Generatore di forza elettromotrice f.e.m.

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1 Generatore di forza elettromotrice f.e.m. Un dispositivo che mantiene una differenza di potenziale tra una coppia di terminali batterie generatori elettrici celle solari termopile celle a combustibile L energia si conserva! Un dispositivo f.e.m. converte semplicemente altre forme di energia (p.es., chimica, meccanica, solare, termica, e così via) in energia elettrica.

2 F.E.M. Forza Elettromotrice All interno di un dispositivo f.e.m., i portatori di carica positiva si muovono dal terminale a potenziale più basso (cioè, il terminale negativo) a quello a potenziale più alto (cioè, il terminale positivo). Quindi del lavoro deve essere svolto nel processo. La f.e.m. del dispositivo è definita come lavoro per unità di carica: dw dq unità SI: volt (V) 1 J/C = 1 V

3 F.E.M. Due batterie ricaricabili connesse ad un motore elettrico e una resistenza Le batterie sono collegate in modo da far circolare la corrente in verso opposto. La batteria B presenta una f.e.m. maggiore di A. In questo modo, oltre ad azionare il motore, si carica la batteria A.

4 Dispositivi f.e.m. ideali e reali Dispositivo f.e.m. ideale: un dispositivo f.e.m. in cui i portatori di carica non subiscono alcun effetto di resistenza elettrica quando si muovono da un terminale all altro. In questo caso, la differenza di potenziale tra i due terminali è eguale alla f.e.m. del dispositivo. Dispositivo f.e.m. reale: un dispositivo f.e.m. in cui i portatori di carica subiscono un effetto di resistenza elettrica quando si muovono da un terminale all altro. In questo caso, la differenza di potenziale tra i due terminali è più piccola della f.e.m. del dispositivo, a causa della dissipazione di energia interna. Ci riferiamo a questo fenomeno come caduta di tensione Ohmica.

5 Circuiti elettrici stazionari Come facciamo a determinare le correnti che fluiscono negli elementi circuitali (resistenze) quando le combinazioni di tali elementi diventano più complesse (circuiti)? E quindi non possiamo ridurre ad un unico resistore equivalente le resistenze presenti nel circuito.

6 Definizioni Nodo: giunzione di ALMENO tre rami di un circuito Maglia: percorso CHIUSO lungo un circuito elettrico (punto iniziale e finale coincidenti).

7 Leggi di Kirchoff I legge: dei nodi La somma delle correnti che entrano in un nodo deve essere eguale alla somma delle correnti che escono dal nodo stesso." I in I out Questa legge deriva dal principio di conservazione della carica, valido in ogni nodo. Le correnti che entrano e escono dai nodi del circuito sono note come correnti di ramo. Ciascun ramo deve avere una distinta corrente, I i assegnata ad esso

8 Leggi di Kirchhoff II legge: delle maglie La somma algebrica delle differenze di potenziale rilevate su un circuito chiuso in un giro completo è nulla." Vn maglia 0 Muovendosi in senso orario sul circuito: R 1 I 1 R IR 1 - IR Questo è soltanto un altro modo per ribadire ciò che sapevamo: la differenza di potenziale è indipendente dal cammino!

9 Regola pratica - + R 1 I 1 R Muovendosi sul circuito: IR 1 - IR Gli incrementi di potenziale sono positivi, le diminuzioni ( caduta ) sono negative. Scegliamo una direzione ARBITRARIA per la corrente e (p. es.) percorriamo il circuito nella medesima direzione. Se una batteria viene attraversata dal terminale negativo a quello positivo, il potenziale aumenta, e quindi la d.d.p. della batteria entra nell equazione con un segno +, Se il percorso scelto è tale da attraversare la batteria da (+) a (-) V diminuisce ed entra nell equazione con il segno -. Attraversando un resistore (resistenza), nel verso della corrente, il potenziale diminuisce e quindi entra nell equazione con un segno -.

