UNIVERSITÀ DEGLI STUDI Registro dell insegnamento Anno Accademico 2007/2008 Facoltà Ingegneria Insegnamento Complementi di Analisi Matematica Settore MAT/05 Corsi di studio Ingegneria per la Tutela dell Ambiente e del Territorio (Laurea Specialistica) Ingegneria Civile (Laurea Specialistica) Prof. Francesca Bucci Settore Inquadramento MAT/05 (Analisi Matematica) N.B.- Ai sensi dell art.2 della Legge 1-5-1941. n.615, i direttori degli istituti e dei laboratori nei quali si eseguono esperimenti sugli animali dovranno allegare al presente registro delle lezioni anche il registro contenente i dati relativi agli esperimenti di cui sopra.
Anno Accademico 2007/2008 2 Data Lun. 1/10/2007 Totale ore 2..................... Presentazione del corso: introduzione ai temi principali dell insegnamento, prerequisiti. Organizzazione ed informazioni pratiche. Testi consigliati. RICHIAMI: Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO) lineari del primo ordine a coefficienti continui e del secondo ordine a coefficienti costanti. Rispettivi integrali generali. Data Mar. 2/10/2007 Totale ore 2..................... INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI (EDP). Derivazione di un primo modello di EDP: evoluzione della concentrazione di una sostanza inquinante in un corso d acqua soggetto a corrente. Diffusione e trasporto. La semplice equazione del trasporto u t + cu x = 0. Cos è un EDP. Ordine dell equazione. EDP lineari, semi-lineari, quasi-lineari, completamente non lineari. Soluzioni classiche. Problemi ben posti (secondo Hadamard): esistenza delle soluzioni, unicità, dipendenza continua dai dati. Data Mer. 3/10/2007 Totale ore 2..................... Vari esempi di EDP lineari e nonlineari. EDP LINEARI DEL PRIMO ORDINE. L equazione u t + cu x = 0: ogni soluzione è costante lungo le rette di equazione x ct = x 0 ct 0. Linee caratteristiche. Il problema ai valori iniziali. Il metodo delle caratteristiche per la risoluzione dell equazione a(x,y)u x + b(x,y)u y = 0: riduzione dell EDP ad un opportuno sistema di Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO).
Anno Accademico 2007/2008 3 Data Lun. 8/10/2007 Totale ore 2..................... EDP QUASI-LINEARI DEL PRIMO ORDINE. Il problema di Cauchy per l equazione a(x,y,u)u x +b(x,y,u)u y = c(x,y,u). Interpretazione geometrica. Sistema caratteristico. Condizione di trasversalità. Il caso semi-lineare. Esempio: risoluzione del problema ai valori iniziali u x + u y = u 2, u(x,0) = h(x). Data Mar. 9/10/2007 Totale ore 2..................... Equazioni quasi-lineari del primo ordine (continuazione). Riepilogo: sistema caratteristico, linee caratteristiche, condizione di trasversalità, interpretazione geometrica. Parentesi: il problema dell invertibilità di un applicazione F : A R n R n. Il TEOREMA dell inversa locale (s.d.). Un importante EDP quasi-lineare: l equazione di Burgers uu x + u y = 0. Il problema ai valori iniziali uu x + u y = 0, u(x,0) = h(x): analisi dei casi in cui (i) h è crescente e (ii) h è strettamente decrescente. Fenomeno della catastrofe del gradiente. Data Mer. 10/10/2007 Totale ore 2.................... Trasporto con sorgente distribuita: l equazione (lineare) non omogenea u t + cu x = f(x,t). Il problema ai valori iniziali, il Principio di sovrapposizione. Metodo di Duhamel per la risoluzione dell equazione non omogenea (con condizione iniziale omogenea). COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: integrali dipendenti da un parametro. Regolarità della funzione F(x) = d c f(x,y)dy, x [a,b]. Condizioni di regolarità su f, α, β sufficienti a garantire la derivabilità della funzione G(x) = β(x) α(x) f(x,y)dy, ed espressione di G (x).
