Correnti elettriche, resistenze, legge di Ohm

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1 Correnti elettriche, resistenze, legge di Ohm Se in un conduttore, tra due punti qualsiasi sulla sua superficie o al suo interno, si mantiene una differenza di potenziale (ddp ) V - V - > 0 il campo elettrico all interno del conduttore non è più nullo e vi è un moto di cariche negative (portatori di carica) dal potenziale più basso al più alto. n questo modo, infatti, una carica negativa passa da energia maggiore (-ev - ) a una energia minore (-ev ). l verso del moto dei portatori negativi e verso del campo elettrico sono antiparalleli. Questo flusso di cariche si ha finché viene mantenuta la differenza di potenziale dall esterno e con mezzi non elettrostatici. Se si collegano, infatti, due conduttori isolati con diverso potenziale solo con un filo conduttore, si ha ancora flusso di cariche dal conduttore a potenziale più basso a quello più alto, ma quando i portatori di carica hanno annullato la differenza di potenziale, se qualcosa dall esterno non interviene a riportare delle cariche che ripristino la ddp, il flusso finisce. V E V - - La corrente elettrica, è uno scalare definito, come la carica che passa per unità di tempo attraverso una superficie normale alla direzione di moto dei portatori di carica: q/ t (Unità di misura Ampere AC/s). Nonostante nei conduttori le cariche mobili siano le cariche negative, si assume convenzionalmente che il verso della corrente sia quello che avrebbero le cariche positive, se si muovessero, e quindi si assume che la corrente sia nel verso del campo elettrico E, o equivalentemente, nel verso che va dal potenziale maggiore a quello minore. V V - V - E V -

2 -Si definisce il vettore densità di corrente j come la corrente che passa per unità di tempo e di superficie attraverso una superficie A(sezione del conduttore) perpendicolare alla direzione della velocità dei portatori di carica positivi (per la convenzione detta). l vettore j ha direzione e verso del campo elettrico (per la convenzione detta) dq j A dt -Poiché i portatori di carica sono accelerati dal campo elettrico e allo stesso tempo frenati dagli urti con gli altri portatori di cariche e dalle interazioni con gli atomi, l effetto totale è che si muovono (ed è verificato sperimentalmente) con una velocità costante. - Questa velocità viene chiamata velocità di deriva (o velocità limite come nel moto di un oggetto in un fluido viscoso) -Se nn/ è il numero di portatori di carica, ognuno con carica q, che si muovono con velocità di deriva in un volume del conduttore ( vedi figura: il volume ha base la sezione A del conduttore e altezza dl dt, per cui A dt), allora la carica totale che in un tempo dt attraversa il volume è dqnq(n/ )q. Quindi da : dq j A dt si ottiene j nq (unità di misura A/m ) e Ç j da(j A, se j uniforme sulla area A e A normale a j) : l intensità di corrente è il flusso attraverso A della densità j. A dt A V E A V - dl dt

3 Nei sistemi fluidi o ionizzati in cui le cariche sia positive che negative possono muoversi, la densità di corrente di carica positiva j n q v d e quella negativa j - n - q - v - d. sono nella stessa direzione e verso. nfatti la velocità di deriva delle cariche negative è direzione opposta a quella degli ioni positivi, ma anche la carica q - è negativa e quindi il prodotto j - n - (-q )(-v - d ) n - q, quindi j j j - (n n -) q v d n e n - sono il numero di portatori di carica positiva e negativa per unità di volume. 3

4 esistenza elettrica La corrente che circola in un conduttore, a parità di ddp applicata, dipende dalla struttura atomica,dal numero dei portatori di carica, e dall impedimento che essi trovano a muoversi: tutto ciò si traduce in una caratteristica del conduttore chiamata resistenza del conduttore, che è una caratteristica del tipo di materiale di cui è composto il conduttore. n alcuni conduttori, detti ohmici, si verifica che la resistenza è sempre la stessa qualunque sia la applicata, ovvero, aumentando o diminuendo, la corrente che fluisce nel conduttore aumenta e diminuisce in modo proporzionale. Quindi il rapporto / è costante. La resistenza per ogni sostanza ohmica è definita dal rapporto: (Ω (Ohm)V/A) l valore della resistenza, costante per un conduttore ohmico, varia al variare del conduttore ( la resistenza dell argento diverso dalla resitenza del rame, del nichel ) Da questa definizione segue quella che viene chiamata la legge di Ohm; legge empirica che vale per molti conduttori ohmici ovvero la caduta di potenziale ai capi di una resistenza ohmica è data dal prodotto della resistenza per la corrente, con proprietà del conduttore considerato, indipendente sia dalla ddp che dalla corrente. (V) Cond. B Cond. A (V) (A) Curve caratteristiche per cond. ohmici (A) Curva caratteristica per cond. non ohmico La resistenza si definisce anche per i conduttori non ohmici, ma non vale la legge di Ohm e la resistenza è ancora una proprietà del conduttore considerato, ma dipende sia dalla ddp che dalla corrente e con esse 4 varia (vedi grafico a destra, la resistenza / varia al variare della corrente)

