CIRCUITI ELETTRICI RC

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1 TUTOTO 4: ETI E POTENZ ELETTIC CICUITI ELETTICI C 4.. Nel circuito della figura si ha 5, e 3 3 e nella resistenza passa una corrente I =.Il voltaggio V ai capi della batteria vale () 5 V () 0.5 V (C).0 V (D) 4 V (E) V I = 3 SOLUZIONE. e sono collegate in parallelo. i capi di ed c è una differenza di potenziale V - I 5 V. In fluisce una corrente I V - / =5 V/.5 e nella resistenza 3 passa la somma delle correnti I 3 I + I 3.5. La caduta di tensione ai capi di 3 è perciò V 3 I V e il voltaggio della batteria è V V - +V V. 4.. Una batteria può essere schematizzata come un generatore di tensione V in serie a una resistenza interna in. Quando la resistenza esterna vale si misura una corrente I.4 ; quando la resistenza esterna vale 4.5 la corrente misurata si riduce a I.. La resistenza interna vale circa () 0. () 0. (C) 0.5 (D) 0.67 (E).0 SOLUZIONE. La resistenza interna del generatore è in serie alle resistenze esterne che fanno parte del circuito; applicando la legge di Ohm possiamo scrivere: I I V ( ) in 0.5 in I I I V ( in ) I V ( in ) I 6 V 4.3. Il generatore di voltaggio della figura viene connesso all istante t = 0 al circuito a riposo (condensatore scarico). I valori degli elementi sono: V = V; = 6 ; = ; 3 = ; 4 = 3 ; C = mf. La corrente iniziale in vale () 0 () (C) 4/3 (D) 4 (E) 6/3 V 4 3 C SOLUZIONE. La resistenza equivalente del circuito all istante iniziale, in cui si considera il condensatore come un cortocircuito, è eq = (somma o serie di due coppie di resistenze in parallelo) e vale quindi 34 9 eq La corrente erogata dal generatore all istante iniziale vale V 4 6 I 9 3 e si ripartisce tra e in modo inversamente proporzionale alle resistenze stesse: eq

2 TUTOTO 4: ETI E POTENZ ELETTIC I I 4.4. Con riferimento al problema precedente, la corrente in quando il condensatore è completamente carico è () 0 () (C) /3 (D) (E) 8/3 SOLUZIONE. Quando il condensatore è completamente carico, nel ramo del condensatore non passa corrente: in pratica, il condensatore ed 3 possono essere eliminati dal circuito. La resistenza equivalente del circuito è pertanto eq 4 9 I V eq I I Dato il circuito della figura dove il generatore V = 8 V eroga 8 W e i valori delle resistenze sono = 3 = 5 =6 e = 4 = 6 =8 ( - ladder ) il voltaggio V è pari a () 4 V () V (C) V (D) 0.5 V (E) V 3 5 V 4 6 SOLUZIONE. Dalla potenza erogata dal generatore V ricaviamo la corrente I che da esso esce: I I I 4 I 6 4 C 6 V V I 3 I 3 5 I 5 D E F i capi di c è una differenza di potenziale (ddp) pari a V : è perciò percorsa da una corrente I pari a V / = 8/6 = 0.5, mentre la restante corrente I = I I = 0.5 = 0.5 percorre. La ddp ai capi di è V = V I = = 4 V, quindi V E = V V =84 = 4 V; in 3 entra dunque una corrente I 3 pari a V E / 3 = 4/6 = 0.5, mentre la restante corrente I 4 = I I 3 = = 0.5 percorre 4. La ddp ai capi di 4 è V C = V V 4 I 4 = = V, quindi V CF = V V V C =84 = V; in 5 entra dunque una corrente I 5 pari a V CF / 5 = /6 = 0.5, mentre la restante corrente I 6 = I 4 I 5 = = 0.5 percorre 6. Infine, la ddp ai capi di 6 è V = V V V C 6 I 6 = = V Due batterie nominalmente uguali ma stato di carica diversa, una con V = 6.0 V e resistenza interna =, l altra con V = 5.9 V e resistenza interna =, sono connesse in parallelo a una resistenza incognita in cui fluisce una corrente di intensità. Il valore di è + + ().3 ().00 (C).58 (D).89 (E) SOLUZIONE. Le incognite relative al circuito sono 4: I, I, V,. Scelti per le due maglie del circuito i versi di percorrenza I I rappresentati in figura, possiamo scrivere altrettante equazioni: I + ) applicando la conservazione delle correnti al nodo sappiamo I + che I = I +I = V I = V V I = V