Anno Accademico 2007/2008 4 Data Lun. 15/10/2007 Totale ore 2.................... Trasporto con sorgente distribuita (continuazione): soluzione del problema u t + cu x = f(x,t), u(x,t) = 0. Derivazione di un modello per le piccole vibrazioni di una corda: L EQUA- ZIONE DELLA CORDA VIBRANTE u tt (x,t) c 2 u xx (x,t) = 0. Un primo metodo per la determinazione della soluzione generale (dipendente da due funzioni arbitrarie) mediante riduzione dell EDP del secondo ordine ad un sistema di due EDP del primo ordine. Il problema ai valori iniziali per u tt c 2 u xx = 0, con x R. Data Mar. 16/10/2007 Totale ore 2.................... Il problema ai valori iniziali per l equazione della corda vibrante (continuazione): formula di D Alembert. Dominio di dipendenza di un punto (x, t), dominio di influenza di un punto x 0 ; velocità di propagazione finita. Il metodo delle coordinate per la risoluzione dell equazione delle onde unidimensionale: introduzione della trasformazione ξ = x + ct, η = x ct, e riduzione all equazione v ξη = 0 (di facile risoluzione). Si ritrova u(x,t) = F(x+ct)+G(x ct), con F, G arbitrarie. Onde progressive e onde regressive. Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Mer. 17/10/2007 Totale ore 2.................... Ulteriori osservazioni in relazione alla soluzione generale dell equazione delle onde unidimensionale (u(x, t) = F(x + ct) + G(x ct)) e alla formula di D Alembert per il problema ai valori iniziali corrispondente: (i) dipendenza continua dai dati; (ii) regola del parallelogramma, soluzioni deboli; (iii) regolarità delle soluzioni, propagazione delle singolarità. Un esercizio.
Anno Accademico 2007/2008 5 Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Lun. 22/10/2007 Totale ore 2.................... L equazione delle onde non omogenea u tt c 2 u xx = f(x,t). Metodo di Duhamel e soluzione del problema ai valori iniziali con u(x,0) = u t (x,0) = 0. Soluzione del problema ai valori iniziali (completo) per l equazione delle onde non omogenea. Dominio di dipendenza (la chiusura del triangolo di vertici (x,t), (x ct,0) e (x + ct,0)). Esercizio. Conservazione dell energia. Metodi dell energia. Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Mar. 23/10/2007 Totale ore 2.................... Discussione di alcuni esercizi/problemi relativi ad EDP del primo ordine. Trasporto ed estinzione. La corda di lunghezza finita: problemi ai valori iniziali e al contorno per l equazione delle onde u tt c 2 u xx = 0, con 0 < x < L, t > 0. Il caso di condizioni al bordo di tipo Dirichlet. Uso della formula di d Alembert e della regola del prallelogramma per la costruzione della soluzione. Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Mer. 24/10/2007 Totale ore 2.................... Problemi ai valori iniziali e al contorno per l equazione delle onde unidimensionale (continuazione). Regolarità delle soluzioni, condizioni di compatibilità tra i valori iniziali e al bordo. ESERCIZIO: analisi del problema u tt c 2 u xx = 0, x (0,L), t > 0, con le condizioni al bordo u(0,t) = u(l,t) = 0, t > 0, e le condizioni iniziali u(x,0) = 1, u t (x,0) = 0, x [0,L]. Il classico METODO DI SEPARAZIONE DELLE VARIABILI per l equazione delle onde (unidimensionale). Problema agli autovalori. Il caso di condizioni al bordo di tipo Dirichlet. Autovalori ed autofunzioni corrispondenti.
Anno Accademico 2007/2008 6 Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Lun. 29/10/2007 Totale ore 2.................... Il metodo di separazione delle variabili per l equazione delle onde unidimensionale (continuazione). Soluzione candidata come somma di una serie di funzioni. Sviluppi in serie di Fourier dei dati iniziali. Discussione di alcuni esercizi/problemi relativi all equazione delle onde. Un problema ai valori iniziali e al contorno per l equazione delle onde sulla semiretta (x > 0). Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Mar. 30/10/2007 Totale ore 2.................... Discussione di alcuni esercizi/problemi relativi all equazione delle onde. COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: richiami sulle successioni numeriche. Definizione ed esempi. Definizione di limite finito e infinito di una successione. Successioni irregolari (che non hanno limite). Successioni di Cauchy. Data Mer. 31/10/2007 Totale ore 2.................... Richiami sulle successioni numeriche (continuazione). Successioni convergenti e successioni di Cauchy. Teorema di Cauchy. Proprietà dell operazione di limite di successioni: (i) unicità, (ii) limitatezza, (iii) permanenza del segno; criterio del confronto. Operazioni con i limiti. Successioni monotòne. Teorema di collegamento. La progressione geometrica a n = q n, n = 0,1,2,..., q 0. Alcuni limiti notevoli.
