1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto del piano uno e un solo punto ' appartenente al piano stesso. Una trasformazione geometrica, quindi, può essere vista come una funzione biiettiva (biunivoca) in cui sia il dominio sia il codominio coincidono con l insieme dei punti del piano. Si può pertanto scrivere, utilizzando il simbolismo delle funzioni: = τ () E, come per le funzioni, indicare come immagine di e come controimmagine di. Def: se in una trasformazione e coincidono, si dice che è un punto unito. Se tutta una figura si trasforma in se stessa, si tratta di una figura unita. Es: immaginate che i punti del piano siano le mattonelle di un pavimento e la trasformazione geometrica sia τ: fai un passo di tre mattonelle a destra e uno di tre mattonelle a sinistra. Evidentemente la mattonella di partenza e quella di arrivo coincidono. Se una trasformazione applicata due volte, a e poi a riconduce a, cioè Def: se, essendo = τ (), si ha = τ ( ) allora la trasformazione si dice involutoria. Es: dato un punto su una circonferenza e la trasformazione geometrica sia τ: ruota sulla circonferenza di un angolo di 180. fig.1 La trasformazione, applicata la prima volta ci fa passare da a, applicata la seconda volta, con tutta evidenza, ci riporta a. Def: se in una trasformazione geometrica la distanza tra due punti rimane invariata, la trasformazione è una isometria. 1 Questi appunti si riferiscono esclusivamente al programma svolto dalla 2CL nell A.S. 2010-2011; successivamente potranno essere rivisti e ampliati.
2 Qualunque figura trasformata mediante un isometria risulta evidentemente sovrapponibile (mediante un movimento rigido) alla figura di partenza. ertanto isometria può essere considerato un sinonimo di congruenza. Quindi in una isometria: rette incidenti si trasformano in rette incidenti; rette parallele si trasformano in rette parallele; ad un angolo corrisponde un angolo congruente al primo; ad un triangolo corrisponde un triangolo congruente al primo; 2) Isometrie Identità Def: si ha un identità quando ogni punto del piano viene trasformato in se stesso, cioè: = τ () =, In un identità, evidentemente, tutti i punti sono uniti. L esempio della mattonella fatto sopra è un identità. L identità è una trasformazione involutoria. Simmetria centrale Def: la simmetria centrale di centro C è una trasformazione geometrica che ad ogni punto del piano associa un punto ' = σ c () tale che C è il punto medio del segmento '. C Fig.2 Costruzione: per disegnare una simmetria centrale, tracciare la retta passante per e C, quindi prendere sulla retta, dalla parte opposta di un segmento C C. In una simmetria centrale l unico punto unito è il punto C. La simmetria centrale è una trasformazione involuto ria;
3 infatti, se dopo aver costruito, applico di nuovo le indicazioni date sopra (con, ovviamente, al posto di ) otterrò un punto = Teorema: la simmetria centrale è un isometria (per dimostrare il teorema, consideriamo il segmento che unisce due punti A e B e costruiamo i simmetrici degli estremi del segmento) A B B C fig.3 A Ip: 1) A' = σ c (A) 2) B' = σ c (B) Ts: AB A B AC A C per l Ip 1) BC B C per l Ip 2) AĈB A ĈB ACB A CB AB A B Dimostrazione per il teorema degli angoli opposti al vertice per il I criterio di congruenza dei triangoli perché lati corrispondenti in triangoli congruenti c.v.d. Simmetria assiale Def: la simmetria assiale di asse a, è una trasformazione geometrica che ad ogni punto del piano associa un punto ' = σ a () tale che il segmento ' è perpendicolare ad a e il punto medio M di ' appartiene all'asse stesso. Costruzione: tracciare la retta perpendicolare ad a, passante per e M, quindi prendere sulla retta, dalla parte opposta di, un segmento M M.
