RAPPRESENTAZIONE ED ELABORAZIONE DI DATI RELATIVI AD UN TERREMOTO: DAI DATI SULLA ACCELERAZIONE ALLA TRAIETTORIA Nei files descritti in fondo a queste pagine sono contenuti dei dati relativi al terremoto avvenuto il 7 ottobre 989 a Loma Prieta, nelle montagne di Santa Cruz a sud di S. Francisco, California. I dati sono i valori delle accelerazioni registrate da un accelerometro situato nell edificio di Scienze naturali dell Università dis. Cruz. In questo esperimento, partendo dai dati sulla accelerazione, otteniamo la traiettoria ( il grafico della legge oraria del moto) percorsa da un punto durante il terremoto. Se un punto si muove lungo una retta, la legge oraria del moto è una funzione del tempo s = s(t). Così pure la velocità v = v(t) el accelerazione a = a(t). Come noto, derivando la funzione che esprime la legge oraria del moto si ottiene la funzione velocità, e derivando questa si ottiene l accelerazione: s = s(t) v = v(t) a = a(t). Vicevesa, se conosciamo la velocità iniziale, integrando, dall accelerazione possiamo risalire alla velocità; se conosciamo la posizione iniziale una ulteriore integrazione permette di ottenere la legge oraria del moto s = s(t) v = v(t) a = a(t). Se il moto avviene nello spazio, per rappresentare ciascuna di tali grandezze occorreranno tre funzioni del tempo, per esempio le componenti nelle tre direzioni NORD-SUD, EST-OVEST everticale. In questa esposizione vogliamo mostrare come si possono rappresentare queste grandezze e come si può, partendo dai dati sulla accelerazione, ottenere la legge oraria del moto e infine la traiettoria di un punto della terra durante la scossa.. Le tre componenti della accelerazione. L accelerometro registrò, durante la scossa principale, le tre componenti spaziali della accelerazione: la componente nella direzione NORD- SUD, quella nella direzione EST-OVEST e infine quella verticale. Ci sarà utile per il seguito dare un nome a queste componenti: le chiameremo a n (t),a e (t),a v (t); L intervallo di durata della scossa è [, 5] secondi. I rilevamenti sono effettuati a intervalli di ampiezza =.5, dunque negli istanti t j =.5 j j =,...,.. I dati di cui disponiamo sono quindi le tre componenti dell accelerazione negli istanti t j a n (t j ), a e (t j ), a v (t j ) j =,...,.. In Figura compaiono i grafici delle tre componenti della accelerazione in funzione del tempo (i punti sono stati uniti con un tratto continuo, per rendere il grafico più leggibile).
Accelerazione Est - Ovest - - 5 5 5 3 35 5 5 - - 5 5 5 3 35 5 5 - - 5 5 5 3 35 5 5 Figura. Zoom. -Per avere una traiettoria più semplice (e gestire una quantità non troppo grande di dati) decidiamo di restringerci ad un intervallo più piccolo: l intervallo I =[5, ]; d ora in poi tutto ciò che vedremo sarà relativo a tale intervallo. La Figura mostra le accelerazioni nell intervallo selezionato. In Figura 3 lo stesso grafico viene rappresentato con la scala delle ascisse dilatata. Accelerazione Est - Ovest - - 5 5 5 3 35 5 5 - - 5 5 5 3 35 5 5 - - 5 5 5 3 35 5 5 Figura. 3. Le leggi del moto. -Integrando numericamente le tre componenti dell accelerazione si ottengono le tre componenti della velocità. Ripetendo l operazione sulla velocità si ottengono
Accelerazione Est - Ovest - - 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 - - 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 - - 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 Figura 3. le tre componenti della legge oraria del moto (Figura ). velocità sia la posizione iniziale siano nulle. Qui abbiamo assunto che sia la Velocita - 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 Tempo Posizione 3 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 Tempo Figura 3
. La traiettoria - Rappresentando le componenti della legge oraria nello spazio si ottiene la traiettoria del punto (primo grafico in Figura 5). Gli altri tre grafici sono le proiezioni della traiettoria sui tre piani V-N, V-E, E-N. La Figura 6 è un ingrandimento della traiettoria... -. -. o.. o 56 o o 5 6 -. -.5.5 -. - Est - -.5.5 o.. o 5 o 6 o o 5 o 6 o -. - -. - - Est - -.5.5 Figura 5 Posizione (cms)..3. Verticale. -. -. Est-Ovest - -. -Sud.. Figura 6 La traiettoria
I dati -Idati fanno parte del software MATLAB e sono stati forniti da Joel Yellin al Charles F. Richter Seismological Laboratory, University of California, Santa Cruz. I files contenenti i dati, in formato Excell sono : QUAKE.xls: contiene i valori delle accelerazioni relativamente all intevallo [5, ] cioè a n (t j ), a e (t j ) a v (t j ) j =,..., (infatti t = = 5 e t = =. QUAKE.xls: contiene i valori delle accelerazioni relativamente all intevallo [, 5] cioè a n (t j ), a e (t j ) a v (t j ) j =,...,3. Gli Esercizi Gli esercizi proposti consistono sostanzialmente nel realizzare lo stesso esperimento descritto in queste pagine. I seguenti esercizi sono nell ordine via via più impegnativi. Eseguirne uno a scelta. Consegnare una breve relazione (massimo due pagine) contenente la descrizione del lavoro fatto e i grafici delle traiettorie ottenute. L esposizione deve essere concisa e chiara. Non dimenticare di aggiungere il proprio nome. Il termine per la consegna della relazione verrà comunicato a lezione. Esercizio Trovare i valori della sola componente EST-OVEST della legge oraria del moto nell intervallo [5, ], assumendo che la velocità e la posizione iniziali siano nulle. Presentare due plot dei risultati ottenuti, uno per la velocità euno per la la legge oraria del moto. Esercizio Trovare i valori delle tre componenti della legge del moto nell intervallo [5, ], assumendo che la velocità e la posizione iniziali siano nulle. Presentare su un unico sistema di coordinate cartesiane i grafici delle tre componenti della velocità e su altro quelli delle tre componenti della legge oraria del moto i (come nella Figura di queste note). Esercizio 3 Trovare i valori delle tre componenti della legge del moto nell intervallo [, 5], assumendo che la velocità e la posizione iniziali siano v n =.5635 v e =.66 v v =.869 s n =.883 s e =. s v =.85. Presentare su un unico sistema di coordinate cartesiane i grafici delle tre componenti della velocità e su altro quelli delle tre componenti della legge oraria del moto i (come nella Figura di queste note). 5