Pugliese 7

28 Collegamenti in serie In regime stazionario la i è la stessa: Legge di ohm: V V A B VB 1i V ( ) i A VC 1 + i equi V i C ( ) equi 1 + La potenza totale spesa: P ( V P A VC ) i eqi P1 + G. Pugliese 8

29 Collegamenti in parallelo i 1 i i + equi V V V V i Δ + Δ Δ + Δ Le due hanno la stessa d.d.p. Poiché la corrente è stazionaria: equi La potenza totale spesa: ) 1 1 ( i V V V V i i P eq eq

30 Lavoro in elettrostatica campo elettrostatico E dl 0 E W F q 0 campo elettromotore q 0E(P) dl ε E dl Forza elettromotrice G. Pugliese 30

31 Forza Elettromotrice V B A VB E ds E A ds i T Circuito chiuso i Ø per avere corrente che circoli nel circuito serve una f.e.m. Ø un Campo E la cui circuitazione non sia nulla Ø forze di natura quindi non elettrostatica (NON conservative) Ø il dispositivo che genera questa f.e.m, può sfruttare azioni meccaniche o reazioni chimiche o qualunque altro meccanismo. G. Pugliese 31

32 Forza Elettromotrice Ø il campo elettrostatico E el è sempre diretto da A à B sia nel conduttore che nel generatore. Ø la sua circuitazione 0 E el ds B A A ( E ds) + ( E ds) int el ext B el 0 Ø nel generatore deve esserci un campo E * non elettrostatico (campo elettromotore) che faccia muovere le cariche. ε E d s B E el ds A + ( E el + E * ) ds A B A B E * d s Ø Il campo E è: non conservativo e la f.e.m coincide con la tensione del campo elettromotore calcolata lungo la linea interna che va da B ad A G. Pugliese 3

33 Forza Elettromotrice La corrente che attraversa il conduttore esternamente circola anche nel generatore da B ad A. Definiamo la resistenza interna dal generatore: i ε ( r+ ) ε B A A B * ( Eel + E ) ds ri A * Eel ds + ( Eel + E ) ds i + B ri Ø La corrente che circola nel circuito è data dal rapporto tra la f.e.m fornita dal generatore e la resistenza totale. G. Pugliese 33

34 Forza Elettromotrice ε i + ri V A V B i ε ri Ø la differenza ai capi A e B della resistenza è sempre inferiore alla forza elettromotrice fornita dal generatore (si dice che vi è una caduta di potenziale o di tensione ai capi della resistenza). La eguaglia solo nel caso in cui il circuito è aperto (i 0): V A V B ε Ø A circuito aperto, ossia i 0 la f.e.m. è pari alla d.d.p. misurata ai capi del generatore. G. Pugliese 34

35 Forza Elettromotrice ε i + ri ε idt i dt + ri dt ε i i + ri Ø il lavoro o la potenza fornito dal generatore viene dissipato nelle resistenze del circuito G. Pugliese 35

36 Carica del Condensatore: circuito C il condensatore si carica ε V + V C q( t) ε C i( t) + q( t) C dq( t) dt dq( t) q Cε i( t) dt C dq( t) dt q 0 dq( t) q Cε 1 C t 0 dt q t C Cε ( 1 e )

37 Carica del Condensatore: circuito C t C q Cε ( 1 e ) V C i q t) ε (1 e C τ C C ΩF V A V ε e ( t C costante di tempo t C i εe C V C A s t C )

38 Scarica del Condensatore: circuito C Viene chiuso il circuito q C dq( t) i (la carica diminuisce nel tempo) dt V C 0 V C V q C i q C dq dt q q 0 dq q t 0 dt C q q 0 e t C

39 Scarica del Condensatore: circuito C q q 0 e t C V C q C q C t 0 C e V0 e t C i( t) dq dt q0 C e t C V0 e t C VC

40 Processo di carica la potenza istantanea erogata dal generatore: P gen εi ε e t / C Quella spesa nel resistore P i ε t / C e La potenza di carica del condensatore P C V C i ε e ε t / C t / C e P gen P La potenza erogata dal generatore viene in parte dissipata sulla resistenza ed in parte consumata per aumentare l energia elettrostatica del condensatore.

41 Processo di carica: conservazione energia Il lavoro fornito dal generatore, quello consumato nella resistenza e l energia elettrostatica del condensatore: W ε t / C gen Pgendt e dt 0 0 Cε W P dt 0 1 Cε Δ U e P C dt 0 1 Cε

42 Processo di scarica: conservazione energia Nel processo di scarica viene dissipata energia, pari all energia elettrostatica iniziale del condensatore: W ε P dt e 0 0 t / C dt 1 0 Cε q C