4 a M fig.4 In una simmetria assiale, tutti i punti dell asse a sono punti uniti. La simmetria centrale è una trasformazione involutoria; anche in questo caso, per sincerarsene, basta seguire le indicazioni di costruzione date sopra. Teorema: la simmetria assiale è un isometria B A C a Ip: 1) A' = σ c (A) 2) B' = σ c (B) Ts: AB A B H A B fig.5
5 Dimostrazione (facoltativa) 1 AH A H per l Ip 1) 2 HC HC per la proprietà riflessiva della congruenza 3 AĤC A ĤC perché entrambi all ang. retto, per l Ip 1) 4 AHC A HC per il I criterio di congruenza dei triangoli 5 HĈA HĈA perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti Inoltre 6 BĈH B ĈH perché entrambi all ang. retto, per l Ip 2) 7 BC B C per l Ip 2) 8 BĈA B ĈA perché angoli complementari di angoli (5 e 6) 9 AC A C perché lati corrispondenti in triangoli congruenti (4) 10 BCA B CA per il I criterio di congruenza dei triangoli 11 AB A B perché lati corrispondenti in triangoli congruenti c.v.d. Traslazione Def: si chiama vettore un ente matematico individuato da un valore numerico, cioè l intensità o modulo, da una direzione e da un verso. Un vettore può essere quindi immaginato come il rappresentante degli infiniti segmenti orientati aventi la stessa lunghezza, direzione e verso. I vettori si indicano con una lettera maiuscola sovrastata da una linea; per motivi grafici lo indicheremo senza linea ma con una lettera in grassetto: V, W, Z, ecc.; l intensità sarà invece indicata con la stessa lettera ma in carattere normale. Nello spazio il vettore è rappresentato da una freccia la cui lunghezza indica l intensità, mentre la direzione è indicata dalla retta su cui poggia il vettore e il verso è indicato dalla punta della freccia. Le frecce rappresentate di seguito non sono quindi diversi vettori, ma diversi rappresentanti dello stesso vettore V: Fig.6
6 Def: si chiama traslazione di vettore V una trasformazione geometrica ' = τ v () che ad ogni punto del piano associa un punto tale che il segmento orientato coincide col vettore V Costruzione: disegnare il vettore V dato, ponendo la sua coda in ; il punto coincide allora con la punta della freccia del vettore. V Fig.7 Teorema: la traslazione è un isometria (per dimostrare il teorema, applichiamo il vettore V agli estremi di un segmento AB) V A A B Ip: 1) A' = τ v (A) 2) B' = τ v (B) Ts: AB A B B Fig. 8 Dimostrazione AA BB V per l Ip 1) e 2) AB AB per la proprietà riflessiva della congruenza AB ^B A A^B 2 perché angoli alterni interni di rette parallele; infatti AA // BB // V per l Ip 1) e 2) AB B A AB AB A B per il I criterio di congruenza dei triangoli perché lati corrispondenti in triangoli congruenti c.v.d. 2 Con AB^C si intende l angolo di vertice C, con ABC il triangolo
7 Rotazione Def: si chiama rotazione di centro C e angolo α, una trasformazione geometrica ' = ρ α () che ad ogni punto del piano associa un punto ' tale che C = C' e Ĉ' α. α C α Fig.9 Costruzione: disegnare un angolo a α con l origine in C e con un lato coincidente alla semiretta C, quindi sull altro lato fissare il punto tale che C C.