Anno Accademico 2007/2008 7 Data Lun. 5/11/2007 Totale ore 2..................... Serie numeriche. Definizione ed esempi. Serie convergenti, divergenti, indeterminate. Condizione necessaria per la convergenza. Un esempio fondamentale: la serie geometrica. Serie ed integrali impropri. La serie armonica e la serie armonica generalizzata. Data Mar. 6/11/2007 Totale ore 2..................... Criteri di convergenza per serie numeriche (richiami). Serie a termini positivi: criterio del confronto, criteri del rapporto e della radice, criterio del confronto asintotico. Esempi ed esercizi. Serie a termini di segno variabile: serie assolutamente convergenti, criterio della convergenza assoluta. Serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz. Data Mer. 7/10/2007 Totale ore 2..................... SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Introduzione. Convergenza puntuale di una successione { f n : I R R. Due esempi: f n (t) = t n, t [0,1], e n se 0 t < 1 f n (t) = n 1 t se t > 1. Il limite puntuale f non mantiene in generale le n proprietà di continuità e/o limitatezza di f n in I. SPAZI METRICI. Definizione ed esempi. Lo spazio R n con la metrica euclidea. Lo spazio C b (A) delle funzioni continue e limitate in un insieme A R con la metrica (lagrangiana) d(f,g) = sup A f(t) g(t). Lo spazio C(A) delle funzioni continue assolutamente integrabili (eventualmente in senso improprio) in A con la metrica integrale. Se (X,d) è uno spazio metrico, la struttura metrica induce una struttura topologica in X: definizione di intorno di x X.
Anno Accademico 2007/2008 8 Data Lun. 12/11/2007 Totale ore 2.................... Spazi metrici. Successioni convergenti, successioni di Cauchy. Spazi metrici completi. Esempi. Lo spazio B(I). CONVERGENZA UNIFORME. Convergenza puntuale. Esempio: f n (t) = t n, t [0,1] (si prova, tramite la definizione, che non vi è convergenza uniforme in [0,1]). Data Mar. 13/11/2007 Totale ore 2.................... Teorema: Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Esempi. Teorema: Limiti e derivate di successioni di funzioni. SERIE DI FUNZIONI. Convergenza uniforme. Test di Weierstrass (s.d.) Applicazione dei Teoremi discussi al caso di serie di funzioni. Integrazione e derivazione per serie. Esempi ed esercizi. Data Mer. 14/10/2007 Totale ore 2.................... SERIE DI FOURIER. Funzioni periodiche di periodo T > 0. Il caso T = 2π. Polinomi trigonometrici. Funzioni continue a tratti. Espressione dei coefficienti di Fourier.
Anno Accademico 2007/2008 9 Data Lun. 19/11/2007 Totale ore 2.................... Funzioni continue a tratti in un intervallo [a, b]. Funzioni periodiche di periodo T e continue a tratti in R. I coefficienti di Fourier. Funzioni pari o dispari e serie di Fourier ad esse associate. Esempi: calcolo della serie di Fourier associata alle funzioni seguenti: 1. (Onda quadra) prolungamento periodico di periodo 2π della funzione 1 x (0,π) f(x) = 1 x ( π,0) ; 0 x = 0, ±π 2. prolungamento (periodico, di periodo 2π) della funzione f(x) = x, x [ π,π]. CRITERI DI CONVERGENZA PER LE SERIE DI FOURIER: un primo TEOREMA (convergenza puntuale) (s.d.). Convergenza puntuale della serie di Fourier di cui all esempio 1. Data Mar. 20/11/2007 Totale ore 2.................... Funzioni continue a tratti. Una precisazione in merito alle ipotesi del Teorema (convergenza puntuale) enunciato nella lezione precedente: la condizione di Dirichlet, esempi. Funzioni regolari a tratti in [a,b], funzioni regolari a tratti in R. TEOREMA (CONVERGENZA UNIFORME) (cenni sulla dimostrazione). Applicabilità del Teorema al caso della funzione di cui all esempio 2 della lezione precedente. Introduzione di un prodotto scalare nello spazio X delle funzioni periodiche, di periodo 2π, continue a tratti e regolarizzate. Proprietà del prodotto scalare. Spazi vettoriali dotati di prodotto scalare (spazi euclidei). Sistemi di funzioni ortogonali. Norma indotta dal prodotto scalare. Proprietà della norma. Si richiama lo spazio X = R n dotato della norma euclidea. Norma quadratica. Uno spazio euclideo è uno spazio normato e quindi ha una struttura metrica. Metrica integrale di ordine 2. Il sistema trigonometrico.