10 Regola pratica invertendo il senso della corrente (mantenendo il verso di percorrenza orario), si ha sulla maglia - + I IR 1 - IR E impossibile scegliere un verso del cammino sbagliato (circuiti a più maglie). SE INVERTIAMO UN CAMMINO, SI DEVONO CAMBIARE TUTTI I SEGNI NELL EQUAZIONE. Non vi è alcuna differenza nell algebra! COMUNQUE, è possibile che nella soluzione una o più delle correnti risultino NEGATIVE. Se questo accade, vuole semplicemente dire che la direzione del flusso di corrente è in realtà opposto a quello arbitrariamente scelto.

11 Esempio Scelto un verso per I, e percorrendo la maglia in senso antiorario Vn maglia 1 2 I 0 - R + R + R + R I b R 1 a c 1 f d R 4 R 2 R IR1 - IR2-2 - IR3 - IR Se 1 < 2, I sarebbe negativa, cioè fluirebbe in senso orario, opposto al verso ipotizzato e I Se invertiamo il verso scelto per I (ma non quello di percorrenza) Vn loop 2 1 I 0 + IR1 + IR2-2 + IR3 + IR R + R + R + R Se 2 < 1, I sarebbe negativa, cioè fluirebbe in senso orario, opposto al verso di percorrenza scelto

12 Resistori in serie Consideriamo un circuito costituito da una batteria ideale e due lampadine con resistenze R 1 e R 2. deve essere I cost per cui V V V + V IR + IR eq eq 1 2 eq ac ab bc quindi V IR IR + IR R R + R in generale R R + R + R La resistenza equivalente di un insieme di resistori collegati in serie è uguale alla somma delle singole resistenze ed è sempre maggiore di ciascuna di esse

13 Resistori in parallelo Consideriamo un circuito costituito da una batteria ideale e due lampadine collegate in parallelo con resistenze R 1 e R 2. V V 1 1 V deve essere V cost I I1+ I 2 + V + R1 R2 R1 R2 Req quindi + in generale R R R R R R R eq 1 2 eq L inverso della resistenza equivalente di due o più resistori collegati in parallelo è uguale alla somma dell inverso delle singole resistenze (sempre minore del più piccolo resistore).

14 Esempio Le lampadine collegate al generatore in questo modo, sono tutte eguali: 1) quale sarà, nell ordine, la loro luminosità? 2) cosa succede se si interrompe A ( si brucia)? 3) se si interrompe C? 4) se si interrompe D? 1.in C e in A+B passa la stessa corrente, quindi C sarà più luminosa di A o B, che hanno la stessa luminosità; D non si accenderà mai (ha i terminali in corto-circuito) 2. B si spegne, C più luminosa, D sempre spenta 3. A e B più luminose, D sempre spenta 4. ininfluente

15 Esempio a) trovare la resistenza equivalente della rete di resistori in grafico b) qual è la corrente in ciascun resistore se la d.d.p. tra a e c vale V ac =42V Applicando le relazioni per collegamento in serie e parallelo di resistenze R 14 eq Vac 42V usando V IR si ha I 3A R 14 La corrente nelle resistenze da 8 e 4 è I 3A Ai capi b e c V cost quindi eq 6 I 3 I da cui I 2 I, inoltre I + I I 3 A I 1A e I 2 A

16 Esercizio Determinare la corrente in ciascuno dei rami del circuito in figura. Definiamo i versi (arbitrari) delle correnti e semplifichiamo le resistenze in serie: legge delle correnti al nodo I3 I1 + I2 legge delle maglie sostituendo 4V + I2 6 I1 I1 8 I2 6 4V I2 6 + I1 + I2 4-8V 0 4V + I2 6 I I2 4-8V 0 8 I 6 + 2V + I 7-8V 0 I 6 13 A I A I A percorse in senso orario I18 - I26-4V 0 4V + I26 + I3 4-12V 0 I versi sono uguali a quelli disegnati.

