ISTITUZIONI DI MATEMATICHE ( M.M. Porzio ) Foglio di esercizi n. : Limiti di funzioni e continuitá a) Calcolare, se esistono, i seguenti limiti di funzioni: ( ) 5x. lim 3 x 8 +4x+ x +. lim x 5 4+x +x 3 x + x (sin x). lim x 0. lim log cos x x + (x + 3) tan x 3. lim x x 4 x 3x+ 3. lim x 0 + x sin x 4. lim x 8 ( x 64 4. lim x /3 4 x + x + 5 x ) log(x 3 + 4) x 5. lim 4 x 0 5. lim ( ) (tan x sin x)(e x ) x + x + x x 6. lim x+x x + 6. lim x 0 (log sin x log x ) 3x + 3 sin x log(+x+x ) 7. lim x 0 + 7. lim x + x sin ( π ( x 8. lim sin x x 0 8. lim x x 0 ) x sin x x 9. lim x+5 x sin x 3x 3 + 0. lim x + x x+5 cos x x x b) Sia f(x), definita in [0, π) come segue f(x) = +e tan x, x π 0, x = π. f é continua in [0, π)? c) Stabilire se esiste a R tale che la seguente funzione risulti continua in R f(x) = ax +, x x 3, x <. d) Sia g(x) = e x + log(x + ). Esistono zeri della funzione g(x)? e) Determinare l insieme di definizione delle seguenti funzioni ). ( + x ) x 4 3. log ( ) x +x x x +. tan ( x 4. f(x) = (log x) 5 log x 3 x )
ISTITUZIONI DI MATEMATICHE ( M.M. Porzio ) Foglio di esercizi n. : Derivate ed applicazioni a) Calcolare le derivate delle seguenti funzioni. x +5 + e π 4. x x + x + 7. cos (log( + x )). sin x sin x + 5. 8. e x +cos x (tan x) 3. log(x + 3) 6. x sin(x + ) 9. (x + ) x. b) Determinare l insieme di derivabilitá della funzione c) Sia x, x (, ) f(x) = ( x)( x), x [, ] x, x (, + ). f(x) = x + ax, x 0 x + b, x < 0. Stabilire per quali valori dei parametri a e b la funzione é continua e per quali é derivabile in R. d) Determinare l equazione cartesiana della retta tangente al grafico della funzione f(x) nel punto x 0. f(x) = 4x +, x 0 =. f(x) = x +, x 0 = 0 3. f(x) = arcsen(x ), x 0 = 0 4. f(x) = x, x x+3 0 = 5. f(x) = log + x, x 0 = 0 6. f(x) = e x+, x 0 = e) Stabilire se le seguenti funzioni hanno tangenti orizzontali o parallele alla bisettrice del primo quadrante ed in caso affermativo, calcolare i punti in cui ció avviene:. f(x) = x + 3x. f(x) = x + 3. f(x) = log (x + )
f) Stabilire se le seguenti funzioni ammettono punti di massimo o di minimo relativi ed in caso affermativo calcolare tali punti.. f(x) = e tan x. f(x) = x +3 x+ 3. f(x) = x log x 4. f(x) = (tan x) 3. g) Delle seguenti funzioni determinare l insieme di definizione, gli intervalli in cui crescono e decrescono, eventuali massimi e minimi relativi e assoluti, estremo superiore ed inferiore. Stabilire se esistono asintoti verticali, orizzontali od obliqui. Studiare concavitá e convessitá e stabilire se esistono punti di flesso. Infine disegnarne il grafico.. f(x) = x+. f(x) = x 4 x+3 x 9 3. f(x) = x log x 4. f(x) = log(x 3x + ) 5. f(x) = x x 7. f(x) = log(x ) 6. f(x) = x x x 3 x+ 3
ISTITUZIONI DI MATEMATICHE ( M.M. Porzio ) Foglio di esercizi n. 3: Integrali Calcolare i seguenti integrali:. π 4 0 sin xdx. π 0 (cos x + 3 cos x + ) sin xdx 3. sin(e t )e t dt 4. 0 (et + 3e t + )dt 5. x 3 dx (x )(x ) 6. 4 3 dx x 3x+ 7. 0 arctgxdx 8. log x dx x(+log x) 9. dx x +x+ 0. 0 x 4 x 4x+3 dx 4
