STATISTICA E PROBABILITá Statistica La statistica è una branca della matematica, che descrive un qualsiasi fenomeno basandosi sulla raccolta di informazioni, sottoforma di dati. Questi ultimi risultano essere di fondamentale importanza perché sono i mattoni su cui poggia qualsiasi indagine statistica. Ogni indagine statistica è contraddistinta da quattro fasi ben definite: 1. scelta del fenomeno Si individuano i fenomeni che si vogliono studiare: fenomeni a carattere qualitativo, in questo caso il carattere è espresso da parole; un esempio può essere l utilizzo del computer da parte dei ragazzi dai 14 anni ai 18 anni di un Liceo o la località di vacanza preferita o ancora la squadra del cuore. fenomeni a carattere quantitativo, in questo caso il carattere è espresso da numeri; ad esempio, la statura dei ragazzi di una scuola, le ore passate davanti alla televisione dai ragazzi di una classe o il tempo impiegato dai ragazzi di una città per recarsi a scuola. N.B. i caratteri di un determinato fenomeno sono anche chiamate variabili. Osservazione: i caratteri quantitativi che sono espressi da numeri possono essere di due tipi: discreti, se i dati raccolti assumono valori interi e sono poco numerosi, cioè si ripetono molte volte. continui, se i dati raccolti sono molto numerosi in quanto si ripetono poche volte e assumono valori anche decimali. 2. Individuazione di una popolazione Viene individuata una collettività, un insieme, una classe chiamata popolazione costituita da unità statistiche che hanno in comune i caratteri indicati nella scelta del fenomeno; ad esempio, nel fenomeno la statura dei ragazzi di una scuola la popolazione potrebbe essere la scuola media salesiana e le unità statistiche sono ciascun ragazzo/a che la compongono. 3. Raccolta dati Avviene mediante l utilizzo di opportuni questionari o interviste rivolte all intera popolazione scelta. 4. Rilevazione e tabulazione dei dati Una volta raccolti i dati dell indagine statistica essi debbono essere sistemati in opportune tabelle e debbono essere descritti e rappresentati previo l utilizzo di elementi base. Gli elementi base di un indagine statistica Frequenza assoluta: la frequenza assoluta (f) di un dato è il numero di volte con la quale esso si presenta. Frequenza relativa: la frequenza relativa di un dato è il rapporto fra la frequenza assoluta (f) e il numero totale di casi esaminati (n). Frequenza percentuale: essa è la frequenza relativa espressa in percentuale (per cui devi moltiplicare la frequenza relativa considerata per 100!!!). Molto importanti sono anche i cosiddetti valori medi dei dati che servono a descrivere in modo sintetico una serie di dati raccolti. 1
Media aritmetica: la media aritmetica di una serie di dati è il valore che si ottiene dividendo la somma di tutti dati per il numero di dati. Deviazione: permette di valutare, in indagini quantitative, la differenza esistente fra il dato e la media aritmetica dell indagine. A seconda che sia maggiore o minore della media possiamo dire che il dato rilevato è più o meno attendibile. Moda: la moda relativa ad una serie di dati è il dato (o dati) che si presentano con la massima frequenza assoluta (f). Mediana: per determinare la mediana occorre dapprima raccogliere i dati in ordine crescente, essa sarà data dal valore centrale se il numero di dati è dispari, altrimenti è la media aritmetica dei due valori centrali. Solo nel caso in cui la distribuzione dei dati sia molto numerosa e quindi è opportuno suddividerla in classi (indagine a dati continua) si considerano anche le frequenze cumulate: Frequenza cumulata: E data dalla somma della sua frequenza assoluta con le frequenze assolute che la precederono. Oppure è data dalla somma della sua frequenza relativa con le frequenze relative che la precederono. 