Corso di Laurea in Matematica per l Informatica e la Comunicazione Scientifica Soluzione del compito di Matematica Discreta 1 del 25 luglio 200 1. Qual è il numero di applicazioni f : A = {1,..., 5} B = {1,..., 7} tali che f(a =? 1. 210 S(7, ; 2. 6 S(7, ;. 6 S(5, ; 4. 210 S(5,. Soluzione: Occorre innanzitutto scegliere la terna che deve fare da codominio, cioè scegliere oggetti tra i 7 a disposizione: ci sono ( 7 modi di fare questa scelta. Dopo ciò occorre contare quante sono le applicazioni suriettive da un insieme con 5 oggetti a un insieme con oggetti: questo numero è!s(5,. Concludendo, il numero complessivo di applicazioni richieste è il prodotto ( 7!S(5, = 210S(5, 2. Siano S un insieme di cardinalità v > 4 e B la famiglia di tutti i sottoinsiemi di S di cardinalità k, con < k < v. Segnare l affermazione non corretta: 1. una delle affermazioni che seguono è falsa; 2. (S, B è un (k 1-disegno di parametri (v, k, v k + 1;. (S, B è un (k 2-disegno di parametri (v, k, (v k+2(v k+1 2 ; 4. (S, B è un (k -disegno di parametri (v, k, (v k+(v k+2(v k+1. Soluzione: Fissati k 1 punti in S, per ottenere un blocco occorre aggiungere esattamente un punto che va scelto tra i rimanenti v (k 1 punti di S. Ci sono quindi precisamente v (k 1 blocchi distinti che contengono i fissati k 1 punti, cioè quello dato è un (k 1-disegno di parametri (v, k, v k +1. Ne consegue che è anche un (k 2-disegno di parametri (v, k, r k 2 e un (k -disegno di parametri (v, k, r k, con r k 2 = (v k + 2(v k + 1 2 e (v k + (v k + 2(v k + 1 r k =! Dunque la risposta non corretta è la quarta.. (Nella formulazione originaria questo esercizio conteneva un errore. Sia G = (V, S il grafo così definito: - V consiste delle parole di lunghezza 8 su un alfabeto di 5 lettere; - {v, v } S se v e v iniziano e finiscono allo stesso modo. Segnare l affermazione corretta: 1. χ V ( G = 5 6 ; 2. le componenti connesse di G non hanno cammini euleriani;. χ S( G < 5 6 ; 4. G ha 2 componenti connesse. Soluzione: Ogni coppia (a, b di lettere del dato alfabeto determina una componente connessa del grafo che è costituita da tutte le parole che iniziano
con a e terminano con b. Quindi il grafo ha tante componenti connesse quante sono le coppie ordinate (= parole di lunghezza 2 su un alfabeto di 5 lettere, cioè 5 2 componenti connesse. In una data componente connessa tutte le parole (i vertici hanno una parte data (la prima e l ultima lettera e una parte, quella centrale costituita dalle rimanenti sei lettere, assolutamente libera. Ne consegue che in ogni componente connessa vi sono 5 6 vertici tra loro tutti collegati da uno spigolo, cioè ogni componente connessa è un grafo completo con 5 6 vertici (un numero dispari. Dunque χ V (G = 5 6, χ S (G > 5 6 1 e in ogni componente connessa ci sono cammini euleriani (ogni vertice ha per grado il numero (pari 5 6 1. La risposta corretta è quindi la 1. 4. Cinque ragazzi hanno finito di leggere un libro ciascuno. In quanti modi possono scambiarsi i libri cosicché ciascuno legga un nuovo libro? 1. 120; 2. 44;. 101; 4. 96. Soluzione: È il classico problema della segretaria distratta dove lettere e buste sono sostituite da libri e ragazzi (o viceversa : applicando la relativa formula si ha: ( 5! 1 1 1! + 1 2! 1! + 1 4! 1 = 44 5! 5. Qual è il numero n d applicazioni N 4 = {1,..., 4} N 8 = {1,..., 8} se si pretende che siano iniettive ed almeno uno tra 6,7 e 8 non sia immagine di alcun elemento di N 4? 