17 Resistenza interna di un dispositivo fem Qualunque dispositivo fem ha una resistenza interna. Consideriamo una batteria reale. Applichiamo la legge di Kirchhoff alle maglie (senso orario) - ir - ir 0 i R + r V ab - ir R R+ r

18 Energia e Potenza nei circuiti elettrici V Rammentiamo: Supponiamo che la corrente nel circuito in fig. sia i, fluendo attraverso la d.d.p. V. In un intervallo di tempo dt, la quantità di carica che si muove da a a b è quindi dq = idt. La variazione nell energia potenziale associata con questa carica è Pertanto, la potenza associata con il trasferimento di carica è Per un dispositivo di resistenza R, la dissipazione di potenza è du dq V idt V Potenza = (Energia)/(intervallo di Tempo) P P du dt i R iv 2 V R 2 Tre modi per scrivere P.

19 Campi elettrici nei circuiti Analogia fluidodinamica riferita ad un circuito elettrico La batteria provvede a stabilire una f.em. nel circuito: pompa le cariche da un potenziale minore ad uno maggiore. W F d s Lavoro svolto dalla batteria La f.e.m. è il lavoro per unità di carica. f. e. m. W F q q Non si può associare F/q ad un campo elettrico perchè la forza F che agisce all interno del generatore ha, in generale, diversa origine (chimica, meccanica, ) ds

20 Campi elettrici nei circuiti Entro i fili è presente un campo elettrico (necessario per lo scorrimento delle cariche). Condizioni NON elettrostatiche! Inizialmente (pochi ns) le correnti distribuiscono le cariche sulle superfici dei fili in modo da creare all interno un campo elettrico. Le cariche superficiali guidano la corrente lungo le curve del filo metallico. La maggiore resistività di un resistore si traduce in una strozzatura : le cariche elettriche si addensano agli estremi conduttori per stabilire un campo elettrico sufficiente a garantire il flusso di corrente!

21 Conservazione dell energia Consideriamo un circuito costituito da una batteria ideale (B) con f.e.m., un resistore R, e due fili di connessione (con resistenza trascurabile). Conservazione Energia: l energia dissipata nel resistore deve eguagliare il lavoro fatto dalla batteria Durante un intervallo di tempo dt, il lavoro svolto dalla batteria è dw = dq = i dt, l energia dissipata nel resistore è de = i 2 R dt. Eguagliando le due relazioni si ha i = / R.

22 Generatore di f.e.m. reale V - I r poichè V I R I R + I r I R+ r batt 2 2 P I I R + I r la resistenza interna del generatore deve essere trascurabile rispetto a quella del carico per avere un efficiente trasferimento di energia!

23 Potenza (elettrica) e Dissipazione La potenza netta trasferita da un dispositivo fem ai portatori di carica è data da P iv i( V - V ) i( - ir) i - b a i 2 r Definizioni: potenza FEM : Pfem i Dissipazione interna di potenza: P P P 2 P r i r fem - r Conservazione dell Energia!

24 Esempio 1 Consideriamo il circuito in figura: Qual è la relazione tra V a -V d e V a -V c? a 50 b I 1 I 2 (a) (V a -V d ) < (V a -V c ) (b) (V a -V d ) = (V a -V c ) (c) (V a -V d ) > (V a -V c ) 12V 20 d c 80 Rammentare che il potenziale è indipendente dal cammino! I punti d e c sono identici, elettricamente Avendo assunto cd come un perfetto conduttore, i punti c e d sono equipotenziali. Ciò varrebbe anche se il circuito non fosse statico, come in questo esempio.

