IL MOTO ARMONICO OBIETTIVI - Saper simulare il comportamento di un oscillatore armonico. - Verificare la potenza del metodo di calcolo ricorrente. - Verificare il legame tra i parametri fisici dell oscillatore e il periodo di oscillazione. 1 - INTRODUZIONE 1.1) L OSCILLATORE ARMONICO Nello studio dei fenomeni fisici molta importanza assumono i moti periodici, a causa della loro presenza in parecchie situazioni diverse. Per fare alcuni esempi significativi citiamo il moto di un pendolo, i fenomeni ondulatori, il moto degli elettroni in un circuito a corrente alternata, il moto dei pianeti e alcuni moti circolari, le onde e molti altri. Oscillatore armonico Alcuni di questi moti hanno la caratteristica comune di essere governati da una forza con le seguenti caratteristiche: a) la forza è sempre diretta verso un punto detto centro di oscillazione; b) la forza è regolata da una legge della forma F = kx dove x è lo spostamento dal centro di oscillazione e k una costante positiva che dipende dal sistema fisico considerato. La seconda caratteristica dice che maggiore è la distanza dal centro di oscillazione e maggiore è la forza di richiamo. Che la forza sia di richiamo lo si vede dalla presenza del segno davanti alla costante k. Infatti, preso come verso positivo quello delle x crescenti, la forza F ha sempre verso opposto a quello del vettore spostamento e, di conseguenza, del vettore velocità (figura 1). Fig. 1 I moti con queste caratteristiche prendono il nome di moti armonici e i sistemi fisici corrispondenti quello di oscillatori armonici. Tutti gli oscillatori armonici sono perciò descrivibili con un unico modello matematico, che vedremo fra poco. Questo è un grosso vantaggio, perché le differenze fra i varî sistemi sono legate al diverso significato delle grandezze in gioco, ma il loro comportamento è perfettamente analogo. Ad esempio, il moto dei pianeti o di un satellite, che vedrete in alcune schede successive, si ottiene componendo due moti armonici su due assi ortogonali. E il moto di un pendolo per piccoli angoli di oscillazione è ancora un moto armonico. 1
Modello di moto armonico Sulla base delle caratteristiche enunciate per un moto armonico, siamo ora in grado di costruire il modello, per poi studiarlo facendo una simulazione con il foglio elettronico. Per rendere lo studio più concreto, ci riferiamo ad un ambiente fisico molto semplice, sapendo però che i risultati possono essere estesi agli altri ambienti. Si abbia una massa m, appoggiata su un piano orizzontale in assenza di attrito, agganciata ad una molla di costante elastica k (figura 2). Fig. 2 Il sistema costituisce un oscillatore armonico; infatti, una volta che la massa è stata allontanata dalla posizione di riposo, essa risente di una forza orizzontale, sempre orientata verso tale punto e di intensità kx (dove x è la posizione della massa rispetto al punto di riposo). Una volta rilasciata la massa m, il sistema inizia ad oscillare attorno al punto di riposo (centro di oscillazione). Vogliamo analizzare il comportamento nel tempo delle grandezze fisiche accelerazione, velocità e spostamento (simulazione). Il modello sarà: a k m ( t) = x( t) ; v( t + t) = v( t) + a( t) t ; x( t + t) = x( t) + v( t) t Per poter attivare una simulazione è necessario fissare uno spostamento iniziale della massa dal punto di riposo. Sarà: x(0) = x i Svilupperemo ora la simulazione per mezzo del foglio elettronico. Nel modello non abbiamo inserito esplicitamente nessun riferimento alla periodicità del comportamento dell oscillatore. Sappiamo dall esperienza che lo spostamento della massa ha un comportamento oscillante. Se il modello è corretto come supponiamo, sarà esso stesso, attraverso i dati della simulazione, a fornirci un comportamento periodico. 2 - IN LABORATORIO DI INFORMATICA 2.1) SIMULAZIONE DELL OSCILLATORE ARMONICO Vogliamo attivare la simulazione dell oscillatore. Ci riferiremo sempre all ambiente di figura 2. Ci metteremo nelle condizioni di poter facilmente variare le caratteristiche fisiche del sistema: massa m, costante elastica k e spostamento iniziale x i. Entrate nell ambiente Excel; predisponete una tabella come quella mostrata in figura 3, inserendo per adesso solo le etichette (non le formule!) Assegnate alle celle che si trovano a destra delle etichette Dt, xi, k ed m nomi uguali all etichetta corrispondente. Inserite dapprima i valori iniziali nella riga 5, come mostrato in figura 3; la figura mostra come al solito le formule, ma voi vedrete sullo schermo i risultati di esse. 2