1. n = 820; 2. n = 742 ;. n = 801; 4. n 742, 801, 820. Soluzione: Si applica il principio di inclusione e esclusione. Siano A, B, C gli insiemi di applicazioni iniettive N 4 N 8 che non contengono nel codominio 6, 7, 8 rispettivamente. La cardinalità di ciascuno di questi insiemi è 7 6 5 4 = 840, mentre la cardinalità di ciascuno degli insiemi A B, A C, B C è 6 5 4 = 60 e la cardinalità di A B C è 5 4 2 = 120. Pertanto, osservato che il numero delle applicazioni iniettive N 4 N 8 è 8 7 6 5 = 1680, il numero richiesto è 1680 840 + 60 120 = 120; quindi la risposta da segnare è la quarta. 6. Si consideri f(x = x 2 + mx + 2 Z 11 [x]. Segnare l affermazione corretta: 1. i valori di m per cui f(x è irriducibile sono esattamente 5; 2. i valori di m per cui f(x è riducibile sono esattamente 5;. f(x è un polinomio riducibile m Z 11 ; 4. f(x è un polinomio irriducibile m Z 11. Soluzione: f(x è riducibile se e solo se ammette radici, cioè se e solo se = m 2 8 è un quadrato. Gli elementi di Z 11 che sono quadrati sono: 0 = 0 2, 1 = (±1 2, 4 = (±2 2, 9 = (± 2, 5 = (±4 2, = (±5 2. Inoltre per m = 0 (è un quadrato; 4 per m = ±1 (è un quadrato; m 2 7 per m = ±2 (non è un quadrato; 8 = 1 per m = ± (è un quadrato; 8 per m = ±4 (non è un quadrato; 6 per m = ±5 (non è un quadrato.
Dunque ci sono precisamente 5 valori di m per cui f(x è riducibile: risposta da segnare è la 2. la 7. (Nella formulazione originaria questo esercizio conteneva un errore. Sia G = (V, S il grafo così definito: - V consiste delle 64 caselle v i,j, i, j = 1,..., 8, della scacchiera classica; - la coppia di vertici {v i,j, v k,l } costituisce uno spigolo di G se k i = 1 e l j = 2, oppure k i = 2 e l j = 1 (è la mossa del cavallo: un passo avanti (o indietro e due di lato, oppure due passi avanti (o indietro ed uno di lato. Osservato che si può andare da v i,j a v i+1,j con il cammino v i,j v i+1,j+2 v i+,j+1 v i+1,j, mentre si può andare da v i,j a v i,j+1 con il cammino v i,j v i+2,j+1 v i+1,j+ v i,j+1, dire quale delle seguenti affermazioni è corretta: 1. G è un grafo connesso con χ S ( G = 8; { 0 se i j mod 2, 2. v i,j non è una colorazione per i vertici di G; 1 se i j mod 2,. esistono in G circuiti di lunghezza dispari; 4. esistono in G circuiti euleriani. Soluzione: L indicazione data ci dice che esiste un cammino da una casella ad una subito adiacente (a sinistra, a destra, in alto o in basso, cioè il grafo è connesso. Inoltre { 0 se i j mod 2 v i,j 1 se i j mod 2 è una colorazione perché vertici collegati da uno spigolo, per esempio v i,j e v i+1,j+2, hanno colore diverso: se v ij ha colore 0, cioè i j mod 2, v i+1,j+2 ha colore 1 perché i + 1 j + 2 mod 2 (in altre parole il cavallo si muove sempre da una casella bianca a una nera, o da una nera a una bianca. Pertanto è un grafo bipartito e quindi non possiede circuiti di lunghezza dispari. Inoltre, come grafo bipartito, il numero cromatico degli spigoli è pari al massimo dei gradi che è 8 (quando la casella non è posta nelle due righe o colonne più esterne. D altronde vi sono otto vertici di grado (v 1,2, v 1,7, v 2,1, v 2,8, v 7,1, v 7,8, v 8,2, v 8,7, per cui è escluso che ci siano cammini euleriani. La risposta da segnare è la 1. 