5 esistenza elettrica e resistività La resistenza dipende dalla forma geometrica del conduttore e dalle sue dimensioni e dal materiale: la dipendenza del materiale è la proprietà che si chiama resistività, indicata con ρ (da non confondere con la densità volumetrica di carica elettrica). σ /ρ è chiamata conduttività elettrica del conduttore. elazione tra resistenza e resistività e forma del conduttore. Conduttore omogeneo isotropo (stesso materiale con le stesse caratteristiche in tutte le direzioni) a sezione S costante. V L E V - S Nel conduttore omogeneo isotropo a sezione S costante, lungo L, ai cui capi vi sia una ddp, il campo elettrico è per ragioni di simmetria uniforme e così la densità di corrente che circola: Quindi EL e js, e ne segue che EL js La resistività ρ del materiale è la costante di proporzionalità tra il campo elettrico E e la densità di corrente j ρ E j r r j σe Analogamente la conduttività σ è la costante di proporzionalità tra j e E: j σ E è la relazione è conosciuta come la legge microscopica di Ohm,(o relazione costitutiva in conduttori ohmici) La relazione che lega la resistenza alle caratteristiche del conduttore è per il conduttore a sezione costante L ρ S Maggiore la lunghezza del conduttore è maggiore la resistenza, maggiore la sezione, minore la resistenza. 5

6 esistenza elettrica: resistività La resistività si misura in Ω m, l unità di misura della conduttività σ viene indicata con mho(ω m) - (o Siemens m). valori di resistività variano di vari ordini di grandezza: dai 0-8 Ω m (argento, rame e metalli) a 0 Ω m nelle sostanze che possono essere considerati isolanti (quarzo,legno). Nelle rocce vi è una ampia variabilità, e il valore dipende fortemente dalla componente in metalli, dalla presenza di acqua, di pori, saturati in fluidi, dalla presenza di argille ecc. n particolare sia le rocce della litosfera che del mantello hanno un comportamento particolare, chiamato comportamento semiconduttore (tipico di materiali che contengono silicio e germanio). semiconduttori hanno una struttura atomica particolare, in cui esiste un gap di energia tra l ultima orbita parzialmente riempita e la successiva L energia termica in questo caso aiuta a superare il gap d energia che non consentirebbe il fluire della corrente. Questi sistemi hanno un comportamento isolante a temperatura ambiente, mentre la loro resistività diminuisce quando aumenta la temperatura, secondo una legge esponenziale decrescente β( T ) ρ ρoe con ρ 0 resistività a temperatura ambiente T 0 [in gradi Kelvin]. Ovviamente la loro conduttività aumenta con la temperatura che cresce. Nei metalli puri, al contrario, la resistività aumenta quando aumenta la temperatura (aumenta l agitazione termica e aumentano gli urti) secondo una legge lineare: ρ ρ T 0 ( α( T )) o T 0 dove l ordine di grandezza del coefficiente α [K - ]è0-3. Un comportamento anomalo hanno alcuni metalli e composti particolari, isolanti a temperatura ambiente, ma nei quali la resistività sparisce a temperature vicino allo zero assoluto: materiali superconduttori. 6

7 Legge dei nodi e esistenze in serie e in parallelo l comportamento di diversi materiali conduttivi a contatto, con diverse resistenze, è regolato dalla legge di Ohm e dalla legge di conservazione della carica. La legge di conservazione della carica, in condizioni stazionarie, dice che la carica che circola in condizioni stazionarie (non dipendente dal tempo) in un circuito non può né essere creata né essere persa. La legge di conservazione della carica è analoga per la circolazione di corrente elettrica alla legge di conservazione della massa nei fluidi in moto stazionario. Qui si esprime dicendo che j S è la corrente che circola in un conduttore con sezione S e se questo conduttore si allarga a diversa sezione mantenendo le stesse caratteristiche materiali allora la corrente j S, ovvero la densità deve cambiare, ma la quantità totale di carica per unità di tempo non cambia. Ancora, se un conduttore in cui circola una corrente si divide per es. in due conduttori,( che possono essere sia dello stesso materiale del conduttore principale, ma anche di materiali diversi rispetto al primo e tra loro), la somma delle correnti che fluisce nei due conduttori a valle deve essere uguale alla corrente che circola nel conduttore a monte: il punto di divisione si chiama nodo e nel nodo la somma delle correnti entranti deve essere uguali alla somma delle correnti che escono (LEGGE DE NOD): js j S j S 7