A B C D E F G H I 1 MOTO ARMONICO Parametri: 2 3 t a v s t = 0,05 s T = =2*PI.GRECO()/omega 4 k = 2 N/m ω = =RADQ(K/m) 5 0 =-D5*K/m 0 =xi xi = 0,5 m 6 =A5+DT =-D6*K/m =C5+B5*DT =D5+C6*DT m = 0,1 kg Fig. 3 Inserite le altre formule mostrate in figura 3, che traducono le equazioni del modello (eccetto quelle di colonna I), e copiatele fino alla riga 300. Assegnate i valori Dt = 0,05, k = 2, m = 0,1 e x i = 0,5 inserendoli nelle celle alle quali avete prima assegnato i nomi corrispondenti. Per analizzare i dati della simulazione facciamone una rappresentazione grafica. Rappresentate lo spostamento x in funzione del tempo t. Attivate la griglia sia orizzontale che verticale. Ottenete il grafico di figura 4. MOTO ARMONICO x 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,2-0,4-0,6-0,8 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 t Fig. 4 Osserviamo attentamente il grafico e vediamo di ricavare alcune informazioni importanti. Innanzitutto si vede l andamento oscillatorio dello spostamento, come già sapevamo: esso oscilla in maniera simmetrica attorno alla posizione di riposo. Una situazione impossibile Qualcosa però non funziona! Le oscillazioni, seppur di poco, aumentano la loro ampiezza massima con il tempo. Questo non è assolutamente possibile. Da cosa potrà dipendere? Una prima ipotesi potrebbe essere che il modello proposto non sia corretto. Ma questo non è vero: potremmo verificare in laboratorio che la forza prodotta da una molla si comporta proprio così. Rimane l ipotesi che siano gli errori di calcolo a produrre questo effetto. Abbiamo già discusso in precedenza come il calcolo ricorrente, che anche qui utilizziamo, non fornisca risultati esatti. In questo caso poi si ottengono dei risultati che portano ad una situazione fisica impossibile. Vediamo meglio come agiscono le approssimazioni del calcolo. Già sapete, dalla Scheda sul calcolo ricorrente, che si commette un errore sia nel calcolo della velocità sia in quello dello spostamento. 3
Tale errore è massimo in corrispondenza delle zone di maggiore inclinazione delle curve del moto; questo perché in tali zone si hanno maggiori variazioni delle grandezze. Nelle figure 5a e 5b vediamo il calcolo degli spazî percorsi a partire dal grafico della velocità, nella zona di massimo errore. Fig. 5 Nei tratti in cui la velocità diminuisce per arrivare a zero, lo spazio, con il nostro metodo, viene calcolato per eccesso (figura 5a). Proviamo a calcolare ora lo spostamento utilizzando la velocità all istante t + t invece che all istante t; nella stessa situazione di prima, ora lo spazio è calcolato per difetto (figura 5b). Entrambe le scelte non sono corrette; gli errori che introducono sono però di segno contrario. Compensazione Dato che lo stesso tipo di errore viene commesso sia nel calcolo dello spostamento sia in quello della velocità, possiamo provare a scegliere per uno dei due l errore per eccesso e per l altro quello per difetto. Possiamo supporre che, così facendo, i due errori in qualche modo si compensino, almeno in parte. Sostituite nella colonna dello spostamento x la formula =D5+C5*Dt con la =D5+C6*Dt ed estendetela su tutta la colonna. Il riferimento C6 indica proprio la velocità all istante finale dell intervallo iniziale come avevamo fatto finora. Visualizzate il grafico dello spostamento. t e non all istante Come potete vedere le oscillazioni si mantengono di ampiezza costante, come ci aspettiamo fisicamente. Sovrapponete al grafico dello spostamento quelli della velocità e dell accelerazione, assegnando opportune legende ai tre grafici. Inserite ora le formule mostrate in figura 3 nella colonna I; esse sono le formule, ricavate dalla teoria, che forniscono la pulsazione e il periodo del moto armonico. Variate poi il valore di m e successivamente quello di k, misurando ogni volta il periodo di oscillazione e confrontandolo con quello calcolato dalla formula. Verificate nell ultimo grafico che le tre grandezze rappresentate sono effettivamente periodiche e con lo stesso periodo. Sfasamento Osservate lo sfasamento tra x, v, ed a e spiegate questo fatto mediante considerazioni fisiche. 4
Descrivete qualitativamente il legame che verificate tra il periodo di oscillazione e le due grandezze m e k. Confrontate queste osservazioni con le formule contenute in I4 e in I3. Cercate di spiegare con motivazioni fisiche il legame che avete trovato fra le tre grandezze. Salvate il foglio di lavoro col nome Armonico.xls ed uscite da Excel. 5