3 TUTOTO 4: ETI E POTENZ ELETTIC ) applicando la legge di Ohm alla resistenza, deve essere V = I 3) per la maglia V V deve essere V = I +V 4) per la maglia V V deve essere V = I +V Moltiplicando per l equazione 3) e per l equazione 4 e poi sommandole membro a membro si ottiene dove si è usata l equazione ) I = I +I =. Quindi dall equazione ): 4.7. Se la caduta di tensione su è di 0 V e V = 5 V, allora x è circa uguale a () 5 () 0 (C) 5 (D) 6.7 (E) V =0 x = =0 SOLUZIONE. La corrente I che attraversa vale V x = Poiché V = V 0 =50 = 5 V, la corrente che attraversa vale e quella che attraversa x è I = I I = 0.5 = Pertanto 4.8. Quando due batterie di uguale fem (V x ) e resistenza interna ( x ) sono contemporaneamente collegate a un carico con L = 0, in questo circola una corrente I L =. Quale deve essere V x perché in L circoli I L = 0.95 quando una delle batterie viene scollegata? () 4. V () 0.56 V (C) 9.8 V (D) V (E) + S + x x V x V x L =0 I L = + S + x x V x V x L =0 I L = SOLUZIONE. Poiché le due batterie sono identiche, quando entrambe sono collegate al carico ciascuna contribuirà alla corrente I L con una corrente pari a I L / = 0.5. Percorrendo la maglia di sinistra del circuito nel verso della freccia possiamo scrivere { Sostituendo i valori numerici il sistema diventa { Moltiplicando la prima equazione per 0.95/0.5 =.9 e sottraendo le due equazioni membro a membro si ottiene 3

4 TUTOTO 4: ETI E POTENZ ELETTIC 4.9. Nel circuito della figura = 3 e la differenza di potenziale fra i punti e è V V = +.5 V. Il potenziale V del generatore è pari a ().5 V () V (C) 3 V (D) 6 V (E) V SOLUZIONE. La resistenza equivalente del circuito è V I + I C I D 3 Il generatore eroga pertanto una corrente pari a V + 3 Dal nodo C, la corrente I si ripartisce in modo inversamente proporzionale alle resistenze dei rami CD e CD: La ddp tra e si può esprimere come: Pertanto Una soluzione alternativa consiste nel considerare le due resistenze in serie nel ramo e nel ramo come dei partitori di tensione e scrivere V 4.0. Nel circuito della figura si ha = 3, = 6, 3 = 9. Se V = 6 V e la differenza di potenziale tra e è V = 4 V la tensione V vale () 4 V () 4.33 V (C).5 V (D) 0.33 V (E) SOLUZIONE. Dalla ddp V calcoliamo I 3 : C I I + + V I 3 3 possiamo scrivere Per la conservazione delle correnti applicata al nodo C deve essere Scelti per le maglie del circuito i versi di percorrenza rappresentati in figura { Dalla prima equazione del sistema e dalla relazione relativa al nodo C si ricava V I I + + V I 3 3 4

5 TUTOTO 4: ETI E POTENZ ELETTIC Sostituendo i valori numerici nella seconda equazione del sistema si trova 4.. Nel problema precedente la potenza erogata dal generatore V vale (segno negativo = potenza assorbita) () 4/9 W () 0.7 W (C) 4/9 W (D).67 W (E) 0.48 W SOLUZIONE. La potenza erogata dal generatore V vale 4.. Nel circuito della figura, se V out =.5 V; il voltaggio V g del generatore vale () 5 V () 7.5 V (C) 0 V (D) 5 V (E) V SOLUZIONE. Calcoliamo la resistenza equivalente eq del circuito: ( ) V g =0 3 =0 + I g C D 3 =5 4 =0 V out 4 Il generatore eroga dunque una corrente pari a [ ( )] Chiamando I i le correnti relative alle resistenze i, usiamo i dati per calcolare I 4 : Consideriamo il nodo : poiché 3 = 4, deve essere I 3 = I 4. Per la conservazione delle correnti ricaviamo anche I = I 3 +I 4 = 0.5. Dunque deve essere Uguagliando le precedenti espressioni otteniamo 4.3. Su di un nastro isolante lungo L = m e largo W = 3 cm è depositato uno strato di grafite (C) alto H = 5 m. gli estremi del nastro è applicata una differenza di potenziale V = V (resistività della grafite a 0 C = m). La corrente che circola nel nastro a 0 C vale () () 0.75 (C).34 (D).68 (E) 4.69 SOLUZIONE. esistenza e resistività sono legate dalla relazione H L W 5

