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Tommaso Capone
5 anni fa
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1 Circuiti DC : circuiti a corrente diretta o corrente stazionaria, anziche corrente alternata dove la f.e.m e la corrente variano nel tempo. Un circuito e composto da una o piu maglie, es.; 3 P N P N 3 P N Circuito ad una maglia Circuito a due maglie Quando le correnti sono stazionarie ( o DC), allora i campi elettrici non dipendono dal tempo. Segue che sono conservativi, cioe che per ualsiasi cammino chiuso; E dl Considerando cammini che coincidono con uelli delle correnti, si puo esprimere uesta circostanza nei termini del; Primo principio di Kirkhoff: La somma delle differenze di potenziale in un cammino chiuso corrispondente and una maglia e nulla.

2 Si consideri il circuito ad una maglia. Circolando in senso orario, si ottiene; N P E. dl E dl E dl E dl E dl ovvero P P N N NP P N (N.. Si noti che, per semplicita, abbiamo trascurato le resistenze interne delle f.e.m.) Nel caso di un circuito a piu maglie, il verso delle correnti non e noto a priori e viene assegnato arbitrariamente. l segno delle soluzioni indichera il verso corretto. pplicando il medesimo principio ad i tre cammini indicati nel circuito a due maglie si ottengono 3 3 () euazioni lineari corrispondenti. P ()! N! () 3 P N (3)!!! 3 ( 3 ) ()!!!!! 3! 3 3 (3) egole utili per tener conto dei segni (a) Se il cammino percorre una resistenza nello stesso verso della corrente, la differenza di potenziale e <. E dl cammino

3 (b)se il cammino interno alla f.e.m. va da polo vo (nodo) a polo vo (Catodo) la differenza di potenziale e < PN N N P E dl P P N cammino Si ricordi, inoltre, che le resistenze interne, che abbiamo trascurato ui, si comportano come le resistenze esterne. PN N E dl r P P r N cammino Un altra regola per risolvere il comportamento di circuiti DC deriva dalla conservazione di carica. ffinche la situazione rimanga stazionaria nel circuito DC, non puo accumularsi la carica ai nodi (punti ai uali si collegano piu di due fili). Segue che, la corrente entrante deve corrispondere alla corrente uscente dal nodo. Secondo principio di Kirkhoff in ogni nodo, la somma algebrica delle correnti e nulla Si assegna segno vo ad una corrente entrante e -vo uscente 3

4 pplicando uesto principio al circuito a due maglie, si ottiene per il nodo () 3 e per il nodo () 3 (4) (5) P N () () pplicando, dunue, il primo ed il secondo principio a circuiti complessi si ottiene un sistema di euazioni lineari che permettono di ricavarne le incognite. l numero di ueste euazioni puo essere piu grande di uelllo delle incognite. Nel caso del nostro circuito a due maglie, si ottengono 5 euazioni per 3 incognite ( le 3 correnti ). Pero, si nota che non sono tutte indipendenti: (3) () () e (5) - (4) Si hanno in fatti solo 3 euazioni indipendenti che sono sufficienti per 3 correnti incognite. n conclusione, e il caso di enfatizzare che i principi di Kirkhoff sono solo applicazioni di leggi fondamentali. * Conservazione di carica E. dl * (campo conservativo) per situazione stazionaria P N

5 Strumenti di misura elettrica () L amperometro e uno strumento per misurare la corrente. dealmente, l amperometro e privo di resistenza elettrica e viene inserito in serie. () l voltmetro e uno strumento per misurare la differenza di potenziale tra due punti. delamente, ha resistenza infinita e viene collegato in parallelo. Siccome >>, si possono trascurare gli effetti su e dell inserimento del voltmetro. rappresentazione schematica rappresentazione schematica (3) l Galvanometro e uno strumento (idealmente privo di resistenza) molto sensibile ala presenza di corrente. Si usa per rilevare (non misurare) la presenza di corrente. rappresentazione schematica G G 5

6 (4) l potenziometro Uno strumento per misurare di una f.e.m. pplicando il secondo principio di Kirkhoff al nodo a: ʹ ʹ () e applicando il primo principio alla maglia abcd: ʹ ( ρl / ) r () a d l rif r b G c filo di resistivita (ρ) e di sezione () uniformi fem incognita Si varia l fino a che. llora, da () si ottiene - e da () ρl/ (3) Spostando l interruttore e ripetendo la procedura con rif si ottiene; rif ρl rif / Quindi, dividendo (3) per (4) (4) l l rif rif Si noti che si prendono le misure uando la corrente nelle f.e.m. sono nulle, cioe uando il potenziale tra i poli la f.e.m. perche non vi e caduta di potenziale attraverso le resistenze interne. 6

7 Misura di resistenza il ponte di Wheatstone Si varia la resistena (calibrata) fino a che non passa corrente nel galvanometro ( G ). llora, applicando il secondo principio di Kirkhoff, si ottiene; noltre, ovvero mentre poi da dalla x e applicando x () () x maglia il primo bcd si principio () ottiene; () alla maglia abd; a r b G G d x x c x Si noti che la precisione della misura puo essere variata con il rapporto ( / ). 7

8 Circuiti C Si consideri la maglia illustrata, supponendo il condensatore inizialmente carico (Q) e l interruttore aperto. Chiudendo l interruttore a tempo t, s instaura una corrente corrispondente alla differenza di potenziale iniziale ( Q/C). pplicando il primo principio di Kirkhoff alla maglia, si ottiene: Q/C La corrente diminuisce progressivamente la carica e uindi anche il potenziale. pplicando il primo principio di Kirkhoff successivamente a tempo t, si ottiene (t)/c i(t) () (t) C i(t) Dove (t) e la carica a temp t. Si sa, inoltre, che i -d/dt () e sostituendo () in (); /C -d/dt oppure, d " C dt e, integrando parte per parte, si ottiene [ ln] Q ( ) t " C [ ] t ovvero, ln " lnq "( t C) cioe' 8

9 ln Q Qe ( t ) C ( t ) C La carica sul condensatore tende dunue asimtoticamente verso zero. La corrente e data da; d d ( t ) C i Q e dt dt cioe' ( t Q ) C i e C La costante C e detta la costante temporale capacitativa dimensionalita : /[T] oppure ( t ) C i e l processo per caricare il condensatore e analogo. Si effettuerebbe introducendo una f.e.m. pplicando il primo principio di Kirkhoff a uesta maglia, si trova: i oppure C d ovvero - dt C d C dt C i Q Q C C t 9

10 Definendo '!!C, si ha che d' d e che '!!C a t e sostituendo si ottiene d' dt ' C oppure d' '! dt C con soluzione; ( )! t C ln ' ' Q ( ' ' e!t C) che corrisponde a; t!c(! e! t C ) oppure Q (! t C ) e! La corrente e : i d dt Q C e t / C t / C ( e ) i t

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