5. Rappresentazione grafica dei dati Per rappresentare i dati e le loro frequenze si utilizzano i seguenti grafici: A. istogramma: utile per rappresentare la frequenza assoluta di ogni dato mediante rettangoli. Le basi dei rettangoli indicano i dati (hanno ovviamente una stessa lunghezza) mentre le altezze corrispondono alle rispettive frequenze assolute. Se i rettangoli sono disegnati separati da una certa distanza l istogramma si chiama ortogramma. B. Ideogramma è un grafico che è utile per rappresentare la frequenza assoluta di ogni dato mediante un simbolo o una figura. C. Aerogramma è un grafico utile a rappresentare la frequenza relativa percentuale. Ogni settore circolare rappresenta la frequenza percentuale di ciascun dato. L angolo di ciascun settore può essere determinato dalla proporzione che già conosciamo della forma, dove ed sono rispettivamente la frequenza percentuale del dato e l angolo del settore circolare corrispondente. Un discorso a parte merita la rappresentazione dei dati quando essi sono distribuiti in classi. Per indagini statistiche i cui dati sono divisi in classi si considera l istogramma delle frequenze. Poi con una spezzata si congiungono i punti medi delle basi superiori di ciascun rettangolo dell istogramma. Tale spezzata, chiamata poligonale delle frequenze, fa risaltare l andamento della distribuzione dei dati. Noteremo che se facessimo crescere la popolazione e quindi il numero dei dati rilevati e le relative frequenze tale poligonale assume sempre di più la caratteristica forma a campana, essa prende il nome di curva di Gauss. Si veda esempio sul vostro libro pagg. 475-476 (numero 3) la rappresentazione grafica dei dati). 2
1. Indagine a variabili qualitative: In questo caso l elaborazione dei dati prevede: il calcolo del frequenze assolute, relative e percentuali; il calcolo della moda la rappresentazione grafica. Esempio 1. In una classe di 20 studenti viene svolta una indagine sul loro colore degli occhi. Si è ottenuta la seguente serie statistica indicante il colore degli occhi dei 20 componenti della classe e le relative frequenze assolute relative e percentuali colore occhi Frequenze assolute (f) Frequenze relative (F) Frequenze percentuali Azzurri 4 4/20 = 1/5 20% Castani 8 8/20 = 2/5 40% Neri 6 6/20 = 3/10 30% Verdi 2 2/20 = 1/10 10% Moda : il dato più frequente è occhi castani. 2. Indagine a variabili quantitative discrete: In questo caso l elaborazione dei dati prevede: il calcolo del frequenze assolute, relative e percentuali; il calcolo della moda, mediana, media aritmetica e deviazione la rappresentazione grafica. Esempio 2. In una classe di 18 studenti viene svolta una indagine sul numero di ore giornaliere passate da ciascuno davanti alla televisione. Si è ottenuta la seguente serie statistica indicante le ore di televisione per ciascuno dei 18 componenti della classe: 1 2 1 3 4 2 4 1 2 2 0 1 2 2 3 3 5 2 Dapprima ordiniamo la serie di dati: 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 Successivamente calcoliamo le frequenze assolute, relative e percentuali. Numero ore (h) Frequenze assolute (f) Frequenze relative (F) Frequenze percentuali 0 1 1/18 5,55% 1 4 4/18 22,22% 2 7 7/18 38,38% 3 3 3/18 16,66% 4 2 2/18 11,11% 5 1 1/18 5,55% Calcoliamo i valori medi: 3
Media aritmetica: (0+1+1+1+1+2+2+2+2+2+2+2+3+3+3+4+4+5)/18 =2,22 h = 2 h 13 min 12 s Moda : il valore più frequente è 2 ore. Mediana: il valore che occupa il posto centrale è =2 h Oss: in questo caso il numero di dati raccolti è 18, quindi pari per cui vi sono due posti centrali che sono 2 e 2 ma la semisomma tra 2 e 2 è sempre 2. Deviazione dalla media: Numero di ore (h) 0 1 2 3 4 5 Deviazione dalla media = Dato - Media 0-2,22= -2,22 1-2,22= -1,22 2-2,22= -0,22 3-2,22= 0,78 4-2,22= 1,78 5-2,22= 2,78 3. Indagine a variabili quantitative con dati continui: In questo caso l elaborazione dei dati prevede: il raggruppamento in classi dei dati; il calcolo del frequenze assolute, relative e percentuali; il calcolo della moda, in questo caso della classe di dati più frequente; il calcolo della