6 TUTOTO 4: ETI E POTENZ ELETTIC dove S = W H è l'area della sezione del campione perpendicolare alla direzione della corrente e L è la distanza dei punti tra i quali è misurata la tensione. pplicando la legge di Ohm allo strato di grafite: 4.4. Con riferimento al problema precedente, a quale temperatura t* la potenza dissipata dal conduttore sul nastro diminuisce dell % rispetto al valore a 0 C? (la resistività della grafite diminuisce di 500 parti per milione per un aumento di C di temperatura) () 0 C () 0 C (C) 40 C (D) 46 C (E) SOLUZIONE. Indicata con 0 la resistività della grafite a 0 C, la legge di variazione di con la temperatura si scrive La potenza dissipata dal conduttore sul nastro vale e la condizione equivale pertanto, essendo V costante, alla condizione POTENZ ELETTIC 4.5. Nel circuito della figura le resistenze valgono = 4, =, 3 = 3, 4 =, 5 =. Se la potenza erogata dal generatore con V = 6V è W = 6 W, il voltaggio V vale () V () 3 V (C) 4 V (D) 6 V (E) 3 4 V 5 V SOLUZIONE. Dai dati potenza/voltaggio del generatore ricaviamo la corrente da esso erogata: La caduta di tensione ai capi di è pertanto I = 4 =4 V e tra i capi di c è una ddp pari a 3 C 4 V 5 V D In passa quindi una corrente pari a e poiché I = I, in 3 non passa corrente. Pertanto, V CD =V = V; in 5 fluisce quindi una corrente 6

7 TUTOTO 4: ETI E POTENZ ELETTIC con lo stesso verso di I e, poiché I 3 = 0, I 5 = I 4 è la corrente erogata dal generatore. Percorrendo la maglia del circuito V CDV si ha 4.6. Con riferimento al problema precedente, la potenza erogata dal generatore V vale () W () 3 W (C) 4 W (D) 6 W (E) SOLUZIONE. La potenza erogata dal generatore V è 4.7. Una centrale idroelettrica eroga una potenza W tot = (05 ) W a una fabbrica distante D = 5 km. La linea elettrica è costituita da due cavi di rame (resistività del rame =.7(0 ) m) di sezione S cm e lunghezza complessiva L 0 m. Calcolare il rapporto della potenza dissipata nei cavi quando la linea è alimentata a V = 000 V e quando la linea è alimentata a V = 0 V. () 0. () (C) 0 (D) 00 (E) 000 SOLUZIONE. La trasmissione di energia elettrica in corrente alternata si effettua mediante trasformatori che innalzano o abbassano la differenza di potenziale V tra i fili di linea all utenza mantenendo idealmente invariata la potenza trasferita all utente dove la corrente è quella che circola nella linea di trasmissione che, prima del trasformatore, ha una differenza di potenziale V. causa della resistenza finita delle linee di andata e ritorno della corrente, la potenza complessivamente dissipata per effetto Joule dalla linea di trasmissione è V, W parità di potenza W tot assorbita e di resistenza di linea si ha V, W W tot umentando di dieci volte il voltaggio di linea si riducono di 00 volte le perdite resistive connesse col trasferimento di una data potenza. Per questo, le linee di trasmissione principali operano oltre i V mentre quelle secondarie operano a V Per portare da 0 C a 00 C un litro d'acqua (c s =4.84 kj/(kg C)) utilizzando una resistenza elettrica in cui viene dissipata una potenza W = 000 W, trascurando le perdite, occorre un tempo pari a circa () 0 s () 90 s (C) 6' (D) 5' (E) h SOLUZIONE. Il calore necessario per scaldare l acqua (m = kg) da 0 C a 00 C è e viene fornito per effetto Joule dalla resistenza che, in un tempo t, dissipa una energia termica E th pari a Uguagliando le espressioni precedenti si ottiene 7