8 La legge di nodi può ovviamente essere generalizzata a un numero qualsiasi di correnti a valle e di correnti a monte:la somma delle correnti entranti in deve essere uguale alla somma delle correnti uscenti out. Σ in Σ out Se si da valore positivo alle correnti che escono dalla superficie e negativo a quelle che entrano, la legge dei nodi si esprime dicendo che la somma algebrica di tutte le correnti deve essere nulla in un nodo V A j S V B js js V A V B j S - Nel sistema di figura, un filo di rame, per es., di sezione S, si divide in due tronchi, chiamati rami. -A parità di lunghezza e resistività, nei due rami si ha diversa resistenza, visto che essi hanno sezione diverse dal ramo principale. - Al nodo A il potenziale V A è uguale sia per il ramo principale che per i due rami e al nodo B analogamente il potenziale V B è uguale per tutte tre le componenti. Lo stesso vale se i due rami sono di materiale conduttore. - A destra è rappresentato schematicamente il sistema dei due rami, con il simbolo che viene usato per la resistenza. 8

9 V A j S V B js js V A V B j S --l sistema che è rappresentato è un sistema di resistenze in parallelo: due o più resistenze i cui estremi hanno la stessa differenza di potenziale. - Anche in questo caso, come nei condensatori, si definisce un componente equivalente che ha gli stessi effetti: la resistenza equivalente. La resistenza equivalente di due resistenze in parallelo è definita come la resistenza che si trova alla stessa ddp V A -V B e che è attraversata dalla corrente totale. Quindi nell esempio eq esistenza equivalente per resistenze in parallelo eq eq eq -Se le resistenze sono in parallelo, la resistenza equivalente è minore di ciascuna delle due resistenze. -Un parallelo viene utilizzato se si vuole che - una resistenza debba essere attraversata da corrente minore di quella fornita a valle, (partitore di corrente), - o quando attraverso la misura della corrente che circola, conoscendo la resistenza, si voglia misurare la ddp ai capi di una altra resistenza. (voltmetro). l voltmetro viene in parallelo in un circuito, cosi da avere e misurare la stessa ddp della resistenza, e deve avere una grossa resistenza, in modo da convogliare nello strumento la minore corrente possibile, per non alterare la corrente nel circuito principale e quindi la caduta di potenziale ai capi di questa. 9

10 V A js esistenze in serie V C j S V B V C - Una situazione diversa è quella in cui o il ramo si restringe ( o si allarga), o la corrente incontra a monte un materiale diverso (anche della stessa sezione). Ora si hanno due resistori in serie, e la corrente che li attraversa per la conservazione della carica non può cambiare. - La caduta di potenziale per ogni resistore è ora diversa e la somma delle ddp ai capi dei due resistori, V A V c e V c -V B è la ddp totale V A -V B applicata all intero sistema. Nel punto di contatto tra i due resistori il potenziale è lo stesso, V C. - A destra è rappresentato schematicamente il sistema di resistenze in serie: due o più resistenze attraversate dalla stessa corrente. -La resistenza equivalente di due resistenze in serie è definita come la resistenza attraversata dalla corrente comune e ai cui capi vi è una ddp che è la somma delle singole differenze di potenziali. - Quindi nell esempio: eq eq V A V A V (res. in serie) C V C V Se le resistenze sono in serie, la resistenza equivalente è maggiore di di ciascuna delle due resistenze. Una serie viene utilizzata -se si vuole ripartire una ddp totale (partitore di potenziale) - per misurare la corrente che circola in un circuito elettrico il sistema di misura (amperometro) deve essere messo in serie alle resistenze del circuito. Notare comunque che la corrente misurata non è, a parità di ddp del generatore di corrente, la corrente che circolerebbe nel circuito senza l amperometro. nfatti se / è la corrente che circola in un circuito con resistenza alimentato a, se a è la resistenza dell amperometro in serie, la corrente che circola e viene misurata è /( a ). Minore è la resistenza dell amperometro maggiore l accuratezza della misura. A V B 0

