Politecnico di Milano I a Facoltà di Ingegneria C.S. in Ing. per l Ambiente e il Territorio MODELLISTICA E SIMULAZIONE Recupero prova - 4 luglio COGNOME NOME FIRMA: : : : Voto: ATTENZIONE! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate e riportate su questi fogli. - Nel testo [C] rappresenta il numero di lettere del cognome e [N] del nome. ESERCIZIO Dato il sistema tempo-discreto rappresentato dalla matrice 3 3[ C] p A = 3 3 4 4 se ne studi la stabilità al variare di p. [ crediti: solo per p=] Soluzione La mtrice può essere scomposta a blocchi lungo la diagonale principale come segue:
= 4 3 4 3 ] 3[ 3 p C A La prima sottomatrice è diagonale e quindi i suoi autovalori sono ½ e /3, entrambi minori di. Anche l ultima sottomatrice ha autovalori -½ e ¾ che indicano stabilità. Quindi l unico problema è esaminare la stabilità della sottomatrice centrale. I suoi autovalori sono e quindi per p l intero sistema è asintoticamente stabile, mentre per p la sottomostrice è instabile e quindi lo è anche il sistema complessivo.
ESERCIZIO Una popolazione di suini è suscettibile all'attacco di un agente infettivo che si presenta in due forme o ceppi, uno poco e l'altro molto virulento. Si indichi con S la densita di ospiti suscettibili nella popolazione, e si supponga che la dinamica della popolazione, in assenza dell'agente infettivo, sia di tipo logistico (quindi direttamente proporzionale alla densità secondo il tasso istantaneo di crescita r e inversamente proporzionale al suo quadrato tramite il rapporto r/k, dove K è la capacità portante dell ambiente). Si formuli il modello epidemiologico della popolazione sulla base delle seguenti ipotesi: il contagio ad opera dei due ceppi è proporzionale al prodotto degli individui sani e di quelli infetti da uno dei due ceppi secondo i coefficienti β i (i =, ); il tasso di mortalità naturale µ di un individuo sano è maggiore di α i (i =, ) per quanto rispetto a quelli infetti rispettivamente dei due ceppi; se un individuo infetto dal ceppo meno virulento viene in contatto con uno infetto dal ceppo più virulento, ne viene contagiato con probabilità proporzionale a β (superinfezione).. Si scrivano le equazioni di stato del sistema e la (o le) trasformazione(i) d'uscita in modo da poter calcolare la densità degli individui sani e di quelli infetti;. Si classifichi il sistema ottenuto. P.S. Il problema è reale e fa riferimento alla peste suina nei cinghiali della Sardegna. Soluzione Definiamo come variabili di stato il numero (o la densità) S di suini suscettibili, V quello degli infetti del ceppo meno virulento e V degli infetti del ceppo più virulento. Scrivendo il sistema a tempo continuo (ovviamente è anche possibile scriverlo a tempo discreto) secondo le indicazioni abbiamo: S S& = rs βsv β SV µ S K V& = βsv βvv ( µ α) V V& = β SV + β V V ( µ α ) V i cui termini positivi sono quelli che fanno crescere la parte di popolazione considerata e quelli negativi che la fanno decrescere (ad esempio, il contagio in entrambe le forme fa diminuire la popolazione dei suscettibili e crescere quella dei singoli ceppi e la superinfezione fa passare da un ceppo all altro). Come trasformazione di uscita si può adottare la popolazione totale oppure le tre popolazioni separate. Nel primo caso: y = S + V + V e nel secondo y = S y = V y3 = V.
ESERCIZIO 3 Si vuole identificare un modello AR() per rappresentare le vendite mensili di condizionatori. Disponendo dei seguenti dati, registrati dal novembre 4, C = [ 8 8 ] si risponda alle successive domande.. Quale equazione rappresenta il modello?. Con quale metodo è possibile effettuare la taratura? 3. Si effettui la taratura fornendo il valore del (dei) parametro(i) 4. [solo 7, crediti: si preveda il valore di luglio, commentando punti di forza e di debolezza del risultato ottenuto] Soluzione Se si tratta di un AR(), la sua equazione è y(t+) = a y(t) in cui c è da stimare il solo parametro a. Per la taratura si può utilizzare la formula dei minimi quadrati ˆ T T ϑ = ( M M ) M y nella quale sia i termini misurati y che la matrice dei dati M contengono i valori, opportunamente sfasati, del vettore C. Infatti (assumendo che i valori in C siano crescenti nel tempo): 8 8 8 8 = a 8 e ˆ ϑ = [ 8 8 ] [ ] 8 8 8 8 8 y = a M quindi la stima di a =,. Per effettuare la nuova previsione è sufficiente moltiplicare l ultimo dato per il valore stimato del parametro, quindi y(t+) =, * =, La stima del parametro che si ottiene con così pochi dati è ovviamente poco attendibile e, oltre tutto, i dati sono all incirca costanti e quindi il modello AR() non sembra prestarsi bene alla loro interpretazione.