8 TUTOTO 4: ETI E POTENZ ELETTIC 4.8. Una camicia viene inumidita con 00 cm 3 di acqua a 0 C. Trascurando la capacità termica di stoffa e metallo e le perdite di calore per contatto con aria e asse da stiro, il tempo minimo di stiratura della camicia quando si utilizza un ferro di potenza W = 750 W è di circa (calore specifico dell acqua: c s =4.84 J/(g C); calore di evaporazione: c e =0 J/g). () 5 min 4s () 3 min 30s (C) 8 min 35s (D) min 30s (E) V d SOLUZIONE. L'energia richiesta è la somma di quella necessaria a scaldare una massa m = 00 g di acqua dalla temperatura iniziale (0 C) alla temperatura di ebollizione (00 C), e di quella per farla evaporare. Si ha quindi: Q Q Q c mt c m m( c T ce) kj s e s Il tempo in cui il ferro fornisce questa energia termica è Q 5547 J t s 5.7' 5' W 750 W s 5' 4 s 4.9. La dinamo di una bicicletta che va a 30 km/h può essere descritta come un generatore con V d = 4 V e una resistenza interna in. Quando sono collegati in parallelo e funzionanti sia il faro anteriore che il fanalino posteriore la dinamo eroga una corrente I TOT =.5, il fanalino posteriore assorbe una potenza W P = 4 W mentre quello anteriore una potenza W = 8 W. La resistenza della lampadina posteriore accesa, P, vale () 8 () 0 (C) 6 (D) 0 (E) SOLUZIONE. Il circuito è schematizzato in figura. e P sono percorse dalle correnti in I tot P del problema si trova e le potenze dissipate su e P sono Dividendo membro a membro le espressioni precedenti e utilizzando i dati Sostituendo la relazione precedente e il valore di I tot nell espressione di W otteniamo 4.0. Con riferimento al problema precedente, se la lampadina posteriore si rompe quella anteriore assorbe approssimativamente (arrotondare all unità più vicina) una potenza di (si supponga che la sua resistenza non cambi) () 7 W () 8 W (C) 0 W (D) W (E) SOLUZIONE. Il circuito con fanale posteriore rotto è schematizzato in figura. Dobbiamo calcolare in la corrente erogata dalla dinamo in questa situazione, e quindi è necessario trovare il valore di in. La resistenza equivalente quando I tot entrambi i fanali sono funzionanti (vedi disegno del problema V d precedente) è pari a e dalla relazione P ( ) 8

9 TUTOTO 4: ETI E POTENZ ELETTIC ricaviamo Quando il fanale posteriore è rotto, la resistenza equivalente del circuito vale La corrente erogata dalla dinamo vale e la potenza assorbita da vale 4.. Nel circuito della figura passa una corrente I = 4 ; la potenza complessiva fornita dal generatore di differenza di potenziale pari a V G è () 0 W () 40 W (C) 360 W (D) 70 W (E) 960 W + V G =5 I=4 =45 SOLUZIONE. La resistenza equivalente del circuito è pertanto e la potenza erogata dal generatore è 4.. Un dispositivo alimentato a V = 00 V ha una potenza W = kw; se è alimentato mediante due fili (uno andata e uno ritorno) ciascuno dei quali ha una resistenza = 0., qual è la potenza complessiva W d dissipata nei due fili? () 0 W () 0 W (C) 30 W (D) 40 W (E) 50 W SOLUZIONE. Poiché il dispositivo eroga W = kw deve essere: La potenza complessiva dissipata nei due fili vale V, I, I 4.3. Una resistenza elettrica alimentata a V = V è immersa in un W thermos con acqua e ghiaccio a 0 C; se è percorsa da un corrente I = 5, in quanto tempo all incirca farà sciogliere una massa m = 00 g di ghiaccio? (calore di fusione del ghiaccio c f = 335 J/g) () 40 s () s (C) 86 s (D) 93 s (E) SOLUZIONE. Il calore necessario a sciogliere 00 g di ghiaccio è pari a e viene fornito dall energia termica E th dissipata dalla resistenza pari a 9

