Probabilità e Statistica ESERCIZI EsercizioA1 Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia minore o uguale di 1,2. Soluzione La probabilità che una variabile aleatoria normale standard Z sia minore o uguale ad un certo valore x, ovvero P(Z x) è un valore che, per la variabile aleatoria normale standard, viene riportato in Tabella1. Tale probabilità x si ricava nel modo seguente: le righe della tabella corrispondono alla cifra intera ed alla prima cifra decimale del valore x, mentre le colonne della tabella corrispondono alla seconda cifra decimale del valore x. Quindi, per calcolare la probabilità che Z sia minore a 1,2, si dovrà considerare il valore riportato in tabella relativo alla riga 1,2 ed alla colonna 0. Il valore corrispondente è 0,8849. Si avrà: P(Z 1,2) = 0,8849 EsercizioA2 Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia minore o uguale di 1,94. quella illustrata nel caso precedente. Per calcolare la probabilità che Z sia minore a 1,94, si dovrà considerare il valore riportato in tabella relativo alla riga 1,9 ed alla colonna 0,04. Il valore corrispondente è 0,9738. Si avrà: P(Z 1,94) = 0,9738 EsercizioA3 Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia minore o uguale di 0,65. quella illustrata nei casi precedenti. Per calcolare la probabilità che Z sia minore a 0,65, si dovrà considerare il valore riportato in tabella relativo alla riga 0,6 ed alla colonna 0,05. Il valore corrispondente è 0,7422. Si avrà: P(Z 0,65) = 0,7422 1
EsercizioB1 Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia minore o uguale di -2,15. Soluzione La probabilità che una variabile aleatoria normale standard Z sia minore o uguale ad un certo valore x negativo, è uguale al complemento ad uno della probabilità che la variabile aleatoria normale standard Z sia minore o uguale del valore x considerato con il segno positivo, ovvero P(Z -x) = 1 - P(Z x) A questo punto la metodologia da seguire per la risoluzione dell esercizio è analoga a quella illustrata nei casi precedenti. Per calcolare la probabilità che Z sia minore a -2,15, si dovrà considerare il valore riportato in tabella relativo alla riga 2,1 ed alla colonna 0,05. Il valore corrispondente è 0,9842. Si avrà: P(Z -2,15) = 1 - P(Z 2,15) = 1 0,9842 = 0,0158 EsercizioB2 Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia minore o uguale di -0,12. quella illustrata nel caso precedente. Per calcolare la probabilità che Z sia minore a -0,12, si dovrà considerare il valore riportato in tabella relativo alla riga 0,1 ed alla colonna 0,02. Il valore corrispondente è 0,5478. Si avrà: P(Z -0,12) = 1 - P(Z 0,12) =1 0,5478 = 0,4522 EsercizioC1 Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia maggiore di 2,98. Soluzione La probabilità che una variabile aleatoria normale standard Z sia maggiore di un certo valore x, è uguale al complemento ad uno della probabilità che la variabile aleatoria normale standard Z sia minore o uguale ad x, ovvero P(Z > x) = 1 - P(Z x) x La metodologia da seguire per la risoluzione dell esercizio è adesso analoga a quella illustrata nei casi precedenti. Per calcolare la probabilità che Z sia maggiore a 2,98, si 2