Anno Accademico 2007/2008 10 Data Mer. 21/11/2007 Totale ore 2.................... Richiami e approfondimenti sui temi della lezione precedente: Spazi vettoriali dotati di prodotto scalare (spazi euclidei). La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (dimostrata). Norma indotta dal prodotto scalare. Lemma: Sia f una funzione 2π-periodica, limitata e integrabile in [ π, π] e sia s n (x) la successione delle somme parziali della serie di Fourier ad essa associata. Al variare di σ n tra tutti i polinomi trigonometrici di grado n, lo scarto quadratico medio 1 2π f σ n 2 2 risulta minimo se σ n = s n. LA DISUGUAGLIANZA DI BESSEL (dimostrata). Convergenza in norma quadratica (s.d.). Identità di Parceval. Dimostrazione del TEOREMA che garantisce la convergenza uniforme della serie di Fourier associata a funzioni periodiche, continue e regolari a tratti. Data Lun. 26/11/2007 Totale ore 2.................... Dopo la parentesi dedicata all introduzione delle serie di Fourier e i relativi criteri di convergenza, si ritorna a: IL METODO DI SEPARAZIONE DELLE VARIABILI per la soluzione di problemi ai valori iniziali e al contorno per l equazione delle onde. Sviluppi in serie di Fourier relativi ai dati iniziali ed espressione della soluzione. Discussione sulla convergenza della serie.
Anno Accademico 2007/2008 11 Data Mar. 27/11/2007 Totale ore 2.................... L EQUAZIONE DI POISSON E L EQUAZIONE DI LAPLACE. Alcune motivazioni fisiche: (i) stati di equilibrio in moti ondosi o in processi di diffusione, (ii) Teoria dei campi). Funzioni armoniche. Problemi al contorno per l equazione di Laplace (o Poisson). Condizioni al bordo di tipo Dirichlet, Nemann, Robin. Un Teorema di unicità (dimostrato). (Si richiamano alcune FORMULE DI GREEN). L operatore di Laplace in coordinate polari. Data Mer. 28/11/2007 Totale ore 2.................... L operatore di Laplace in coordinate polari. Il problema di Dirichlet per l equazione di Laplace nel disco. (non concluso). Data Lun. 3/12/2007 Totale ore 2..................... Il problema di Dirichlet per l equazione di Laplace nel disco. Espressione della soluzione come somma di una serie. FORMULA DI POISSON. Regolarità della soluzione. Proprietà della media. Enunciato del PRINCIPIO DEL MASSIMO: formulazioni debole e forte (s.d.).
Anno Accademico 2007/2008 12 Data Mar. 4/12/2007 Totale ore 2..................... 1. Un problema al contorno per l equazione di Laplace in un rettangolo. Separazione delle variabili ed espressione della soluzione. 2. L EQUAZIONE DEL CALORE. Derivazione di un modello di diffusione del calore in dimensione spaziale n = 2, 3. Si ricava l equazione c(x)ρ(x)u t (x,t) = div(κ x u(x,t)). Lezione Esercitazione Laboratorio Seminario Data Mar. 4/12/2007 Totale ore 2..................... Discussione di problemi/esercizi assegnati nelle settimane precedenti. Data Mer. 5/12/2007 Totale ore 2..................... L equazione del calore (continuazione). Un problema ai valori iniziali e al contorno in un dominio limitato. Separazione delle variabili e sviluppo in serie trigonometriche. Regolarità dei dati iniziali e convergenza della serie alla soluzione. Il principio del massimo per l equazione del calore (solo un cenno). Conseguenze: unicità e dipendenza continua dai dati. Il puro problema ai valori iniziali. Il Metodo di similarità. Soluzione fondamentale dell equazione del calore. Soluzione del problema ai valori iniziali come integrale di convoluzione. Se il dato iniziale è C b (R n ), la soluzione u C (R n (0, )). Velocità di propagazione infinita.
Anno Accademico 2007/2008 13 RIEPILOGO Lezioni................................. n ore..... di cui Esercitazioni............................ n ore..... Laboratori.............................. n ore..... Seminari............................... n ore..... Totale ore... Visto: IL PRESIDE DELLA FACOLTÀ..................................... FIRMA DEL DOCENTE........................