10 TUTOTO 4: ETI E POTENZ ELETTIC 4.4. Uno scaldabagno elettrico assorbe una corrente I = 5 quando è attaccato alla presa ENEL domestica (V MS = 0 V). In quanto tempo circa i 60 litri di acqua contenuta nel suo serbatoio saranno riscaldati da 0 C a 60 C? (calore specifico dell acqua: c s = 4.84 kj/(kg C)) () 3800 s () 500 s (C) 7600 s (D) 550 s (E) SOLUZIONE. Il calore necessario per il riscaldamento della massa d acqua m = 60 kg è pari a e viene fornito dall energia termica dissipata per effetto Joule dallo scaldabagno, pari a Uguagliando le due espressioni precedenti si ottiene 4.5. Una batteria al piombo immagazzina complessivamente un energia pari a E = 00 kj. Se fornisce una tensione di V = V, in quanto tempo verrebbe scaricata completamente da una corrente I = 5? ().8(0 6 ) s () 500 s (C) 3h 4min (D)5h 33min (E) 7h min SOLUZIONE. L energia E della batteria che impiega una potenza W si esaurisce nel tempo t pari a 4.6. Il motorino di avviamento di un auto richiede una potenza W = 700 W; in quanto tempo scaricherà la batteria di 35 h (fem = V, resistenza interna trascurabile)? () 36 min () 30 min (C) min (D) 5 min (E) SOLUZIONE. Il motorino di avviamento assorbe una corrente La carica Q = 35 h si può esprimere come Q = 3560 min e il tempo richiesto è pari a 4.7. Un treno di massa complessiva m = 50 t sale a 60 km/h lungo un binario con pendenza del 3%. Se le forze di attrito che si oppongono al moto sono complessivamente pari a 40 kn e la linea di alimentazione (in continua) è a V = 000 V, la corrente minima che la motrice assorbirà sarà pari a (arrotondare alla decina di ampere) () 950 () 70 (C) 900 (D) 0 (E) 70 SOLUZIONE. Il treno sale a velocità costante contro una forza complessiva parallela alla direzione del moto pari a dove F a sono le forze di attrito e sin la pendenza del binario. La potenza richiesta per mantenere la velocità v è pari a e deve essere fornita dalla linea di alimentazione: F a mg 0

11 TUTOTO 4: ETI E POTENZ ELETTIC ( ) Sostituendo i valori numerici si ottiene ( ) 4.8. Un voltametro a nitrato d argento (gno 3 ) è collegato in serie a una pila, a un galvanometro e a una resistenza variabile che mantenga costante l intensità di corrente I. Se in un intervallo di tempo t = s al catodo si sono depositati m = g di argento (massa molare M g+ = g), l intensità di corrente circolante è () 0.88 () (C) (D) 0.5 (E) SOLUZIONE. Il nitrato di argento si dissocia in soluzione in ioni g + e in ioni NO 3. Ogni ione g+ si deposita all anodo prendendo un elettrone dal circuito: Il numero di moli di g + depositate è pari a che corrispondono a una carica Q pari a (N = è il numero di vogadro, e = C è il valore della carica elementare, F = N e C è il valore di una mole di cariche elementari ed è detto Faraday). La carica Q è pari in valore assoluto a quella fornita dal circuito; poiché l intervallo di tempo considerato è t = s e la corrente è mantenuta costante dalla resistenza variabile, si ha Un generatore con V = V è applicato al tempo t = 0 alla rete C della figura dove il condensatore è inizialmente scarico e = 3. ll istante iniziale il generatore eroga W(0) = 363 W; dopo un secondo ( / ) eroga W() = 69.5 W e dopo 00 s eroga la potenza asintotica W() = 76 W. La resistenza vale () 6/ () 3/4 (C).4 (D) 6/9 (E) 3 V 3 C SOLUZIONE. l tempo t = 0 il condensatore è scarico; ai capi di C e di 3 non c è alcuna differenza di potenziale, quindi la resistenza equivalente del circuito è semplicemente Per la corrente I 0 erogata dal generatore al tempo t = 0 devono valere le due espressioni e uguagliandole si ottiene {