mediana, della media aritmetica e della deviazione; il calcolo, se richiesto delle frequenze cumulate; la rappresentazione grafica. In riferimento a tale indagine si veda l esempio riportato sul vostro libro da pag. 474. Il fenomeno su cui si indaga è risultati lancio del peso in una gara tra ragazzi di scuola secondaria. Osservazione: Abbiamo già parlato delle frequenze cumulate, esse, per questo tipo di indagini, riscoprono un valore assai significativo Sempre considerando l esempio citato sopra. Le frequenze cumulate ci permettono di rispondere ad esempio, a questo tipo di domande: quanti sono stati i lanci con lunghezza superiore agli 8m? Basta sommare le frequenze assolute delle classi interessate alla domanda e in corrispondenza del numero trovato determinare la frequenza cumulata. Per la frequenza cumulata percentuale, la risposta sarà che i numero di lanci con una lunghezza superiore agli 8m è pari al 64% dei lanci totali. 4
Probabilità Se la statistica studia l andamento di un fenomeno, la probabilità studia i fenomeni di tipo casuale come l estrazione di due palline rosse da un urna contenente tre palline rosse e cinque nero oppure l eventualità che un macchinario produca saltuariamente pezzi difettosi. La branca della matematica che studia eventi o fenomeni retti dal caso si chiama proprio probabilità. 1. Probabilità classica: Un evento è un avvenimento che può accadere o non accadere e si indica solitamente con una lettera maiuscola del nostro alfabeto. Esempio nel lancio di un dado un evento A può essere esce il numero tre. Un tale evento dipende dal caso e non è detto che si verifichi sempre proprio per questo motivo è detto aleatorio o casuale. Invece se indichiamo, sempre nel lancio di un dado, l evento B = esce un numero compreso tra 1 e 6 allora siamo sicuri che tale evento si verifichi, per questo motivo è detto evento certo. Infine se indichiamo con C l evento esce il numero 9 nel lancio di un dado, anche qui siamo sicuri dell impossibilità di verificarsi di un tale evento, proprio per questo si dice evento impossibile. Nella probabilità classica, il verificarsi di un dato evento è determinato dal rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili. Supponiamo di lanciare un dado e di voler misurare la probabilità dell evento E = esce un numero pari. Possiamo affermare che: i casi possibili sono 6, pari al numero di facce del dado. i casi favorevoli sono 3, pari al numero di facce contrassegnate da un numero pari vale a dire (2,4,6). Attenzione: il dado in nostro possesso non è truccato per cui ogni faccia ha la stessa probabilità di presentarsi dopo un lancio. Si dice quindi, che tutti i casi sono ugualmente probabili. In formule per determinare la probabilità di E che indico con p(e), dovrò calcolare: dove f indica il numero di casi favorevoli e p il numero di casi possibili. Nel caso dell esempio si ha: Osserva come la probabilità può essere espressa da un numero razionale, da un decimale o da una percentuale. Da quanto affermato possiamo sintetizzare dicendo che: la probabilità di un evento aleatorio è un numero compreso tra 0 e 1; la probabilità dell evento impossibile è 0; la probabilità dell evento certo è 1. 5
2. Probabilità statistica o frequentista: Se non possiamo stabilire il numero di casi favorevoli o il numero di casi possibili allora dobbiamo avvalerci di quest altra definizione di probabilità, che si basa su studi che osservano il ripetersi di un certo evento nel tempo. Con questa definizione di probabilità si può calcolare ad esempio la probabilità che accadano furti o incidenti automobilistici. Per calcolare la probabilità di un evento secondo la definizione statistica dobbiamo definire la frequenza relativa di un evento. Quest ultima è definita come rapporto fra il numero delle volte in cui l evento considerato si verifica (frequenza assoluta f) e il numero delle prove eseguite ( numero prove n). In formule la probabilità statistica di un evento è relativa dell evento considerato. 