ESERCIZIO 4 Si risponda, usando solo lo spazio disponibile, alle seguenti domande: Che cosa modellizzano i sistemi a parametri ditribuiti? I sistemi distribuiti nello spazio che quindi hanno sia le coordinate spaziali che il tempo come veriabili indipendenti (es. fenomeni di inquinamento). Sono descritti da equazioni differenziali alle derivate parziali. Che cosa si intende per modello ARMA(,)? Un modello lineare con termini autoregressivi e a media mobile, cioè del tipo y(t+) = αy(t)+βy(t-)+γu(t) Che differenze ci sono tra un metodo esatto e uno ricorsivo per il calcolo degli equilibri? Di un metodo esatto è noto il numero di poerazioni da fare per ottenere il risultato, ma non la siua precisione (a causa degli errori di troncamento); nel metodo ricorsivo la soluzione viene approssimata periterazioni successive e quindi nonè definito a priori il numero di operazioni, ma si può sapere qual è l approssimaziona raggiunta ad ogni passo. [7, crediti: Come si calcolano gli stati non osservabili di un sistema lineare?] Gli stati non osservabili costituiscono il sottospazio perpendicolare del campo della matrice O di osservabilità data da [ c T A T c T (A T ) c T... (A T ) n- c T ]. [ crediti: Come si valuta il passo di discretizzazione da usare nel metodo di Eulero?] Deve essere piccolo rispetto alla velocità propria prevista per il sistema. In particolare, per i sistemi lineari deve essere piccolo rispetto alla più piccola costante di tempo del sistema.
ESERCIZIO [solo 7, crediti]. Si vuole simulare in Excel il movimento del seguente sistema: x & x& = ax = ex + bx fxx + d + x cxx + d + x con a =, b =., c =., d =, e =, f =.. La tabella sottostante mostra un foglio di lavoro impostato per la simulazione mediante il metodo di Eulero. Nelle celle B4:G4 sono stati inseriti i parametri del sistema, in B8:C8 le condizioni iniziali dello stato e in E8 il passo di discretizzazione. Le celle B:E3 e sottostanti sono invece state impostate per calcolare l indice del passo k, il corrispondente istante di tempo t, i valori calcolati delle variabili x e x al passo k. A B C D E F G H parametri 3 a b c d e f 4. -. -.. -.. 6 condizioni iniziali passo 7 x () x () t 8. 9 simulazione k t x x 3 Scrivete le formule da inserire per completare l implementazione del metodo, scrivendole in modo tale che, ove possibile, possano essere copiate e incollate senza modifiche nelle celle sottostanti. Calcolate inoltre i risultati delle formule e inseriteli nelle corrispondenti celle del foglio di lavoro. Cella C D E C3 D3 E3 Formula = $E$8*B = B8 = C8 = $E$8*B3 = D+$E$8*($B$4*D+$C$4*D^+$D 4*D*E/($E$4+D)) = E+$E$8*($F$4*E +$G$4*D*E/($E$4+D)). Illustrate concisamente l utilizzo della funzione REGR.LIN( ) in Excel. Calcola l equazione e le statistiche di una linea retta che si adatti al meglio ai dati noti utilizzando il metodo dei minimi quadrati. Quindi restituisce una matrice di valori con i parametri della linea e, opzionalmente,le relative statistiche. La sintassi è REGR.LIN(y_nota;x_nota;cost;stat) dove le prime due matrici contengono i dati noti di x e y; cost = FALSO dice se la retta deve passare per l origine e se stat = VERO vengono fornite anche le statistiche sui risultati....