2.1.2 Perché qualsiasi numero elevato alla 0 è uguale a 1?

2.1.2 Perché qualsiasi numero elevato alla 0 è uguale a 1? Un altra regoletta che tutti conosciamo fin dalle scuole medie (o al massimo dai primi anni delle superiori) è questa: Qualsiasi numero elevato alla potenza 0 dà come risultato 1! Come già detto per il perché meno x meno più al paragrafo precedente, anche in questo caso si tratta di un concetto di base che diamo per scontato, assumendolo come un assioma o come una convenzione fissata dai matematici per far quadrare tutta la questione dell elevamento a potenza. Ma non è così nemmeno stavolta. Il perché esiste ed è quindi piuttosto interessante scoprirlo. In realtà, i professori di matematica universitaria spiegano questa dimostrazione mediante il principio di induzione applicato ai numeri naturali, dopo aver ovviamente spiegato il principio stesso. Ma questo ci porterebbe ad una di quelle trattazioni molto teoriche che sono proprio quelle solfe che fanno perdere fin da subito la voglia di seguirle. Il mio obiettivo, da geometra, è invece, all opposto, quello di creare nei colleghi la curiosità per la matematica e quindi adotterò un approccio più concreto. Come al paragrafo precedente, dobbiamo cominciare con il ricordare cosa significa l elevamento a potenza di un numero, detto base, ad un altro numero, detto esponente : Anche in questo caso si tratta semplicemente di una forma di scrittura compatta per dire che vogliamo moltiplicare il numero per sé stesso per volte. Quindi scrivere: significa scrivere 4 13

Così come scrivere: significa scrivere 3 Confrontando le due espressioni abbiamo quindi che: Cioè: Infatti, se dividiamo entrambi i membri per e semplifichiamo le due frazioni ottenute, abbiamo: Ma naturalmente, per quanto detto sopra, anche è pari alla potenza inferiore moltiplicata per, e quindi l espressione qui sopra può essere trascritta come: Quindi, dividendo ancora ambo i membri per : otteniamo: A questo punto vi sento già dire: Bella scoperta, lo sapevamo già tutti che per fa al quadrato. Certo, ma questi passaggi, che sembrano del tutto banali, in realtà servono per capire cosa succede procedendo a ripeterli anche con le potenze inferiori. Ed infatti adesso arriva il bello, perché 14

se, come abbiamo visto, una potenza è pari alla potenza inferiore moltiplicata per la base, questo deve essere vero sempre 4 e quindi vale anche scrivere: Qui però, almeno a livello concettuale, le cose cominciano a diventare un po più complicatine. Infatti, se la notazione di da cui siamo partiti era del tutto intuitiva, nel senso che significava moltiplicare il numero per sé stesso 4 volte, cosa significa questo bel che ci ritroviamo adesso? Beh, fin qui ci si può ancora raccapezzare perché vorrà dire che il numero viene moltiplicato per sé stesso una sola volta. Cioè, invece che avere una moltiplicazione, ad esempio, con 2 fattori, come nel caso di, abbiamo una moltiplicazione moncata ad un solo fattore, ossia la base stessa. Infatti, applicando la solita divisione per ad entrambi i membri dell equazione, otteniamo: Finalmente arriviamo al dunque, perché applicando lo stesso principio che una potenza è pari alla potenza inferiore moltiplicata per la base, avremo che: e semplificando anche questa volta: arriviamo al risultato finale: 1 Per quanto possa sembrare paradossale, questa conclusione ci porta a dire che: 4 E qui entrerebbe in gioco il principio di induzione di cui accennavo in precedenza. 15

Moltiplicare un numero per sé stesso 0 volte dà come risultato 1! È un po quello che succedeva nel paragrafo precedente quando ci chiedevamo cosa significasse sommare un numero a sé stesso meno 4 volte. Sono quei paradossi che si incontrano spesso in matematica quando vogliamo riportare sempre e comunque i suoi concetti al mondo reale 5. La matematica invece va oltre il mondo reale, anzi, per dirla giusta, la matematica rappresenta tutto il mondo reale anche quello che va oltre la nostra percezione naturale 6. 2.1.3 Perché un numero elevato alla -1 è uguale al suo reciproco? Dato che ci sono, trovo utile illustrare anche quest altro perché, considerato che probabilmente molti lo considerano sempre una convenzione: Un numero elevato alla 1 è uguale al suo reciproco! Anche qui, come appena detto alla fine del paragrafo precedente, è del tutto inutile chiedersi cosa possa significare: Moltiplicare un numero per sé stesso 1 volte! È un concetto che non appartiene alla nostra realtà percepibile. In matematica invece è tutto molto comprensibile. Infatti anche in questo caso la dimostrazione è molto semplice perché si tratta di proseguire tranquillamente con il processo sviluppato al paragrafo precedente, nel quale avevamo sancito il principio che una potenza è pari alla potenza inferiore moltiplicata per la base, arrivando alla fine a dimostrare che: 1 A questo punto basta quindi procedere con lo stesso criterio, considerando cioè che sarà pari alla potenza inferiore moltiplicata sempre 5 Qui torna sempre utile il paradosso dei numeri negativi già accennato: un pastore non può possedere -1 pecora. 6 Per dire, Einstein non avrebbe mai potuto dimostrare l esistenza della Relatività Generale se non avesse potuto giovarsi della matematica. 16