3. Legame tra la probabilità classica e quella statistica Supponiamo di considerare il lancio di una moneta e l evento T = esce testa la probabilità classica dell evento è coincide proprio con la frequenza se invece calcoliamo la probabilità secondo la definizione statistica, vale a dire la frequenza relativa ci accorgiamo che al crescere del numero dei lanci eseguiti, la frequenza Numero lanci Testa F(E) relativa tende, si avvicina alla p(e), 50 27 0,54 probabilità classica. 500 255 0,51 1000 503 0,503 Questa osservazione prende il nome di legge dei grandi numeri e afferma che: la frequenza relativa di un evento tende ad avvicinarsi alla probabilità classica, quando si effettua un elevato numero di prove, tutte eseguite nelle stesse condizioni. Eventi incompatibili e compatibili Due eventi A e B si dicono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente oppure può capitare che nessuno dei due eventi si verifichi. Supponiamo di lanciare un dado e consideriamo A = esce un numero pari e B = esce un numero dispari maggiore di 3. Essi sono eventi incompatibili e cerchiamo di calcolare la loro probabilità: il numero di casi possibili è pari a 6; il numero di casi favorevoli all evento A è pari a 3 allora il numero di casi favorevoli all evento B è pari a 1 allora Tuttavia non siamo ancora soddisfatti perché cerchiamo di dare una risposta alla seguente domanda: qual è la probabilità che si verifichi l evento A o l evento B? Ebbene per dare la risposta dobbiamo definire l evento totale E = esce un numero pari o un numero dispari maggiore di 3. In generale la probabilità dell evento totale di due eventi incompatibili è pari alla somma delle probabilità degli eventi parziali, nel nostro caso gli eventi parziali sono A e B. In formule, nel nostro esempio. 6
Invece quando due eventi sono tali che il verificarsi dell uno non esclude il verificarsi dell altro allora si dicono compatibili. Siano dati, sempre nel lancio di un dado gli eventi C = esce un numero pari e D = esce un numero maggiore di 2. Gli eventi C e D sono compatibili perché possono verificarsi contemporaneamente, questo avviene quando esce il numero 4 o il numero 6. Essi sono eventi compatibili e cerchiamo di calcolare la loro probabilità: il numero di casi possibili è pari a 6; il numero di casi favorevoli all evento C è pari a 3 allora il numero di casi favorevoli all evento D è pari a 4 allora. In questo caso l evento totale E costituito dagli eventi parziali C e D è E = esce un numero pari o un numero maggiore di 2. Attenzione: se per calcolare la probabilità totale si esegue la somma degli eventi parziali C e D, allora i casi favorevoli ad entrambi gli eventi, nel caso dell esempio l uscita del 4 o del 6, sarebbero contati due volte. Per questo motivo bisogna considerare un nuovo evento, in cui gli eventi parziali si verificano entrambi. Allora = esce un numero pari e un numero maggiore di 2, in cui i casi favorevoli a quest evento sono dati come abbiamo affermato dall uscita di 4 o 6, quindi. In definitiva per calcolare la probabilità dell evento totale E di due eventi parziali, dobbiamo sommare la probabilità dei due eventi parziali e poi sottrarre la probabilità che si verifichino contemporaneamente. In formule. Nel caso dell esempio si ha che Osservazione importante: la probabilità totale di eventi compatibili o incompatibili si riferisce ad una sola prova come il lancio di un dado, il lancio di una moneta, una sola estrazione di una pallina da un urna, una sola estrazione di una carta da un mazzo, ecc. Eventi indipendenti e dipendenti Due eventi si dicono indipendenti se l esito di uno di essi non modifica la probabilità che l altro si verifichi. Supponiamo di prendere un urna e di avere quattro palline numerate da 1 a 4 e di fare due estrazioni successive rimettendo nell urna la prima pallina estratta. Consideriamo gli eventi: A = alla