25 Esempio 2 Consideriamo il circuito in figura: a 50 Qual è la relazione tra I 1 e I 2? 12V 20 b I 1 I 2 80 d c (a) I 1 < I 2 (b) I 1 = I 2 (c) I 1 > I 2 Si noti che: V b -V d = V b -V c (assumendo fili conduttori ideali) Pertanto, I (20 ) I (80 ) I1 4I2 1 2

26 Suggerimenti per risolvere i problemi Dato un circuito, analizzarne attentamente la topologia. trovare i nodi e ciascun ramo, selezionarne i sottoinsiemi Linearmente Indipendenti. definire le correnti di ramo Usare la II legge di Kirchhoff per tutte le maglie indipendenti nel circuito. la somma delle tensioni lungo queste maglie è nulla! Usare la I legge di Kirchhoff per tutti i nodi independenti del circuito. Il numero di equazioni indipendenti necessarie deve essere eguale al numero di correnti incognite!

27 Amperometro e Voltmetro Amperometro: strumento usato per misurare correnti Deve essere connesso in serie. La resistenza interna di un amperometro deve essere la più piccola possibile. Voltmetro: uno strumento usato per misurare differenze di potenziale Deve essere connesso in parallelo. La resistenza interna di un voltmetro deve essere la più grande possibile.

28 Amperometro e Voltmetro Amperometro: misura correnti connesso in serie: bisogna interrompere un ramo di circuito ed inserire lo strumento. In pratica l Amperometro è essenzialmente una resistenza di shunt (di caduta) R s molto bassa, inserita nel ramo del circuito, con un voltmetro ad elevata impedenza connesso ai suoi capi (dello shunt ) che misura la corrente di shunt come I = V/R s Voltmetro: misura differenze di potenziale La resistenza interna di un voltmetro deve essere resa la più grande possibile rispetto alle resistenze presenti nel circuito dove effettuare la misura. Se R voltmetro = 100 x R j essa ridurrà il valore effettivo di R j di circa 1% e perturberà il flusso delle correnti nella maglia e, potenzialmente, anche in altre.

29 Circuiti non-stazionari Fin qui abbiamo trattato correnti costanti, cioè circuiti in condizioni stazionarie Consideriamo adesso dei semplici circuiti in cui la corrente varia nel tempo Calcolo Carica di un condensatore attraverso una Resistenza Calcolo Scarica di un condensatore attraverso una Resistenza

30 Circuiti RC il condensatore è inizialmente scarico per t<0 l interruttore S è aperto, non circola corrente per t>0 chiudiamo S, circola una corrente I: il campo elettrico della batteria spinge gli elettroni verso la placca superiore di C e li rimuove da quella inferiore non vi è passaggio di corrente tra le placche di C!!! il valore max di carica dipende dalla f.e.m., quando viene raggiunto non circola più corrente

31 Circuiti RC Carica di un condensatore: C inizialmente scarico; chiudiamo l interruttore su a a t=0 Calcoliamo la corrente e la a + b I R C I + carica in funzione del tempo. Q C Legge maglia - IR - 0 È importante la posizione di R nella maglia? Convertiamola in una equazione differenziale per Q: I dq dq Q R + dt dt C

32 Soluzione eq. differenziale (1 ordine) dq R + dt Q C dq Q - dt R RC Q dq / R - Q / RC 0 0 t dt Q / R-Q / RC d ( / R - Q / RC) dx t -RC -RC / R - Q / RC X 0 / R avendo posto X / R - Q / RC con dx -dq / RC t / R -Q / RC / R - Q / RC - ln X / R RC ln / R -t/ RC Q e 1- C 1 dq Q C - e, i e dt R - t / RC -t / RC

33 Q Carica del condensatore Carica su C Max = C 63% Max a t = RC Q C 1 -e I Max = /R Corrente dq dt 37% Max a t = RC -t / RC - t / RC R e f( x) C 1 Q costante di tempo RC1 f( x) I RC 2RC x t/rc t t

34 Circuiti RC Scarica del condensatore: C inizialmente carico con Q=C Chiudiamo l interruttore su b a t=0. Calcoliamo la corrente e la carica in funzione del tempo. a b I R C I Legge maglia IR + C Q 0 Convertiamola nella equazione differenziale per Q: dq dq I R 0 dt dt + C Q