dovrà considerare il valore riportato in tabella relativo alla riga 2,9 ed alla colonna 0,08. Il valore corrispondente è 0,9986. Si avrà: P(Z > 2,98) = 1 - P(Z 2,98) = 1 0,9986 = 0,0014 EsercizioC2 Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia maggiore di -0,11. Soluzione La probabilità che una variabile aleatoria normale standard Z sia maggiore di un certo valore x negativo, è uguale al complemento ad uno della probabilità che la variabile aleatoria normale standard Z sia minore o uguale ad x, che a sua volta è pari al complemento ad uno della probabilità che la variabile aleatoria normale standard Z sia minore o uguale del valore x considerato con il segno positivo, ovvero P(Z > -x) = 1 - P(Z -x) = 1 [1 - P(Z x)] = P(Z x) La metodologia da seguire per la risoluzione dell esercizio è adesso analoga a quella illustrata nei casi precedenti. Per calcolare la probabilità che Z sia maggiore a -0,11, si dovrà considerare il valore riportato in tabella relativo alla riga 0,1 ed alla colonna 0,01. Il valore corrispondente è 0,5438. Si avrà: P(Z > -0,11) = P(Z 0,11) = 0,5438 EsercizioD1 Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia compresa tra 1,2 e 2,86. Soluzione La probabilità che una variabile aleatoria normale standard Z sia compresa in un certo intervallo di valori x, è uguale alla probabilità che Z sia minore dell estremo superiore meno la probabilità che Z sia minore dell estremo inferiore dell intervallo: P(x 1 Z x 2 ) = P(Z x 2 ) - P(Z x 1 ) Procedendo in modo analogo ai casi precedenti, si avrà: x 1 x 2 P(1,2 Z 2,86) = P(Z 2,86) - P(Z 1,2) = 0,9979 0,8849 = 0,113 3
EsercizioD2 Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia compresa tra -1 e 1,1. quella illustrata nel caso precedente, facendo attenzione al segno negativo dell estremo inferiore dell intervallo: P(-1 Z 1,1) = P(Z 1,1) - P(Z -1) = P(Z 1,1) [1 - P(Z 1)] = = 0,8643 (1 0,8413) = 0,7056 EsercizioE1 Data la variabile aleatoria normale X con media µ = 0,44 e deviazione standard σ=3,24, si calcoli la probabilità che X sia minore o uguale di γ = 0,66. Soluzione Il primo passo per la risoluzione dell esercizio consiste nella standardizzare la variabile aleatoria normale X. Poiché Z = (X N - µ) /σ, si andrà ad operare sul valore x come segue: x = (γ - µ) /σ Si avrà: x = (0,66-0,44) /3,24 0,07 L esercizio diventa quindi quello di determinare la probabilità che la variabile aleatoria normale standard Z sia minore di 0,07: P(Z 0,07) = 0,5279 EsercizioE2 Data la variabile aleatoria normale X con media µ = 0,44 e deviazione standard σ=3,24, si calcoli la probabilità che X sia minore o uguale di γ = -0,54. Soluzione Il primo passo per la risoluzione dell esercizio consiste nello standardizzare la variabile aleatoria normale X. Poiché Z = (X N - µ) /σ, si andrà ad operare sul valore x come segue: x = (γ - µ) /σ Si avrà: x = (-0,54-0,44) /3,24-0,30 L esercizio diventa quindi quello di determinare la probabilità che la variabile aleatoria normale standard Z sia minore di -0,302: P(Z -0,30) = 1 [P(Z 0,30)] = 1-0,6179 = 0,3821 4
EsercizioE3 Data la variabile aleatoria normale X con media µ = 0,44 e deviazione standard σ=3,24, si calcoli la probabilità che X sia compresa tra γ 1 = -0,26 e γ 2 = 0,68. Soluzione La soluzione dell esercizio consiste nell applicare le metodologie utilizzate per la risoluzione degli esercizi E2 e D1. Il primo passo per la risoluzione dell esercizio consiste nello standardizzare la variabile aleatoria normale X. Poiché Z = (X N - µ) /σ, si andrà ad operare sugli estremi dell intervallo come segue: x 1 = (γ 1 - µ) /σ e x 2 = (γ 2 - µ) /σ Si avrà: x 1 = (-0,26-0,44) /3,24-0,22 x 2 = (0,68-0,44) /3,24 0,07 L esercizio diventa quindi quello di calcolare la probabilità che la variabile aleatoria normale standard Z sia compresa tra -0,22 e 0,07: P(-0,22 Z 0,07) = P(Z 0,07) - P(Z -0,22) = = P(Z 0,07) [1 - P(Z 0,22)]=0,5279 [1 0,5871] = 0,115 5
Tabella 1 Valori di probabilità assunti dalla variabile aleatoria normale standard 6