prima estrazione esce un numero pari B = alla seconda estrazione esce un numero dispari I due eventi sono indipendenti perché rimettendo la pallina nell urna l evento A non influisce sulla probabilità che B accada. Calcoliamo la probabilità di A e B: il numero di casi possibili è pari a 4; il numero di casi favorevoli all evento A è pari a 2 allora il numero di casi favorevoli all evento B è pari a 2 allora. Adesso domandiamoci quale sarà la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi. A questo scopo consideriamo l evento E composto dai due eventi semplici A e B sia E = alla prima estrazione esce un numero pari e rimettendo la pallina nell urna, alla seconda estrazione esce un numero dispari. 7
Per determinare la risposta possiamo considerare due metodi grafici che ci permettono di rappresentare la probabilità. Tabella a doppia entrata Intestiamo le righe e le colonne con i casi possibili di ciascuna prova. Siano le righe le palline estratte nel prima estrazione e le colonne le palline estratte nella seconda estrazione. 1 2 3 4 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) Ad esempio con la coppia (2,3) abbiamo indicato che la pallina estratta nella prima estrazione è la 2 mentre quella estratta nella seconda è la 3. I casi possibili sono dati dall insieme delle coppie che abbiamo formato vale a dire 16 mentre i casi favorevoli all evento E che sono in tutto 4 (sono indicate in neretto). Diagramma ad albero (Si veda la figura a pag. 9) Ogni ramificazione rappresenta i casi possibili di ciascuna prova: Dalla figura si evince che come per la tabella a doppia entrata anche per il diagramma ad albero il numero di casi possibili è pari a 16 mentre il numero di casi favorevoli è pari 4. Da entrambe le rappresentazioni grafiche si può calcolare la probabilità dell evento composto E come il rapporto fra i casi favorevoli e quelli possibili, allora. Oss: potevamo pervenire allo stesso risultato moltiplicando tra loro le probabilità degli eventi semplici che costituiscono E, infatti In generale la probabilità di un evento composto da due eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità di ciascuno degli eventi semplici. Mentre se due eventi sono tali che l esito di uno di essi modifica la probabilità dell altro allora essi si dicono dipendenti. Consideriamo lo stesso esempio precedente solo che in questo caso non reinseriamo nell urna la pallina estratta nella prima estrazione. Il fatto che la pallina estratta durante la prima estrazione non venga reinserita nell urna modifica il numero di casi possibili, infatti dai 4 della prima estrazione si passa ai 3 della seconda per cui in questo esempio l evento A (1 evento) influisce sull evento B (2 evento). Calcoliamo le probabilità di A e B: il numero di casi possibili nella prima estrazione è pari a 4; il numero di casi favorevoli all evento A è pari a 2 allora il numero di casi possibili nella seconda estrazione è pari a 3; il numero di casi favorevoli all evento B è pari a 2 allora Sia adesso dato l evento composto E = alla prima estrazione esce un numero pari e senza rimettere la pallina estratta nell urna, alla seconda estrazione esce un numero dispari. In questo caso la probabilità di E sarà. 8
In generale la probabilità di un evento composto di due eventi semplici dipendenti è uguale al prodotto della probabilità del primo evento per la probabilità del secondo evento, calcolata supponendo che il primo degli eventi si sia verificato. In formule supponendo però che l evento A o primo evento si sia verificato. Osservazione importante: la probabilità composta di eventi dipendenti o indipendenti si riferisce a più prove come più lanci ripetuti di uno stesso dado o lanci simultanei di più dadi, più estrazioni ripetute di palline da un urna o anche estrazioni simultanee di una pallina da più urne. Figura riferita al diagramma ad albero della probabilità composta di eventi indipendenti. (Prof. C. Pili) 9