8. Sia (V, B un 2-disegno di parametri (7,, 1 con punti v 1,..., v 7 e blocchi b 1,..., b b V. Per ogni blocco b i si consideri la parola w i di lunghezza 7 sull alfabeto {0, 1} che abbia gli 1 posizionati nei posti indicati dai punti del blocco b i (per esempio, b i = {v, v 4, v 7 } w i = 0011001. Segnare l affermazione non corretta: 1. le parole w i formano un codice che non corregge alcun errore; 2. B = 7 e v i, v j V c è uno ed un solo v k V per cui {v i, v j, v k } B;. le parole w i formano un codice non lineare; 4. almeno una delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione: r 2 = 1 dà r 1 =, quindi b = 7 dalla relazione che lega i parametri di un disegno. Poiché è un 2-disegno, ogni coppia di elementi (v i, v j V determina esattamente un altro v k in modo che {v i, v j, v k } è un blocco. Questo significa che le parole del codice contengono parole aventi precisamente tre 1 e che ogni coppia di 1 determina il terzo 1 (cioè non esistono due parole aventi due 1 negli stessi posti. Pertanto due parole possono al più avere un 1 nello stesso posto. Ne consegue che la somma di due parole è una parola con quattro oppure sei 1. In ogni caso la somma di due parole del codice non è più nel codice, cioè C non è lineare, e la minima distanza tra due parole è 4. Allora la relazione δ 2e + 1 ci dice che e 2, quindi C corregge un errore. La risposta da segnare è la 1. 9. Siano I l ideale di Z 2 [x] generato da x 6 + 1, J l ideale dell anello quoziente Z 2 [x]/i generato dalla classe laterale (x 2 + 1 + I e C il codice di lunghezza 6 definito da J. Segnare l affermazione corretta: 1. xyxyzw è una parola di C se, e solamente se, z = w = 1; 2. C ha cardinalità 16;. non esistono in C parole di peso pari; 4. se la parola ricevuta è 110011 allora la parola inviata è 010011. Soluzione: Poiché x 6 + 1 = (x 2 + 1(x 4 + x2 + 1, la matrice di controllo del dato codice è [ 1 0 1 0 1 ] 0 0 1 0 1 0 1 Imponendo che la parola xyxyzw appartenga a C si ottiene 2x + z = 0 e 2y + w = 0 cioè z = 0 e w = 0 (siamo in caratteristica 2. C è un sottospazio dello spazio di dimensione 6 su Z 2. Poiché il rango della matrice di controllo che definisce C è 2, si ha che dim C = 4 = C = 2 4 = 16. C è il sottospazio delle parole x 1 x 2 x x 4 x 5 x 6 tali che x 1 + x + x 5 = x 2 + x 4 + x 6 = 0. Tali equazioni sono soddisfatte se, e solo se, ciascuna delle terne x 1, x, x 5 e x 2, x 4, x 6 contiene un numero pari di 1, cioè tutte le parole di C sono di peso pari. Si noti inoltre che 110011 C mentre 010011 C, per cui quest ultima non può essere stata inviata. La risposta da segnare è la 2. 10. Si devono preparare delle vernici utilizzando 4 colori. Per ottenere una vernice si procede così: vi sono 6 misurini di eguale capacità e ognuno viene riempito con uno dei colori; il tutto viene poi mescolato. Quante vernici di colore diverso si possono fare in questo modo? 1. S(6, 4; 2. ( 9 6 ;. ( 94 ; 4. 4! S(6, 4. Soluzione: Si tratta di combinazioni di n = 4 oggetti (i colori con ripetizioni, di lunghezza r = 6. Di queste combinazioni ce ne sono ( ( n+r 1 r = 96. 11. Si deve dipingere una palizzata di 10 pali disposti in fila utilizzando alcuni colori fra gli 8 a disposizione (fra cui c è il rosso. In quanti modi si può colorare la palizzata se si pretende che esattamente pali siano colorati in rosso? 1. 10! 8 7 ; 2. 10! 7 7 ;. 10! 7 7! 7! ; 4. 10! 8 7! 7! ;
Soluzione: Anzitutto bisogna decidere quali pali si vuole colorare di rosso: ci sono ( 10 modi per fare ciò. Ne rimangono 7 da dipingere con 7 colori. Vi sono 7 7 modi per completare l opera; quindi il numero totale è ( 10 7 7. La risposta da segnare è la.