35 Soluzione dq R dt Q + C dt RC t 0 Q C dq Q t Q - ln Q C RC ln Q C Q C e dq i - dt -t / RC e R -t / RC Conclusioni: il condensatore si scarica esponenzialmente con costante di tempo = RC la corrente decade dal valore max iniziale (= - /R) con la stessa costante di tempo

36 Q Scarica del condensatore Carica su C Q = C e -t/rc Max = C 37% Max a t=rc Corrente dq I - dt - t / RC R e Max = -/R 37% Max a t=rc zero f( x) f( x) C Q 0.5 I /R 0 RC 2RC x t t 4

37 Combinazioni di RC: quanto vale? R R C C RC C R 2 ) (2 RC R C 2 ) (2 R R C C

38 Riassunto Carica V R q CV (1 - e -t / RC ) + - R S C V C i V R e -t / RC V R Scarica R C V C q i - CV e V R e -t / RC -t / RC

39 Comportamento dei Condensatori Carica Inizialmente, il condensatore si comporta come un filo conduttore. Dopo lungo tempo, il condensatore si comporta come un interruttore aperto. Scarica Inizialmente, il condensatore si comporta come una batteria. Dopo lungo tempo, il condensatore si comporta come un interruttore aperto

40 Applicazione: il flash

41 Esempio 1 Quanta energia è immagazzinata in C nel momento in cui i=2.0 ma? Assumere q(t=0)=0, =50V, R=5K and C=40F V R R C V C S Si potrebbe usare la legge di carica del condensatore, ma esiste un metodo più semplice Usiamo la corrente i per trovare -3 3 V R ir 210 A510 10V

42 Esempio 1 (cont.) V R R C S Usiamo la conservazione dell energia V C VC -VR 50V -10V 40V L energia immagazzinata nel condensatore C è: U U C 4010 F (40V ) CV 2 32mJ 2

43 Esempio 2 I 1 I 2 I 3 C R 2 R 1 Consideriamo il comportamento transiente (tempi brevi e lunghi) di questo circuito. Comportamento a breve termine (t=0): Inizialmente il condensatore agisce come un filo ideale. Quindi, Comportamento a lungo termine (t ): il condensatore è un circuito aperto e

44 Qc Maglia 1: - - IR C Esempio 2 (cont.) Maglia 2 I 1 I 3 I 2 Maglia 2: - I 2 R2 - I1R1 0 Maglia 1 C R 2 dq Nodo: I1 I 2 + I3 I 2 + dt R 1 Eliminare I 1 in M 1 e M 2 usando l equazione al nodo : Qc dq Maglia 1: - - R1 + I2 0 C dt dq dt Maglia 2: - I 2R2 - R1 + I 2 0 eqn. differenziale finale : eliminare I 2 dq Q + R1 dt RR 1 2 C R1+ R2

45 Esempio 2 (cont.) eqn. differenziale finale : dq dt Q + R R1 + R 1R2 R1 2 C Maglia 2 I 1 I 2 I Maglia 1 3 C R 2 costante di tempo: combinazione del parallelo tra R 1 e R 2 Cerchiamo una soluzione del tipo: sostituiamo nella eq. per ricavare A e R 1 Q( t ) A 1 - e - t / I risultati devono obbedire alle condizioni iniziali e finali: A R 2 C R1+ R2 RR 1 2 R + R 1 2 C

46 Esempio 2 (cont.) Maglia 2 per quanto riguarda la scarica? Aprendo l interruttore... I 1 I 2 I Maglia 1 C 3 R 2 Maglia 1 e Maglia 2 non esistono! I 2 è l unica corrente R 1 una sola maglia I 2 C R 2 Q dq - I 2R2 + 0 ma I 2 - C dt R 1 Q() t C e t/ R2C - costante di tempo diversa per la scarica