8 Trasformazioni Geometriche sul piano cartesiano Come sappiamo, esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano cartesiano e le coppie ordinate di numeri reali; in altri termini, ad ogni punto del piano può essere associata una ed una sola coppia di numeri reali (ascissa, ordinata) e ad ogni coppia di numeri reali può essere associato uno e un solo punto del piano. Yp Xp < = > (Xp, Yp) Fig.10 Questa caratteristica fondamentale del piano cartesiano consente di rappresentare la trasformazione geometrica = τ (), che associa il punto al punto, attraverso due equazioni che permettono di calcolare rispettivamente l ascissa e l ordinata di a partire dalle coordinate di. Di seguito vengono riportate le equazioni di trasformazione di alcune applicazioni particolarmente semplici e basilari relative alle isometrie studiate sopra.. Identità In questo caso e coincidono e quindi le equazioni di trasformazione non possono che essere: X = X Y = Y 1)
9 Simmetria centrale Studiamo un caso particolarmente semplice, quello della simmetria di rispetto all origine degli assi: Come si può vedere dal disegno, le nuove coordinate si ottengono dalle vecchie semplicemente cambiando i segni. Simmetria centrale rispetto all origine degli assi 3 Equazioni di trasformazione: - 2 2 X = X Y = Y 2) - 3 Fig.11 Simmetria assiale Anche per la simmetria assiale limitiamoci ad alcuni casi particolari. Simmetria rispetto all asse Y Equazioni di trasformazione: 3 X = X Y = Y 3) - 2 2-3 Fig.12
10 Simmetria rispetto all asse X Equazioni di trasformazione: X = X Y = Y 4) - 2 2-3 Fig.13 In entrambi i casi precedenti le equazioni possono essere ricavate semplicemente guardando il disegno. Il prossimo esempio invece richiede una rapida dimostrazione (facoltativa). Simmetria rispetto ad un asse parallelo all asse X o all Y Equazioni di trasformazione: 3 X = 2a X Y = Y Asse = a 5) - 2-3 2 a a- 3 4 a- X = X Y = 2a Y Asse = a 6) Fig.14 Le rette parallele agli assi non possono essere rappresentate dall equazione = m + q. Una retta parallela all asse ha equazione = a, essendo a il valore dell ordinata del punto in cui la retta interseca l asse.
11 Una retta parallela all asse, analogamente, ha equazione = a, essendo a il valore dell ascissa del punto in cui la retta interseca l asse. er esempio, nella fig. 14, l asse rispetto a cui si ha la simmetria di è la retta = 3. Nella fig.14, il punto ha coordinate = 2 e = 3. ha ovviamente la stessa ordinata di, quindi =. er determinare si può ragionare in questo modo: ha un ascissa data dalla distanza dell asse dall origine, cioè a, più la distanza che c è tra e l asse che, per la definizione di simmetria, è la stessa distanza che c è tra l asse e l ascissa di, cioè a (vedi fig. 14); quindi: mentre, come già detto = a + (a ) = 2a, =. Risultano così dimostrate le equazioni 5). er esempio, nel caso rappresentato in figura, = 2 e a = 3; applicando la formula data sopra X = 2a = 2 3-2 = 4 er ricavare le equazioni 6) si ragiona nello stesso modo, ma ovviamente, facendo riferimento ad un asse = a parallelo all asse. Traslazione rima di ricavare le equazioni della traslazione occorre dare alcune indicazioni sulla rappresentazione dei vettori sul piano cartesiano. Vettori nel piano cartesiano Nel piano cartesiano ciascun vettore viene individuato dalle sue componenti, cioè le proiezioni del vettore stesso sull asse X (V) e sull asse (V) (vedi fig. 15); si scriverà: V(V, V). YQ V Q Yp X V XQ Fig.15
12 Ad esempio V(2, 5) vuol dire che la sua proiezione sull asse X vale 2 e quella su Y vale 5; quindi per rappresentare il vettore in un dato punto collocherò la coda in e per individuare la punta conterò 2 quadretti a destra e 5 in basso ( 5). Traslazione di vettore V Equazioni di trasformazione: Y Yp V X V X X = X + V Y = Y+ V 7) Fig.16 er ricavare le equazioni della traslazione basta osservare la fig. 16, da cui si ricava immediatamente che per ottenere le coordinate di basta aggiungere V a X e per ottenere Y basta aggiungere V a Y.