11 Forza elettromotrice, potenza erogata e dissipata. - l sistema che fornisce la differenza di potenziale e che la mantiene nonostante la circolazione di cariche è chiamato forza elettromotrice e non può essere fornito da distribuzioni di cariche che creano campi elettrostatici: il campo elettrostatico è conservativo e se un sistema di resistenze viene collegato a un sistema statico, tutto il sistema si porta in equilibrio, il potenziale diventa uguale su tutti i componenti e non circola più corrente. -Per ottenere una ddp stabile ai capi di un sistema di resistori serve un sistema che mantenga la differenza di potenziale e continui a far muovere le cariche a spese di qualche altra forma di energia. La batteria o la pila, i generatori di correnti alternata, le celle solari sono sistemi di questo tipo. Per ognuna di esse si sfrutta un altra forma di energia (chimica, radiazione elettromagnetica, energia meccanica) per produrre energia elettrica. Non entreremo in dettaglio sul funzionamento di questi sistemi. -La forza elettromotrice (fem) è la differenza di potenziale ai capi di ognuno di questi dispositivi, che viene misurata quando ai suoi capi non vi è nessuna resistenza di carico ( si dice a circuito aperto,ovvero collegando il voltmetro direttamente a quelli che si chiamano poli (positivo e negativo))della fem. Convenzionalmente al polo negativo si assegna valore V0 e la ddp misurata viene attribuita come potenziale del polo positivo. l simbolo della fem per circuiti in corrente continua (non alternata) è: - f (fem) [Volt] V A circuito aperto femv nterruttore aperto

12 r f (fem) [Volt] - nterruttore chiuso -Quando si chiude l interruttore, la corrente circola dal polo positivo attraverso la resistenza di carico fino al polo negativo, e continua a circolare nella fem dal polo negativo al polo positivo (e questo movimento interno è avviene a spese della energia chimica, o meccanica ecc). - Nel movimento all interno della fem le cariche incontrano una resistenza, propria di ogni dispositivo, chiamata resistenza interna della fem (r), di solito molto minore della resistenza di carico. La resistenza interna viene di solito rappresentata all esterno della fem come resistenza aggiuntiva in serie a. La corrente che circola nel circuito rappresentato è quindi: f Legge di Ohm generalizzata r -Ne consegue che quando il circuito è chiuso, la fem fornisce sia la ddp ai capi della resistenza, ma anche la ddp per far fluire la corrente al suo interno v i r. Quindi a circuito chiuso f v i. -Un voltmetro collegato alla fem (in parallelo con la fem e con la resistenza di carico ), a circuito chiuso, misura la ddp f f-r. La ddp di funzionamento nel circuitp è minore di quella dichiarata sul generatore e varia con la resistenza interna del generatore. - Passando dal polo negativo al positivo si ha un salto positivo della ddp, se la corrente fluisce nel verso regolare da - a, ma si deve notare che la corrente in una batteria può fluire anche in senso contrario, e in questo caso essa si sta caricando, ovvero assorbe energia., quando in una fem la corrente circola nel senso dal positivo al negativo (ovviamente ci sarà un altra batteria a dare energia)allora la ddp ai suoi capi è -f f r f - - r f f r r

13 - Energia dissipata, energia erogata, Legge di Joule per i conduttori -Quando la carica dq si muove nel tempo dt attraverso la differenza di potenziale (V A -V B )>0 ai capi di una resistenza, si ha una perdita di energia potenziale elettrica UU(B)-U(A)dq(V B -V a )-dq V A V B <V A - Si definisce POTENZA DSSPATA nella resistenza la rapidità con cui si perde energia elettrica P d - U/dt (dq/dt) (J/sW) -Se la resistenza è ohmica, e la potenza dissipata può essere scritta nella forma P d ( ) /. Questa energia in condizioni stazionarie viene trasformata in calore (la resistenza si riscalda). Questo calore viene ceduto con continuità all ambiente esterno, se questo è a temperatura più bassa (legge di Joule o riscaldamento ohmico) o viene trasformata (come in lampadine incandescenti)in energia luminosa (radiazione elettromagnetica) -L energia dissipata per unità di tempo, è fornita dalla batteria, che mantiene la ddp ai capi della resistenza. Per trovare la POTENZA EOGATA, basta considerare la ddp ai capi della batteria a circuito chiuso e moltiplicarlo per la corrente che circola: P e i (dq/dt)(f-r)f-r f è la POTENZA NOMNALE erogata dalla fem se in essa circola una corrente. l termine - r è la perdita di potenza dovuta alle resistenze interne, la fem si riscalda durante l uso. Normalmente i generatori di fem aumentano la loro resistenza interna con l uso. 3

14 Non verrano svolti in questo corso gli argomenti : Leggi di Kirckhoff: per l analisi dei circuiti più complessi di quelli trattati in questa parte e la parte di carica e scarica di un sistema conduttore come un condensatore. Si raccomanda di leggere gli argomenti anche se non sono materia di esame, per avere una idea quando argomenti attinenti verrano considerati nei corsi successivi. 4