47 Le leggi di Kirchoff si applicano anche ai circuiti dipendenti dal tempo: si hanno equazioni differenziali! Soluzioni di tipo esponenziale dovute alla forma dell equazione differenziale costante di tempo Riassunto = RC cosa sono R e C? bisogna analizzare il circuito! con RC in serie la soluzione per la carica è Q C - - / 1 e t RC con RC in serie la soluzione per la scarica è / Q C e -t RC

48 Soluzioni di tipo esponenziale dovute alla forma dell equazione differenziale costante di tempo Riassunto = RC Quando il sistema raggiunge l equilibrio? è una convenzione: se diciamo che il sistema è in equilibrio entro, diciamo, lo 0.1% del suo valore asintotico (max o 0) della tensione (carica) di carica o scarica diciamo quindi t = RC* ln(1/.001) = 6.9 Esempio = 10 F * 10 M = 100 s 690 s per 0.1% Se vogliamo una accuratezza di 1 parte per milione, dobbiamo attendere più a lungo.

49 Il condensatore atmosferico - 1 Alcuni processi che avvengono sulla superficie terrestre e nell'atmosfera che danno luogo a distribuzioni di cariche. In particolare, si ha una carica negativa sulla superficie della Terra e in una carica positiva distribuita attraverso l'aria (stimata 5x10 5 C, cause: raggi cosmici, radioattività, fulmini). In particolare, si ha una carica negativa sulla superficie della Terra e in una carica positiva distribuita attraverso l'aria, formando così un condensatore atmosferico. La carica positiva nell'atmosfera è diffusa nell'atmosfera ma, si può descrivere con un'altezza effettiva di circa 5 km al di sopra della superficie.

50 Il condensatore atmosferico - 2 La distribuzione di carica sulla superficie terrestre ha una simmetria sferica, per cui il potenziale in un punto sopra la superficie terrestre vale: Q è la carica sulla superficie e la d.d.p. fra le armature del nostro condensatore atmosferico è: dove R T è il raggio della Terra e h = 5 km.

51 Il condensatore atmosferico - 3 La capacità del condensatore atmosferico vale: e sostituendo i valori numerici: Questo valore è molto grande, confrontato con i picofarad e microfarad che sono i valori tipici dei condensatori nei circuiti elettrici. Specialmente per un condensatore che ha le armature a una distanza di 5 km!

52 Il condensatore atmosferico - 4 Come possiamo determinare il numero di fulmini sulla Terra in un particolare giorno? Le armature del condensatore atmosferico sono separate da uno strato d'aria contenente un grande numero di ioni liberi che possono trasportare la corrente. L'aria è un buon isolante: le misure mostrano che la resistività dell'aria è circa 3 X m. La distanza di 5 km è molto piccola rispetto al raggio della Terra (6400 km): approssimiamo il resistore come uno spessore di 5 km di materiale piatto e di area pari alla superficie della Terra.

53 Il condensatore atmosferico - 5 Possiamo usare un modello dell'atmosfera come un circuito RC C La costante di tempo per questo circuito RC è R La carica sul condensatore atmosferico cadrebbe al valore e -1 = 37% del suo valore originario dopo appena 5 min! Dopo 30 min, rimarrebbe meno dello 0.3% della carica! Perché ciò non accade? Cioè che cosa mantiene carico il condensatore atmosferico? La risposta è: i fulmini

54 Il condensatore atmosferico - 6 Le nubi si caricano e determinano la caduta dei fulmini che forniscono cariche negative al suolo, le quali sostituiscono quelle neutralizzate dal flusso di carica attraverso l'aria. All equilibrio, sul condensatore atmosferico, risulta una carica netta proveniente da questi due processi. Una tipica caduta di un fulmine spedisce al suolo circa 25 C di carica negativa (carica del condensatore). Ogni 30 min il condensatore atmosferico si scarica attraverso R (aria) con 2x10 4 fulmini, cioè 4x10 4 /h, quindi