per, cioè: 1 Per cui, dividendo per ambo i membri, otteniamo: Come volevasi dimostrare: 1 1 Qui però bisogna fare una dovuta precisazione, e cioè che questa regola vale solo se è un numero diverso da 0, perché in caso contrario si incorre nella famosa divisione per 0 che è una delle poche cose non ammesse in matematica. Volendo andare avanti, possiamo anche dimostrare come, di fatto, elevare ad un esponente intero negativo equivale semplicemente al reciproco di quella potenza positiva. Basta ripetere gli stessi passaggi. Partiamo dall espressione qui sopra e consideriamo la potenza inferiore: 1 Dividiamo per, il che a destra dell uguale significa moltiplicare per il reciproco di : Quindi: 1 1 1 1 17

2.1.4 Perché un numero elevato alla 1/2 è uguale alla sua radice quadrata? La disquisizione di cui ai due paragrafi precedenti sulle potenze ad esponenti strani può sembrare fine a sé stessa, nel senso che soddisfa soltanto una curiosità su regole che sembrano a prima vista essere delle banali convenzioni. In realtà, chi ha seguito anche tutta la trattazione del calcolo dei rilievi topografici avrà trovato sicuramente utile avere l effettiva contezza delle potenze con esponenti negativi visto che queste sono spesso presenti nei calcoli topografici. Vale quindi la pena di concludere questo argomento con un ultimo perché, quello che risponde all affermazione: Un numero elevato alla è uguale alla sua radice quadrata! I due paragrafi precedenti ci danno tutte le conoscenze di base per capire anche questa regola. Abbiamo infatti visto che scrivere, ad esempio: significa scrivere 5 Se consideriamo queste cinque suddivise tra le prime 3 e le seconde 2, possiamo scrivere: Il che non è altro che la banale dimostrazione di un altra regoletta che conosciamo dalla scuole medie, e cioè: Moltiplicare due potenze della stessa base equivale ad elevare la base stessa alla somma dei due esponenti! Questa frase qui sopra è la classica dimostrazione che esprimere gli enunciati matematici in linguaggio scritto è tanto complicato per chi li deve scrivere quanto poco comprensibile per chi li legge. Infatti uno dei 18

grandissimi vantaggi della matematica è quello di sintetizzare in pochissimi simboli quello che a parole si dovrebbe dire con frasi molto lunghe, contorte e di fatto poco o per nulla chiare. Infatti, per la frase di cui sopra basta scrivere: Quindi, data questa regola, se consideriamo la moltiplicazione: dovrà essere che: e sommando gli esponenti a destra + 1: Ma ormai noi sappiamo che: Quindi: Ma moltiplicare per sé stesso altro non è che calcolare il suo quadrato, quindi è il quadrato di e pertanto quest ultimo è la radice quadrata di : Questo vale ovviamente solo se 0 perché, per la regola del meno per meno più vista al paragrafo 2.1.1, il quadrato di un numero, sia esso positivo che negativo, è sempre un numero positivo 7. Naturalmente quanto sopra non vale solo per l esponente ma per qualsiasi altro esponente frazionario con 1 al numeratore. Ad esempio, se ripetiamo gli stessi passaggi per l esponente otteniamo: 7 Questo vale ovviamente nel campo dei numeri reali, perché se ci si allarga a quello dei numeri complessi esiste anche la radice quadrata dei numeri negativi. 19

In questo caso risulta essere il cubo di " e pertanto quest ultimo è la radice cubica di : " Ma cosa succede se al numeratore della frazione dell esponente anziché esserci 1 c è un numero diverso? Anche in questo caso bisogna fare un passo indietro e capire prima cosa significa scrivere una potenza elevata ad un altra potenza, ad esempio: # $ Non è difficile, partiamo dall esponente 2 esterno, significa che la base che è dentro le parentesi viene moltiplicata per sé stessa due volte: # $ Ma a sua volta significa moltiplicare per sé stesso tre volte, quindi: # $ # $# $ % E pertanto: # $ % Da cui si deduce che elevare una potenza ad un altra potenza significa elevare la base al prodotto dei due esponenti: # $ Detto questo, quindi, se noi consideriamo la potenza: possiamo scriverla come: 20

& ' Ma noi abbiamo appena visto che E quindi: " " ( ) In pratica, quando l esponente è una frazione, il denominatore corrisponde alla radice ennesima della base mentre il numeratore corrisponde all esponente al quale tale radice va elevata. 21