a) Risultati del foglio di esercizi n. : Limiti di funzioni e continuitá ) 5; ) ; 3) 4; 4) 3 (sug. ); 5) 4 (sug. ); 6) 3 3 ; 7) 0; 8) ; 9) 0; 0) 0; ) e 3 ; ) ; 3) 0; 4) 0; 5) ; 6) 0; 7) (sug.3 ); 8) 0. ( t ) ( il limite é uguale al lim 3 8 t ) t 4 ( ) ( il limite é uguale al lim x 0 x ) = sin x ) sin x cos x x x ) cos x e x (3 ) ( sin ( π x b) No perché non é continua in x = π. c) a =. d) Risulta g C([0, ]) e g(0)g() < 0; dunque per il teorema di esistenza degli zeri esiste almeno uno zero in (0, ). e) ) I D (f) = + x 0} + x 0} x 4 0} = } ) I D (f) = x > : x c, c = π + kπ} c 3) I D (f) = x +x > 0} x x + 0} = (0, + ) x x + 4) I D (f) = x > 0} x R : log x or log x 3} = (0, e ] [e 3, + ) Risultati del foglio di esercizi n. : Derivate ed applicazioni a) ) 5 x ) cos x 4) x+ x+ x + x+ 4x 3) sin x+ x +3 5) cos x [ + (sin x) ] 6) sin(x + ) + x cos(x + ) 7) sin(log(+x )) +x x 8) e x +cos x (4x sin x) 9) (x + ) x [ log(x + ) + x x+ ] b) R c) f C(R) se b = 0; f é derivabile in R se b = 0 e a =. d) ) y = 6x 5 ) y = () /4 x + /4 3) y = 0 4) 6y = + 3x 5) y = 0 6)y = e 3 (x ) 5
e) ) 3) tg. orizz. in x = 3 tg. parall. bis. in x = tg. orizz. in x = 0 tg. parall. bis. in x = ) tg. orizz. tg. parall. bis. in x = 3 4 f) ) non esistono punti di max o min rel. (la derivata prima non si annulla mai ); ) max rel. in x = 3 e min rel. in x = ; 3) min. rel. in x = e; 4) min. rel in x = kπ, k Z. g) ) I D (f) = R \ 3}; A.V. in x = 3 e A.O. y = sia a + che a ; f (x) = (x+3) f (x) = 4 (x+3) 3 f in (, 3) f in ( 3, + ) f é convessa in (, 3) f é concava in ( 3, + ) max o min. rel. o assoluti né flessi; sup f = + e inf f =. ) I D (f) = R \ ±3}; f é pari; A.V. in x = 3 e x = 3; A.O. y = sia a + che a ; f (x) = 0x (x 9) f (x) = 30 x +3 (x 9) 3 f in (, 3)e in ( 3, 0) f in (0, 3) e in (3, + ) f é convessa in (, 3) e in (3, + ) f é concava in ( 3, +3) x = 0 max rel., min rel. o assoluti né flessi; sup f = + e inf f =. 3) I D (f) = (0, + ); lim x + f(x) = + ma asintoti obliqui; A.V. ; f (x) = log x + f in [e, + ) f in (0, e ) f (x) = x f é convessa in I D (f) 6
x = e min assoluto, max rel. o assoluti né flessi; sup f = +. 4) I D (f) = (, ) (, + ); lim x ± f(x) = + ma asintoti obliqui; A.V. in x = e x = ; f (x) = x 3 x 3x+ f in (, + ) f in (, ) f (x) = x +6x 5 (x 3x+) f é concava in (, +) e in (, + ) min o max rel. o assoluti né flessi; sup f = + e inf f =. 5) I D (f) = (, ] [, + ); f é dispari; lim x ± f(x) = ± y = ± sono asintoti orizzontali. f (x) = x x f (x) = 3x3 x x 4 (x ) x f in (, ] e in [, + ) f é convessa in (, ] f é concava in [, + ) x = max rel. e x = min. rel., flessi; sup f = + e inf f =. 6) I D (f) = (, ) [3, + ); lim x ± f(x) = +, asintoti obliqui y = x + per x, e y = x per x + ; A. V. in x = ; f (x) = x 3 (x+) x x 3 f (x) = (x+)(x x 3) 3/ f in ( 3, ) e in (3, + ) f in (, 3) f é convessa in (, ) f é concava in [3, + ) x = 3 min assoluto, x = 3 min. rel; max rel. o assoluti né flessi; sup f = +. 7) I D (f) = (, 3) (3, + ); lim x + f(x) = 0 discontinuitá eliminabile; lim x 3 ± f(x) = ± x = 3 é un asintoto verticale; lim x + f(x) = 0, y = 0 é un asintoto orizzontale; f (x) = f in (, 3) e in (3, + ) (x )(log(x )) f (x) = log(x )+ f é convessa in (, + e ] e in (3, + ) (x ) (log(x )) 3 f é concava in [ + e, 3) 7
x = + e punto di flesso; max o min. rel. o assoluti; sup f = +, inf f =. Risultati del foglio di esercizi n. 3: Integrali. I = [ ] π cos x 4 = 0. I = [ cos 3 x + 3 cos x + cos x ] π = 7; 3 0 6 3. cos(e t ) + c; 4. I = [ e t + 3et + t ] = e + 3e 5; 0 5. I = (x + 3)dx + 7x 6 = x + 3x + log (x ) (x )(x ) 8 + c; x 6. [ log ] x 4 = log 4; x 3 3 7. I = [ xarctgx log( + x ) ] = π log ; 0 4 8. I = [log x log + log x ] = log log + log ; 9. I = 4 dx = 3 arctang ( ) 3 ( x + x ) + 3 3 + 3 ; 3 3 0. I = [log x 4x + 3 ] 0 = log 3. 8 8